ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 4 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f() = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 8 A. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ ; Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Α (ολικό) μέγιστο, το f( ) ; Μονάδες 3 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε z ισχύει z z = Im(z) (μονάδες ) β) Αν lim f ( ) =+ ή, τότε lim = f ( ) (μονάδες ) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. (μονάδες ) δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α, β, γ Δ, τότε ισχύει β γ β f()d = f()d + f()d α α γ (μονάδες ) ε) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. (μονάδες ) Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση z + (z+ z)i 4 i=, z B. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 9 B. Αν z=+i και z=-i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι ίσος με 3i 39 z = w 3 z Μονάδες 8 B3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει u+ w = 4z z i όπου w, z, z οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. Μονάδες 8

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση h( ) = n( + ), R Γ. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 5 Γ. Να λύσετε την ανίσωση h( h ()) < +, Μονάδες 7 Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο +, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτή της στο. φ() h(), Γ4. Δίνεται η συνάρτηση = ( +n) Μονάδες 6 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ(), τον άξονα ' και την ευθεία = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f( ), αν =, αν = Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο = και, στη συνέχεια, ότι είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 7 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () f(u) du = έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η = (μονάδες 7) ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t = από ένα σημείο ( ) A, f( ) με < και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(), με = (t), y = y(t), t. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης (t) του σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί ότι '(t) > για κάθε t. (μονάδες 4) Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) g() = f() +,, + Μονάδες Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 73 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α4. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z = + yi B. z + (z + z)i - 4 - i = B. B3.,yIR : ( + y ) + i - 4 - i = + y + i - - i = + y + i - - i = ( + y - ) + ( - )i = + y - = + y - = y = - = = = y = άρα = z = ± i 39 39 39 39 z + i ( + i) i w = 3 = 3 = 3 = 3 z - i ( - i)( + i) 9 39 4 3 = 3 i = 3 i i = 3 (-i) = u + w = 4z - z - i u - 3i = 4 + 4i - + i - i u - 3i = 3 + 4 u - 3i = 4( + i) - ( - i) - i - 3i u - 3i = 5 Επομένως ο ζητούμενος γ.τ. είναι u - 3i = 3 + 4i ο κύκλος C με κέντρο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = 5

ΘΕΜΑ Γ Γ. h () = - n( + ) h () = - ( + ) = - = + + + h () = - ( + ) = - <, για κάθε IR ( + ) ( + ) άρα η h είναι κοίλη στο IR. ος Γ. τρόπος n n + + h(h ()) h(h ()) < < h(h ()) < - n( + ) h(h ()) < h () h ()> h h () < h ()) < h () < h () h ος τρόπος Θεωρώ τη συνάρτηση q, με q () = h(h ()) h(h ()) Είναι q () = h (h ()) h () <, h(h ()) διότι >, h (h ())> και h () < Άρα q + ος 3 τρόπος γνησίως φθίνουσα στο IR h(h ()) < q () < q () q h () h(h ()) < < h () h κοίλη > + + + Θεωρώ τη συνάρτηση s, με s () = + Είναι s () = >, άρα s γν. αύξουσα στο IR ( + ) > s h(h ()) < s (h ()) < s () h () < + + < < + > > >

Γ3. im - n( + ) = im n - n( + ) + + = im n + + θέτω u = με im = im + + + DL'H + = άρα im f () = im nu = n =, επομένως + u η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την y = ( ) f im = im = im - - - - f () - n( + ) n( + n( + ) Eίναι im = im =, αφού im = - DL'H - - + f () άρα im = = λ - im im n f () - λ = - ( + ) - - - άρα ) = im - ( + ) = = β, αφού = - n im - η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο - την y = f Γ4. Αναζητώ τις ρίζες της φ. φ () = (h () + n) = h () + n = h h () = -n h () = h () = h "-" Αναζητώ τo το πρόσημο της φ στο [, ] h h () h () h () -n h () h () + n (h () + n) φ ()

Υπολογισμός εμβαδού ος τρόπος E = φ () d = (h () + ) d = (h () + ) d = (h () + n) - (h () + n) d = (h () + n - - h () d = [ - n( + ) + n] - d = - n( + ) + n - n( + ) n n + = - n( + ) + n - n( + ) + n = + ( + ) n - ( + ) n( + ) = + ( + )[ n - n( + )] = + ( + ) n τ.μ. + ος τρόπος n E = φ () d = (h () + n) d = h () d + n d = h () d + = h () - h () d + n ( - ) + = h () - h () - d + n ( - ) = [ - n( + )] + n - n( + ) + n ( - ) = - n( + ) + n - n( + ) + n + n - n = - n( + ) + n - n( + ) + n = + ( + ) n - ( + ) n( + ) = + ( + )[ n - n( + )] = + ( + ) n τ.μ. +

ος 3 τρόπος E = φ () d = (h () + n) d = ( - n( + ) + n) d I = n n I I I = d - ( + ) d + d 3 ( ) d = - () d = - - d = - = - ( - ) = - + = Θέτω + = u I = n( + ) d d = du + = nu du = u =, + = (u) nu du + + = unu - u ( nu) du + = ( + ) n( + ) - n - du = ( + ) n( + ) - n - u + = ( + ) n( + ) - n - + I 3 = d = = - E = I - I + ni = 3 = u = + - ( + ) n( + ) + n + - + n ( - ) = - n( + ) + n - n( + ) + n + n - n = + ( + )[ n - n( + )] = + ( + ) n τ.μ. +

ΘΕΜΑ Δ Δ. - im f () = im = im = = f () DL'H άρα f συνεχής στο = - ( - ) - + Για : f () = = Θεωρώ συνάρτηση r, με r () = - + Είναι r () =, IR - + r () - + r () r < r () > r () r () > f () > r > r () > r () r () > f () > Eίναι f () > στα (-, ), (, + ) και επειδή f συνεχής στο = η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. - Δ. im f () = im = im ( - ) im = (-) = - - - - + + - im f () = im = im = im = + + + DL'H + + Είναι f γνησίως αύξουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το (, + ) άρα f () > για κάθε ΙR. - - f () - f () - - Επίσης im = im = im = - DL'H - = im = im = = f () DL'H

Δ. α) ος τρόπος Πρόταση : Έστω η συνάρτηση Q, με Q () >. αν α < β, τότε Q () d > - β α β α αν α > β, τότε Q () d > Q () d < β αν α = β, τότε Q () d = Q () d = im f () = α - + + - im f () = im = im = im = + + + DL'H + + Στο ολοκλήρωμα im = im ( - ) im = (-) = - - - f () και επειδή f () > στο IR α α β α f (t) dt τα άκρα είναι θετικοί αριθμοί σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση που αποδείξαμε f () = f () = f () = f () f κυρτή f, f - = ος τρόπος Η f είναι συνεχής στο IR. Έστω F μια αρχική της f. Είναι F () = f () >, άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο IR f () f () f (t) dt = F () = F (f ()) = F () και επειδή η F είναι - ως γνησίως αύξουσα f () = f () = f () = f () 3 ος τρόπος f () f κυρτή f, f - Έστω συνάρτηση F, με F () = f (t) dt, IR = Eίναι F () = f () >, άρα F γνησίως αύξουσα στο IR άρα η F έχει προφανή και μοναδική ρίζα το. f (t) dt = F (f ()) = f κυρτή f ( ) = f () = f () = f () = f, f -

4 ος τρόπος f () Έστω συνάρτηση F, με φ () = f (t) dt, IR* Η φ είναι παραγωγίσιμη στο IR*, ως σύνθεση των παραγωγίσιμων f () = f () και f () = με φ () = f (f ()) f (), IR* f (t) dt Eίναι f () >, άρα το πρόσημο της φ το καθορίζει η f f () = = 4 - + - ( - + ) - + - ( - + ) - = =, IR* 3 3 Θεωρώ συνάρτηση Q, με Q () = ( - + ) -, IR Eίναι Q () = ( - ) + ( - + ) = - + Q () + + Q () Η Q είναι γνησίως αύξουσα στο IR Q () > Q () > Q () > - + Q () - + 3 - + f () + + φ () + + φ () Η φ είναι γνησίως αύξουσα στα (-, ) και (, +) και επειδή είναι συνεχής στο =, άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο IR. f () φ f (t) dt = φ () = φ () = φ -

Δ. β) Είναι f ( (t)) = y (t), t Άρα f ( (t)) (t) = y (t) και για t = t f ( (t )) (t ) = y (t ) f ( (t )) y (t ) = y (t ) f ( (t )) = f ( (t )) = f κυρτή f f - (t ) = y (t ) (t ) > y (t ) > f ( (t )) = f ( ) (t ) = και y (t ) = f ( (t )) = f () =, άρα το ζητούμενο σημείο είναι το Μ (, ) Δ3. Για > έχουμε : g () = [ f () + - ] ( - ) - = + - ( - ) = - + - ( - ) = - ( - ) g () = - ( - ) + - ( - ) = - ( - ) ( - ) + - = - ( - ) - -

η λύση Θεωρούμε συνάρτηση h, με h () =. - -, > Θα αποδείξουμε ότι η h έχει μια μόνο ρίζα ος τρόπος h συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών h () = - < h () = - = ( - ) > από Θ.Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε h ( ) =. ος τρόπος g συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g παραγωγίσιμη στο (, ) g () = g () = από Θ.Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε g ( ) = και επειδή - και -, θα είναι h ( ) =. Είναι h () =. >, για κάθε >, άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, +), επομένως το είναι μοναδικό. g () = - = ή - = ή h () = = ή = ή = - > > > h h () > h () > h ( ) > + - - + + + - - - - + h () - - + + g () - + - + g () τ.ελ. τ.μεγ. τ.ελ. Επομένως η g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο μόνο στα = και =, ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο μόνο στο.

η λύση Είναι g (), άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το. g () = ( - ). ( - ) = - = ή - = = ή = = ή =, επομένως η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο μόνο για = και =. Η g είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών, άρα από Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε η g να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο. Από Θ. Frmat θα είναι g ( ) = και επειδή - και -, θα είναι. - - =. Θεωρούμε συνάρτηση h, με h () =. - -, > Είναι h () =. >, για κάθε >, άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, +), επομένως το είναι μοναδικό. + g () τ.ελ. τ.μεγ. τ.ελ. Επομένως η g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο μόνο στα = και =, ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο μόνο στο.