qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Transcript

1 qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ : Συναρτήσεις Σύνθεση cvbnmσγqwφrtyuioσδφpγρaηsόρ συναρτήσεων Μονοτονία Αντίστροφη συνάρτηση ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwrt 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwrty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwrtασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwrtyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwrtyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwrtyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwrtyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwrtyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwrtyuiopasdfghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwr tyuiopasdfghjklzcvbnmqwrtyuiopσ

2 ΑΝΑΛΥΣΗ ο Κεφάλαιο : Συναρτήσεις. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α) f () β) δ) f () ln( ) (Απ. α) [-,5] β) (-,) γ) f () γ) ln, ln ln f () 0 δ),,. Να βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε η συνάρτηση με τύπο f () ( ) λ - να έχει πεδίο ορισμού το R. (Απ. λ 6). Δίνεται η συνάρτηση f:rr, με f()>0 για κάθε R. Αν z lnf () lnf () i και z z για κάθε R, να δείξετε ότι η f είναι σταθερή.. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει (f f )() = ( - +)f () για κάθε R. Να δείξετε ότι f() = 0 ή f() =. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες ισχύει f () g() για κάθε R. Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των f και g. (Απ. η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g όταν >0) 6. Δίνεται η συνάρτηση f : RR με σύνολο τιμών το R για την οποία ισχύει f(f())=-, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι : α) f( ) = f(). β) η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f και η ευθεία y= έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο. 7. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει f ( ) f ( ) ln( ) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0, έχει δύο τουλάχιστον λύσεις.

3 8. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R * για την οποία ισχύει f () f ( ) για κάθε R *. Να υπολογίσετε : α) το f() β) τον τύπο της f. (Απ. α) f() = - β) f () ) 5 9. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι συναρτήσεις f () g()=+ είναι ίσες. (Απ. [-,] ) 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f () ορίσετε τη συνάρτηση fogoh. (Απ. D [,] [7, ) f g h και, g() και h(). Να f g h() 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f, () σύνθεση των συναρτήσεων f, f, g (), g, () g () ) f και f () () f τις ακόλουθες συναρτήσεις : και g (). Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f () τους αριθμούς α και β ώστε (fog)(), για κάθε R. (Απ. α= και β=5). Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () τέτοια ώστε fog gof. Να γράψετε ως και g() = -. Να βρείτε, και η συνάρτηση g : RR. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και h()= διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο και να βρείτε. (Απ. Α(,) ). Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f(+y) = f() + f(y) για κάθε, y R. Να δείξετε ότι : α) f(0) = 0 β) η f είναι περιττή γ) η f είναι σταθερή 5. Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f(+y) = f() - f(y) για κάθε, y R. Να δείξετε ότι : α) f(0) = 0 β) η f είναι άρτια γ) η f είναι σταθερή. 6. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, R.

4 β) Να δείξετε ότι 5 για κάθε >0. (Απ. α) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R) 7. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () , R. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να λύσετε την ανίσωση (Απ. β) <0) 8. Να λύσετε την εξίσωση (Απ. =0) 009 g() 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f() = + ln και g() Να δείξετε ότι : α) η f είναι γνησίως αύξουσα β) η g είναι γνησίως αύξουσα 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : (0,+ )R, με f() g() για κάθε >0. για κάθε >0. Αν η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ), να δείξετε ότι f(+y)<f()+f(y) για κάθε, y > 0.. Δίνεται η συνάρτηση f : RR, με f () για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να λύσετε την ανίσωση : (Απ. β) >0). Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και η συνάρτηση g() = f( 5) f( ) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα.. Δίνεται η συνάρτηση f : RR, με f (), λ R. α) Να δείξετε ότι f (), για κάθε R β) Να βρείτε τις τιμές του αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση ( fo f)() f ( ) έχει πραγματικές ρίζες 9 γ) Αν ισχύει f(α) + f(β) +f(γ) =, να δείξετε ότι α=β=γ. (Απ. β) 0 λ ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R. Να δείξετε ότι, αν f( f( )) για κάθε R, τότε f() = για κάθε R.

5 5. Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f 5 () 5 για κάθε R. α) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα γ) Να δείξετε ότι (fof)() = για κάθε R. (Απ. α) Α(,0)) 6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο () δεν αντιστρέφεται. f 7. Να βρείτε τις αντίστροφες των συναρτήσεων : α) f( ) β) f () ln γ) f( ) δ) f( ) ln ε) f( ). (Απ. α) f () ( ), [0,] β) f (), (-,ln) (ln,+ ) ln γ) f (), (-, ) δ) f () ln, (0,+ ) ε) f () ln, (-,) 8. Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f () f() R και f(r)=r. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την (Απ. f (), R) 5 9. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) Να λύσετε την εξίσωση f f ( ). (Απ. β) = k, kz) f. για κάθε 0. Θεωρούμε μία συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως μονότονη στο R. Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(5,9) τότε : α) να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R f f ( ) β) να λύσετε την εξίσωση : 9 γ) να λύσετε την ανίσωση : f f ( ) 6 (Απ. β) = ή =- γ) -<<5).. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και f(r)=r για την οποία f () ισχύει f () + = +, για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β) Να λύσετε την εξίσωση f(ln) = f( ). 5

6 - γ) Να βρείτε τη συνάρτηση f. δ) Να λύσετε την ανίσωση ( 7)( - ) < f(0). (Απ. β) = γ) f (), R δ) ln ). Δίνεται η συνάρτηση f : (0,+ )R για την οποία ισχύει f()+f()=+ και f () f (y) ln ( y) για κάθε, y (0,+ ). y α) Να βρείτε το f() και το f() β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται 0 δ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ln. 8 (Απ.α) f() =, f()=+ β) f()=+ln δ) -<<) f (). Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f () 6 για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα γ) Να δείξετε ότι f() < για κάθε R. f(α) δ) Αν f ( ), να βρείτε τον αριθμό α. (Απ. β) Α(,0) δ) α= ή α - ) f (). Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f () για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι β) Αν για τη συνάρτηση g : RR ισχύει g() f () f () για κάθε R, να δείξετε ότι : i) η g είναι ii) g () 0 5. Δίνεται η αντιστρέψιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει (fof)() για κάθε R. Να δείξετε ότι f()+f(-)=. 6. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει f( f( )) για κάθε R. Να δείξετε ότι : α) f() = β) Η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το R και τύπο g( ) f( ) δεν είναι Δίνεται η συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει fofof)() - 7 R, f() = και f()=9. α) Να δείξετε ότι η f είναι - β) Να βρείτε το f () ( για κάθε

7 γ) Να λύσετε την εξίσωση f () 9 (απ. β) 8 γ) = -5) 8. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z C * και η συνάρτηση f : RR, με f(0)=0 και f f () z για κάθε R. Να δείξετε ότι : z α) η f είναι - β) f()= γ) Aν η f είναι γνησίως μονότονη τότε : i) η f είναι γνησίως αύξουσα ii) z 9. Δίνεται η συνάρτηση f : RR με (f()) α) η f είναι - β) η f δεν είναι γνησίως μονότοτονη γ) η f είναι περιττή f για κάθε R. Να δείξετε ότι : 0. Δίνεται η συνάρτηση f : R * R για την οποία ισχύει () f (y) f y, y R *. Αν ισχύει ότι η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα τότε : α) Να λύσετε την εξίσωση f()=0 β) Να δείξετε ότι η f είναι - γ) Να δείξετε ότι f () f 0 για κάθε R * δ) Να λύσετε την εξίσωση f () f ( ) f ( ) f ( ) (Απ. α) = δ) =) f για κάθε. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και f(r)=r για την οποία ισχύει f( y) f() f(y) για κάθε, y R. α) Να δείξετε ότι f(0)=0 β) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. γ) Αν η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα το 0 να δείξετ ότι : i) η f είναι αντιστρέψιμη ii) f ( y) f () f (y) για κάθε, y R. 7