Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους
«Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν από πολύ παλιά τους ανθρώπους οι οποίοι με διάφορους τρόπους (επιστημονικούς ή υπερφυσικούς) προσπάθησαν να προβλέψουν τι θα συμβεί.
Πειράματα Tύχης Ρίξιμο κέρματος Ρίξιμο ζαριού Επιλογή χαρτιού τράπουλας Τυχεροί αριθμοί joker Χρόνος δρομολογίου λεωφορείου απόκέντρομέχριτει Καιρός σήμερα το απόγευμα Φύλο νεογέννητου μωρού Πλήθος πελατών σε μια μέρα Βαθμός εξέτασης στο μάθημα
ειγματικός χώρος και ενδεχόμενα Το σύνολο όλων των «δυνατών» αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης, ονομάζεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με Ω. Κάθε ένα από τα δυνατά αποτελέσματα που μπορεί να συμβεί ονομάζεται ενδεχόμενο και συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα. Σε κάποια πειράματα όλα τα ενδεχόμενα έχουν ίδια πιθανότητα να συμβούν (ισοπίθανα), ενώσεκάποιαάλλαόχι (μη ισοπίθανα). Υπάρχουν απλά ενδεχόμενα (ένα) και σύνθετα ενδεχόμενα (περισσότερα απλά)
Πειράματα Tύχης ισοπίθανα ή όχι; Ρίξιμο κέρματος Ρίξιμο ζαριού Επιλογή χαρτιού τράπουλας Τυχεροί αριθμοί joker Χρόνος δρομολογίου λεωφορείου από κέντρο μέχρι ΤΕΙ Καιρός σήμερα το απόγευμα Φύλο νεογέννητου μωρού Πλήθος πελατών σε μια μέρα Βαθμός εξέτασης στο μάθημα
Πειράματα Tύχης ισοπίθανα ή όχι; Ρίξιμο κέρματος Ρίξιμο ζαριού Επιλογή χαρτιού τράπουλας Τυχεροί αριθμοί joker Χρόνος δρομολογίου λεωφορείου από κέντρο μέχρι ΤΕΙ Καιρός σήμερα το απόγευμα Φύλο νεογέννητου μωρού Πλήθος πελατών σε μια μέρα Βαθμός εξέτασης στο μάθημα Ισοπίθανο Ισοπίθανο Ισοπίθανο Ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Ναι και Όχι ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο
Πειράματα Tύχης ειγματικός χώρος Ω Πείραμα Ω ένα ενδεχόμενο Ρίξιμο κέρματος Ρίξιμο ζαριού Επιλογή χαρτιού τράπουλας Τυχεροί αριθμοί joker Χρόνος δρομολογίου λεωφορείου από κέντρο μέχρι ΤΕΙ Καιρός σήμερα το απόγευμα Φύλο νεογέννητου μωρού Πλήθος πελατών σε μια μέρα Βαθμός εξέτασης στο μάθημα {Κ, Γ} {1,2,3,4,5,6} {52 διαφορετικά φύλλα} {1 49} {8 λεπτά έως 28 λεπτά} {ήλιος, βροχή, αέρας, συνεφιά, ) {αγόρι, κορίτσι} {0,1,2,3,4,5,..} {0 έως 10} Γ 4 Άσος κούπα 6-16-26-36-46-49 15,5 λεπτά ήλιος αγόρι 12 7,2
Πιθανότητα ενδεχομένου Ρίξιμο κέρματος Ισοπίθανο Ρ(Γ)= Ρίξιμο ζαριού Ισοπίθανο Ρ(4)= Επιλογή χαρτιού τράπουλας Τυχεροί αριθμοί joker Χρόνος δρομολογίου λεωφορείου από κέντρο μέχρι ΤΕΙ Καιρός σήμερα το απόγευμα Φύλο νεογέννητου μωρού Πλήθος πελατών σε μια μέρα Βαθμός εξέτασης στο μάθημα Ισοπίθανο Ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Ναι και όχι ισοπίθανπ Όχι ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Ρ(Άσος κούπα)= Ρ(6-9-26-36-46-49)= Ρ(15,5 λεπτά)= Ρ(ήλιος)= Ρ(αγόρι)= Ρ(12)= Ρ(7,2)
Πιθανότητα ενδεχομένου Ρίξιμο κέρματος Ισοπίθανο Ρ(Γ)=1/2 Ρίξιμο ζαριού Ισοπίθανο Ρ(4)=1/6 Επιλογή χαρτιού τράπουλας Τυχεροί αριθμοί joker Χρόνος δρομολογίου λεωφορείου από κέντρο μέχρι ΤΕΙ Καιρός σήμερα το απόγευμα Φύλο νεογέννητου μωρού Πλήθος πελατών σε μια μέρα Βαθμός εξέτασης στο μάθημα Ισοπίθανο Ρ(Άσος κούπα)=1/52 Ισοπίθανο Ρ(6-9-26-36-46-49)= ; Όχι ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Ναι και όχι ισοπίθανπ Όχι ισοπίθανο Όχι ισοπίθανο Ρ(15,5 λεπτά)=; Ρ(ήλιος)= ; Ρ(αγόρι)= ; 1/2 Ρ(12)= ; Ρ(7,2)= ;
Ορισμοί Πιθανοτήτων Κλασσικός ορισμός Ρ(Α)= ευνοϊκές περιπτώσεις Α πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ω Στατιστικός ορισμός Ρ(Α)= εμφανίσεις Α πλήθος επαναλήψεων (μεγάλο) Αξιωματικός ορισμός Ρ(Α) = 0,3 εξ ορισμού (έτσι πιστεύουμε)
Κλασσικός ορισμός Υπολογίζεται εύκολα αλλά μόνο για ισοπίθανα ενδεχόμενα και γνωστό Ω Παράδειγμα Πιθανότητα να φέρω ζυγό αριθμό ρίχνοντας ένα ζάρι Πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων 3 Πλήθος δυνατών περιπτώσεων 6 =0,5
Εφαρμογή Ορισμών Πιθανοτήτων Κλασσικός ορισμός Μόνο για ισοπίθανα πειράματα με πεπερασμένο Ω Στατιστικός ορισμός Και για ισοπίθανα αλλά κυρίως για μη ισοπίθανα πειράματα Αξιωματικός ορισμός Ειδικές μαθηματικές περιπτώσεις
Στατιστικός ορισμός Χρειάζεται η παρατήρηση του πειράματος τύχης πολλές φορές και η δημιουργία πίνακα συχνοτήτων. (όσο μεγαλύτερο το πλήθος, τόσο σωστότερος ο υπολογισμός της πιθανότητας). Ησχετικήσυχνότηταείναιη αντίστοιχη πιθανότητα να συμβεί μια τιμή στο μέλλον. Χρησιμότητα στατιστικών παρατηρήσεων για προβλέψεις.
Στατιστικός ορισμός Παράδειγμα για τον καιρό του Απριλίου (απόγευμα) τιμή συχνότητα Σχετική συχνότητα Πιθανότητα να συμβεί ήλιος 40 40/95= 0,42 Βροχή 30 30/95= 0,32 συννεφιά 15 15/95= 0,16 αέρας 8 8/95= 0,08 κρύο 2 2/95= 0,02 Πλήθος ημερών 95 1,00
Ιδιότητες Πιθανότητας 0 Ρ(Α) 1 ή 0% Ρ(Α) 100% Ρ(Ω)=1 «βέβαιο ενδεχόμενο» Ρ({})=0 «αδύνατο ενδεχόμενο»
Πράξεις ενδεχομένων Ένωση Α U Β νασυμβείήτοαήτοβ Τομή Α Β να συμβεί και το Α και το Β Συμπλήρωμα Α Να μη συμβεί το Α
Πράξεις πιθανοτήτων Ένωση Α U Β Ρ(Α U Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Τομή Α Β Ρ(Α Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β) (ανεξάρτητα ΑΒ) Ρ(Α Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β Α) (Β εξαρτάται από Α Συμπλήρωμα Α Ρ(Α )=1-Ρ(Α)
Υπό συνθήκη πιθανότητα Πιθανότητα να συμβεί το Β, αν ξέρουμε ότι συνέβη ήδη το Α Ρ(Β Α) =Ρ(Α Β)/Ρ(Α) Ή από χρήση στατιστικού ορισμού, όπως στο επόμενο παράδειγμα
Παράδειγμα με πίνακα διασταυρώσεων Ένας διευθυντής νοσοκομείου, μελετάει τον παρακάτω πίνακα του Ιατρικού Συλλόγου, που παρουσιάζει τα μέλη του ανά φύλο και ηλικία. ΚΑΤΩ ΑΠΟ 35 ΜΕΤΑΞΥ 35-54 ΠΑΝΩ ΑΠΟ 54 ΣΥΝΟΛΟ ΑΝΔΡΑΣ 27 87 26 140 ΓΥΝΑΙΚΑ 14 25 3 42 ΣΥΝΟΛΟ 41 112 29 182 Αν επιλέξει τυχαία ένα μέλος του συλλόγου, ποια η πιθανότητα να είναι: 1. Άνδρας; 2. Μεταξύ 35 και 54 χρόνων; 3. Άνδρας μεταξύ 35 και 54 χρόνων; 4. Γυναίκα άνω των 54 χρόνων; 5. Είτε άνδρας είτε μεταξύ 35 και 54 χρόνων; 6. Είτε γυναίκα είτε άνω των 54 χρόνων; 7. Άνδρας δεδομένου ότι είναι κάτω των 35 χρόνων; 8. Άνδρας δεδομένου ότι είναι πάνω των 54 χρόνων; 9. Πάνω των 54 χρόνων δεδομένου ότι είναι άνδρας; 10. Πάνω των 54 χρόνων δεδομένου ότι είναι γυναίκα;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ο υπεύθυνος πωλήσεων ενός καταστήματος κλιματιστικών, καταγράφει τις ημερήσεις πωλήσεις και έχει εκτιμήσει τις πιθανότητες που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Ημερήσιες πωλήσεις κλιματιστικών πιθανότητα 0 0,09 1 0,18 2 0,25 3 0,20 4 0,15 5 0,13 Καθορίστε το δειγματικό χώρου του πειράματος τύχης «πλήθος κλιματιστικών που θα πουληθούν αύριο. Ορίστε το ενδεχόμενο να πουληθούν περισσότερα από 2 κλιματιστικά αύριο και υπολογίστε την πιθανότητά του. Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν 2-3 κλιματιστικά αύριο; Ποια είναι η πιθανότητα να πουληθούν 6 κλιματιστικά αύριο;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ένα κατάστημα κατέγραψε τα ποσοστά του τρόπου πληρωμής των πελατών του, ανάλογα με το συνολικό ποσό των αγορών τους: ΜΕΤΡΗΤΑ ΠΙΣΤΩΤΙΚΗ ΚΑΡΤΑ ΧΡΕΩΣΤΙΚΗ ΚΑΡΤΑ <30 5% 4% 4% 30-150 3% 22% 17% >150 9% 24% 12% Τι ποσοστό αγορών πληρώνεται με μετρητά; Να υπολογίστε την πιθανότητα μια αγορά άνω των 150 να πληρωθεί με πιστωτική κάρτα. Αν ξέρουμε ότι κάποιος πλήρωσε με πιστωτική κάρτα, ποια είναι η πιθανότητα το συνολικό ποσό των αγορών του να είναι κάτω από 30 ευρώ;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ρίχνουμε ένα κέρμα 3 φορές. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς 2 κεφαλές; β) Ποια πιθανότητα να φέρουμε το πολύ 2 κεφαλές; γ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε 1 κεφαλή την πρώτη φορά; δ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε μόνο γράμματα και τις 3 φορές; Αν παίξουμε 3 φορές παιχνίδι με πιθανότητα 30% να κερδίσουμε κάθε φορά. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε ακριβώς 2 φορές; β) Ποια πιθανότητα να κερδίσουμε το πολύ 2 φορές; γ) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε την πρώτη φορά; Στην εταιρεία ΑΛΦΑ-ΒΗΤΑ, υπάρχουν 400 εργαζόμενοι και οι 120 καπνίζουν. Οι 150 είναι άνδρες και οι 80 απ αυτούς καπνίζουν. Υπολογίστε τις παρακάτω πιθανότητες για ένα εργαζόμενο που επιλέγεται στην τύχη. α) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα; β) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας καπνιστής; γ) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας ή να καπνίζει; δ) Ποια η πιθανότητα να καπνίζει δεδομένου ότι είναι γυναίκα; ε) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα δεδομένου ότι καπνίζει; Έστω τα ενδεχόμενα Α κα Β ενός δειγματικού χώρου Ω, τα οποία είναι ανεξάρτητα, και Ρ(Α)= 0,15 Ρ(Β)=0,45. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Ρ(όχι Α), Ρ(ΑκαιΒ), Ρ(ΑήΒ), Ρ(όχι ΑκαιόχιΒ), Ρ(Α Β)