ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Γενικά Επειδή οι επιφάνειε δευτέρου βαθμού συναντώνται συχνά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρούμε σκόπιμο να τι περιγράψουμε στην αρχή του βιβλίου αυτού. Επιφάνεια S του εποπτικού χώρου είναι ένα διπαραμετρικό σύνολο σημείων του πεδίο μεταβολή έναν τόπο Ν. Δηλαδή Οι { } S= M(,,): = f (u,v), = f (u,v), = f (u,v), για u,vξ 1 3 3 με = f 1(u,v), = f (u,v), = f 3(u,v) (1.1) αποτελούν τι παραμετρικέ εξισώσει τη S. Αν μεταξύ των (1.1) απαλείψουμε τα u,v, τότε παίρνουμε την επιφάνεια S με τι μορφέ Μία καμπύλη στον f(,, ) = 0 ή = (, ), ή = (, ) ή = (, ) 3 παριστάνεται ω τομή δύο επιφανειών. Πριν αναφερθούμε στι επιφάνειε δευτέρου βαθμού, θα δώσουμε του ορισμού μερικών επιφανειών, οι οποίοι θα είναι χρήσιμοι για τα παρακάτω. Ευθειογενεί επιφάνειε ονομάζονται οι επιφάνειε εκείνε που από κάθε σημείο του περνάει μια τουλάχιστον ευθεία, η οποία βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια. Η πιο συνηθισμένη είναι εκείνη που προκύπτει από την κίνηση μια ευθεία, τη γενέτειρα τη επιφάνεια, η οποία υπακούει σε κάποιο νόμο. Π.χ. συναντάει κατά την κίνησή τη μια καμπύλη τη επιφάνεια, η οποία λέγεται οδηγό καμπύλη. Τέτοιε επιφάνειε είναι οι κυλινδρικέ, οι κωνικέ και άλλε. α) Στι κυλινδρικέ επιφάνειε η κινούμενη ευθεία, δηλαδή η γενέτειρα, παραμένει παράλληλη προ ένα σταθερό διάνυσμα. Ω οδηγό καμπύλη μπορεί να θεωρηθεί μια

16 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ οποιαδήποτε τομή τη επιφάνεια με ένα επίπεδο. Έστω ότι οι επιφάνειε f(,,) = 0, g(,,) = 0 (1.) παριστάνουν μια καμπύλη C, και (, ) = 0 (1.3) είναι το αποτέλεσμα τη απαλοιφή του μεταξύ των (1.). Τότε η εξίσωση (1.3) 3 παριστάνει στον την κυλινδρική επιφάνεια που προβάλλει την C στο Ο επίπεδο. Η (1.3) στο Ο επίπεδο παριστάνει την προβολή τη C στο επίπεδο αυτό. Ανάλογα μπορούμε να έχουμε τι κυλινδρικέ επιφάνειε (, ) = 0 ή (,) = 0, οι οποίε προκύπτουν από τι (1.) με απαλοιφή του ή αντίστοιχα. β) Στι κωνικέ επιφάνειε η κίνηση τη γενέτειρα γίνεται έτσι ώστε να περνάει αυτή πάντα από ένα σταθερό σημείο, το οποίο λέγεται κορυφή τη κωνική επιφάνεια (ή κώνου). Η κορυφή κάθε κωνική επιφάνεια τη χωρίζει σε δύο συμμετρικά μέρη ω προ το σημείο αυτό, τα οποία λέγονται χώνε. Κάθε εξίσωση f(,, ) = 0, όπου η συνάρτηση f είναι ομογενή (*) ω προ,,, παριστάνει κωνική επιφάνεια με κορυφή το σημείο Ο(0,0,0). Η κωνική επιφάνεια με κορυφή ένα τυχόν σημείο ( 0, 0, 0) έχει εξίσωση f ( - 0, - 0, - 0) = 0 όπου f είναι ομογενή συνάρτηση ω προ = - 0, = - 0, = - 0. Επιφάνειε δεύτερου βαθμού Είναι οι επιφάνειε εκείνε, των οποίων οι συντεταγμένε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Ο επαληθεύουν την εξίσωση 3 (,,)Ξ σ ένα ορθογώνιο A + B + C + D + E + F + G + H + I + J = 0 (1.4) όπου A, B, C, D, E, F, G, H, I, J είναι σταθερέ. Π.χ. τέτοιε επιφάνειε είναι η σφαίρα, ο κώνο και άλλε που θα δούμε παρακάτω. Υποθέτουμε ότι ένα τουλάχιστον από του συντελεστέ Α, B, C, D, E, F είναι διάφορο του μηδενό. Αν όμω όλοι αυτοί είναι ίσοι με μηδέν, τότε η εξίσωση (1.4) παριστάνει το 3 επίπεδο του : G + H + I + J = 0 (*) Τον ορισμό τη ομογενού συναρτήσεω θα τον δούμε στο Κεφάλαιο 4.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 17 Αν από την (1.4) λείπει μια μεταβλητή, τότε έχουμε κυλινδρική επιφάνεια με γενέτειρα παράλληλη στον άξονα των συντεταγμένων πάνω στον οποίο παίρνει τιμέ η μεταβλητή αυτή. Π.χ. η εξίσωση + = 1 παριστάνει τον κύλινδρο (όπω θα δούμε και παρακάτω), ο οποίο έχει γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καμπύλη τον κύκλο + = 1 του Ο επιπέδου. Μετακινώντα το Ο σύστημα με κατάλληλη μεταφορά και στροφή, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την (1.4) στην απλούστερη μορφή, όπου ενδεχομένω μερικοί από του συντελεστέ είναι ίσοι με μηδέν. Τότε θα λέμε ότι η επιφάνεια είναι στην κανονική μορφή τη. Για να μελετήσουμε μια τέτοια επιφάνεια εξετάζουμε τα επίπεδα, του άξονε και τα σημεία συμμετρία αυτή. Επίση βρίσκουμε τι τομέ τη επιφάνεια με του Ο, Ο, Ο άξονε, καθώ και τι τομέ τη με διάφορα επίπεδα. Την τομή μια επιφάνεια S με ένα επίπεδο Ε, η οποία γενικά είναι μια καμπύλη, θα τη λέμε ίχνο τη S πάνω στο Ε. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου βαθμού στην κανονική μορφή του Μερικέ από τι επιφάνειε (1.4) στην απλούστερη μορφή σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων είναι οι εξή : α) Σφαίρα Έχει εξίσωση την ( - ) + ( - ) + ( - ) =, > 0 σταθερά, (.1) 0 0 0 κέντρο το σημείο ( 0, 0, 0) και ακτίνα ρ (σχήμα.1). P( 0, 0, 0 ) ρ O Σχήμα.1

18 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ β) Ελλειψοειδέ Πρόκειται για επιφάνεια (σχήμα.), η οποία έχει εξίσωση + + = 1 (.) b c όπου, b, c > 0 είναι σταθερέ, οι οποίε είναι τα μήκη των ημιαξόνων του ελλειψοειδού (.). (0,0,c) (-,0,0) (0,-b,0) Ο (0,b,0) (,0,0) (0,0,-c) Σχήμα. Αν δύο από τι παραπάνω σταθερέ είναι ίσε, τότε έχουμε ελλειψοειδέ εκ περιστροφή. Στην περίπτωση δε που = b = c, έχουμε σφαίρα με κέντρο το σημείο Ο(0,0,0) και ακτίνα ρ =, δηλαδή την + + =. (Θυμίζουμε ότι επιφάνεια εκ περιστροφή είναι η επιφάνεια που παράγεται από μια γραμμή C, η οποία περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία τον άξονα περιστροφή. Προφανώ κατά την κίνηση τη C κάθε σημείο τη γράφει μια περιφέρεια). Το ελλειψοειδέ έχει επίπεδα συμμετρία τα συντεταγμένα επίπεδα, του άξονε των συντεταγμένων άξονε συμμετρία και την αρχή Ο(0,0,0) κέντρο συμμετρία. Για να βρούμε πού τέμνει το ελλειψοειδέ τον Ο άξονα, θέτουμε στην (.) = 0 και = 0, οπότε παίρνουμε = 1. Επομένω (,0,0) και (,0,0) είναι τα ζητούμενα σημεία. Ανάλογα, τα σημεία τομή του ελλειψοειδού (.) με τον Ο άξονα είναι τα (0,b,0) και (0, b,0) και με τον Ο άξονα είναι τα (0, 0, c) και (0, 0, c). Το ίχνο του ελλειψοειδού πάνω στο Ο επίπεδο προκύπτει από την (.) για = 0,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 19 είναι δηλαδή η έλλειψη + = 1. b Γενικότερα, το ίχνο του (.) πάνω σ ένα επίπεδο = 0, δηλαδή παράλληλο στο Οεπίπεδο, είναι 0 Για c 0 0 + + = 1 ή + = 1- (.3) b c b c < 1 η εξίσωση (.3) παριστάνει την έλλειψη + = 1 ζ φ ζ 0 φ 0 1- b 1- η c χ c θ ψ θη ψχ Σε περίπτωση που = b, η (.3) γίνεται ζ c ηθ c 0 0 + = 1- ή + = 1 η - φ ψχ η οποία περιγράφει έναν κύκλο ακτίνα = 1-0 c, και τότε το ελλειψοειδέ είναι εκ περιστροφή γύρω από τον Ο άξονα. Ανάλογα μπορούμε να βρούμε τα ίχνη του ελλειψοειδού και πάνω σε επίπεδα παράλληλα στα O, O επίπεδα, θέτοντα στη (.) = 0 και = 0 αντίστοιχα. Παράδειγμα.1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια το ίχνο τη πάνω στο επίπεδο = 0. Λύση. Η επιφάνεια S μπορεί να πάρει τη μορφή S: 3 + 5 + 4 = και να βρεθεί + + = 1, η ζ φ ζ φ ζ φ η 3 χ η 5 χ θ ψ θ ψ θη ψχ οποία παριστάνει ένα ελλειψοειδέ με κέντρο συμμετρία το Ο(0,0,0) και μήκη ημιαξόνων =, b = και c =. Το ίχνο τη S στο επίπεδο = 0 είναι η 3 5 0 + + = 1 ή + = 1 ζ φ ζ φ ζ φ ζ φ ζ φ η 3 χ 5 χ χ 3 χ θ ψ θη ψ θη ψ θη ψ θη ψχ (έλλειψη)

0 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ γ) Ελλειπτικό παραβολοειδέ Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση = + ή = + ή = + (.4) b c b c όπου, b, c > 0 σταθερέ. 0 b 0 1, έλλειψη = 0 πάνω στο επίπεδο = 0 (0,0, 0 ) 0, παραβολή b b Ο (0, 0,0) πάνω στο επίπεδο = 0 Σχήμα.3 Η πρώτη επιφάνεια των (.4) (σχήμα.3) έχει επίπεδα συμμετρία τα Ο, Ο επίπεδα, ο Ο άξονα είναι άξονα συμμετρία τη και δεν έχει κέντρο συμμετρία, το δε ίχνο τη στο επίπεδο = 0 > 0 είναι η έλλειψη = + ή + = 1 (.5) 0 b 0 b 0 Αν = b, τότε η (.5) παριστάνει κύκλο και η επιφάνεια είναι εκ περιστροφή, η οποία λέγεται κυκλικό παραβολοειδέ. Κυκλικά παραβολοειδή χρησιμοποιούνται για τι κεραίε ραδιοτηλεσκοπίων και κέντρων ελέγχου δορυφόρων από το έδαφο, καθώ και ω αναμεταδότε μικροκυμάτων. Το ίχνο τη επιφάνεια π.χ. στο επίπεδο = 0 (δηλαδή κάθετο στον Ο-άξονα) είναι η 0 παραβολή = + b. Ανάλογα, θέτοντα στην πρώτη των (.4) = 0, βρίσκουμε το ίχνο τη επιφάνεια πάνω σε επίπεδο κάθετο στον Ο άξονα (σχήμα.3), το οποίο είναι η παραβολή = + 0 Παράδειγμα.. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια b S: = + 3 και να βρεθούν τα ίχνη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 τη πάνω στα επίπεδα = και = 1. Λύση. Η επιφάνεια S προφανώ γράφεται ελλειπτικό παραβολοειδέ. = + ζ φχ 3 η ηθ 3 ψχ Το ίχνο τη S πάνω στο επίπεδο = είναι η παραβολή στο επίπεδο = 1 είναι η έλλειψη δ) Υπερβολικό παραβολοειδέ Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση + = 1 ζ 3 φ η ηθ 3 ψχ., η οποία παριστάνει ένα = + ζ φχ 3 η ηθ 3 χψ και πάνω = - ή = - ή = - ή... (.6) b c b c (συνολικά υπάρχουν 6 συνδυασμοί) όπου, b, c > 0 είναι σταθερέ. Μελετώντα την πρώτη των (.6) (σχήμα.4) προκύπτει ότι τα Ο, Ο επίπεδα είναι επίπεδα συμμετρία τη επιφάνεια και ο Ο άξονα είναι άξονα συμμετρία τη, ενώ δεν έχει κέντρο συμμετρία. υπερβολή 0 b 0 πάνω στο επίπεδο = 0 1 O, παραβολή πάνω στο επίπεδο =0, παραβολή b πάνω στο επίπεδο =0 Σχήμα.4

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Εδώ τα ίχνη τη επιφάνεια σε επίπεδα κάθετα στον Ο-άξονα είναι υπερβολέ, ενώ τα ίχνη τη πάνω σε επίπεδα κάθετα στου Ο, Ο άξονε είναι παραβολέ. Έτσι, το επίπεδο = 0 τέμνει την πρώτη των (.6) κατά μια υπερβολή που δίνεται από την εξίσωση = - ή - = 1 0 b 0 b 0 Το επίπεδο = 0 τέμνει την επιφάνεια κατά την παραβολή όταν 0 = 0, τότε = -. b Το επίπεδο = 0 τέμνει την επιφάνεια κατά την παραβολή όταν 0 = 0, τότε =. Ανάλογα ισχύουν και για τι υπόλοιπε επιφάνειε (.6). Παράδειγμα.3. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια ίχνη τη πάνω στα επίπεδα = 0 και =. Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται παραβολοειδέ. 0 = - b και προφανώ 0 = - b και προφανώ S: 4 - + = 0 και να βρεθούν τα = - και παριστάνει υπερβολικό ( ) Τα ίχνη που θέλουμε να βρούμε προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση και είναι: i) Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η παραβολή = - ii) Πάνω στο επίπεδο = είναι η υπερβολή ( ) ε) Ελλειπτικό κώνο Είναι η επιφάνεια που έχει εξίσωση όπου,b, c > 0 σταθερέ. - = 1 = + ή = + ή = + (.7) b b c c Για την πρώτη των (.7) (σχήμα.5) ισχύουν τα παρακάτω (ανάλογα ισχύουν και για τι υπόλοιπε των (.7)): Αν = b, τότε έχουμε κυκλικό κώνο, ο οποίο είναι επιφάνεια εκ περιστροφή.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 3 Ο ελλειπτικό κώνο έχει επίπεδα συμμετρία τα συντεταγμένα επίπεδα, άξονε συμμετρία του άξονε συντεταγμένων και κέντρο συμμετρία έχει την αρχή Ο(0,0,0). (0,0, 0 ) Ο (0,0,- 0 ) Σχήμα.5 Το ίχνο τη επιφάνεια πάνω στο επίπεδο = 0, για 0 > 0 ή 0 < 0 δίνεται από την έλλειψη 0= + ή + = 1 b b 0 0 Το ίχνο τη (.7) π.χ. πάνω στο Ο επίπεδο, δηλαδή στο = 0, δίνεται από την εξίσωση =, η οποία παριστάνει τι ευθείε, = = -. Ανάλογα για = 0 έχουμε τι ευθείε (.7) πάνω στο Ο επίπεδο. = και b = - b, που είναι το ίχνο τη Γενικότερα τώρα, αν στην πρώτη των (.7) θέσουμε = 0 ή = 0 (για 0, 0 0), τότε έχουμε τα ίχνη του ελλειπτικού κώνου πάνω στα επίπεδα αυτά (σχήμα.6), που είναι οι υπερβολέ αντίστοιχα ή b b 0 0 = + ή - = b b 0 0 = + ή - =

4 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ = 0 Ο (0, 0,0) Σχήμα.6 Παράδειγμα.4. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια ίχνη τη πάνω στα επίπεδα Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται κυκλικό κώνο. 1 =, =. Το ίχνο τη S πάνω στο επίπεδο = είναι η υπερβολή 1 επίπεδο = είναι ο κύκλο S: + - 4 = 0 και να βρεθούν τα 4 = + ή = +, που είναι ένα + = 1. - = και πάνω στο 1 στ) Μονόχωνο υπερβολοειδέ Η εξίσωση αυτού είναι η + - = 1 ή + - = 1 ή + - = 1 (.8) b c b c c b όπου, b, c > 0 σταθερέ. Οι επιφάνειε αυτέ παρουσιάζουν τι ίδιε συμμετρίε με εκείνε του ελλειψοειδού και δεν είναι φραγμένε.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5 (0,- 0,0) Ο (0, 0,0) Σχήμα.7 Όσον αφορά στην πρώτη των (.8) (σχήμα (.7)) (ανάλογα και για τι άλλε δύο), ισχύουν τα εξή : Αν = b, τότε έχουμε μονόχωνο υπερβολοειδέ εκ περιστροφή γύρω από τον Ο άξονα. 0 Το ίχνο τη επιφάνεια πάνω στο επίπεδο = 0, είναι η έλλειψη + = 1+, η b c οποία στην περίπτωση που έχουμε = b παριστάνει προφανώ κύκλο με ακτίνα 0 = 1+. c Για = 0, έχουμε την υπερβολή με υπερβολή 0 - = 1-. c b 0 - = 1-, ενώ για = 0 προκύπτει η b c Με άλλα λόγια τα ίχνη τη επιφάνεια πάνω στα επίπεδα = 0 και = 0 είναι οι παραπάνω υπερβολέ αντίστοιχα. Παράδειγμα.5. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια τα ίχνη τη πάνω στα επίπεδα = 0, = 1. Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται ( 3 ) ( 6 ) S: + - 6 = 6 και να βρεθούν + - = 1 και παριστάνει ένα

6 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ μονόχωνο υπερβολοειδέ. Τα ζητούμενα ίχνη τη S είναι τα εξή : Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή ( 3 ) - = 1 Πάνω στο επίπεδο = 1 είναι η έλλειψη ( 3 ) ( 6 ) + = ζ) Δίχωνο υπερβολοειδέ Η εξίσωσή του είναι + - = - 1 ή + - = - 1 ή + - = - 1 (.9) b c b c c b όπου, b, c > 0 σταθερέ. Όσον αφορά στην πρώτη των (.9) (σχήμα.8) ισχύουν τα παρακάτω (ανάλογα ισχύουν και για τι άλλε δύο): Είναι προφανέ ότι η επιφάνεια αυτή ορίζεται για ³ c και - c, τέμνει τον O άξονα στα σημεία = c και = c και παρουσιάζει τι ίδιε συμμετρίε με εκείνε του μονόχωνου υπερβολοειδού. Αν = b, τότε έχουμε δίχωνο υπερβολοειδέ εκ περιστροφή. Τα ίχνη τη επιφάνεια πάνω σε επίπεδα κάθετα στον Ο άξονα είναι ελλείψει και πάνω σε επίπεδα κάθετα στου Ο, Ο άξονε είναι υπερβολέ. (0,0, 0 ) 0 1 b c, έλλειψη πάνω στο επίπεδο = 0 1, υπερβολή c πάνω στο επίπεδο =0 Ο (0,0,c) (0,0,-c) (0,0,- 0 ) Σχήμα.8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7 Έτσι για παράδειγμα, αν θέσουμε 0 στο επίπεδο = 0 = 0 0 ( > c, < - c), τότε προκύπτει η έλλειψη 0 + =- 1+ ή + = 1 b c ζ φ ζ 0 φ 0-1+ b - 1+ η c χ c θ ψ θη ψχ Για = 0 από την πρώτη των (.9) παίρνουμε την υπερβολή (πάνω στο επίπεδο = 0 ) 0 - = 1+ και για = 0 προκύπτει η υπερβολή (πάνω στο επίπεδο = 0 ) c b 0 - = 1+ c b Παράδειγμα.6. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια βρεθούν τα ίχνη τη πάνω στα επίπεδα = 0, = 0 και = - 5. S: 4 + 9 - + 1= 0 και να Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται + - = - ζ 1 φ ζ 1φ η θ ψχ θη 3ψχ 1. Η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ένα δίχωνο υπερβολοειδέ. Τα ζητούμενα ίχνη τη S είναι τα εξή : Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή - = 1 ζ 1 φ η ηθ 3χψ Πάνω στο επίπεδο = 0 είναι η υπερβολή - = 1 ζ 1 φ η ηθ ψχ Πάνω στο επίπεδο = - 5 είναι η έλλειψη η) Παραβολικό κύλινδρο Η επιφάνεια αυτή έχει εξίσωση την + = 1 ζ φ η ηθ 3 ψχ = p ή = p ή = p ή... Έτσι π.χ. η = p (σχήμα.9) δημιουργείται από μια ευθεία (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο-άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντα την παραβολή του Ο επιπέδου = p (οδηγό καμπύλη)

8 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ =p Ο οδηγό καμπύλη =p, =0 Παράδειγμα.7. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η S γράφεται S: + 4 = 0. = - και κατά συνέπεια παριστάνει έναν παραβολικό κύλινδρο με γενέτειρα παράλληλη στον Ο-άξονα και οδηγό καμπύλη την παραβολή = -, = 0 θ) Ελλειπτικό κύλινδρο Η εξίσωσή του είναι για, b, c > 0 σταθερέ. κυλινδρική επιφάνεια 1 b Σχήμα.9 + = 1 ή + = 1 ή + = 1 b b c c Ο οδηγό καμπύλη 1, = 0 b Σχήμα.10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 9 Π.χ. η επιφάνεια + = 1 (σχήμα.10) δημιουργείται από μια ευθεία (γενέτειρα) b παράλληλη στον Ο άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντα την έλλειψη του Ο επιπέδου + = 1 (οδηγό καμπύλη). b Αν = b, τότε έχουμε κυκλικό κύλινδρο. Παράδειγμα.8. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η S γράφεται S: 4 + 9 = 3. + = 1 και επομένω παριστάνει έναν ελλειπτικό ζ 3 φ ζ 3 φ η χ θ ψ θη 3 ψχ κύλινδρο με γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καμπύλη την έλλειψη ι) Υπερβολικό κύλινδρο Έχει εξίσωση + = 1, = 0 ζ 3 φ ζ 3 φ η χ θ ψ θη 3 ψχ - = 1 ή - = 1 ή - = 1 ή... b b c c O (,0,0) (-,0,0) οδηγό καμπύλη 1 b Σχήμα.11

30 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Έτσι, π.χ. η επιφάνεια - = 1 (σχήμα.11) δημιουργείται από μια ευθεία b (γενέτειρα) που είναι παράλληλη στον Ο άξονα και κινείται παράλληλα στον άξονα αυτό συναντώντα την υπερβολή του Ο επιπέδου - = 1 (οδηγό καμπύλη) b Παράδειγμα.9. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια Λύση. Η επιφάνεια S γράφεται - = ζ 1 φ η ηθ 4 χψ 1 S: 16 - = 1. και παριστάνει υπερβολικό κύλινδρο που έχει γενέτειρα παράλληλη στον Ο-άξονα και οδηγό καμπύλη την υπερβολή - = 1, = 0. ζ 1 φ η ηθ 4 χψ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αναγνωριστεί η επιφάνεια 9 36 4 36 0. Λύση. + + - = ή + + =. Άρα είναι ελλειψοειδέ. 1 3 9 36 4 36 0 1. Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. 36 9 16 0 36 9 16 0. - - = ή = +. Επομένω είναι ελλειπτικό ζ 3 φχ η ηθ χψ παραβολοειδέ με άξονα συμμετρία τον O άξονα. 3. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 0. Λύση. - 3 + = 0 ή = - ζ φ ηθ 3ψχ παραβολοειδέ. ( ). Άρα είναι υπερβολικό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 31 4. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 5 0. Λύση. 3-5 + = 0 ή = - ζ 3φ 3 ηθ 5ψχ ( ). Άρα είναι υπερβολικό παραβολοειδέ. 5. Να αναγνωριστεί η επιφάνεια Λύση. 0. - - = 0 ή = +. Άρα είναι κωνική επιφάνεια με άξονα συμμετρία τον O άξονα και συγκεκριμένα κυκλικό κώνο. 6. Να αναγνωριστεί η επιφάνεια 4 16 0. Λύση. - 4 + 16 = 0 ή 4 = + 16 ή = + ζ 1 φχ ηθ χψ ελλειπτικό κώνο με άξονα συμμετρία τον O άξονα.. Επομένω είναι 7. Να αναγνωριστεί η επιφάνεια 4 8 0. Λύση. - 4 + - 8= 0 ή + - = 1. Άρα είναι μονόχωνο ( ) ( ) ( ) υπερβολοειδέ με άξονα συμμετρία τον O άξονα. 8. Να αναγνωριστεί η επιφάνεια 4 3 0. Λύση. - 4 - - 3= 0 ή + - = - ζ 3φ ζ 3φ ( 3) η θ χψ ηθ χψ υπερβολοειδέ με άξονα συμμετρία τον O άξονα. 1. Άρα είναι δίχωνο 9. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια. Λύση. Είναι παραβολικό κύλινδρο με γενέτειρα παράλληλη στον Ο άξονα και οδηγό καμπύλη την παραβολή, 0. 10. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4. Λύση. Είναι κυκλικό κύλινδρο με γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καμπύλη τον κύκλο 4, 0. 11. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 8 1.

3 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Λύση. 8 + = 1ή + = 1. Επομένω είναι ελλειπτικό κύλινδρο με γενέτειρα ζ 1 φ η ηθ χψ παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καμπύλη την έλλειψη 1, = 0. 1 1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4 5 100. Λύση. 4-5 = 100 ή - = 1. Άρα είναι υπερβολικό κύλινδρο με γενέτειρα 5 παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καμπύλη την υπερβολή 1, 0. 5 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια επίπεδο =. (Απ. Ελλειψοειδέ,. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 3 5 και να βρεθεί το ίχνο τη πάνω στο 1 1 3 επίπεδα = και = 1. (Απ. Κυκλικό παραβολοειδέ, 3. Να αναγνωρισθεί ή επιφάνεια 1 ). 0 και να βρεθούν τα ίχνη τη πάνω στα 5 0 επίπεδο = 0. (Απ. Ελλειπτικό παραβολοειδέ, 4. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4, 1). και να βρεθεί το ίχνο τη πάνω στο ). 36 9 4 0 και να βρεθούν τα ίχνη τη πάνω στα 1 επίπεδα = 0 και = 1. (Απ. Υπερβολικό παραβολοειδέ,, ). 3 4 9 5. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια επίπεδα = 1 και = 3. (Απ. Ελλειπτικό κώνο, 3 0 3 και να βρεθούν τα ίχνη τη πάνω στα 1, 7 7 1).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 33 6. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 8 8 επίπεδο = 0. (Απ. Μονόχωνο υπερβολοειδέ, 7. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια και να βρεθεί το ίχνο τη πάνω στο 1). 9 9 επίπεδα = 0, = 0. (Απ. Μονόχωνο υπερβολοειδέ, 8. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 9 4 επίπεδα = 0, = 3. (Απ. Δίχωνο υπερβολοειδέ, 9. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια και να βρεθούν τα ίχνη τη πάνω στα 3 1, 3 3 1 ). 1 και να βρεθούν τα ίχνη τη πάνω στα 4 8 0 = 0, = 1. (Απ. Δίχωνο υπερβολοειδέ, 10. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καμπύλη την 11. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 1, ). 9 4 και να βρεθούν τα ίχνη τη στα επίπεδα 1, 3 1 ). 3 6 0. (Απ. Παραβολικό κύλινδρο με γενέτειρα 4 16 0 γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καμπύλη την 6 0, 0 ).. (Απ. Ελλειπτικό κύλινδρο με 4 16, 0 ). 1. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4 100 0. (Απ. Υπερβολικό κύλινδρο με γενέτειρα παράλληλη στον 0 άξονα και οδηγό καμπύλη την 4 100 0, 0 ). 13. Να αναγνωριστεί η επιφάνεια συμμετρία τον O άξονα). 5. (Απ. Ελλειπτικό παραβολοειδέ με άξονα 14. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4 0. (Απ. Παραβολικό κύλινδρο με γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καμπύλη την παραβολή 15. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια 4, = 0). 1. (Απ. Υπερβολικό κύλινδρο με γενέτειρα παράλληλη στον O άξονα και οδηγό καμπύλη την υπερβολή 1, 0 ).