Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 KELLER

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE DEPARTMENT: BUSINESS ADMINISTRATION (PATRAS) Address: M. Alexandrou 1, 263 34 PATRA Greece Tel.:+2610 369213,Fax:+2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής Ι. Μητρόπουλο ς Professo r J. Mitropoulos Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 KELLER Επιμέλεια: ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ Ι. ΒΑΣΙΟΥ Γ. Ημερομηνία: ΜΑΪΟΣ 2016 1

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Κατανομή Poisson Στη τυχαία μεταβλητή Poisson αυτό που είναι δεδομένο είναι ο χρόνος ή ο χώρος των συμβάντων. Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών Poisson είναι τα παρακάτω : Το πλήθος των αυτοκινήτων που καταφθάνουν σε ένα σταθμό σε μια ώρα (δεδομένος χρόνος). Το πλήθος των ελαττωμάτων σε ένα τόπι υφάσματος (δεδομένος χώρος). Το πλήθος των τροχαίων ατυχημάτων σε ένα χιλιόμετρο αυτοκινητοδρόμου σε μια ημέρα (δεδομένος χρόνος και χώρος). Ένα πείραμα τύχης Poisson έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά : Ο αριθμός των επιτυχιών που μπορούν να συμβούν σε ένα διάστημα είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των επιτυχιών σε οποιοδήποτε άλλο διάστημα. Η πιθανότητα επιτυχίας είναι ίδια για κάθε διάστημα ίσου μήκους. Η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. Αν το μήκος του διαστήματος μειώνεται, η πιθανότητα περισσότερων από μία επιτυχίες πλησιάζει στο μηδέν. Μια τυχαία μεταβλητή Poisson έχει ως τιμή το πλήθος των επιτυχιών σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα ή σε συγκεκριμένο χώρο σε ένα πείραμα Poisson. Η πιθανότητα που έχει μια μεταβλητή Poisson να πάρει την τιμή x είναι : e x x) x! για κάθε x=0,1,..., όπου μ είναι ο αριθμητικός μέσος των επιτυχιών στο χρονικό διάστημα και στον τόπο του πειράματος και e είναι η βάση των φυσι- κών λογαριθμών (ένας σταθερός αριθμός που ισούται κατά προσέγγιση με 2,71828...). Παρατηρήσεις 1. Σε κάθε κατανομή Poisson η διασπορά ισούται με τον αριθμητικό μέσο, δη- 2 λαδή. 2. Για την εφαρμογή του τύπου της πιθανότητας ισχύει ότι : 2

x! x ( x 1) ( x 2)... 21 0!=1 και 1!=1 3. Η πιθανότητα της μορφής X x) ονομάζεται αθροιστική πιθανότητα. 4. Υπάρχουν πίνακες που δίνουν έτοιμες τις αθροιστικές πιθανότητες Poisson για διάφορες τιμές του μ, διευκολύνοντας σε μεγάλο βαθμό τους υπολογισμούς. (Οι πίνακες αυτοί φαίνονται στο τέλος της ενότητας) Ιδιότητες πιθανοτήτων Poisson Πιθανότητα Poisson X x) P ( X x) 1 X [ x 1]), όπου [x-1] είναι το ακέραιο μέρος της αμέσως μικρότερης τιμής. Πιθανότητα Poisson X x) P ( X x) X x) X [ x 1]), όπου [x-1] είναι το ακέραιο μέρος της αμέσως μικρότερης τιμής. P ( X 0) X 0) Ασκήσεις 1. Το πλήθος των ατυχημάτων σε μια πολυσύχναστη διασταύρωση είναι μια τυχαία μεταβλητή Poisson με μέσο μ=3,5 ατυχήματα ανά εβδομάδα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των εξής ενδεχομένων : α) Να μη συμβεί κανένα ατύχημα στη διάρκεια μιας εβδομάδας. β) Να συμβούν 5 ή περισσότερα ατυχήματα σε μια εβδομάδα. γ) Να συμβεί ένα ατύχημα σήμερα. Λύση α) Εφαρμόζουμε τον τύπο e x) x x! για x=0. 3,5 0 3,5 e 3,5 (2,71828) 1 P (0) 0,0302 3,02 % 0! 1 3

Το αποτέλεσμα προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson από την πιθανότητα P ( x 0) (αφού ισχύει P ( 0) x 0) ) για κ=0 και μ=3,5. β) Σύμφωνα με τη πρώτη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson που είδαμε παραπάνω ισχύει : P ( x 5) 1 x 4) 1 0,7254 0,2746 27, 46% Το αποτέλεσμα της πιθανότητας P ( x 4) προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για κ=4 και μ=3,5. γ) Όπως αναφέρεται παραπάνω, σε ένα πείραμα Poisson η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. Μία εβδομάδα έχει 7 ημέρες. Για την εβδομάδα έχουμε μ=3,5 οπότε για την μία ημέρα θα είναι 3,5 7 0, 5. Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα P ( x 1) η οποία σύμφωνα με τη δεύτερη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson είναι : x 1) x 1) x 0) 0,9098 0,6065 0,3033 3,033% Οι πιθανότητες P ( x 1) και P ( x 0) προκύπτουν από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για κ=1, μ=0,5 και κ=0, μ=0,5 αντίστοιχα. 2. Οι επισκέψεις σε μια ιστοσελίδα είναι αρκετά σπάνιες και συμβαίνουν τυχαία και ανεξάρτητα με μέση συχνότητα 4 ανά εβδομάδα. α) Ποια είναι η πιθανότητα να δεχτεί η ιστοσελίδα 10 ή περισσότερες επισκέψεις στη διάρκεια μιας εβδομάδας; β) Ποια είναι η πιθανότητα να δεχτεί η ιστοσελίδα 20 ή περισσότερες επισκέψεις στη διάρκεια δύο εβδομάδων; Λύση Στη συγκεκριμένη άσκηση μας δίνεται το πλήθος των επισκέψεων στην ιστοσελίδα σε μια εβδομάδα (δεδομένος χρόνος) άρα έχουμε μια τυχαία μεταβλητή Poisson με μ=4. 4

α) Σύμφωνα με τη πρώτη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson που είδαμε παραπάνω ισχύει : P ( x 10) 1 x 9) 1 0,9919 0,0081 0, 81% Η πιθανότητα P ( x 9) προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για μ=4 και κ =9. β) Όπως αναφέρεται παραπάνω, σε ένα πείραμα Poisson η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. Αφού, λοιπόν, μ=4 για το διάστημα μιας εβδομάδας, για τις δύο εβδομάδες θα είναι 2 4 8. Σύμφωνα με τη πρώτη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson που είδαμε παραπάνω ισχύει : P ( x 20) 1 x 19) 1 0,9997 0,003 0, 3% Η πιθανότητα P ( x 19) προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για μ=8 και κ =19. 3. Οι ληστείες των τραπεζών που συμβαίνουν σε μια Αμερικανική μεγαλούπολη αποτελούν μια τυχαία μεταβλητή Poisson με μέσο 2,5 ληστείες ανά ημέρα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των εξής ενδεχομένων : α) Να συμβούν τρεις ή περισσότερες ληστείες την ίδια ημέρα. β) Να συμβούν από 10 μέχρι και 15 ληστείες στη διάρκεια τεσσάρων ημερών. Λύση α) Σύμφωνα με τη πρώτη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson που είδαμε παραπάνω ισχύει : P ( x 3) 1 x 2) 1 0,5438 0,4562 45, 62% Η πιθανότητα P ( x 2) προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για μ=2,5 και κ=2. β) Όπως αναφέρεται παραπάνω, σε ένα πείραμα Poisson η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. Αφού, λοιπόν, μ=2,5 για μία ημέρα, για διάστημα τεσσάρων ημερών θα είναι 4 2,5 10 Μια από τις γενικές ιδιότητες των πιθανοτήτων είναι : 5

P ( x ) x ) x ) Σύμφωνα με αυτή την ιδιότητα ισχύει : 10 x 15) x 15) x 10) 0,9513 0,5830 0,3683 36,83% Οι πιθανότητες P ( x 15) και P ( x 10) προκύπτουν από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για κ=15, μ=10 και κ=10, μ=10 αντίστοιχα. 4. Τα αυτοκίνητα που φτάνουν σε ένα πρατήριο καυσίμων ακολουθούν μια κατανομή Poisson με μέση συχνότητα 5 αυτοκίνητα ανά ώρα. α) Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσει την επόμενη ώρα μόνο ένα αυτοκίνητο; β) Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσουν περισσότερα από 20 αυτοκίνητα στις επόμε- νες 3 ώρες; Λύση α) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η P (1) η οποία, σύμφωνα με τη δεύτερη ιδιότητα των πιθανοτήτων είναι ίση με : x 1) x 1) x 0) 0,0404 0,0067 0,0337 3,37 % Οι πιθανότητες P ( x 1) και P ( x 0) προκύπτουν από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για κ=1, μ=5 και κ=0, μ=5 αντίστοιχα. β) Όπως αναφέρεται παραπάνω, σε ένα πείραμα Poisson η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. Αφού, λοιπόν, μ=5 για μία ώρα, για διάστημα τριών ωρών θα είναι 35 15. Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η P ( x 20) η οποία, σύμφωνα με τις γενικές ιδιό- τητες των πιθανοτήτων, είναι ίση με : x 20) 1 x 20) 1 0,9170 0,083 8,3 % Η πιθανότητα P ( x 20) προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για κ=20 και μ=15. 6

(Ένας άλλος τρόπος να βρούμε την πιθανότητα P ( x 20) είναι να σκεφτούμε ως εξής : Όταν θέλουμε περισσότερα από 20 αυτοκίνητα, εννοούμε από 21 και πάνω, αφού η Poisson είναι διακριτή. Άρα, ισχύει x 20) x 21) και σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson έχουμε P ( x 21) 1 x 20) ) 5. Ο αριθμός των χρηστών μιας αυτόματης ταμειακής μηχανής σε μια τράπεζα είναι μια κατανομή Poisson με μέσο 1,5 χρήστες ανά 5 λεπτά. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των εξής ενδεχομένων : α) Κανένας χρήστης στα επόμενα 5 λεπτά. β) Πέντε ή λιγότεροι χρήστες στα επόμενα 15 λεπτά. γ) Τρεις ή περισσότεροι χρήστες στα επόμενα 10 λεπτά. Λύση α) Ζητάμε την πιθανότητα P ( x 0) η οποία σύμφωνα με τη τρίτη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson είναι : P ( x 0) x 0) 0,2231 22,31% Η πιθανότητα P ( x 0) προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για μ=1,5 και κ=0. β) Όπως αναφέρεται παραπάνω, σε ένα πείραμα Poisson η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. Ο μέσος για τα 5 λεπτά είναι 1,5, άρα ο μέσος για τα 5 3 15 λεπτά θα είναι 1,5 3 4,5. Η πιθανότητα που ζητάμε είναι : P ( x 5) 0,7029 70, 29% της οποίας η τιμή προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για κ=5 και μ=4,5. γ) Όπως αναφέρεται παραπάνω, σε ένα πείραμα Poisson η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. Ο μέσος για τα 5 λεπτά είναι 1,5, άρα ο μέσος για τα 5 2 10 λεπτά θα είναι 7

1,5 2 3. Η πιθανότητα που ζητάμε, σύμφωνα με τη πρώτη ιδιότητα των πιθανοτήτων Poisson είναι : P ( x 3) 1 x 2) 1 0,4232 0,5768 57, 68%. Η πιθανότητα P ( x 2) προκύπτει από τον πίνακα πιθανοτήτων Poisson για κ=2 και μ=3. 8

Διωνυμική Κατανομή Η διωνυμική κατανομή είναι το αποτέλεσμα ενός διωνυμικού πειράματος τύχης, που έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά : Το διωνυμικό πείραμα (binomial experiment) αποτελείται από ένα πεπερασμένο αριθμό δοκιμών. Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται ως n. Σε κάθε δοκιμή υπάρχουν δύο αποτελέσματα, που χαρακτηρίζονται ως «επιτυχία» και «αποτυχία». Η πιθανότητα της επιτυχίας σε κάθε δοκιμή συμβολίζεται ως p και η πιθανότητα της αποτυχίας ισούται με 1-p. Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή το αποτέλεσμα μιας δοκιμής δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα οποιασδήποτε άλλης. Μερικά παραδείγματα διωνυμικών πειραμάτων είναι τα εξής : o Ρίχνουμε ένα νόμισμα 10 φορές. Το αποτέλεσμα κάθε ρίψης είναι κορώνα ή γράμματα και μπορούμε οποιοδήποτε από αυτά να το αντιστοιχίσουμε με την «επιτυχία» και το άλλο με την «αποτυχία», ανάλογα με το ζητούμενο του προβλήματος. Αν το νόμισμα είναι ισοβαρές τότε η πιθανότητα της κάθε όψης είναι 50%, άρα p=0,5. Τέλος, κάθε ρίψη του νομίσματος είναι ανεξάρτητη από κάθε άλλη. o Επιλέγουμε τυχαία 5 χαρτιά από μια καλά ανακατεμένη τράπουλα. Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε με την «επιτυχία» το χρώμα το οποίο θέλουμε, για παράδειγμα τα σπαθιά. Στη πρώτη δοκιμή η πιθανότητα επιτυχίας είναι 13/52=0,25. Αν όμως δεν επαναφέρουμε το χαρτί στην τράπουλα και δεν ανακατέψουμε πάλι, η δεύτερη δοκιμή δεν είναι ανεξάρτητη από την πρώτη, επειδή θα έχουν μείνει μόνο 51 χαρτιά από τα οποία 12 ή 13 σπαθιά, ανάλογα με το αποτέλεσμα της πρώτης δοκιμής. Σε κάθε περίπτωση η πιθανότητα επιτυχίας στη δεύτερη δοκιμή είναι διαφορετική από την πρώτη, συνεπώς δεν έχουμε διωνυμική κατανομή. Στα περισσότερα παιχνίδια με τράπουλα επιλέγουμε έναν αριθμό από χαρτιά χωρίς να επαναφέρουμε τα προηγούμενα, άρα τα πειράματα δεν είναι διωνυμικά. o Μια δημοσκόπηση καταγράφει τη πρόθεση ψήφου ενός δείγματος 1500 ψηφοφόρων. Στις περισσότερες εκλογές στις ΗΠΑ υπάρχουν μόνο δύο υποψήφιοι, ένας από το Δημοκρατικό και ένας από το Ρεπουμπλικανικό κόμμα. Έτσι κάθε δοκιμή, δηλαδή η απάντηση κάθε ψηφοφόρου, έχει δύο αποτελέσματα, από τα οποία το ένα μπορεί να ονομαστεί «επιτυχία». Ακόμη και αν υπήρχαν περισσότεροι υποψήφιοι θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε ως «επιτυχία» την επιλογή ενός από αυτούς (π.χ. του κόμματος που έχει παραγγείλει τη δημοσκόπηση) και ως «αποτυχία» την επιλογή οποιουδήποτε άλλου. Τέλος, οι απαντήσεις των μελών του δείγματος είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η διωνυμική τυχαία μεταβλητή έχει ως τιμή το πλήθος των επιτυχιών σε ένα διωνυμικό πείραμα. Έτσι, μπορεί να πάρει τις τιμές 0,1,2,...,n και κατά συνέπεια είναι διακριτή μεταβλητή. Σε αντίθεση με τη τυχαία μεταβλητή Poisson, στη διωνυμική τυχαία μεταβλητή, αυτό που είναι δεδομένο δεν είναι ο χρόνος ή ο χώρος των συμβάντων αλλά το πλήθος των δοκιμών του πειράματος. 9

Σε ένα διωνυμικό πείραμα με πιθανότητα επιτυχίας p, η πιθανότητα x επιτυχιών σε n δοκιμές είναι ίση με : n x n x P x! ( ) p (1 p x!( n x)! ) για κάθε x=0,1,2,..,n. Ισχύει : x! x ( x 1) ( x 2)... 21 και n! n( n 1) ( n 2)... 21 0!=1 και 1!=1 Ιδιότητες διωνυμικής πιθανότητας Διωνυμική πιθανότητα X x) P ( X x) 1 X [ x 1]), όπου [x-1] είναι το ακέραιο μέρος της αμέσως μικρότερης τιμής. Διωνυμική πιθανότητα X x) P ( X x) X x) X [ x 1]), όπου [x-1] είναι το ακέραιο μέρος της αμέσως μικρότερης τιμής. P ( X 0) X 0) Παράμετροι της διωνυμικής κατανομής Ο αριθμητικός μέσος, η διασπορά και η τυπική απόκλιση μιας διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζονται με τη βοήθεια των παρακάτω τύπων : n p 2 n p (1 p) n p ( 1 p) Παρατηρήσεις 1. Η πιθανότητα της μορφής X x) ονομάζεται αθροιστική πιθανότητα. 2. Υπάρχουν πίνακες που δίνουν έτοιμες τις αθροιστικές διωνυμικές πιθανότητες για διάφορες τιμές των n και p, διευκολύνοντας σε μεγάλο βαθμό τους υπολογισμούς. (Οι πίνακες αυτοί φαίνονται στο τέλος της ενότητας) 3. Για να υπολογίσουμε τη πιθανότητα κάθε τιμής της διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής μπορούμε να κατασκευάσουμε και δένδρο πιθανοτήτων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σε κάθε κόμβο του δένδρου υπάρχουν δύο κλάδοι που αντιπροσω- 10

πεύουν την επιτυχία (S=success) και την αποτυχία (F=failure) στην αντίστοιχη δομή. Κάθε διαδρομή από το αριστερό στο δεξιό άκρο του δένδρου είναι ένα δυνατό αποτέλεσμα του διωνυμικού πειράματος, αποτελείται από μια ακολουθία κλάδων και συμβολίζεται από μια ακολουθία n συμβόλων, π.χ. SFF.FS. Για να υπολογίσουμε τη πιθανότητα μιας διαδρομής που περιλαμβάνει x επιτυχίες και n-x αποτυχίες, θα πρέπει για κάθε επιτυχία να πολλαπλασιάσουμε επί τη πιθανότητα επιτυχίας p και για κάθε αποτυχία να πολλαπλασιάσουμε επί τη πιθανότητα αποτυχίας 1-p. Έτσι, κάθε ακολουθία κλάδων που περιλαμβάνει ακριβώς x επιτυχίες έχει πι- θανότητα p x nx (. 1 p) Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα P (x) θα πρέπει να γνωρίζουμε και το πλήθος των διαδρομών που περιλαμβάνουν ακριβώς x επιτυχίες. Ο υπολογισμός του πλή- θους των διαδρομών γίνεται με τη βοήθεια του διωνυμικού τύπου για τον υπολογι- σμό των συνδυασμών n στοιχείων ανά x : C n x n!. x!( n x)! 11

Ασκήσεις 1. Μια πινακίδα στις αντλίες βενζίνης μιας αλυσίδας πρατηρίων υπενθυμίζει στους πελάτες να ελέγξουν τη στάθμη του λαδιού στα αυτοκίνητά τους, υποστηρίζοντας ότι ένα στα πέντε αυτοκίνητα χρειάζεται να συμπληρώσει λάδια. Αν αυτό είναι αλήθεια, να υπολογίσετε την πιθανότητα : α) Ένα από τα επόμενα τέσσερα αυτοκίνητα να χρειαστεί να συμπληρώσει λάδια. β) Δύο από τα επόμενα οκτώ αυτοκίνητα να χρειαστεί να συμπληρώσουν λάδια. γ) Δέκα από τα επόμενα σαράντα αυτοκίνητα να χρειαστεί να συμπληρώσουν λάδια. Λύση Σε αυτό το πρόβλημα έχουμε ένα διωνυμικό πείραμα στο οποίο ως επιτυχία θεωρείται η συμπλήρωση λαδιών στο αυτοκίνητο (και ως αποτυχία η μη συμπλήρωση λαδιών). Εφόσον, θεωρούμε ότι ένα στα πέντε αυτοκίνητα χρειάζεται να συμπληρώσει λάδια, αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα επιτυχίας είναι p=1/5=0,2 (και της αποτυχίας είναι 1-0,2=0,8). Επίσης, έχουμε δεδομένο το πλήθος των δοκιμών το οποίο είναι στο (α) σκέλος n=4, στο (β) σκέλος n=8 και στο (γ) σκέλος n=40. α) Eφαρμόζουμε τον τύπο της πιθανότητας για x=1, n=4, p=0,2 : 4! 1) (0,2) 1!(4 1)! = 40,96% 1 (1 0,2) 41 1 2 3 4 0,2 (0,8) 13! 3 24 0,2 (0,8) 1 23 3 0,4096 Η παραπάνω πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί και με τη βοήθεια δένδρου πιθα- νοτήτων όπως φαίνεται παρακάτω : 12

Το πλήθος των διαδρομών που θέλουμε να έχουν μία επιτυχία υπολογίζεται από τον n! 4 4! τύπο C n x C1 4 και η πιθανότητα που ζητάμε υπολογίζεx!( n x)! 1!(4 1)! ται από τον τύπο της πιθανότητας P ( x) n! p x!( n x)! x (1 p) nx C n x p x (1 p) nx 1 4(0,2) (1 0,2) 41 0,4096 (Στο παραπάνω δένδρο οι διαδρομές με μία επιτυχία είναι με κόκκινο χρώμα) β) Σύμφωνα με τη δεύτερη ιδιότητα της διωνυμικής πιθανότητας έχουμε : P ( x 2) x 2) x 1) 0,7969 0,5033 0,2936 29,36% Οι πιθανότητες P ( x 2) και P ( x 1) προκύπτουν από τον πίνακα των αθροιστικών διωνυμικών πιθανοτήτων για n=8, p=0,2, k=2 και n=8, p=0,2, k=1 αντίστοιχα. γ) Eφαρμόζουμε τον τύπο της πιθανότητας για x=10, n=40, p=0,2 : 13

40! 10) (0,2) 10!(40 10)! 30!31 32... 40 (0,2) 1 2... 10 30! 10 10 (1 0,2) (0,8) 30 4010 1 2... 30 31... 40 (0,2) 1 2... 10 30! 3132... 40 (0,2) 1 2... 10 10 (0,8) 30 10 (0,8) 30 Ο παραπάνω υπολογισμός μπορεί να γίνει μόνο με τη χρήση υπολογιστή. 2. Το γνωστότερο απορρυπαντικό πλυντηρίου πιάτων έχει μερίδιο αγοράς 30%. Αν ένα πολυκατάστημα καταγράψει τις επιλογές 25 πελατών που αγόρασαν απορρυπαντικό πλυντηρίου πιάτων, ποια είναι η πιθανότητα να αγόρασαν το παραπάνω απορρυπαντικό δέκα ή λιγότεροι; Λύση Σε αυτό το πρόβλημα έχουμε ένα διωνυμικό πείραμα στο οποίο ως επιτυχία θεωρείται η αγορά του συγκεκριμένου απορρυπαντικού (και ως αποτυχία η μη αγορά του). Έχουμε n=25 δοκιμές (πελάτες) και πιθανότητα επιτυχίας p=30%=0,3 (η πιθανότητα αποτυχίας θα είναι 1-0,3=0,7). Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα P ( x 10) η οποία προκύπτει από τον πίνακα των αθροιστικών διωνυμικών πιθανοτήτων για n=25, p=0,3 και k=10. P ( x 10) 0,9022 90,22% 3. Ένας φοιτητής που σύντομα ολοκληρώνει τις σπουδές του στην ειδικότητα της λογιστικής, υπολογίζει ότι με βάση τους βαθμούς του και τη πρακτική εξάσκηση που έχει κάνει, έχει πιθανότητα 70% να δεχθεί μια προσφορά εργασίας από κάθε επιχείρηση στην οποία θα στείλει το βιογραφικό του. Αν στείλει το βιογραφικό του σε 4 μόνο επιχειρήσεις, ποια είναι η πιθανότητα να μην δεχθεί καμία προσφορά εργασίας; 14

Λύση Εδώ έχουμε ένα διωνυμικό πείραμα στο οποίο ως επιτυχία θεωρούμε την προσφορά εργασίας (και ως αποτυχία την μη προσφορά εργασίας). Η πιθανότητα επιτυχίας είναι p=70%=0,7 (και της αποτυχίας 1-0,7=0,3) ενώ το πλήθος των δοκιμών είναι n=4 (σε 4 επιχειρήσεις στέλνει το βιογραφικό του ο φοιτητής). Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η P ( x 0) η οποία σύμφωνα με τον τύπο της διωνυμικής πιθανότητας είναι : 4! 0) (0,7) 0!(4 0)! 0 (1 0,7) 40 4! 1 (0,3) 1 4! 4 1 (0,3) 4 0,0081 0,81% Η παραπάνω πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί και με τη βοήθεια δένδρου πιθανοτήτων όπως φαίνεται παρακάτω : Το πλήθος των διαδρομών που θέλουμε να μην έχουν καμία επιτυχία υπολογίζεται n! 4 4! από τον τύπο C n x C0 1 και η πιθανότητα που ζητάμε x!( n x)! 0!(4 0)! υπολογίζεται από τον τύπο της πιθανότητας P ( x) n! p x!( n x)! x (1 p) nx C n x p x (1 p) nx 1(0,7) 0 (1 0,7) 40 0,0081 15

(Στο παραπάνω δένδρο η διαδρομή που δεν έχει καμία επιτυχία είναι με κόκκινο χρώμα) 4. Στις ΗΠΑ οι εκλογείς που δεν ψηφίζουν ούτε το Δημοκρατικό ούτε το Ρεπουμπλικανικό κόμμα ονομάζονται Ανεξάρτητοι και υπολογίζεται ότι αποτελούν περίπου το 10% του εκλογικού σώματος. Αν επιλέξουμε τυχαία 25 εκλογείς : α) Ποια είναι η πιθανότητα, κανείς από τους 25 να μην είναι Ανεξάρτητος; β) Ποια είναι η πιθανότητα, λιγότεροι από 5 να είναι Ανεξάρτητοι; γ) Ποια είναι η πιθανότητα, περισσότεροι από 2 να είναι Ανεξάρτητοι; Λύση Σε αυτό το πρόβλημα έχουμε ένα διωνυμικό πείραμα στο οποίο ως επιτυχία θεωρούμε το να είναι ο εκλογέας που επιλέγουμε Ανεξάρτητος (και ως αποτυχία θεωρούμε το να μην είναι Ανεξάρτητος). Η πιθανότητα επιτυχίας είναι p=10%=0,1 (και της αποτυχίας 1-0,1=0,9) ενώ το πλήθος των δοκιμών είναι n=25 (25 εκλογείς). α) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η P ( x 0) η οποία σύμφωνα με την τρίτη ιδιότητα της διωνυμικής πιθανότητας είναι : P ( x 0) x 0) 0,0718 7, 18%. Η τιμή της παραπάνω πιθανότητας προκύπτει από τον πίνακα των αθροιστικών διωνυμικών πιθανοτήτων για n=25, p=0,1 και k=0. β) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η P ( x 5) η οποία, επειδή η διωνυμική τυχαία με- ταβλητή είναι διακριτή, δηλαδή παίρνει ακέραιες θετικές τιμές, ισούται με την πι- θανότητα P ( x 4) της οποίας η τιμή προκύπτει από τον πίνακα των αθροιστικών διωνυμικών πιθανοτήτων για n=25, p=0,1 και k=4. Έχουμε, λοιπόν : P ( x 4) 0,9020 90,2 % γ) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η P ( x 2) η οποία, επειδή η διωνυμική τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή, δηλαδή παίρνει ακέραιες θετικές τιμές, ισούται με την πιθανότητα P ( x 3) η οποία σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα της διωνυμικής πι- θανότητας ισούται με : 16

P ( x 3) 1 x 2) 1 0,5371 0,4629 46,29 % Η τιμή της πιθανότητας P ( x 2) προκύπτει από τον πίνακα αθροιστικών διωνυμικών πιθανοτήτων για n=25, p=0,1 και k=2. 5. Σύμφωνα με μια έρευνα της Αμερικανικής Ακαδημίας Κοσμητικής Οδοντιατρικής, το 75% των ενηλίκων πιστεύει ότι ένα μη ελκυστικό χαμόγελο βλάπτει την επαγγελματική τους σταδιοδρομία. Αν επιλέξουμε τυχαία 25 ενηλίκους, ποια είναι η πιθανότητα 15 τουλάχιστον από αυτούς να συμφωνεί με αυτή την γνώμη; Λύση Σε αυτό το πρόβλημα έχουμε ένα διωνυμικό πείραμα στο οποίο ως επιτυχία θεωρείται το να συμφωνεί κάποιος με αυτή την γνώμη (και αποτυχία θεωρείται το να μην συμφωνεί). Η πιθανότητα της επιτυχίας είναι p=75%=0,75 (και της αποτυχίας 1-0,75=0,25) ενώ το πλήθος των δοκιμών του πειράματος είναι n=25 (25 ενήλικοι). Η πιθανότητα που ζητάμε είναι η P ( x 15) η οποία σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα της διωνυμικής πιθανότητας ισούται με : P ( x 15) 1 x 14) 1 0,0297 0,9703 97,03 % Η τιμή της πιθανότητας P ( x 14) προκύπτει από τον πίνακα των αθροιστικών διωνυμικών πιθανοτήτων για n=25, p=0,75 και k=14. 6. Ένας πωλητής διενεργεί τηλεφωνικές πωλήσεις για το προϊόν της εταιρείας στην οποία εργάζεται. Από τα στοιχεία που υπάρχουν στο αρχείο του τμήματος πωλήσεων της εταιρείας, προκύπτει ότι η πιθανότητα επίτευξης πώλησης για τον συγκεκριμένο πωλητή είναι 25%. Έστω ότι ο πωλητής σε μία τυχαία επιλεγμένη μέρα τηλεφωνεί σε 10 άτομα. α) Να βρεθεί η πιθανότητα να μην πετύχει καμία πώληση. β) Να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει ακριβώς 2 πωλήσεις. γ) Να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει τουλάχιστον 2 πωλήσεις. δ) Να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει το πολύ δύο πωλήσεις. ε) Να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει λιγότερες από 3 πωλήσεις. στ) Να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει περισσότερες από μία πωλήσεις. 17

Λύση Σε αυτό το πρόβλημα έχουμε n=10 και p=0,25. α) P ( X 0) X 0) 0,0563 5, 63% β) X 2) X 2) X 1) 0,3828 0,2440 0,1388 13, 88% γ) P ( X 2) 1 X 1) 10,2440 0,756 75, 6% δ) P ( X 2) 0,3828 38, 28% ε) X 3) X 2) 0,3828 38, 28 % στ) X 1) X 2) 75, 6% 18

19

20

21

22