qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Transcript

1 qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl ΦΥΛΛΑΔΙΟ : ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ cvbnmσγqwφeryuioσδφpγρaηsόρ 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ωυdfghjργklαcvbnβφδγωmζqwer λκοθξyuiύασφdfghjklcvbnmqwery uiopaβsdfghjklcεrυγyεuνiιoαpasdf ghjklcηvbnασφδmqwerασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφryuφγςοιopaασδφsdfghjklcv ασδφbnγμ,mqweryuiopasdfgασργκο ϊτbnmqweryσδφγuiopasσδφγdfghjk lσδδγσφγcvbnmqweryuioβκσλπp asdfghjklcvbnmqweryuiopasdγαε ορlcvbnmqweryuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqweryuiopasdfghjklασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer yuiopasdfghjklcvbnmqweryuiopσ

2 . Δίνεται η εξίσωση i., C, α,β R και, είναι ρίζες της με α) Να βρειτε τους αριθμούς α και β. β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός. γ) Αν w w, να αποδείξετε ότι w R. δ) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w που ικανοποιούν την εξίσωση w w βρίσκονται σε έλλειψη. ε) Έστω A( ), B( ), ( ) οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,, αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με (7 i), τότε, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α) ln( ) - ln. β) η f είναι γνησίως φθίνουσα γ) lim f () e δ) ( ) e, >. f () ( ), >. Να δείξετε ότι :. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιμες στο R όπου η f είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R, με f() d g()d. Αν f() d g()d για κάθε R. Να δείξετε ότι : α) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε μοναδικό σημείο του διαστήματος (,) β) f() + f() = g() + g() γ) i) υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f () g( ) ii) υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( ) g ( ) f 4. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f() και f( + y) = f()f(y), για κάθε,y R α) Να βρείτε το f() β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R γ) Να δείξετε ότι υπάρχει c R c, για κάθε R

3 δ) Αν f ()=, να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρ f () f ( ) τησης g() ( ), όπου α >. ( ) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.. Δίνεται η συνάρτηση f β) Στην περίπτωση που η f έχει τοπικό ελάχιστο, να υπολογίσετε το εμβαδόν 4 του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y =, = - και =. 6. Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R με συνεχή παράγωγο και ισχύουν f ()> και g() f ()d, για κάθε R. α) Να δείξετε ότι g () f( ) f (), R. β) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία. f ( ) γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(,), τέτοιο ώστε : f (ξ ). 7. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (-,) και τύπο f () d. α) Να δείξετε ότι για κάθε (, ) ισχύει f(ημ)=. β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον και τις ευθείες και. 8. Έστω ln f () d. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ. Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει f () f ( ). δ. Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει f () f ( ) ln. ε. Να υπολογίσετε το όριο lim f () και να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f, με f () f( )d e δείξετε ότι : α) Για κάθε > ισχύει ότι : i) f () = -f() για κάθε >. Να

4 ii) f() = β) i) Για κάθε (,] ισχύει : - < f() < ii) 8 f()d γ) Η εξίσωση f()d έχει ακριβώς μία ρίζα στο (,). 8. Έστω f παραγωγίσιμη στο [,e] τέτοια ώστε : f () ) e 4 - Re( για κάθε [,e], όπου ρίζα της εξίσωσης με. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,e] Re( ) e Im( ) β) Αν Im( ) και ισχύει d e d Im( ), να βρείτε το.. Έστω C με Re() και f() i, R. α) Να δείξετε ότι f ()= R * β) Αν =, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cg της g στο σημείο της Α,g( ) με g () f ()d. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο R, παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε f () d e f () e e, για κάθε R. Α. α) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R β) Να δείξετε ότι f() e για κάθε R. B. Αν g() e, R, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων f και g και των ευθειών = και =.. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο R, με e f ()d e f () α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να δείξετε ότι lim f ()d, για κάθε R. 4. Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο R, τέτοια ώστε f ()+f ()= για κάθε R, e f()= και f (). e α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τη μονοτονία γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f()= δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α(,f()) ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση Cf

5 της f, την ευθεία (ε) του (δ) ερωτήματος και την ευθεία =.. Έστω f : [α,β] R, παραγωγίσιμη με f(α)> και e f() f() για κάθε [α,β]. α) Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β] β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] γ) Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη στο [α,β] f(α) δ) Να δείξετε ότι α e - f(α)και στη συνέχεια να δείξετε ότι α ε) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, τον άξονα και τις ευθείες =α και =β, με f(α)= και f(β)=, 4 e e 6 είναι E. 6. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,+ ) με f() > για κάθε [,+ ) και F()= F() f ()d,, g (), >. f ()d α) Να δείξετε ότι I e f () F() d F() e β) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,+ ) γ) Αν g()=, να δείξετε ότι : i) f ()d f ()d ii) F()d F() 7. Έστω C του οποίου η εικόνα ανήκει στον κύκλο y 9 η εξίσωση i e έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,).. Να δείξετε ότι 8. Έστω f : R R, κοίλη στο R με f()=, f()=4. α) Να δείξετε ότι f () < f() για κάθε > β) Αν f () h() d, >, να δείξετε ότι η h είναι κοίλη στο (,+ ) και ισχύει ότι h() 4 για κάθε > 9. Αν f() = ln +,, α) να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντί- A στροφης f β) Να λύσετε την ανίσωση f ( ) lim με. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και g : R R, παραγωγίσιμη με g() για κάθε R και f () = g() =. Αν επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις f () = g()g () και f () g () για κάθε R, α) να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R

6 β) να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής δ) να δείξετε ότι η εξίσωση f() + lng() + = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,). Έστω f, g παραγωγίσιμες στο R με f()=, f ()d, g() για κάθε R και f () = g() + g () για κάθε R. Nα δείξετε ότι : α) η συνάρτηση h() f ()d g()d, R είναι σταθερή με h()= για κάθε R β) g() < για κάθε R γ) f ()d για κάθε R δ) υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f ()d ξ ε) η εξίσωση f() = g() + = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,) 6