η Διάεξη Ιδιοτιμές & Ιδιοδιανύσματα Επαναηπτικές Μέθοδοι 8 Ιανουαρίου 008 Γιάννης Σαριδάκης 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης
Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης
Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα : Ορισμός A R A= Έστω nn,. Ο αριθμός και το διάνυσμα που ικανοποιούν την ιδιοτιμή ιδιοδιάυσμ ν α καούνται και αντίστοιχα. 0 ( A I ) = 0 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 3
( A I ) = 0 ( A I ) { } ιδιοτιμή N 0 N ( A ) 0 ιδιοδιάνυσμα I A I ιδιοτιμή ιδιόμορφος = 0 A ιδιοτιμή ιδιόμορφος ( A I ) ιδιοτιμή det =0 = 0 δεν είναι A ιδιοτιμή ομαός ιδιοτιμή ρίζα του χαρακτηριστικού πουωνύμου p ( ) =det( A I ) 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 4
A R n ιδιοτιμές,, nn, έχει ακριβώς n που είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πουωνύμου ( ) =det( ) p A I σ () A =,, n { } καε ίται φάσμα ρ( A)=ma i n { } καείται i φασματική ακτίνα 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 5
A ομαός ιδιοτιμή ιδιοτιμ ή και του det( A I) 0 det A A I 0 det( A) det A I 0 det = A I 0 = = = σ( AT )= σ( A) T ( ) ( ) ( T A I = A I = A I) det det det A { } A τριγωνικός σ()= A a,, a, nn, A Rn, n + + = a + + a n, n, n A Rn, n = d et( A) n 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 6
A = 0 0 A I = 0 0 ( I ) ( ) ( ) det A = 0 = 0 = 0,, σ()= A 0,, { } ρ( A)= 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 7
( A I ) = 0 = A = 0 U = 0 0 U = 0 U 0 0 0 + + = 0 3 + = 0 3 0 = 3 = 0 = α = α = ( A I ) = 0 U = 0 3 =0 0 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 8 3 =α = 0 = 0 ( A ) = I= 0 U = 0 3 0 = 0 0 U = 0 0 0 0 0 0 0 + = 0 3 = 0 + + = 0 3 + = 0 3 3 (,, ) = α (,,) (,, 3) = α ( 00,, ) (,, 3) = α (,, ) 3 0 3 = = α = α = α
Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα : Εκτιμήσεις ρ( A) A β nn A R A=, (, ) Θέτω X= 0 0 O και παρατηρώ ότι : X= 0 0 = 0 0 = A 0 0 = A 0 0 = AX Έστω, και δηαδή ένα ιδιοζευγάρι του. X = AX X A X A β β β β β β 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 9
Κύκοι του Gerschgorin A R Οι ιδιοτιμές ενός nn, περιέχονται στην ένωση r των n δίσκων του Gerschgorin που ορίζονται από τις εξισώσεις n z a a, i=,, n ii, i, j j= j i δηαδή στην ένωση των δίσκων με κέντρο τα διαγωνία στοιχεία a ii, και ακτίνες το άθροισμα των απούτων τιμών των υποοίπων στοιχείων των γραμμών αντιστοίχως. i G 4 A = 3 σ ( ) A = {,, 3} G r 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 0
A R Οι ιδιοτιμές ενός nn, περιέχονται στην ένωση c των n δίσκων του Gerschgorin που ορίζονται από τις εξισώσεις n z a a, j=,, n jj, i, j i= i j δηαδή στην ένωση των δίσκων με κέντρο τα διαγωνία στοιχεία a ii, και ακτίνες το άθροισμα των απούτων τιμών των υποοίπων στοιχείων των γραμμών αντιστοίχως. i G σ( AT )= σ( A) σ( A) G ( ) r G c 4 A = 3 σ ( ) A = {,, 3} G c 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης
Caley-Hamilton A R Κάθε nn, ικανοποιεί την χαρακτηριστική εξίσωση ( ) p p ( A) = O όπου είναι το χαρακτηριστικό πουώνυμο 0 A = 0 σ()=, A, { } ομαός p p ( ) det ( A I) = ( ) ( )( ) + ( ) = ( ) ( ) ( A) O ( A) ( A) 3 = = O A 3A + I = O A = 3 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης ( I A )
Διαγωνοποίηση { } Έστω A R n, n με σ () A=,,. Εάν A έχει n n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα,, τότε n και μόνον τότε X A= XΛX = όπου n και = = n n Λ= diag ( ) n AX= A = A A A n n XΛ. 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 3
Τα διαφορετικές γραμμικά ανεξάρτητα. ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε ιδιοτιμ ές είναι A = 0 0 = 0 0 = = =0 0 3 = 3 = X 0 = 0 0 Λ 0 0 0 = 0 0 0 0 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 4
( A ) 0 A = 0 I= 0 U = 0 3 U = 0 0 0 0 0 (,, ) = α (, 0, ) 3 = 0 σ()=, A, { } = = 3 = = = = 0 Μη διαγωνοποιήσιμος 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 5
4 4 A = 8 8 8 8 5 A+ 3I = 0 ( ) (,, ) = α( 0,, ) + β(,0, ) 3 σ () A = 3, 3, { } = 3 = 3 3 = ( A I ) = 0,, 3 α =,, ( ) = 0 =0 3 = 3 0 0 X = 0 Λ = 0 3 0 0 0 0 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 6
A= XΛX Ak = XΛk X k Λ = ( k ),, k diag n 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 7
Εάν nn, είναι πίνακας τότε : A R συμμετρικός {,, } Όες οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί αριθμοί. n Εάν δε A είναι επιπ έον και θετικ ά ορισμέν ος τότε k A διαγωνοποι είτ αι, Ο δηαδή A= XΛX > 0, k Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές είναι ορθογώνια ιδιοτιμές 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 8
Επαναηπτικές Μέθοδοι Επίυσης Γραμμικών Συστημάτων 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 9
R A = M N A = b, A nn, και ομαός M = N + b διάσπαση (splitting) Επαναηπτικ ή Μέθοδος i i M M ομαός k + = N k + b k = ( ) ( ) ( k ) ( 0 ), 0,, M = c εύκοα επιύσιμο A = b Ο και το σύστημα πιο από το συγκίνει Η ακοουθία των διανυσμάτων στην πραγματική ύση για. οποιαδήποτε αρχική επιογή Στην περίπτωση αυτή έμε ότι η επαναηπτική μέθο δος συγκίνει 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 0 αποκίνει, διαφορετικά έμε ότι.
k+ k = T + c, k = 0,, ( ) ( ) T c M M N b επαναηπτικός πίνακας Η επαναηπτική μέθοδος με πίνακ α όταν και μόνον όταν T ( T) ρ < συγκίνει 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης
A= D L U L L A a a a,, a a a,,3, n, a,3, n = 3, 3, an, n an, n a a a a n, n, n, n 0 0 0 0 a 0 0 0, = a3, a3, 0 0 an, an, an, n 0 a a a n, n U D 0 a, a,3 a, n 0 0 a,3 a, n U = 0 0 0 an, n 0 0 0 0 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης
Οι Επαναηπτικές Μέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel, SOR A = b, A R nn, και ομαός A= M N A= D L U 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 3
M D N L+ U D ( ) ( L ) ( ) k k + = + U k + b =, 0,, ( k + ) T ( k) = + c, k = 0,, J J T c J J D D ( L+ U) b 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 4
M D L N U D = + b, k = 0,, ( L) ( k+ ) U ( k ) T c k+ k = T + c, k = 0,, ( ) ( ) GS GS GS ( D L) ( D L) U b 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 5 GS
M ω ( D ωl) N ( ω ) D ωu + ω ω 0 Παράμετρος Υπερχαάρωσης D ω = ω D+ ω + ωb, k = 0,, ( ) ( k ) ( ) ( k) L + U T k + k = T + c, k = 0,, ( ) ( ) SOR SOR SOR ( D L) ( ) D+ ω ω ω U c SOR ω ( D ωl ) b 8/0/008 007 Γ.Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πουτεχνείο Κρήτης 6