ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. Α log α θ = x, τότε: α. α θ = x β. x α = θ γ. α x = θ Μοάδες 3 Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. Α S συµβολίζει το άθροισµα τω πρώτω όρω µιας γεωµετρικής προόδου α µε λόγο λ 1 και πρώτο όρο α 1, τότε είαι: 1- λ α. S = α1 β. S α = 1 γ. S = α1 Μοάδες 3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. Ο τύπος που εκφράζει τη εφαπτοµέη της γωίας α είαι: εφα εφα εφα α. εφα = β. εφα = γ. εφα = 1 εφ α 1+ εφ α 1 εφ α Μοάδες 3 Ε. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συµπληρωµέες: α. Ο βαθµός του γιοµέου δύο µη µηδεικώ πολυωύµω είαι ίσος µε το... τω βαθµώ τω πολυωύµω αυτώ. β. Τρεις µη µηδεικοί αριθµοί α,β,γ είαι διαδοχικοί όροι... προόδου, α και µόο α ισχύει β = αγ. γ. Α α είαι έας θετικός αριθµός και α 1, τότε η συάρτηση f(x) = α x έχει σύολο τιµώ το διάστηµα... ΘΕΜΑ ο Για κάθε πραγµατικό αριθµό x α αποδείξετε ότι: συx(ηµx + 4ηµx) = (συx + 4συx + 1)ηµx και α βρείτε εκείους τους πραγµατικούς αριθµούς x για τους οποίους συx + 4συx + 1 = 0. Μοάδες 1 Μοάδες 13
ΘΕΜΑ 3ο ίεται η ακολουθία µε γεικό όρο α = -11 + µε πρώτο όρο α 1 καθώς και το πολυώυµο P(x) = x 3-3x -x+3. α. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία α είαι αριθµητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο α 1 = -9 και διαφορά ω =. β. Να βρείτε το άθροισµα S = α 1 +α 13 +...+α 1, όπου α 1, α 13,..., α 1 είαι διαδοχικοί όροι της προόδου α. Μοάδες 7 γ. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης P(x) = 0 είαι διαδοχικοί όροι της παραπάω προόδου α. ΘΕΜΑ 4ο ίοται οι συαρτήσεις f(x) = ln(e x - e x + 3) και g(x) = ln3 + ln(e x -1). α. Να βρείτε τα πεδία ορισµού τω f(x) και g(x). β. Να λύσετε τη εξίσωση f(x) = g(x). γ. Να λύσετε τη αίσωση f(x) > g(x). Μοάδες 6 Μοάδες 10
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Θεωρία παρ. 3. σελ. 95. Β. Η σωστή απάτηση είαι η γ Γ. Η σωστή απάτηση είαι η β. Η σωστή απάτηση είαι η α Ε.α. Ο βαθµός του γιοµέου δύο µη µηδεικώ πολυωύµω είαι ίσος µε το ΑΘΡΟΙΣΜΑ τω βαθµώ τω πολυωύµω αυτώ. β. Τρεις µη µηδεικοί αριθµοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ προόδου α και µόο α ισχύει: β = α. γ. γ. Α α είαι έας θετικός αριθµός και α 1 τότε η συάρτηση f(x) = α x έχει σύολο τιµώ το διάστηµα ( 0, + ). ΘΕΜΑ ο Είαι: συx(ηµx + 4ηµx) = = συxηµx + 4ηµxσυx = = ηµxσυ x + 4ηµxσυx = = ηµx(συ x + 4συx) = = ηµx(συx + 1 + 4συx) = = (συx + 4συx + 1)ηµx. Ακόµη: συx + 4συx + 1 = 0 συ x - 1 + 4συx + 1 = 0 συx(συx + ) = 0 συx = 0 ή συx = -, (αδύατη) x = κπ + π/ µε κ Ζ. ΘΕΜΑ 3ο α. Επειδή είαι: α +1 - α = [-11 + (+1)] [-11 + ] = (-11 + + ) - (-11 + ) = = -11 + + + 11 - = για κάθε Ν *, προκύπτει ότι η ακολουθία α = -11 + µε Ν *, είαι αριθµητική πρόοδος µε: Πρώτο όρο α 1 = -11 +. 1 = -11 + = -9 και ιαφορά ω = β. Έχουµε: S = α 1 + α 13 +... + α 1 = = (-11+. 1) + (-11+. 13) +... + (-11+. 1) = = (-11). 10 +.(1+13+...+1) = 1 + 1 = 110 + 10 = -110 + 33. 10 = -110 + 330 = 0 γ. Έχουµε P(x) = 0 x 3-3x - x + 3 = 0 x (x - 3) - (x - 3) = 0 (x - 3)(x - 1) = 0 (x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0 Άρα x = 3 ή x = 1 ή x = -1.
Εποµέως για: x = 3 έχουµε: 3 = -11 + = 14 = 7. x = 1 έχουµε: 1 = -11 + = 1 = 6. x = -1 έχουµε: -1 = -11 + = 10 = 5. Άρα: Η ρίζα x = 3 είαι ο 7 ος όρος της ακολουθίας (δηλαδή ο α 7 ). Η ρίζα x = 1 είαι ο 6 ος όρος της ακολουθίας (δηλαδή ο α 6 ). Η ρίζα x = -1 είαι ο 5 ος όρος της ακολουθίας (δηλαδή ο α 5 ). Σηµείωση: Το ερώτηµα (β.) θα µπορούσε α απατηθεί και ως εξής: α 1 ος 1 + α 1 τρόπος: S = 10 ος τρόπος: S = S 1 - S 11 όπου S 1 = α 1 + α +... + α 1 +... + α 1 και S 11 = α 1 + α +... + α 11 ΘΕΜΑ 4ο α. Πρέπει e x e x + 3 > 0 (1) Θέτουµε e x = y > 0 και έχουµε y - y + 3 > 0 () και επειδή = 4-1 = -8 < 0, προκύπτει ότι η () αληθεύει για κάθε y R, άρα και η (1) για κάθε x R. Εποµέως το πεδίο ορισµού της f είαι το R. e x - 1 > 0 e x > 1 e x > e 0. Επειδή η συάρτηση y = e x είαι γησίως αύξουσα στο R προκύπτει ότι x > 0. Εποµέως το πεδίο ορισµού της g είαι το διάστηµα ( 0, + ). β. Έχουµε: f(x) = g(x) ln(e x - e x + 3) = ln3 + ln(e x - 1) ln(e x - e x + 3) = ln(3e x - 3). Άρα 1 e x - e x + 3 = 3e x - 3 e x - 5e x + 6 = 0. Θέτουµε e x = y > 0 και έχουµε y - 5y + 6 = 0. Λύοτας, τώρα, τη δευτεροβάθµια εξίσωση λαµβάουµε: y = ή y = 3. Για y = έχουµε e x = οπότε x = ln y = 3 έχουµε e x = 3 οπότε x = ln3 Οι παραπάω ρίζες είαι δεκτές αφού αήκου στο ( 0, + ), το οποίο αποτελεί και τη τοµή τω πεδίω ορισµού τω συαρτήσεω f και g. γ. Έχουµε: f(x) > g(x) ln(e x - e x + 3) > [ln3 + ln(e x - 1)] ln(e x - e x + 3) > ln(3e x - 3) ln(e x - e x + 3) > ln(3e x - 3). Επειδή η συάρτηση h(x)=lnx είαι γησίως αύξουσα στο ( 0, + ) προκύπτει ότι e x - e x + 3 > (3e x - 3) e x - e x + 3 > 9e x - 18e x + 9 4e x -8e x +3 < 0. Θέτουµε e x =y>0 και έχουµε:
3 1 4y -8y+3 < 0 4 y y < 0 (1/) < y < (3/) (1/) < e x < (3/) e ln(1/) < y < e ln(3/). Επειδή η συάρτηση y = e x είαι γησίως αύξουσα στο R, προκύπτει ότι: 1 3 3 ln < x < ln ln1 ln < x < ln x 3 ln, ln.όµως, επειδή x ( 0, + ) λόγω της τοµής τω πεδίω ορισµού τω συαρτήσεω f(x) και g(x) προκύπτει ότι η λύση της αίσωσης 3 f(x) > g(x) είαι το διάστηµα 0, ln. 1 Σηµείωση: Για τη ακριβέστερη µαθηµατική τεκµηρίωση θα πρέπει α τεθεί: «η συάρτηση h(x)=lnx είαι 1-1 στο ( 0, + )» χωρίς, όµως, η παράλειψή του α έχει βαθµολογικές απώλειες.