4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές κίνησης των σωµατιδίων του ρευστού, δηλαδή όλες τις καµπύλες του επιπέδου τέτοιες ώστε η ταχύτητα σε κάθε σηµείο αυτών να ταυτίζεται µε τις τιµές Fr ηλαδή ψάχνουµε τις λύσεις (ως προς r ) της εξίσωσης dr d v () = =F r (), = x, r Για παράδειγµα, αν η ταχύτητα του ρευστού σε κάθε σηµείο του επιπέδου τη χρονική στιγµή περιγράφεται από το διανυσµατικό πεδίο ταχυτήτων τότε έχουµε v: : v r = +x j, dr x = v () = =F( r () ) ( x (), () ) = ( (), x() ) d = x Το παραπάνω είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα δηµιουργίας ενός συστήµατος δε Ενηµερωτικά αναφέρουµε ότι κάθε τροχιά (δηλ καµπύλη) που ικανοποιεί το παραπάνω σύστηµα δε καλείται διανυσµατική ή δυναµική γραµµή του πεδίου Λύνοντας το σύστηµα και σχεδιάζοντας τις τροχιές παίρνουµε µια εποπτική παράσταση του πεδίου µέσω των δυναµικών γραµµών του Aς δούµε τώρα έναν άλλο τρόπο σχηµατισµού ενός συστήµατος δε Θεωρούµε τη γραµµική δε Θέτουµε + + = 7
= =, = οπότε η παραπάνω δε γράφεται σαν ένα γραµµικό σύστηµα δε µε παραγώγους µόνον ης τάξης ως εξής: = =, = + + ή πιο συνοπτικά υπό µορφή πίνακα δηλ = +, Y =A Y +B Αυτή είναι µια γενικότερη παρατήρηση που µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Mια δε n τάξης µπορεί πάντα να αντικατασταθεί µε ένα σύστηµα n δε που να έχει µόνον παραγώγους ης τάξης των αγνώστων συναρτήσεων Ισχύει και το αντίστροφο Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την επίλυση συστηµάτων δε ης τάξης Ορισµός 4 Ένα σύστηµα δε ης τάξης περιγράφεται από n το πλήθος δε της µορφής (,,,, ) = f n, (4) n = fn(,,,, n) 8
όπου f,, f n είναι γνωστές συναρτήσεις n + µεταβλητών που εξαρτώνται εν γένει από κάποιες (ή και όλες) τις παραµέτρους,,,,, n ενώ,,, n είναι n το πλήθος άγνωστες πραγµατικές συναρτήσεις Η (4) καλείται κανονική µορφή του συστήµατος δε Ορισµός 4 Καλούµε λύση του συστήµατος δε (4) ένα σύνολο n συναρτήσεων =,, n = n που επαληθεύουν την (4) για κάθε σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Ορισµός 4 Καλούµε γενική λύση του συστήµατος δε (4) κάθε λύση = φ(, c,, cn), = φn(, c,, cn) όπου c,, cn είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Μερική λύση της (4) καλείται κάθε οικογένεια n το πλήθος συναρτήσεων,, n που επαληθεύει την (4) και προκύπτει από τη γενική λύση για συγκεκριµένη επιλογή των σταθερών c, c Ορισµός 44 Καλούµε πρόβληµα αρχικών τιµών για το σύστηµα δε (4) την εύρεση µιας λύσης =,, n = n της (4) που ταυτόχρονα ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, n = (4) n = n( ) για κάποιο I, όπου I είναι ένα διάστηµα της πραγµατικής ευθείας και,, n είναι δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί Θεώρηµα 4 Εστω το πρόβληµα αρχικών τιµών (4), δηλ (,,,, ) = f n =, n fn(,,,, n) = n = n( ) 9
Αν οι συναρτήσεις,, f f f n και, j =,, n είναι συνεχείς σ ένα,,, n, όπου,, n είναι δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί, τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών έχει µοναδική λύση =,, n = n για κάθε σε κατάλληλη περιοχή του σηµείου ορθογώνιο Τ κέντρου Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες συστηµάτων δε ης τάξης: τα γραµµικά και τα µη γραµµικά j Ορισµός 45 Ενα σύστηµα n διαφορικών εξισώσεων ης καλείται γραµµικό αν είναι της µορφής τάξης = a + + a n n + b, (4) n = an () + + ann() n + bn() όπου οι a (, j =,, n) και b (,, n) j = είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις Προφανώς, ένα γραµµικό σύστηµα δε µπορεί να γραφεί υπό µορφή πινάκων ως a a n b Y () =A() Y () +B() = +, a a b () () () () n nn n n όπου Y=Y είναι ο πίνακας στήλη των αγνώστων συναρτήσεων, A=A είναι ο n n πίνακας των συντελεστών των αγνώστων και B=B () είναι ο πίνακας στήλη των σταθερών όρων Aν B= ( είναι ο µηδενικός πίνακας), δηλ Y =A Y, τότε µιλούµε για οµογενές γραµµικό σύστηµα δε, αλλιώς µιλούµε για µη οµογενές Αν ο πίνακας A είναι σταθερός, δηλαδή ισχύει a () = a, I, j j
όπου a j είναι πραγµατικές σταθερές, τότε το σύστηµα Y =A Y + B καλείται γραµµικό µε σταθερούς συντελεστές, διαφορετικά καλείται γραµµικό µε µεταβλητούς συντελεστές Αν ένα γραµµικό σύστηµα έχει µεταβλητούς συντελεστές τότε η γενική µέθοδος επίλυσης αυτών αποτελεί γενίκευση της µεθόδου του Κεφ Στο εξής ασχολούµαστε κυρίως µε γραµµικά συστήµατα δε µε σταθερούς συντελεστές 4 Η µέθοδος απαλοιφής Η µέθοδος απαλοιφής βασίζεται στη µετατροπή ενός γραµµικού συστήµατος δε (µε σταθερούς ή µεταβλητούς συντελεστές) µε n άγνωστες συναρτήσεις σε µια γραµµική δε n τάξης Όταν το πλήθος των εξισώσεων είναι σχετικά µικρό είναι µια σχετικά εύκολη µέθοδος επίλυσης Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x = 7x 6 = x + + e Παραγωγίζουµε τη η εξίσωση και έχουµε = x + + e Αντικαθιστούµε την τιµή της x από την η εξίσωση και παίρνουµε 7 6 = x + + e = 84x 7+ e Λύνουµε τη η εξίσωση του αρχικού συστήµατος ως προς x και έχουµε και και αντικαθιστούµε στην παραπάνω εξίσωση Ετσι έχουµε e = 84 7+ e και µετά από πράξεις + = 8e,
δηλ µια µη οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές Η γενική λύση αυτής (βλ Κεφ ) είναι Τότε = ce + c e + e 8 e 9ce 8ce + 7e + 6e x = = x + x= Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x + x = e Λύνουµε την η εξίσωση ως προς και αντικαθιστούµε στην η εξίσωση Ετσι παίρνουµε x x x x e x x x e + = + = Παραγωγίζουµε την τελευταία και έχουµε x x + x = e και αντικαθιστούµε την τιµή του από την η αρχικού συστήµατος Ετσι παίρνουµε εξίσωση του x x + x x x = e x x + x x= e µε γενική λύση Στη συνέχεια: e x= ce + cσυν+ cηµ + 5 e = x x = ce c( συν+ ηµ ) c( ηµ συν ) 5 Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x = + z = x + z z = x +
Παραγωγίζουµε την η εξίσωση και αντικαθιστούµε σ αυτή τις τιµές των και z από τη η και η εξίσωση αντιστοίχως Ετσι παίρνουµε x = + z = x+ z + x+ = x+ + z = x+ x Η γενική λύση της x = x+ x (γραµµική ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές) είναι: x = ce + ce Tότε = x+ z = ce + c e + z = ce + c e + z = ce + c e + x+ = c e, η οποία είναι µη οµογενής ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και γενική λύση = ce + ce Τότε z = + z = ce + c e + c e z= ce + c e c e 4 Η Mέθοδος πινάκων Eστω A είναι σταθερός πίνακας και Y =A Y είναι n n οµογενές σύστηµα Εφόσον αυτό είναι ισοδύναµο µε µια οµογενή γραµµική δε n τάξης µε σταθερούς συντελεστές είναι λογικό ν αναρωτηθούµε αν υπάρχουν λύσεις της µορφής = e λ Y C, όπου λ και C σταθερό µη µηδενικό διάνυσµα στήλη Τότε: Πρόταση 4 Αν C είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του πίνακα A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ, τότε η Y = C e λ είναι µια λύση του οµογενούς συστήµατος δε Y =A Y
Απόδειξη Αντικαθιστούµε την Y = C e λ στην Y =A Y και παίρνουµε: λe e λ e e λ e λ e λ λ λ λ λ λ C =A C C =A C C = C Mελετούµε τώρα τις ακόλουθες περιπτώσεις: Ο πίνακας A έχει n το πλήθος πραγµατικές και διακεκριµένες ιδιοτιµές λ,, λ n Είναι γνωστό από τη γραµµική άλγεβρα ότι σ αυτές τις ιδιοτιµές αντιστοιχούν n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα στήλες ξ,, ξ Οι λύσεις n είναι γραµµικά ανεξάρτητες,, n ξ e λ ξ e λ n Ο n n πίνακας A έχει µια πραγµατική ιδιοτιµή λ αλγεβρικής πολλαπλότητας ν Αν η αλγεβρική και η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ ταυτίζονται, τότε στην ιδιοτιµή λ αντιστοιχούν ν το πλήθος γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα λ ξ e,, ξ e λ n Αν η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι µικρότερη της γεωµετρικής, τότε δεν µπορούµε να βρούµε ν γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της µορφής ξ e λ Πάντα όµως υπάρχει µια λύση της µορφής e λ ξ Αναζητούµε µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητα λύση της µορφής η + σ e λ όπου η, σ άγνωστα διανύσµατα στήλες τα οποία προσδιορίζουµε µε αντικατάσταση στην οµογενή δε Y =A Y Αν χρειαζόµαστε και τρίτη γραµµικά ανεξάρτητη λύση την αναζητούµε στη µορφή ( + ) w η + σ e λ, 4
όπου η, σ, w άγνωστα διανύσµατα στήλες τα οποία προσδιορίζουµε µε αντικατάσταση στην οµογενή δε Y =A Y κλπ Αν έχουµε µιγαδικές ιδιοτιµές λ ± µ, τότε σ αυτές αντιστοιχούν τα ιδιοδιανύσµατα u± v Ετσι οι ( u+ v ) e ( λ + µ ) και ( u v ) e ( λ µ ) είναι µιγαδικές λύσεις της οµογενούς Τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος λ ( uσυν ( µ ) v ηµ ( µ )) και e uηµ ( µ ) + v συν ( µ ) λ e των παραπάνω είναι δυο πραγµατικές και γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της οµογενούς δε Αν οι µιγαδικές ρίζες έχουν πολλαπλότητα µεγαλύτερη του εργαζόµαστε όπως πριν Στην περίπτωση µη οµογενούς συστήµατος δε µε σταθερούς συντελεστές, βρίσκουµε τη γενική λύση του οµογενούς συστήµατος όπως παραπάνω και µια µερική λύση του µη οµογενούς συστήµατος µε τη µέθοδο προσδιοριστέων συντελεστών που αναπτύξαµε στο ο Κεφάλαιο Παράδειγµα Nα λυθεί το σύστηµα δε Λύση Εχουµε x x = 4 x = x+ = 4x + Οι ιδιοτιµές του πίνακα A συντελεστών είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του: De λ A λ I = = λ = 5 η λ = 4 λ Eστω ( x, ) είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 5 Τότε 5
x x 4x= 5 x 4 = = 4x= x, = x,x = x,, x Αρα οι λύσεις του συστήµατος είναι και το διάνυσµα = (, ) ιδιοδιανυσµάτων Για την ιδιοτιµή λ = έχουµε ξ είναι µια βάση του χώρου των x x = x x 4 = = = x x, = x, x = x,, x Αρα οι λύσεις του συστήµατος είναι και το διάνυσµα = (, ) ιδιοδιανυσµάτων λύσεις ξ είναι είναι µια βάση του χώρου των Εφόσον οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες, οι δυο ξ =, = ξ 5 e e e e λ λ είναι γραµµικά ανεξάρτητες και η γενική λύση του συστήµατος είναι x 5 ce ce, c, c = + Παράδειγµα Υπολογίστε τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x x = z z Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι το De ( λ ) = λ = λ λ λ A I λ 6
Oι ιδιοτιµές του A είναι οι ρίζες του πολυωνύµου λ λ δηλαδή Για λ = έχουµε De A λ I = λ = ( διπλη), λ = ξ A ξ= λ ξ ξ = ξ ξ ξ = ξ Θέτουµε ξ = c = σταθερα και ξ = d = σταθερα οπότε η λύση του συστήµατος είναι όλα τα διανύσµατα ξ = ( ξ, ξ, ξ) των οποίων οι συντεταγµένες είναι της µορφής ( ξ, ξ, ξ ) ( c d, c, d) c(,,) d(,,) ξ = = + = + Τα παραπάνω ιδιοδιανύσµατα ορίζουν διδιάστατο χώρο µε βάση { ξ, ξ } = {(,, ),(,,) } ηλαδή η αλγεβρική και η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ = ταυτίζονται Εκλέγουµε τη βάση αυτή ως αντιπρόσωπο και λέµε ότι στην ιδιοτιµή λ = αντιστοιχεί,,,,, { } η βάση ιδιοδιανυσµάτων Για λ = έχουµε ξ λ ξ ξ = ξ A ξ= ξ = ξ ξ = ξ Εποµένως: ξ, ξ, ξ = ξ, ξ, ξ = ξ,,, ξ Τελικά γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η x c+ c ce ce ce ce = + + = c+ ce z c + ce 7
Παράδειγµα Υπολογίστε τις λύσεις του συστήµατος x x = z 4 z Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι το De µε ιδιοτιµές Για λ = έχουµε: ( A λ I ) = λ = ( λ ) ( λ ) Άρα λ 4 λ λ = ( διπλη ), λ = x x = = z =, 4 z z z = xz,, = x,, = x,,, x ιαπιστώνουµε ότι ενώ η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ = είναι ίση µε, εν τούτοις η γεωµετρική της πολλαπλότητα είναι ίση µε Προφανώς µια λύση του συστήµατος είναι λ ξ e = e Ψάχνουµε τώρα µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητη λύση της µορφής ( σ+ η ) e, όπου ( σ, σ, σ ) ( η, η, η ) σ=,η= είναι διανύσµατα στήλες διάστασης που πρέπει να προσδιορίσουµε Αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στο σύστηµα και παίρνουµε ( σ+ η) + η = A ( σ+ η ) e e e ( σ η σ) e ( η η ) e + + = A A O 8
( ) σ+ η A σ= O A I σ=η A I σ=η η A η= O A I η= O η= x,, A I η = O υπονοεί ότι το η είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = και άρα είναι της µορφής η= ( x,,) όπως δείξαµε παραπάνω Λύνουµε τώρα ως προς σ την εξίσωση διότι η η εξίσωση ( ) σ x σ = x A I σ σ=η = σ = x σ σ = x Επιλέγουµε (,, ) σ= και ορίζουµε την ( ) e ξe = ( σ+ η ) e = + e = ως µια δεύτερη λύση του συστήµατος γραµµικά ανεξάρτητη της ξ Για λ = έχουµε: e x x x= c = = c, 4 z z z = c xz,, = cc,, c = c,,, c Μια τρίτη λύση του συστήµατος είναι η λ ξ e = e και η γενική λύση είναι Άρα x e ce + c e + ce c e c c = + + e = c+ ce z c ce 9
Παράδειγµα Εστω δυο βαρέλια µε αλατόνερο το καθένα, έχουν αλάτι το πρώτο και αλάτι το δεύτερο Τότε αρχίζει να µπαίνει νερό στο ο βαρέλι µε ρυθµό /mn ενώ ταυτόχρονα καλά ανακατεµένο µείγµα ρέει από το ο στο ο βαρέλι µε ρυθµό /mn και καλά ανακατεµένο µείγµα από το ο βαρέλι ρέει προς τα έξη επίσης µε ρυθµό /mn Ποια είναι η ποσότητα αλατιού που υπάρχει στο κάθε βαρέλι κάθε χρονική στιγµή; = είναι η ποσότητα αλατιού στο ο και ο βαρέλι αντίστοιχα To αλατόνερο (οµοιόµορφα κατανεµη- µένο) στο ο βαρέλι έχει % αλάτι και 8% νερό Αρα στη µονάδα του χρόνου αφού µπαίνει στο ο βαρέλι µόνον νερό και µετακινείται στο ο βαρέλι ίση ποσότητα αλατόνερου χάνεται το % αλατιού από την ποσότητα του αλατόνερου που µετακινείται στο ο βαρέλι Αρα αφού ο ρυθµός ροής στο ο βαρέλι είναι /mn θα έχουµε Λύση Εστω x = x και x () = x() Στο ο βαρέλι εισέρχεται αλατόνερο από το ο και ταυτόχρονα εξέρχεται από το ο µε τον ίδιο ρυθµό, άρα () = x() () Εχουµε λοιπόν το πρόβληµα αρχικών τιµών x () = x() x( ) =, () () () ( ) = = x Η λύση αυτού είναι η x= e = + e 5 /5 /5
Ασκήσεις Επιλύστε τα συστήµατα δε x = x+ = 9x + + z = x =, z = z = w = w = w+ + z =, = w z ηµ x + = z = u + v= u v = e Απ Απ Απ Απ x= ce + c e = ce c e 4 4 = e z = e w= συν x+ ηµ x = συν x ηµ x z = u = ce e + c + c ce e = +