7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από την ευθεία ε Αν M ( x, y) είναι η προβολή του M πάνω στην ε, τότε θα ισχύει d( M, ε) M M () r n ( A, B) Ax + By + Γ Μ (x,y ) Μ (x,y ) Ο x Όμως το διάνυσμα M M ( x x, y y ) r είναι παράλληλο προς το n ( A, B), αφού και τα δύο είναι κάθετα στην ευθεία ε Άρα, θα υπάρχει λ R, τέτοιο, ώστε r M M λn () οπότε, λόγω της (), θα ισχύει d ( M r r, ε) λn λ n λ Επιπλέον, λόγω της (), έχουμε x x, y y ) λ( A, ), οπότε Όμως το ( B () x x + λa και y y + λb (4) M ( x, y) ανήκει στην ε Άρα, θα ισχύει Επομένως, λόγω της (), θα έχουμε d( M (4) Ax + By + Γ A( x + λa) + B( y + λb) + Γ ( ) λ + ( Ax + By + Γ ) Ax + By + Γ λ Ax + By + Γ, ε) A + B Ax + By + Γ και
7 Αποδείξαμε δηλαδή ότι: d( M Ax + By + Γ, ε) Για παράδειγμα, η απόσταση του σημείου M (,) από την ευθεία ε : 4x + y + 8 είναι ίση με Υπολογισμός Εμβαδού 4( ) + + 8 d ( M, ε) 4 5 + Έστω A ( x, y), B ( x, y ) και Γ ( x, y ) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Αν ΓΔ είναι το ύψος του ΑΒΓ από την κορυφή Γ, τότε θα ισχύει ( AB Γ ) ( AB) ( ΓΔ) () Το (ΑΒ) είναι η απόσταση των σημείων και B x, y ) Επομένως, ( A x, y ) ( Γ(x,y ) A(x,y ) Δ B(x,y ) x ) + ( y ) ( AB) ( x y () Το (ΓΔ) είναι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ Για να την υπολογίσουμε, θα βρούμε πρώτα την εξίσωση της ΑΒ Η ΑΒ, αν δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα y y, θα έχει συντελεστή διεύθυνσης y y λ, οπότε θα έχει εξίσωση x x y y AB: y y ( x x ), x x η οποία γράφεται ισοδύναμα ΑΒ: x x )( y y ) ( y y )( x x ) () (
7 Αν, όμως, η ΑΒ είναι παράλληλη προς τον άξονα y y, τότε θα έχει εξίσωση x x, η οποία παίρνει και αυτή τη μορφή () Η εξίσωση (), μετά την εκτέλεση των πράξεων, γράφεται ΑΒ: y y ) x + ( x x ) y + ( x y x y ) (4) ( Επομένως, η απόσταση (ΓΔ) του Γ από την ευθεία ΑΒ είναι ίση με Άρα, (4) ( ΓΔ ) ( x ( y x )( y y ) x ( y + ( x y y ) ( y x ) y ) + ( x + ( x y y )( x x ) () ( x x ) + ( y y) x ) x x x y y x x y y ( ΓΔ ) (5) ( x x ) + ( y y ) Έτσι, η ισότητα (), λόγω του () και (5), γράφεται x x y y ( ABΓ ) (6) x x y y y ) Όμως, η η γραμμή της ορίζουσας είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB και η η γραμμή οι συντεταγμένες του διανύσματος ) Γ A Επομένως, η ορίζουσα αυτή είναι ίση με την ορίζουσα det( AB, AΓ των διανυσμάτων AB και A Γ Έτσι, η σχέση (6) γράφεται ( AB Γ ) det( Γ AB, A ) Για παράδειγμα, αν A (,), B(,) και Γ (, 8) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε AB (, ) και AΓ (, 9), οπότε το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ( AB Γ ) det( AB, AΓ ) 6 9
74 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ε : y λx + β και ε : y λx + β δίνεται από τον τύπο β β d( ε, ε ) + λ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η απόσταση των και είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ε από την ευθεία Για ε ε ε x, από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι β ανήκει στην, οπότε έχουμε ε d ( ε,ε ) d( A,ε ) λ β + β λ + β β + λ y Άρα, το σημείο Α, β ) (, αφού ε λx y + β : Θεωρούμε τα σημεία Α(-,), Β(-,) και Γ(-4,) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει: (ΜΒΓ)(ΑΒΓ) ΛΥΣΗ Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με ( AB Γ ) det( AB, AΓ ), ενώ του (ΜΒΓ) είναι ίσο με ( MBΓ ) det( BΓ, BM ) x+ y+ x+ y Γ Α Β Μ y Ο x Επομένως, το M ( x, y) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν ισχύει x + y+ x+ y+ ή x + y+ y x ή y x 4 Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από τις ευθείες y x και y x 4, οι οποίες είναι παράλληλες προς τη ΒΓ
75 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α (,) από την ευθεία (i) x + y+ (ii) y x (iii) x + y (iv) 5 x + y + Δίνονται οι ευθείες ε :5x 8y 5 και ε : 5x 8y + 68 (i) Να δείξετε ότι ε //ε (ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις ε και ε (iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των ε και ε Δίνονται οι ευθείες ε : 4x y 9 και ε : 4x y 4 (i) Να δείξετε ότι ε //ε (ii) Να βρείτε ένα σημείο της ε και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των ε και ε 4 Ποιο σημείο της ευθείας x y ισαπέχει από τα σημεία Α (, ) και Β (7,9) ; 5 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5 μονάδες 6 Η ευθεία ε : x y + είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών ε και ε, που απέχουν 8 μονάδες Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών 7 Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές: (i) Α (,), Β (6,), Γ (4,) (ii) Α(,4), Β (, 6), Γ (5,4) (iii) Α (,), Β (,4), Γ ( 5, 4) 8 Δίνονται τα σημεία Α (5,) και Β (, ) Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα x x, για το οποίο το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι ίσο με 7 9 Δίνονται τα σημεία Α (,4) και Β ( 5, ) Να βρείτε το σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ΜΑ ΜΒ και ( ΜΑΒ )
76 Ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ οι τρεις κορυφές του έχουν συντεταγμένες (, ), (,) και ( 4, 5) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχει από τα σημεία Α (,) και Β (,) Να βρείτε το σημείο του άξονα x x, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία 5 x+ y 6 Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Μ (, ) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε 4 4 Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο και απέχουν από το σημείο Α (,) απόσταση ίση με 5 Να βρείτε τα σημεία της ευθείας x y +, τα οποία απέχουν από την ευθεία x 5 y+ 6 απόσταση ίση με 6 Να δείξετε ότι τα σημεία Α ( α, β), Β ( γ, δ) και Γ ( α γ, β δ) είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν αδ βγ 7 Δίνονται τα σημεία Α (α,) και Β (, β) Αν η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει τους άξονες στα σημεία P ( p,) και Q (, q), να δείξετε ότι: (i) αq+ βp pq (ii) α p+ βq Στη συνέχεια να εκφράσετε τα p και q συναρτήσει των α και β 8 Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες x 4y+ και 5 x+ y+ 4 9 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 7 x y+ και x y+ 5 και απέχει από το σημείο Α (,) απόσταση ίση με 5 Δίνονται τα σημεία Α (, ) και Β (, ) Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ( ΜΑΒ ) 8
77 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M (, ) και τέμνει τις ευθείες y x+ και y x στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι, ώστε ( ΑΒ ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λx+ ( λ ) y λ και ( λ + ) x+ λy λ+ τέμνονται για όλες τις τιμές του λ R Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους; Αν οι τρεις ευθείες ακ x + βκ y, με κ,,, διέρχονται από το ίδιο σημείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία α, β ), κ,,, είναι συγγραμμικά ( κ κ 4 Να βρείτε την ευθεία η οποία συνδέει το σημείο Α ( α, β) με το σημείο τομής των ευθειών x y x y + και + α β β α 5 x y x y Αν οι ευθείες + και + είναι παράλληλες με Α > α και β >, να δείξετε ότι α β Α Β η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι β( Α α) α + β 6 Να δείξετε ότι: (i) Η εξίσωση x 4xy + y παριστάνει δύο ευθείες (ii) Καθεμιά σχηματίζει με την x y γωνία 7 Να βρείτε συνθήκη, ώστε: (i) Η ευθεία αx + βy + γ να ορίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο (ii) Ο άξονας x x να διχοτομεί τη γωνία των ευθειών με εξισώσεις ε α x+ β y και ε : α x+ β y : 8 Να βρείτε συνθήκη μεταξύ των α, β, γ, έτσι ώστε η ευθεία αx + βy + γ (i) Να τέμνει το θετικό ημιάξονα Ο x και τον αρνητικό Ο y (ii) Να μην έχει κανένα σημείο της στο (Ι) τεταρτημόριο
78 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Σε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς να κυκλώσετε το Α, αν είναι αληθής, και το Ψ, αν είναι ψευδής: Η ευθεία y x+ 5σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x x Α Ψ Οι ευθείες x 5 και y είναι κάθετες Α Ψ Η εξίσωση ( α +) x+ ( α ) y+, a R παριστάνει πάντοτε ευθεία Α Ψ Η ευθεία x+ 4 y δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων Α Ψ Η εξίσωση y λ( x ), λ R παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λ όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(, ) Α Ψ Να αντιστοιχίσετε κάθε σημείο της πρώτης στήλης στην ευθεία της δεύτερης στήλης στην οποία ανήκει: Σημείο Α(,) Β(,) Γ(,) Δ(,) Ε(,) Ζ(,8) Ευθεία y x x - y x - 5y -8 Να κυκλώσετε τη σωστή κάθε φορά απάντηση: Οι ευθείες x y 4 και x y + τέμνονται στο σημείο: Ο(,) Α(,) Β(,) Γ(,) Δ(,) Αν η ευθεία Ax+ By+ Γ έχει συντελεστή διεύθυνσης, τότε συμπεραίνουμε ότι: Γ A B A Μια ευθεία κάθετη στην ευθεία ε : y x είναι η : yx+5 y, y, x + y 8, y x, x 4 Δίνεται η ευθεία ε : y x+ 8 Να γράψετε : Δύο ευθείες παράλληλες στην ε Δύο ευθείες κάθετες στην ε Την ευθεία την παράλληλη στην ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Την ευθεία την κάθετη στην ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 5 Να κυκλώσετε την ευθεία που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων: ε : x y ε : x y 6 ε : x y 9 ε : x y + 6 4 6 Οι ευθείες x+ y+ και x y+, είναι:
Α Παράλληλες Β Κάθετες Γ Συμμετρικές ως προς τον άξονα x x Δ Συμμετρικές ως προς τον άξονα y y 79