Σχεδιασμός Διαδρομών και Προγραμματισμός Δρομολογίων

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Σχεδιασμός Διαδρομών και Προγραμματισμός Δρομολογίων

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Σχεδιασμός Διαδρομών Με δεδομένο πως το μεταφορικό κόστος αντιστοιχεί περίπου στο 1/3 ως 2/3 του συνολικού κόστους εφοδιαστικής, οι αποφάσεις που σχετίζονται με τη μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας του μεταφορικού εξοπλισμού και προσωπικού είναι ιδιαίτερης κρισιμότητας και σημασίας. Ο χρόνος που τα προϊόντα βρίσκονται υπό μεταφορά (transit time) έχει μεγάλη επίδραση στον αριθμό των μεταφορών που μπορούν να εκτελεστούν ανά όχημα, σε συγκεκριμένη χρονική περίοδο, και στο συνολικό κόστος μεταφοράς. Για να μπορέσει μια επιχείρηση να μειώσει το κόστος μεταφοράς διατηρώντας ή αυξάνοντας το προσφερόμενο επίπεδο εξυπηρέτησης, πρέπει να είναι σε θέση να σχεδιάσει το βέλτιστο δρομολόγιο που ένα φορτίο πρέπει να ακολουθήσει μέσα από ένα δίκτυο, χρησιμοποιώντας πιθανά διαφορετικούς τύπους μεταφοράς με απώτερο σκοπό τη μείωση του χρόνου μεταφοράς ή της διανυόμενης απόστασης. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 3

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Η πιο απλή μέθοδος δρομολόγησης είναι η μέθοδος ελάχιστης διαδρομής (Shortest Route). Σε αυτή μας δίνεται ένα δίκτυο από κόμβους (nodes) και οι μεταξύ τους διαδρομές (links) σημασμένες με ένα στοιχείο κόστους που συνήθως είναι η απόσταση ή ο χρόνος που απαιτείται από το μεταφορικό μέσο για να διανύσει την απόσταση αυτή. Αρχικά όλοι οι κόμβοι, πλην της αφετηρίας (solved node), θεωρούνται ως μη συμμετέχοντες στη λύση (unsolved), δεν συμπεριλαμβάνονται δηλαδή στο βέλτιστο δρομολόγιο. Ας δούμε την εφαρμογή της μεθόδου μέσα από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Στο σχήμα που ακολουθεί, παρουσιάζεται το οδικό δίκτυο ανάμεσα σε δύο κόμβους (Α & J) που αποτελούν την αφετηρία και τον προορισμό του συγκεκριμένου μεταφορικού έργου, αντίστοιχα. Ο χρόνος μεταφοράς ανάμεσα στους κόμβους του προβλήματος, σημειώνεται σε λεπτά της ώρας. Στόχος της επίλυσης του προβλήματος είναι η εύρεση του δρομολογίου εκείνου που ελαχιστοποιεί το συνολικό χρόνο μεταφοράς. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 4

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Αφετηρία Α Β Ε I 90 λεπτά 84 84 138 66 120 132 348 C 90 F 60 H 126 126 156 D 48 132 G 48 150 Προορισμός J Σχήμα 1: Οδικό δίκτυο ανάμεσα στην αφετηρία (Κόμβος Α) και τον προορισμό (Κόμβος J). Οι αποστάσεις ανάμεσα στους κόμβους είναι εκφρασμένες σε λεπτά. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 5

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Κατασκευάζουμε τον ακόλουθο Πίνακα που παρουσιάζει τα αποτελέσματα εφαρμογής του αλγόριθμου της μεθόδου shortest path. Ως solved nodes, ορίζονται οι κόμβοι εκείνοι που έχουν επιλεγεί σε μια ελάχιστη διαδρομή, ενώ unsolved nodes αυτοί που είναι ανεπίλυτοι, δηλαδή δε συμμετέχουν σε κάποια ελάχιστη διαδρομή. Βήμα 1: Όπως είναι φυσικό ξεκινάμε από την αφετηρία που είναι εξ ορισμού solved node και εξετάζουμε τους άμεσα συνδεδεμένους unsolved κόμβους. Αυτοί είναι οι B (90), C (138) & D (348). Επιλέγουμε αυτόν με το ελάχιστο κόστος (χρόνο), δηλαδή τον Β. Περνάμε τα σχετικά στοιχεία στη γραμμή του βήματος 1, στον Πίνακα 1. Ο κόμβος Β είναι πλέον solved. Η διαδρομή που προκύπτει είναι η AB. Α/A Επιλυμένοι Κόμβοι Εγγύτερος Συνολικό Νέος Ελάχιστο Διαδρομή Βήματος που Συνδέονται Απευθείας Κόστος Επιλυμένος Κόστος Ελάχιστου απευθείας με Συνδεδεμένος Διαδρομής Κόμβος Διαδρομής Κόστους Ανεπίλυτους Κόμβους Ανεπίλυτος Κόμβος 1 A B 90 B 90 AB ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 6

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 2: Τώρα έχουμε δύο solved nodes (Α&Β), καθένας από τους οποίους συνδέεται με κάποιους unsolved. Πράγματι, ο solved κόμβος Α, συνδέεται με τους unsolved C &D ενώ ο solved κόμβος B, συνδέεται απευθείας με τους unsolved Ε &C. Επιλέγουμε τους κόμβους με το ελάχιστο κόστος (χρόνο). AC = 138 & AD=348 επιλέγω τον C και BC=66 & BE=84 επιλέγω τον C. Στη συνέχεια περνάω τα δεδομένα στις γραμμές του Πίνακα 1, για το βήμα 2. Προσοχή στη στήλη Total Cost, καταχωρώ το συνολικό κόστος για να φτάσω από το A στο C, μέσω του Β. AC < AB BC, δηλαδή 138 < 156. Η διαδρομή που προκύπτει είναι η AC. Ο κόμβος C είναι πλέον solved. Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Απευθείας Συνδεδεμένος Ανεπίλυτος Κόμβος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμέν ος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 90 B 90 AB 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 7

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 3: Ομοίως οι solved nodes A, B, C συνδέονται απευθείας με τους unsolved κόμβους D, E, & F,D αντίστοιχα. Επιλέγω αυτούς με το ελάχιστο κόστος, δηλαδή τους D, E, F. Περνάμε τα στοιχεία στις αντίστοιχες γραμμές για το Βήμα 3, στον Πίνακα 1. Προσοχή πρέπει να δοθεί στη στήλη συνολικό κόστος, όπου καταχωρούμε το κόστος της συνολικής διαδρομής. Ο κοντινότερος κόμβος είναι ο Ε (174) και η διαδρομή που επιλέγεται η BE. Πλέον και ο κόμβος Ε είναι solved. Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Απευθείας Συνδεδεμένος Ανεπίλυτος Κόμβος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμέν ος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 90 B 90 AB 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 3 A D 348 B E 90+84=174 E 174 BE C F 138+90=228 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 8

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 4: Οι solved nodes A,B,C & Ε συνδέονται απευθείας με τους D, none, D&F και F&I. Επιλέγω τους D, F & I που έχουν το ελάχιστο κόστος. Περνάμε τα στοιχεία στις αντίστοιχες γραμμές για το Βήμα 4, στον Πίνακα 1. Ο κοντινότερος κόμβος είναι ο F (228) και η διαδρομή που επιλέγεται η CF. Πλέον και ο κόμβος F είναι solved. Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Απευθείας Συνδεδεμένο ς Ανεπίλυτος Κόμβος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμέν ος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 90 B 90 AB 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 3 A D 348 B E 90+84=174 E 174 BE C F 138+90=228 4 Α D 348 C F 138+90=228 F 228 CF E I 174+84=258 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 9

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 5: Οι solved nodes A,B,C, Ε & F συνδέονται απευθείας με τους D, none, D, I και G& H. Επιλέγω τους D,D, I & H που έχουν το ελάχιστο κόστος. Περνάμε τα στοιχεία στις αντίστοιχες γραμμές για το Βήμα 5, στον Πίνακα 1. Ο κοντινότερος κόμβος είναι ο I (258) και η διαδρομή που επιλέγεται η EI. Πλέον και ο κόμβος I είναι solved. Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Απευθείας Συνδεδεμένος Ανεπίλυτος Κόμβος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμένος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 90 B 90 AB 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 3 A D 348 B E 90+84=174 E 174 BE C F 138+90=228 4 Α D 348 C F 138+90=228 F 228 CF E I 174+84=258 5 A D 348 C D 138+156=294 E I 174+84=258 I 258 EI F H 228+60=288 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 10

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 6: Οι solved nodes A,B,C, Ε, F & I συνδέονται απευθείας με τους D, none, D, none, H&G και H&J. Επιλέγω τους D,D, H & J που έχουν το ελάχιστο κόστος. Περνάμε τα στοιχεία στις αντίστοιχες γραμμές για το Βήμα 6, στον Πίνακα 1. Ο κοντινότερος κόμβος είναι ο H (288) και η διαδρομή που επιλέγεται η FH. Πλέον και ο κόμβος H είναι solved. Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Απευθείας Συνδεδεμένος Ανεπίλυτος Κόμβος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμένος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 90 B 90 AB 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 3 A D 348 B E 90+184=174 E 174 BE C F 138+90=228 4 Α D 348 C F 138+90=228 F 228 CF E I 174+84=258 5 A D 348 C D 138+156=294 E I 174+84=258 I 258 EI F H 228+60=288 6 A D 348 C D 138+156=294 F H 228+60=288 H 288 FH I J 258+126=384 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 11

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 7: Οι solved nodes A,B,C, Ε, F, I & H συνδέονται απευθείας με τους D, none, D, none,g, J και G&J. Επιλέγω τους D,D, G, G & J που έχουν το ελάχιστο κόστος. Περνάμε τα στοιχεία στις αντίστοιχες γραμμές για το Βήμα 7, στον Πίνακα 1. Ο κοντινότερος κόμβος είναι ο D (294) και η διαδρομή που επιλέγεται η CD. Πλέον και ο κόμβος D είναι solved. Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας Εγγύτερος Συνολικό Νέος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομή με Ανεπίλυτους Κόμβους Απευθείας Κόστος Επιλυμένος Διαδρομής Ελάχιστου Κόστους Συνδεδεμένος Διαδρομής Κόμβος Ανεπίλυτος Κόμβος 1 A B 90 B 90 AB 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 3 A D 348 B E 90+184=174 E 174 BE C F 138+90=228 4 Α D 348 C F 138+90=228 F 228 CF E I 174+84=258 5 A D 348 C D 138+156=294 E I 174+84=258 I 258 EI F H 228+60=288 6 A D 348 C D 138+156=294 F H 228+60=288 H 288 FH I J 258+126=384 7 A D 384 C D 138+156=294 D 294 CD F G 228+132=360 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών H G 288+48=336 12

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 8: Οι solved nodes του 8 ου βήματος είναι οι A,B,C,D,Ε, F, I & H. Από αυτούς ο D συνδέεται απευθείας με τον G, o F με τον G, o I με τον J και ο Η με τον G&J. Επιλέγω τους G,G, J & G που έχουν το ελάχιστο κόστος. Περνάμε τα στοιχεία στις αντίστοιχες γραμμές για το Βήματος 8, στον Πίνακα 1. Ο κοντινότερος κόμβος είναι ο G (336) και η διαδρομή που επιλέγεται η HG. Πλέον και ο κόμβος G είναι solved. Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Απευθείας Συνδεδεμένος Ανεπίλυτος Κόμβος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμέν ος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 90 B 90 AB 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 3 A D 348 B E 90+184=174 E 174 BE C F 138+90=228 4 Α D 348 C F 138+90=228 F 228 CF E I 174+84=258 5 A D 348 C D 138+156=294 E I 174+84=258 I 258 EI F H 228+60=288 6 A D 348 C D 138+156=294 F H 228+60=288 H 288 FH I J 258+126=384 7 A D 384 C D 138+156=294 D 294 CD F G 288+132=360 H G 288+48=336 I J 258+126=384 8 D G 138+156+48=342 F G 138+90+132= 360 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ι J 90+84+84+126= 384 13

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Βήμα 9: Οι solved nodes του 9 ου βήματος είναι οι A,B,C,D,Ε, F, G, I & H. Οι κόμβοι G, H, I συνδέονται απευθείας μόνο με τον κόμβο προορισμού (J). Περνάμε τα στοιχεία στις αντίστοιχες γραμμές για το Βήματος 8, στον Πίνακα 1. Ο κοντινότερος κόμβος είναι ο J (384) και η διαδρομή που επιλέγεται η IJ. Το πρόβλημα έχει επιλυθεί. - Για να εντοπίσω τη βέλτιστη διαδρομή ξεκινώ από τον τελευταίο κλάδο και συνδέω προς τα πίσω τις διαδρομές με βάση τους κόμβους λύσεις. Δηλαδή IJ EI BE AB. Σημειώνω τους κλάδους λύσεις του προβλήματος στον τελικό πίνακα με αστερίσκο. Κατά συνέπεια η διαδρομή που δίνει το ελάχιστο κόστος (χρόνο) είναι η ΑΒ ΒΕ ΕΙ ΙJ (σύνολο 384 λεπτά). - Ο τελικός πίνακας της λύσης του προβλήματος δίνεται στην επόμενη διαφάνεια. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 14

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Συνδεδεμένος Κόμβος Απευθείας Ανεπίλυτος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμένος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 90 B 90 AB* 2 A C 138 C 138 AC B C 90+66 = 156 3 A D 348 B E 90+184=174 E 174 BE* C F 138+90=228 4 Α D 348 C F 138+90=228 F 228 CF E I 174+84=258 5 A D 348 C D 138+156=294 E I 174+84=258 I 258 EI* F H 228+60=288 6 A D 348 C D 138+156=294 F H 228+60=288 H 288 FH I J 258+126=384 7 A D 384 C D 138+156=294 D 294 CD F G 288+132=360 H G 288+48=336 I J 258+126=384 8 D G 138+156+48=342 F G 138+90+132= 360 Ι J 90+84+84+126= 384 H G 138+90+60+48=336 G 336 HG 9 I J 90+84+84+126= 384 J 384 IJ* H J 138+90+60+48+126=462 G J 138+90+60+48+150=486 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 15

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής - Άσκηση Μεγάλη μεταφορική εταιρία ελληνικών συμφερόντων που δραστηριοποιείται στην Αμερική, θέλει να μεταφέρει ένα φορτίο μέσω του οδικού δικτύου από το Buffalo της Νέας Υόρκης (A) στο λιμάνι του Duluth της Μινεσότα (B). Όπως και στο παράδειγμα που επιλύθηκε νωρίτερα, στο Σχήμα 2, δίνεται το οδικό δίκτυο που μπορεί να χρησιμοποιήσει η επιχείρηση με τις αποστάσεις ανάμεσα στους κόμβους του δικτύου εκφρασμένους σε λεπτά της ώρας. Επιλύστε το πρόβλημα με τη μέθοδο Shortest Route και βρείτε τη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει ο μεταφορέας έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει το συνολικό χρόνο μεταφοράς. Duluth (Προορισμός) G 404 Mackinaw F Duluth Chicago Mackinaw Toledo Buffalo 300 Detroit D 276 Buffalo (αφετηρία) A Detroit Cleveland 479 350 58 186 Chicago E 241 Toledo C 110 Cleveland B Σχήμα 2: Οδικό δίκτυο ανάμεσα στο Buffalo NY & το Duluth MS. Οι αποστάσεις ανάμεσα στους κόμβους είναι εκφρασμένες σε λεπτά. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 16

Μέθοδος Ελάχιστης Διαδρομής - Άσκηση Ο πίνακας της λύσης της άσκησης είναι ο ακόλουθος: Α/A Βήματος Επιλυμένοι Κόμβοι που Συνδέονται απευθείας με Ανεπίλυτους Κόμβους Εγγύτερος Απευθείας Συνδεδεμένος Ανεπίλυτος Κόμβος Συνολικό Κόστος Διαδρομής Νέος Επιλυμέν ος Κόμβος Ελάχιστο Κόστος Διαδρομής Διαδρομή Ελάχιστου Κόστους 1 A B 186 B 186 AB 2 A D 276 D 276 AD* B C 110+186=296 3 B C 186+110=296 C 296 BC D F 276+300=576 D C 276+58=334 4 C F 296+350=646 C E 296+241=537 E 537 CE D F 276+300=576 5 C F 296+350=646 E G 537+479=1016 D F 576 F 576 DF* 6 E G 573+479=1016 F G 576+404=980 G 980 FG* * Διαδρομή ελάχιστου κόστους ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 17

Σχεδιασμός Διαδρομών Προγραμματισμός Δρομολογίων - Μια πολύ σημαντική λειτουργική απόφαση που σχετίζεται με τις μεταφορές μιας εφοδιαστικής αλυσίδας είναι ο σχεδιασμός και ο προγραμματισμός των δρομολογίων. - Οι διαχειριστές αποθήκευσης-διανομών (Logistics managers) πρέπει να αποφασίσουν ποιους πελάτες θα επισκεφθεί κάθε όχημα καθώς και με ποια συγκεκριμένη σειρά, έτσι ώστε να επιτύχουν μειωμένο κόστος και παράλληλα το συμφωνημένο επίπεδο εξυπηρέτησης προς τους πελάτες τους. - Στο πλαίσιο του μαθήματος θα παρουσιαστεί η μέθοδος εξοικονόμησης (Clarke-Wright Savings Approach), που είναι μια σχετικά απλή διαδικασία για την ανάθεση αντιστοίχιση πελατών σε οχήματα. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 18

Μέθοδος Εξοικονόμησης (C-W Savings Approach) - Επινοήθηκε από τους Clarke & Wright και πρωτοπαρουσιάστηκε το 1963, στο άρθρο τους Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a number of delivery points, Operations research, 11(1963), pp. 568-581. - Είναι αρκετά αποτελεσματική για προβλήματα μεσαίου μεγέθους (ικανοποιητικός αριθμός στάσεων) και δίνει λύσεις κοντά στις βέλτιστες. - Στόχος της είναι η ελαχιστοποίηση της συνολικής διανυόμενης απόστασης από όλα τα οχήματα και η έμμεση ελαχιστοποίηση του συνολικού αριθμού των οχημάτων που απαιτείται για να εξυπηρετηθούν όλες οι στάσεις. - Η λογική της μεθόδου ξεκινά με ένα κουτό όχημα το οποίο εξυπηρετεί όλους τους προορισμούς, επιστρέφοντας κάθε φορά στο κέντρο διανομής (central depot). Προφανώς, έτσι προκύπτει η μέγιστη διανυόμενη απόσταση του προβλήματος δρομολόγησης. 0 Κέντρο Διανομής Total Travelled Distance = d 0A + d A0 + d 0B + d B0 d 0A da0 d B0 d 0B Πελάτης 1 Β Πελάτης 2 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 19

Μέθοδος Εξοικονόμησης (C-W Savings Approach) - Στη συνέχεια τα δύο δρομολόγια συνδυάζονται και υπολογίζεται η απόσταση που εξοικονομείται. - Η εξοικονόμηση υπολογίζεται αφαιρώντας από την απόσταση που διανύεται χωρίς το συνδυασμό των δυο δρομολογίων αυτή που διανύεται μετά το συνδυασμό της. - Προφανώς η τιμή της εξοικονόμησης S στο παράδειγμα μας είναι η d 0A + d A0 + d 0B + d B0 - d 0A - d AB - d B0 = d A0 + d 0B d AB. - Υπενθυμίζεται πως αν τα δύο σημεία Α & Β έχουν συντεταγμένες Α (x A, y A ) και B (x B, y B ). Τότε η μεταξύ τους απόσταση δίνεται από τον τύπο: d 0A Πελάτης Α (Χ Α, Υ Α ) dαβ d(a,b) = SQRT [(X A -X B ) 2 +(Y A -Y B ) 2 ] (Α) - Το δρομολόγιο με τη μεγαλύτερη εξοικονόμηση από όλα τα συνδυασμένα δρομολόγια επιλέγεται στη λύση. - Η διαδικασία επαναλαμβάνεται με τα υπόλοιπα δρομολόγια. Κέντρο Διανομής 0 d Β0 Πελάτης Β (Χ Β, Υ Β ) - Ο περιορισμός μεταφορικού φορτίου ανά όχημα περιορίζει τις εφικτές λύσεις. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 20

Μέθοδος Εξοικονόμησης (C-W Savings Approach) Τα βασικά βήματα της μεθόδου είναι τα εξής: 1.Υπολογισμός των στοιχείων του πίνακα αποστάσεων. 2. Υπολογισμός των στοιχείων του πίνακα εξοικονομήσεων. 3. Ανάθεση πελατών σε οχήματα ή δρομολόγια. 4. Καθορισμός της σειράς των επισκέψεων ενός δρομολογίου. Στα πρώτα τρία βήματα ορίζεται η καλύτερη αντιστοίχιση των πελατών στα διαθέσιμα οχήματα και στο τέταρτο βήμα γίνεται η επιλογή της διαδρομής των οχημάτων έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η διανυόμενη απόσταση. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 21

Μέθοδος Εξοικονόμησης (Savings Matrix) Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων - Ο πίνακας αποστάσεων περιλαμβάνει τις γεωμετρικές αποστάσεις μεταξύ όλων των ζευγαριών των τοποθεσιών των πελατών που θα επισκεφθούν τα φορτηγά - Ο πίνακας κερδών περιέχει τα κέρδη (μείωση διανυόμενης απόστασης) που προκύπτουν αν σε ένα δρομολόγιο συνδυαστούν διανομές προς δύο διαφορετικούς πελάτες - Ανάθεση Πελατών: Στο βήμα αυτό επιχειρείται η μεγιστοποίηση των κερδών και για την ανάθεση χρησιμοποιείται μια επαναληπτική διαδικασία Για την κατανόηση της μεθόδου θα χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα 7.4 του βιβλίου, σελίδα 308. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 22

Παράδειγμα Βιβλίου (σελ. 308) Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων -Η εταιρία Computer Stores πραγματοποιεί ηλεκτρονικές πωλήσεις προϊόντων πληροφορικής. - Καθημερινά οι παραγγελίες παραλαμβάνονται, επεξεργάζονται και συλλέγονται με στόχο την αποστολή τους την επομένη εργάσιμη μέρα. - Ο Υπεύθυνος διανομών της επιχείρησης πρέπει να αποφασίσει πόσα φορτηγά θα χρησιμοποιηθούν, ποιους πελάτες θα εξυπηρετήσει το καθένα και ποια διαδρομή θα ακολουθηθεί. - Παράλληλα πρέπει να εξασφαλίσει πως δε θα υπερφορτωθεί κανένα όχημα και πως οι παραγγελίες θα παραδοθούν στους προσυμφωνηθέντες χρόνους. Δεδομένα Προβλήματος: -Το Κέντρο Διανομής (ΚΔ) της επιχείρησης έχει δεχθεί 12 παραγγελίες από ισάριθμους πελάτες. Οι παραγγελίες αφορούν τυποποιημένες παλέτες προϊόντων. - Το ΚΔ έχει στη διάθεση του τέσσερα όμοια φορτηγά με χωρητικότητα 200 παλέτες, το καθένα. Το κόστος μεταφοράς εξαρτάται από τη συνολική απόσταση που διανύουν τα φορτηγά. - Οι συντεταγμένες θέσης των πελατών σε σχέση με το ΚΔ καθώς και το μέγεθος της παραγγελίας του κάθε πελάτη (σε παλέτες) δίνονται στους πίνακες που ακολουθούν. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 23

Συντεταγμένες Σημείων Διανομής & Μεγέθη Παραγγελιών Συντ. Χ Συντ. Υ Κέντρο Διανομής (ΚΔ) 0 0 Πελάτης 1 5 16 Πελάτης 2 10 10 Πελάτης 3 11 19 Πελάτης 4 13 16 Πελάτης 5 19 8 Πελάτης 6 23 5 Πελάτης 7 20 3 Πελάτης 8 11 1 Πελάτης 9 6 0 Πελάτης 10 19 0 Πελάτης 11 23-1 Πελάτης 12 11-3 Πίνακας 1: Θέσεις (ΚΔ) & Πελατών Μέγεθος Παραγγελίας Πελάτης 1 54 Πελάτης 2 41 Πελάτης 3 48 Πελάτης 4 102 Πελάτης 5 64 Πελάτης 6 19 Πελάτης 7 63 Πελάτης 8 34 Πελάτης 9 64 Πελάτης 10 53 Πελάτης 11 101 Πελάτης 12 62 Πίνακας 2: Μέγεθος Παραγγελίας / πελάτη ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 24

Ζητούμενα Προβλήματος Σχεδιασμός Διαδρομών & Προγραμματισμός Δρομολογίων - Απαιτείται ο σχεδιασμός των δρομολογίων των οχημάτων κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται η συνολική απόσταση που θα διανύσουν, με άμεσες συνέπειες την ελάττωση του κόστους και (πιθανά) τους χρόνους παράδοσης. - Αρχικά προσδιορίζονται οι πελάτες που θα εξυπηρετηθούν από κάθε φορτηγό και στη συνέχεια με τη χρήση τεχνικών βελτίωσης των δρομολογίων, προσδιορίζεται η διαδρομή που θα ακολουθήσει κάθε όχημα. - Η μέθοδος καθορισμού των πελατών που θα εξυπηρετήσει κάθε όχημα με τη χρήση του Πίνακα Εξοικονόμησης παρουσιάζεται αμέσως μετά: ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 25

Πίνακας Αποστάσεων Επίλυση με Excel Ο πίνακας αποστάσεων περιλαμβάνει τις γεωμετρικές αποστάσεις μεταξύ όλων των ζευγών τοποθεσιών των πελατών στους οποίους θα γίνουν παραδόσεις. Η απόσταση δύο σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες Α (x A, y A ) και B (x B, y B ), δίνεται από τον τύπο: D (A,B) = SQRT [(X A -X B ) 2 +(Y A -Y B ) 2 ] (Α) Βήμα 1: Ανοίξτε το Excel Βήμα 2: Μετονομάστε το αρχείο σε Παράδειγμα Εφοδιαστικής Πίνακας Εξοικονόμησης. xls. Βήμα 3: Μετονομάστε το φύλλο εργασίας Sheet1 σε Πίνακας Εξοικονόμησης Βήμα 4: Καταχωρήστε τα δεδομένα του προβλήματος. Χρησιμοποιήστε ξεχωριστούς πίνακες για τις συντεταγμένες και για τις ποσότητες των παραγγελιών ανά πελάτη. Η οθόνη σας θα πρέπει να μοιάζει όπως αυτή που φαίνεται στην επόμενη διαφάνεια. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 26

Δεδομένα Προβλήματος ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 27

Πίνακας Αποστάσεων Στη συνέχεια με βάση τον τύπο (Α) υπολογίστε τις αποστάσεις και των 13 σημείων (12 πελάτες + ΚΔ) μεταξύ τους. Υπενθυμίζεται: D (A,B) = SQRT [(X A -X B ) 2 +(Y A -Y B ) 2 ] (Α) Στον Πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών. Για παράδειγμα Απόσταση 1 από 5 = Απόσταση 5 από 1 = =SQRT(POWER(H12-$H$8;2)+POWER(I12- $I$8;2)) = 16,12 μονάδες απόστασης. Κ.Δ. Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 16,76 0,00 Πελάτης 2 14,14 7,81 0,00 Πελάτης 3 21,95 6,71 9,06 0,00 Πελάτης 4 20,62 8,00 6,71 3,61 0,00 Πελάτης 5 20,62 16,12 9,22 13,60 10,00 0,00 Πελάτης 6 23,54 21,10 13,93 18,44 14,87 5,00 0,00 Πελάτης 7 20,22 19,85 12,21 18,36 14,76 5,10 3,61 0,00 Πελάτης 8 11,05 16,16 9,06 18,00 15,13 10,63 12,65 9,22 0,00 Πελάτης 9 6,00 16,03 10,77 19,65 17,46 15,26 17,72 14,32 5,10 0,00 Πελάτης 10 19,00 21,26 13,45 20,62 17,09 8,00 6,40 3,16 8,06 13,00 0,00 Πελάτης 11 23,02 24,76 17,03 23,32 19,72 9,85 6,00 5,00 12,17 17,03 4,12 0,00 Πελάτης 12 11,40 19,92 13,04 22,00 19,10 13,60 14,42 10,82 4,00 5,83 8,54 12,17 0,00 Πίνακας 3: Πίνακας Αποστάσεων ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 28

Πίνακας Εξοικονόμησης Ο πίνακας αυτός βασίζεται στα στοιχεία του πίνακα αποστάσεων και περιλαμβάνει την εξοικονόμηση που προκύπτει αν συνδυαστούν παραδόσεις σε δύο πελάτες με ένα δρομολόγιο. Η εξοικονόμηση υπολογίζεται με βάση τη μείωση της απόστασης με την παραδοχή βέβαια πως το κόστος είναι απευθείας ανάλογο αυτής. Κέντρο Διανομής Πελάτης Α (Χ Α, Υ Α ) D1 D2 D3 a) Χωρίς συνδυασμό δρομολογίων η συνολικά διανυόμενη απόσταση είναι: D1 + D1 + D2 + D2 = 2D1 + 2D2. b) Συνδυάζοντας τις δύο παραδόσεις σε ένα δρομολόγιο (Κ.Δ. Α και Α Β και Β Κ.Δ. Έχουμε συνολικά διανυόμενη απόσταση: D1 + D3 +D2 Το όφελος που προκύπτει είναι (α) (β) = 2D1 + 2D2 (D1 + D3 +D2) = D1 + D2 D3. Πελάτης Β (Χ Β, Υ Β ) ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 29

Πίνακας Εξοικονόμησης Για παράδειγμα το όφελος που προκύπτει από το συνδυασμό των παραδόσεων στους πελάτες 4 και 8, με βάση τον πίνακα αποστάσεων είναι: D (ΚΔ 4) + D(ΚΔ 8) D (4 8) = 20,62 + 11,05 15,13 = 16,53 (με τις στρογγυλεύσεις του Excel. Με βάση την παραπάνω λογική κατασκευάζεται ο αρχικός πίνακας εξοικονόμησης που στην ουσία δίνει το κέρδος που προκύπτει από το συνδυασμό των παραδόσεων για κάθε ζεύγος προορισμών /πελατών. Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 0 Πελάτης 2 23,09 0,00 Πελάτης 3 32,01 27,04 0,00 Πελάτης 4 29,38 28,05 38,96 0,00 Πελάτης 5 21,25 25,54 28,97 31,23 0,00 Πελάτης 6 19,21 23,75 27,05 29,29 39,15 0,00 Πελάτης 7 17,14 22,16 23,82 26,07 35,74 40,16 0,00 Πελάτης 8 11,65 16,13 15,00 16,53 21,03 21,93 22,05 0,00 Πελάτης 9 6,73 9,37 8,31 9,15 11,35 11,82 11,91 11,95 0,00 Πελάτης 10 14,50 19,69 20,34 22,53 31,62 36,13 36,06 21,98 12,00 0,00 Πελάτης 11 15,03 20,13 21,65 23,91 33,79 40,56 38,25 21,90 11,99 37,90 0,00 Πελάτης 12 8,24 12,51 11,36 12,91 18,42 20,52 20,81 18,45 11,57 21,86 22,26 0,00 Τι παρατηρείτε σε σχέση με τη λύση του βιβλίου; ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 30

Πίνακας Εξοικονόμησης Στη συνέχεια επιχειρείται η μεγιστοποίηση της εξοικονόμησης με τη χρήση μιας επαναληπτικής διαδικασίας. Αρχικά κάθε πελάτης αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο δρομολόγιο. Η συγχώνευση δύο δρομολογίων είναι εφικτή, μόνο όταν το συνολικό βάρος του φορτίου δεν υπερβαίνει τον περιορισμό ωφέλιμου φορτίου (200 παλέτες). Σε κάθε επανάληψη επιλέγεται ο συνδυασμός των δρομολογίων με τη μεγαλύτερη εξοικονόμηση και οι επαναλήψεις συνεχίζονται μέχρι να μην είναι εφικτός κανένας άλλος συνδυασμός. 1 η Επανάληψη: Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 0 Πελάτης 2 23,09 0,00 Πελάτης 3 32,01 27,04 0,00 Πελάτης 4 29,38 28,05 38,96 0,00 Πελάτης 5 21,25 25,54 28,97 31,23 0,00 Πελάτης 6 19,21 23,75 27,05 29,29 39,15 0,00 Πελάτης 7 17,14 22,16 23,82 26,07 35,74 40,16 0,00 Πελάτης 8 11,65 16,13 15,00 16,53 21,03 21,93 22,05 0,00 Πελάτης 9 6,73 9,37 8,31 9,15 11,35 11,82 11,91 11,95 0,00 Πελάτης 10 14,50 19,69 20,34 22,53 31,62 36,13 36,06 21,98 12,00 0,00 Πελάτης 11 15,03 20,13 21,65 23,91 33,79 40,56 38,25 21,90 11,99 37,90 0,00 Πελάτης 12 8,24 12,51 11,36 12,91 18,42 20,52 20,81 18,45 11,57 21,86 22,26 0,00 Επιλογή max 40,56 Κελί J54 Περιορισμός Φορτίου 120 <= 200 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 31

Πίνακας Εξοικονόμησης Η πρώτη επανάληψη δίνει μεγαλύτερη εξοικονόμηση μέσω της συγχώνευσης των δρομολογίων των πελατών 6 & 11. Το δρομολόγιο αυτό είναι εφικτό καθώς α 6 + α 11 = 19 + 101 = 120 <200. Η εξοικονόμηση των 40,65 μονάδων δε θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς των επόμενων επαναλήψεων. Αναζητούμε την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση. 2 η Επανάληψη: ΔΡΟΜΟΛΟΓΙΟ Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 1 0 Πελάτης 2 2 23,09 0,00 Πελάτης 3 3 32,01 27,04 0,00 Πελάτης 4 4 29,38 28,05 38,96 0,00 Πελάτης 5 5 21,25 25,54 28,97 31,23 0,00 Πελάτης 6 6 19,21 23,75 27,05 29,29 39,15 0,00 Πελάτης 7 7 17,14 22,16 23,82 26,07 35,74 40,16 0,00 Πελάτης 8 8 11,65 16,13 15,00 16,53 21,03 21,93 22,05 0,00 Πελάτης 9 9 6,73 9,37 8,31 9,15 11,35 11,82 11,91 11,95 0,00 Πελάτης 10 10 14,50 19,69 20,34 22,53 31,62 36,13 36,06 21,98 12,00 0,00 Πελάτης 11 11 15,03 20,13 21,65 23,91 33,79 38,25 21,90 11,99 37,90 0,00 Πελάτης 12 12 8,24 12,51 11,36 12,91 18,42 20,52 20,81 18,45 11,57 21,86 22,26 0,00 Επιλογή max 40,16 Περιορισμός Φορτίου 183 <= 200 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 32

Πίνακας Εξοικονόμησης Η επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση προέρχεται από τη συγχώνευση των δρομολογίων των πελατών 6 και 7. Πράγματι τα δρομολόγια 6,7 & 11 μπορούν να συνδυαστούν αφού α 6 + α 11 + α 7 = 19 + 101 + 63 = 183 <200. Η εξοικονόμηση των 40,16 μονάδων δε θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς των επόμενων επαναλήψεων. Αναζητούμε την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση. 3 η Επανάληψη: ΔΡΟΜΟΛΟΓΙΟ Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 1 0 Πελάτης 2 2 23,09 0,00 Πελάτης 3 3 32,01 27,04 0,00 Πελάτης 4 4 29,38 28,05 38,96 0,00 Πελάτης 5 5 21,25 25,54 28,97 31,23 0,00 Πελάτης 6 6 19,21 23,75 27,05 29,29 39,15 0,00 Πελάτης 7 7 17,14 22,16 23,82 26,07 35,74 0,00 Πελάτης 8 8 11,65 16,13 15,00 16,53 21,03 21,93 22,05 0,00 Πελάτης 9 9 6,73 9,37 8,31 9,15 11,35 11,82 11,91 11,95 0,00 Πελάτης 10 10 14,50 19,69 20,34 22,53 31,62 36,13 36,06 21,98 12,00 0,00 Πελάτης 11 11 15,03 20,13 21,65 23,91 33,79 38,25 21,90 11,99 37,90 0,00 Πελάτης 12 12 8,24 12,51 11,36 12,91 18,42 20,52 20,81 18,45 11,57 21,86 22,26 0,00 Επιλογή max 39,15 Περιορισμός Φορτίου 247 >= 200 OXI ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 33

Πίνακας Εξοικονόμησης Η επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση προέρχεται από τη συγχώνευση των δρομολογίων των πελατών 5 και 6. Κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό αφού α 5 + α 6 + α 11 + α 7 = 64 +19 + 101 + 63 = 247 > 200. Η εξοικονόμηση των 39,15 μονάδων δε θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς των επόμενων επαναλήψεων. Αναζητούμε την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση. 4 η Επανάληψη: ΔΡΟΜΟΛΟΓΙΟ Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 1 0 Πελάτης 2 2 23,09 0,00 Πελάτης 3 3 32,01 27,04 0,00 Πελάτης 4 4 29,38 28,05 38,96 0,00 Πελάτης 5 5 21,25 25,54 28,97 31,23 0,00 Πελάτης 6 6 19,21 23,75 27,05 29,29 0,00 Πελάτης 7 7 17,14 22,16 23,82 26,07 35,74 0,00 Πελάτης 8 8 11,65 16,13 15,00 16,53 21,03 21,93 22,05 0,00 Πελάτης 9 9 6,73 9,37 8,31 9,15 11,35 11,82 11,91 11,95 0,00 Πελάτης 10 10 14,50 19,69 20,34 22,53 31,62 36,13 36,06 21,98 12,00 0,00 Πελάτης 11 11 15,03 20,13 21,65 23,91 33,79 38,25 21,90 11,99 37,90 0,00 Πελάτης 12 12 8,24 12,51 11,36 12,91 18,42 20,52 20,81 18,45 11,57 21,86 22,26 0,00 Επιλογή max 38,96 Περιορισμός Φορτίου 150 <= 200 OK ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 34

Πίνακας Εξοικονόμησης Η επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση προέρχεται από τη συγχώνευση των δρομολογίων των πελατών 3 και 4. Πράγματι τα δρομολόγια 3 & 4 μπορούν να συνδυαστούν αφού α 3 + α 4 = 48 + 102 = 150 <200. Η εξοικονόμηση των 38,96 μονάδων δε θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς των επόμενων επαναλήψεων. Αναζητούμε την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση. 5 η Επανάληψη: ΔΡΟΜΟΛΟΓΙΟ Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 1 0 Πελάτης 2 2 23,09 0,00 Πελάτης 3 3 32,01 27,04 0,00 Πελάτης 4 4 29,38 28,05 0,00 Πελάτης 5 5 21,25 25,54 28,97 31,23 0,00 Πελάτης 6 6 19,21 23,75 27,05 29,29 0,00 Πελάτης 7 7 17,14 22,16 23,82 26,07 35,74 0,00 Πελάτης 8 8 11,65 16,13 15,00 16,53 21,03 21,93 22,05 0,00 Πελάτης 9 9 6,73 9,37 8,31 9,15 11,35 11,82 11,91 11,95 0,00 Πελάτης 10 10 14,50 19,69 20,34 22,53 31,62 36,13 36,06 21,98 12,00 0,00 Πελάτης 11 11 15,03 20,13 21,65 23,91 33,79 38,25 21,90 11,99 37,90 0,00 Πελάτης 12 12 8,24 12,51 11,36 12,91 18,42 20,52 20,81 18,45 11,57 21,86 22,26 0,00 Επιλογή max 38,25 Περιορισμός Φορτίου έχει ήδη αντιστοιχιστ εί <= 200 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 35

Πίνακας Εξοικονόμησης Η επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση προέρχεται από τη συγχώνευση των δρομολογίων των πελατών 7 και 11 τα οποία έχουν ήδη αντιστοιχηθεί. Η εξοικονόμηση των 38,25 μονάδων δε θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς των επόμενων επαναλήψεων. Αναζητούμε την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση. 6 η Επανάληψη: ΔΡΟΜΟΛΟΓΙΟ Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πελάτης 5 Πελάτης 6 Πελάτης 7 Πελάτης 8 Πελάτης 9 Πελάτης 10 Πελάτης 11 Πελάτης 12 Πελάτης 1 1 0 Πελάτης 2 2 23,09 0,00 Πελάτης 3 3 32,01 27,04 0,00 Πελάτης 4 4 29,38 28,05 0,00 Πελάτης 5 5 21,25 25,54 28,97 31,23 0,00 Πελάτης 6 6 19,21 23,75 27,05 29,29 0,00 Πελάτης 7 7 17,14 22,16 23,82 26,07 35,74 0,00 Πελάτης 8 8 11,65 16,13 15,00 16,53 21,03 21,93 22,05 0,00 Πελάτης 9 9 6,73 9,37 8,31 9,15 11,35 11,82 11,91 11,95 0,00 Πελάτης 10 10 14,50 19,69 20,34 22,53 31,62 36,13 36,06 21,98 12,00 0,00 Πελάτης 11 11 15,03 20,13 21,65 23,91 33,79 21,90 11,99 37,90 0,00 Πελάτης 12 12 8,24 12,51 11,36 12,91 18,42 20,52 20,81 18,45 11,57 21,86 22,26 0,00 Επιλογή max 37,90 Περιορισμός Φορτίου 236 >= 200 ΝΟΤ ΟΚ ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 36

Πίνακας Εξοικονόμησης Η επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση προέρχεται από τη συγχώνευση των δρομολογίων των πελατών 10 και 11 (&6 &7 που έχουν ήδη αντιστοιχηθεί με το 11). Κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό αφού α 10 + α 6 + α 11 + α 7 = 53 +19 + 101 + 63 = 236 > 200. Η εξοικονόμηση των 37,90 μονάδων δε θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς των επόμενων επαναλήψεων. Αναζητούμε την αμέσως επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο την επαναληπτική διαδικασία καταλήγουμε σε τέσσερα δρομολόγια που εξυπηρετούν όλους τους πελάτες, κάνοντας χρήση των τεσσάρων φορτηγών που έχει στη διάθεση της η επιχείρηση και χωρίς να παραβιάζεται ο περιορισμός των ωφέλιμων τους φορτίων. Τα δρομολόγια είναι τα ακόλουθα: Φορτηγό Πελάτες Φορτίο 1 (1,9,12) 180 2 (2,3,4) 191 3 (6,7,11) 183 4 (5,8,10) 151 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 37

Προσδιορισμός Αλληλουχίας Επισκέψεων Έχοντας υπολογίσει με τη μέθοδο εξοικονόμησης τα συμφερότερα δρομολόγια ανά φορτηγό, σειρά έχει τώρα η εύρεση της συμφερότερης αλληλουχίας των επισκέψεων ανά δρομολόγιο. Δηλαδή αυτήν που δίνει τη μικρότερη διανυόμενη απόσταση. Πράγματι, αν π.χ. μελετήσουμε το δρομολόγιο 4 (5,8,10) η διανυόμενη απόσταση στην περίπτωση Κ.Δ. 5 8 10 ΚΔ = 20,62 + 10,63 + 8,06 + 19 = 58,31 ενώ στην περίπτωση Κ.Δ. 5 10 8 Κ.Δ. έχουμε διανυόμενη απόσταση ίση με 20,62 + 8 + 8,06 + 11,05 = 47,72. Για να βρεθεί η βέλτιστη σειρά επισκέψεων θα εφαρμοστεί για κάθε δρομολόγιο η μέθοδος του περιοδεύοντος πωλητή. Για τις ανάγκες του μαθήματος θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο αυτή στο τέταρτο δρομολόγιο 4 (5,8,10). ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 38

Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή (Travelling Salesman Problem) Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή στοχεύει στην εύρεση της συντομότερης κυκλικής διαδρομής που περιλαμβάνει όλους τους απαιτούμενους προς επίσκεψη κόμβους πελάτες με επιστροφή στη βάση (Κ.Δ. στο παράδειγμα μας). Ο πωλητής όχημα πρέπει να επισκεφθεί κάθε πελάτη μία μόνο φορά. Στη βέλτιστη λύση κάθε πελάτης i πρέπει να έχει μία μόνο διαδρομή εισόδου και μία μόνο διαδρομή εξόδου. Οι αποστάσεις για το δρομολόγιο 4 που εξυπηρετεί τους πελάτες 5, 8 & 10, δίνονται στον Πίνακα που ακολουθεί. ΚΔ (0) 5 8 10 ΚΔ (0) 0 20,62 11,05 19 5 20,62 0 10,63 8 8 11,05 10,63 0 8,06 10 19 8 8,06 0 Το σύνολο των δυνατών τόξων διαδρομών είναι 16. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 39

Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή (Travelling Salesman Problem) Ορίζουμε τις δίτιμες μεταβλητές : xij = 1 αν το φορτηγό φτάνει στον πελάτη j προερχόμενο από τον πελάτη i. xij = 0 αν το φορτηγό δεν φτάνει στον πελάτη j προερχόμενο από τον πελάτη i. Η αντικειμενική συνάρτηση Ζ που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε έχει τη μορφή Μ x 0,0 + 20,62 x 0,5 + 11,05 x 0,8 +19 x 0,10 + 20,62 x 5,0 + M x 5,5 + 10,63 x 5,8 + 8 x 5,10 + 11,05 x 8,0 +10,63 x 8,5 + M x 8,8 + 8,06 x 8,10 + 19x 10,0 + 8x 10,5 + 8,06x 10,8 + M x10,10 ΚΔ (0) 5 8 10 ΚΔ (0) 0 20,62 11,05 19 5 20,62 0 10,63 8 8 11,05 10,63 0 8,06 10 19 8 8,06 0 Όπου Μ ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός, που εξασφαλίζει τη μη ύπαρξη βρόχων εισόδου-εξόδου στον ίδιο κόμβο πελάτη. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 40

Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή (Travelling Salesman Problem) Υπό τους περιορισμούς: x 5,0 + x 8,0 + x 10,0 = 1 x 0,5 + x 8,5 + x 10,5 = 1 x 0,8 + x 5,8 + x 10,8 = 1 x 0,10 + x 5,10 + x 8,10 = 1 Υπό τους περιορισμούς: x 0,5 + x 0,8 + x 0,10 = 1 x 5,0 + x 5,8 + x 5,10 = 1 x 8,0 + x 8,5 + x 8,10 = 1 x 10,0 + x 10,5 + x 10,8 = 1 Εξασφαλίζουν πως σε κάθε κόμβο εισέρχεται (καταλήγει) μόνο μια διαδρομή, δηλαδή δεν έχουμε περισσότερες από μια επισκέψεις σε κάθε πελάτη. Εξασφαλίζουν πως από κάθε κόμβο εξέρχεται (αναχωρεί) μόνο μια διαδρομή, δηλαδή δεν έχουμε περισσότερες από μια αναχωρήσεις από κάθε πελάτη. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 41

Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή (Travelling Salesman Problem) Στήνουμε το πρόβλημα στο Excel, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Πίνακας Αποστάσεων Περιορισμοί Αφίξεων ΚΔ Πελάτης 5 Πελάτης 8 Πελάτης 10 Κόμβος 0 1 ισούται με 1 ΚΔ 10000 20,62 11,05 19,00 Κόμβος 5 1 ισούται με 1 Πελάτης 5 20,62 10000 10,63 8,00 Κόμβος 8 1 ισούται με 1 Πελάτης 8 11,05 10,63 10000 8,06 Κόμβος 10 1 ισούται με 1 Πελάτης 10 19,00 8,00 8,06 10000 Περιορισμοί Αναχωρήσεων Μεταβλητές Απόφασης Κόμβος 0 1 ισούται με 1 ΚΔ Πελάτης 5 Πελάτης 8 Πελάτης 10 Κόμβος 5 1 ισούται με 1 ΚΔ x 0,0 x 0,5 x 0,8 x 0,10 Κόμβος 8 1 ισούται με 1 Πελάτης 5 x 5,0 x 5,5 x 5,8 x 5,10 Κόμβος 10 1 ισούται με 1 Πελάτης 8 x 8,0 x 8,5 x 8,8 x 8,10 Πελάτης 10 x 10,0 x 10,5 x 10,8 x 10,10 Μεταβλητές Απόφασης ΚΔ Πελάτης 5 Πελάτης 8 Πελάτης 10 ΚΔ 0 0 1 0 Πελάτης 5 0 0 0 1 Πελάτης 8 1 0 0 0 Πελάτης 10 0 1 0 0 Προκύπτει μια λύση δύο κυκλικών υποδιαδρομών ΚΔ --> 8 και 8 --> ΚΔ και Αντικειμενική Συνάρτηση 38,09 (ελαχιστοποίηση) 5 --> 10 και 10 --> 5 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 42

Πρόβλημα Περιοδεύοντος Πωλητή (Travelling Salesman Problem) Στη συνέχεια εισάγοντας τις κατάλληλες παραμέτρους στο πρόσθετο πρόγραμμα Solver του Excel προκύπτουν δύο κυκλικές λύσεις η 0 8 0 και η 5 10 5. Για την εξάλειψη της διαδρομής (5,10,5) που δεν περιλαμβάνει την αφετηρία εισάγουμε στο πρόβλημα τον περιορισμό: x 5,10 +x 10,5 <= 1. Επιλύουμε εκ νέου το πρόβλημα και έχουμε την τελική λύση: ΚΔ 5 10 8 ΚΔ (σύνολο διανυόμενης απόστασης = 47,72. Μεταβλητές Απόφασης ΚΔ Πελάτης 5 Πελάτης 8 Πελάτης 10 ΚΔ x 0,0 x 0,5 x 0,8 x 0,10 Πελάτης 5 x 5,0 x 5,5 x 5,8 x 5,10 Πελάτης 8 x 8,0 x 8,5 x 8,8 x 8,10 Πελάτης 10 x 10,0 x 10,5 x 10,8 x 10,10 Μεταβλητές Απόφασης ΚΔ Πελάτης 5 Πελάτης 8 Πελάτης 10 ΚΔ 0 1 0 0 Πελάτης 5 0 0 0 1 Πελάτης 8 1 0 0 0 Πελάτης 10 0 0 1 0 Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε την αλληλουχία των επισκέψεων και τις συνολικές διανυόμενες αποστάσεις για κάθε ένα από τα υπόλοιπα τρία δρομολόγια που έχουν προκύψει από τον πίνακα εξοικονόμησης. Αντικειμενική Συνάρτηση 47,72 (ελαχιστοποίηση) ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 43

Παράδειγμα 2 Επίλυση με Εξειδικευμένο Λογισμικό Επιχείρηση παράγωγής προϊόντων χυτοσιδήρου έχει στη διάθεση της πέντε φορτηγά, δυναμικότητας 40 τόνων το καθένα (super heavy trucks). Μια φορά τη βδομάδα, οι παραγγελίες της συγκεντρώνονται στο κέντρο διανομής στο Toledo, Ohio (x = 460 & y= 720) και από εκεί διανέμονται στα εργοτάξια. Για μια συγκεκριμένη βδομάδα, το πρόγραμμα των παραδόσεων, έχει ως εξής: Εργοτάξιο Χ Υ Μέγεθος Παραγγελίας (τόνοι) Milwaukee 220 800 3000 Chicago 240 720 31500 Detroit 470 790 16500 Buffalo 670 860 6000 Cleveland 540 730 4500 Pittsburgh 630 680 6750 Cincinnati 420 570 3750 Louisville 370 490 6000 Εργοτάξιο Χ Υ Μέγεθος Παραγγελίας (τόνοι) St. Louis 130 500 7500 Memphis 180 270 9000 Knoxville 480 360 5250 Atlanta 480 210 18000 Columbia 660 250 3000 Raleigh 760 390 6750 Baltimore 810 640 11250 Σύνολο 138750 ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 44

Παράδειγμα 2 Επίλυση με Εξειδικευμένο Λογισμικό - Όλες οι αποστολές πρέπει να ξεκινήσουν από το κέντρο διανομής όχι νωρίτερα από τις 7 π.μ. και φυσικά δεν πρέπει να υπάρχουν οι υπερβάσεις στο φορτίο πέραν της δυναμικότητας των φορτηγών. - Όλες οι παραδόσεις πρέπει να εκτελεστούν μέχρι τις 6 μ.μ. - Οι οδηγοί μπορούν να κάνουν διάλλειμα για μεσημεριανό, διάρκειας μιας ώρας μετά τις 12 το μεσημέρι και να ξεκουραστούν μετά τις 7 μ.μ. για 12 ώρες. - Ο μέσος χρόνος εκφόρτωσης σε κάθε στάση είναι 30 λεπτά. - Η μέση ταχύτητα σε όλο το οδικό δίκτυο είναι 50 μίλια την ώρα. - Οι πραγματικές αποστάσεις είναι κατά 21% αυξημένες σε σχέση με αυτές που υπολογίζονται από τις συντεταγμένες. - Το κόστος μεταφοράς (όχημα οδηγός) ανέρχεται στα 1,3 / μίλι. - Οι οδηγοί όταν δεν έχουν μεταφορικό έργο, αναλαμβάνουν άλλες εργασίες στο κέντρο διανομής. ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 45

Παράδειγμα 2 Επίλυση με Εξειδικευμένο Λογισμικό ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 46

Παράδειγμα 2 Επίλυση με Εξειδικευμένο Λογισμικό ΕΜΠ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών 47

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.