ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ συνέχεια στο o Nα μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο o τις συναρτήσεις : 4 4 α) f() 4 στο o = 4 5 4 β) f() στο o = γ) ημ f() στο o = Nα μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο o τις συναρτήσεις : α) f() και o = β) f() = e e και o = γ) f() e και o = Θεωρούμε τις συναρτήσεις f g h: RR με f() = ημ g() + ( +) h() Αν η f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση h δεν είναι συνεχής στο να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο 4 Έστω f g δυο συναρτήσεις ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύουν: επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ
επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ Η g είναι συνεχής στο 8 8 f() = 9 και 8 f() = 7 Να δείξετε ότι η συνάρτηση h()=f()g() είναι συνεχής στο =8 όταν και μόνο όταν g(8)= συνέχεια στο πεδίο ορισμού 5 Nα μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις : α) f() β) ημ f() γ) e συν f() δ) f() 6 Nα μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις α) f() = ημ ημ ημ(ημ) β) f() = ημ γ) f() = e ημ δ) f() = ) συν( ) ln( e εύρεση παραμέτρων 7 Να βρείτε την τιμή του αr ώστε η συνάρτηση ημ(α) () f να είναι συνεχής στο = 8 Να βρείτε την τιμή του αr ώστε η συνάρτηση
α f() 5 4 να είναι συνεχής 9 Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση α f () ημ(α ) να είναι συνεχής π ημ 4 ημ Έστω η συνάρτηση f() e λ α) Να βρείτε το λ ώστε η f να είναι συνεχής στο = β) Να υπολογίσετε το f() Να βρεθούν οι α βr ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση α β f() 4 λ Έστω η συνάρτηση f() ημ( μ) συνεχής να βρείτε τους λ μ μ μ Αν η f είναι Να βρεθούν οι α βr ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση 5 α f() α β 4 Αν η συνάρτηση ότι: α = ημ f() α α είναι συνεχής να δείξετε 5 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : RR της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( ) και ισχύει: (-)f() = α + β + για κάθε R επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ
α) Να βρείτε τους α β καθώς και τον τύπο της f β) Να βρείτε το όριο: f () ημ f() f συνεχής: όριο της f στο o = τιμή της f στο o 6 Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() = + ημ για κάθε R Αν η f είναι συνεχής στο = να βρείτε την τιμή f() 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και για κάθε R ισχύει: f() + συν = να βρείτε την τιμή f() 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() + = f() + + για κάθε R Να βρείτε: α) την τιμή f() β) τον τύπο της συνάρτησης f 9 Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης f : RR για την οποία ισχύει: f() + = f() + + για κάθε R Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() = ημ + f() για κάθε Αν f() = 4 να δείξετε ότι η f είναι συνεχής Δίνεται η περιττή συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() + συν = + f() 4 για κάθε Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής εύρεση μιας τιμής συνεχούς συνάρτησης μέσα από όριο Έστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο = Αν ισχύει: f() = να βρείτε την τιμή f() H συνάρτηση f : RR είναι συνεχής και Nα βρείτε την τιμή f() f() ημ = 4 Έστω συνάρτηση f: RR συνεχής στο = και α) Nα βρείτε την τιμή f() 4 f() = επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 4
β) Να υπολογίσετε το όριο: f() f() 5 Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() f() = - και = Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = 6 Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() ημ f() = - και = λr α) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = β) Αν επιπλέον ισχύει: f() ημ = να βρείτε το λ 7 Δίνεται η συνάρτηση f : RR η οποία είναι συνεχής στο = f() περιττή και = ( ) α) Nα βρείτε την τιμή f() β) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = - f() γ) Nα βρείτε το όριο: ( ) 8 Δίνεται η συνάρτηση f : RR η οποία είναι συνεχής στο = f() 5 περιττή και = α) Nα βρείτε την τιμή f() β) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = - f() 5 γ) Nα βρείτε το όριο: ανισότητες και συνέχεια 9 Αν f συνεχής στο = και ισχύει: f() ημ για κάθε R να βρείτε την τιμή f() Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() f() + ημ(-) για κάθε R Αν η f είναι συνεχής στο = να δείξετε ότι: f() = Η συνάρτηση f : RR είναι συνεχής στο = α και ισχύει: επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 5
f()( - α) + α - α για κάθε R Να δείξετε ότι: f(α) = α Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και για κάθε R ισχύει - f() να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων Δίνεται η συνάρτηση f : RR τέτοια ώστε για κάθε R να ισχύει: + 4 - f() - 4 + 9 α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = f() 5 β) Να βρεθεί ο αr ώστε η συνάρτηση g() = να α 8 είναι συνεχής στο = 4 Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f () - f() συνεχής στο = - για κάθε R Να δείξετε ότι η f είναι f() 5 Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f () = και < f() για κάθε R * να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 6 Έστω οι συναρτήσεις f g: RR τέτοιες ώστε: f() g() g() για κάθε R όπου g συνεχής στο = και g() = α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = β) Να βρείτε τα όρια: f() g() f() g() i) ii) ημ( ) 7 Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f () f() για κάθε R Να δείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο = f() β) = 8 Δίνεται η συνάρτηση f : [ ] R για την οποία ισχύει: f() > για κάθε ( ) Να δείξετε ότι: α) η f δεν είναι συνεχής επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 6
β) η συνάρτηση g() = f() () είναι συνεχής στο = 9 Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει: f() f(y) y για κάθε yr Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής 4 Έστω συνάρτηση f: RR με σύνολο τιμών το R και τέτοια ώστε: f() f(y) y για κάθε yr Να δείξετε ότι: α) η συνάρτηση f είναι - β) η συνάρτηση f - είναι συνεχής θεωρητικές που καταλήγουν σε ανισότητα 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f g: RR για τις οποίες ισχύει: f () + g () = για κάθε R Να δείξετε ότι οι f g είναι συνεχείς στο = 4 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f: RR για την οποία ισχύει: f () + f() = για κάθε R είναι συνεχής στο = Όμοια αν ισχύει: f () + f() + = e για κάθε R αλλαγή μεταβλητής 4 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο τέτοια ώστε: f( h) = αr h ημ5h α) Να βρείτε το f() f( h) 4 f( ) β) Να βρείτε το α αν = h h 44 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο τέτοια ώστε: α) Να βρείτε το β) Να βρείτε το α αν f() h f( h) 4f( ) = 5 h f( h) = αr h h επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 7
δύο σημαντικές περιπτώσεις αλλαγής μεταβλητής αν για την εύρεση του f() έχουμε σχέση της μορφής: f( + y) = θέτουμε = + h f(y) = θέτουμε = h οπότε το όριο αντίστοιχα γίνεται: f( + h) και h h f( h) 45 Για τη συνάρτηση f: RR ισχύει: f(+y) = f()e y +f(y)e για κάθε yr Αν η f είναι συνεχής στο = να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R 46 Για τη συνάρτηση f: ( + ) R ισχύει: f(y) = f(y) + yf() για κάθε y( + ) α) Αν η f είναι συνεχής στο = να δείξετε ότι είναι συνεχής στο ( + ) β) Αν f(u) u u = να βρείτε το όριο: a f() f(α( α 47 Για τη συνάρτηση f: RR ισχύει: f(+y) = f()f(y) για κάθε yr Nα δείξετε ότι: α) Αν η f είναι συνεχής στο τότε είναι συνεχής στο R β) Αν η f είναι συνεχής στο α τότε είναι συνεχής στο R 48 Για τη συνάρτηση f: RR ισχύει: f(+y) = f()f(y) - ημημy για κάθε f() yr Αν f() και = : α) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = β) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R f() f(α( γ) Να βρείτε το όριο: α a 49 Για τη συνάρτηση f: ( + ) R ισχύει: f(y) = f() + f(y) για κάθε y( + ) Αν η f είναι συνεχής στο = να δείξετε ότι είναι συνεχής στο ( + ) 5 Για τη συνάρτηση f: R R ισχύει: f(y) = f() + f(y) + 5(-)(y-) για κάθε yr Αν η f είναι συνεχής στο = να δείξετε ότι είναι συνεχής στο R * 5 Για τη συνάρτηση f: R * R ισχύει: f = f() - f(y) για κάθε y επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 8
y R * Αν η f είναι συνεχής στο = να δείξετε ότι είναι συνεχής στο R * 5 Έστω συνάρτηση f: R R συνεχής στο α R * τέτοια ώστε: f( - y) = f() - f(y) για κάθε yr α) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = β) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R γενικά συνδυαστικά θέματα 5 Έστω συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε: f() f(y) κ y για κάθε yr και κ( ) Nα δείξετε ότι: α) Η f είναι συνεχής β) Η εξίσωση f() = έχει το πολύ μία ρίζα στο R 54 Έστω συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε: y f() f(y) για κάθε yr Nα δείξετε ότι: α) Η f αντιστρέφεται β) Η f - είναι συνεχής στο R β) Η εξίσωση f() = έχει το πολύ μία ρίζα στο R 55 Έστω συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε για κάθε R να ισχύει: f () - f () = - 8 - f() Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = 56 Έστω συνάρτηση f: ( + ) R η οποία είναι συνεχής στο = και τέτοια ώστε: f() > και: f(y) = f() + f(y) για κάθε y( + ) α) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής β) Nα δείξετε ότι: f = - f() για κάθε ( + ) γ) Nα δείξετε ότι f() < κοντά στο δ) Αν επιπλέον ισχύει: f() f() = - να υπολογίσετε το όριο: 57 Έστω συνάρτηση f: Α R η οποία είναι - συνεχής και τέτοια f() ώστε f() = f() και f - () = Να δείξετε ότι: f α) ο αριθμός δεν ανήκει στο σύνολο Α επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 9
β) η συνάρτηση f - δεν είναι συνεχής 58 Έστω συνάρτηση f: R R με f () + f() = για κάθε R α) Nα δείξετε ότι ορίζεται η f - και να βρείτε τον τύπο της β) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R γ) Να βρείτε το f() δ) Nα δείξετε ότι: < ε) Να βρείτε το f () f() < για κάθε > 59 Θεωρούμε συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε: f () + f() = k για κάθε R και k > α) Να δειχθεί ότι η f είναι f() f() k β) Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής και: = 6f () επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ