1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στα πλαίσια του 1ου τεύχους της Στατιστικής, κάναµε µια πρώτη γνωρι- µία µε το απογραφικό τµήµα της Στατιστικής, µε εκείνο δηλαδή το τµήµα που καταγράφει, συστηµατοποιεί και συνοψίζει πληροφορίες και δεδοµένα. Στο τεύχος αυτό θα γνωρίσουµε αρχικά το κεφάλαιο των Πιθανοτήτων. Πρόκειται για ένα κεφάλαιο που δίνει κάποιες πρωταρχικές γνώσεις αυτού του σηµαντικού τοµέα των Μαθηµατικών, του οποίου η συµβολή στην ανάπτυξη της Στατιστικής είναι πολύ σηµαντική. Η γνώση των Πιθανοτήτων θα µας βοηθήσει στην επιλογή µιας απόφασης ανάµεσα σε διαφορετικές δυνατές αποφάσεις (Πιθανότητες), καθώς και στην συστηµατοποίηση και στην καλύτερη κατανόηση φυσικών, κοινωνικών, οικονοµικών προβληµάτων (συναρτήσεις Κατανοµής της Πιθανότητας). Στη συνέχεια θα γνωρίσουµε τα Κεφάλαια της Παλινδρόµησης και της Συσχέτισης, µε τα οποία θα πάρουµε µια πρώτη γεύση από τη δυνατότητα της Στατιστικής να φέρνει στο φώς κρυµµένες σχέσεις ανάµεσα σε διάφορα φυσικά µεγέθη. Τέλος θα γνωρίσουµε τις χρονολογικές σειρές και τους αριθµοδείκτες καθώς και τις εφαρµογές τους σε Οικονοµικά προβλήµατα. Κατά την ανάπτυξη των εννοιών των επόµενων Κεφαλαίων, θα χρειασθούν αρκετές από τις έννοιες της απογραφικής Στατιστικής, ιδιαίτερα τα κεφάλαια εκείνα που αναφέρονται στη µέση τιµή, στην τυπική απόκλιση, καθώς και το κεφάλαιο των µετασχηµατισµών. Θεσσαλονίκη 1997
2 Α) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α.1) Συνδυαστική ανάλυση. Η συνδυαστική ανάλυση αποτελεί ένα πολύ χρήσιµο εργαλείο στα χέρια όποιου προσπαθεί να ασχοληθεί µε προβλήµατα πιθανοτήτων. Επί πλέον επιτρέπει τη λύση φαινοµενικά δύσκολων προβληµάτων µε τρόπο συστηµατικό. Μην επιχειρήσετε να αποστηθίσετε τις έννοιες που θα αναφερθούν στη συνέχεια, µια και η κατανόησή τους είναι ευκολότερη αλλά και απαραίτητη στα προβλήµατα των πιθανοτήτων. Για το λόγο αυτό άλλωστε παρουσιάζονται µε τρόπο πολύ απλό, χωρίς την παρεµβολή των Μαθηµατικών αποδείξεων στο κυρίως κείµενο. Συχνά όµως οι αποδείξεις βοηθούν ιδιαίτερα στην κατανόηση των εννοιών στις οποίες αναφέρονται. Γι αυτό στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθενται οι αποδείξεις αρκετών από τους τύπους που θα αναφερθούν. Α.1.1. Μεταθέσεις των ν στοιχείων. Ας υποθέσουµε πως έχουµε 3 στοιχεία, τα Α,Β και Γ. Η τοποθέτησή τους σε µιά ευθεία λέγεται µετάθεση των 3 αυτών στοιχείων. Για παράδειγµα µία µετάθεσή τους είναι και η: Α-Γ-Β. Αν αναζήσουµε όλες τις διαφορετικές µεταθέσεις των στοιχείων Α, Β και Γ, θα βρούµε τις εξής 6: Α-Β-Γ Α-Γ-Β Β-Α-Γ Β-Γ-Α Γ-Α-Β Γ-Β-Α Το γενικότερο πρόβληµα που θα αντιµετωπίσουµε στην παράγραφο αυτή είναι ο υπολογισµός όλων των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους είναι δυνατό να τοποθετηθούν σε µία σειρά ν στοιχεία. Ορισµός Α.1. Μεταθέσεις των ν στοιχείων ονοµάζουµε το πλήθος των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να βάλουµε σε µια σειρά τα ν αυτά στοιχεία.
3 Συµβολισµός και τύπος Α.1: Αποδεικνύεται πως ο αριθµός των µεταθέσεων των ν στοιχείων δίνεται από τη σχέση: [1](1) Μ ν = ν! (Α.1) όπου το ν! συµβολίζει τον πολλαπλό πολλαπλασιασµό: ν! = 1.2.3...(ν-1).ν Παραδείγµατα: 1ο) Να υπολογισθούν οι µεταθέσεις των 3 στοιχείων Α,Β και Γ. Λύση: Οι µεταθέσεις των 3 στοιχείων: 3! = 1*2*3 = 6 (2). Αξίζει να αναφερθεί πως οι περισσότεροι υπολογιστές τσέπης (κοµπιουτεράκια) δίνουν την τιµή του ν! όταν τους δοθεί το ν. οκιµάστε το δικό σας! 2ο) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να φωτογραφηθεί η βασική πεντάδα µιας οµάδας Μπάσκετ; Λύση: Οι πέντε παίκτες τοποθετούνται σε µία σειρά. Ολοι οι διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησής τους δίνονται από τις µεταθέσεις των 5 στοιχείων: Μ 5 = 5! = 2*3*4*5 = 120 3ο) έκα σπουδαστές µπαίνουν σε µία αίθουσα µε 10 ακριβώς θρανία. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούν να καθίσουν; Λύση: Το να καταλάβει ο κάθε σπουδαστής ένα θρανίο ισοδυναµεί µε το να επιχειρήσουν να τοποθετηθούν οι 10 σπουδαστές σε µία ευθεία. Άλλωστε θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε πως τα θρανία είναι τοποθετηµένα σε µία ευθεία. Άρα οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορούν να καθίσουν οι 10 σπουδαστές δίνονται από τις µεταθέσεις των 10 στοιχείων: Μ 10 = 10! = 1*2*3*...*8*9*10 = 3628800 1 Η αρίθµηση αυτή (µέσα σε αγκύλες) αντιστοιχεί στις Μαθηµατικές αποδείξεις που υπάρχουν στο τέλος του Κεφαλαίου. 2 Το σύµβολο "*" συµβολίζει την πράξη του πολλαπλασιασµού.
4 4ο) Γνωρίζουµε πως το τηλέφωνο κάποιου περιέχει τα ψηφία 2,3,5,7,8,9. Πόσα διαφορετικά τηλεφωνήµατα θα κάνουµε -το πολύ- για να επικοινωνήσου- µε µαζί του; Πόσα τηλεφωνήµατα θα κάνουµε εάν επί πλέον γνωρίζουµε πως διαµένει στην κεντρική Θεσσαλονίκη (τα νούµερα του τηλεφώνου αρχίζουν µε το 2); Λύση: Κάθε τηλεφωνικό νούµερο δεν είναι παρά µία µετάθεση των 6 ψηφίων (τοποθέτηση των 6 ψηφίων σε σειρά). Εποµένως το πλήθος των διαφορετικών τηλεφωνικών αριθµών που αποτελούνται από αυτά τα ψηφία θα είναι ίσο µε το πλήθος των µεταθέσεων των 6 στοιχείων. Θα κάνουµε λοιπόν το πολύ: Μ 6 = 6! = 720 τηλεφωνήµατα. Εάν γνωρίζουµε πως το εν λόγω άτοµο διαµένει στο Κέντρο, τα τηλεφωνήµατά µας θα ξεκινούν µε το 2 και θα συµπληρώνονται απ'όλες τις µεταθέσεις των υπόλοιπων 5 ψηφίων (των 3,5,7,8,9). Άρα θα γίνουν, το πολύ: Μ 5 = 5! = 120 τηλεφωνήµατα. 5o) Να βρεθούν όλοι οι δυνατοί εξαψήφιοι τηλεφωνικοί αριθµοί που δη- µιουργούνται από τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5 και 6. Λύση: Το πρόβληµα τώρα γίνεται πιο περίπλοκο, επειδή το ψηφίο 1 δεν µπορεί να τοποθετηθεί στην πρώτη θέση (το ίδιο θα συνέβαινε κι αν είχαµε και το 0). ιακρίνουµε δύο τρόπους σκέψης: 1ος) Εάν όλα τα ψηφία µπορούσαν να τοποθετηθούν σ όλες τις θέσεις, τότε θα µπορούσαµε να δηµιουργήσουµε 6!=720 τηλεφωνικά νούµερα. Στα 720 νούµερα εποµένως συµπεριλαµβάνονται και αυτά που αρχίζουν από 1 και είναι µή αποδεκτά. Το πλήθος των µή αποδεκτών αριθµών δίνεται από το 5! (τοποθετούµε το 1 µπροστά και κάνουµε όλες τις µεταθέσεις των υπολοίπων 5 ψηφίων). Άρα το πλήθος των αποδεκτών αριθµών είναι ίσο µε: Μ 6 - Μ 5 = 6! - 5! = 5!(6-1) = 5!*5 2ος) Ο κάθε τηλεφωνικός αριθµός αποτελείται από το 1ο ψηφίο και από τα υπόλοιπα 5. Εφ όσον επιλέξουµε το πρώτο, το πλήθος των αριθµών που δη- µιουργούνται µε την εναλλαγή των υπολοίπων 5 στις 5 θέσεις που αποµένουν, δίνεται από το Μ 5 =5!. Το πρώτο όµως ψηφίο έχουµε 5 διαφορετικούς τρόπους για να το επιλέξουµε. Εποµένως το πλήθος των διαφορετικών αριθµών είναι ίσο µε: 5*Μ 5 = 5*5!
5 Άσκηση: Να υπολογισθεί το πλήθος των τηλεφωνικών αριθµών που δη- µιουργείται από τα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4 και 5. Α.1.2. Επαναληπτικές µεταθέσεις των ν στοιχείων. Στο 4ο, από τα προηγούµενα παραδείγµατα, είναι δυνατό το ίδιο ψηφίο να υπάρχει περισσότερες από µία φορές στο εσωτερικό του τηλεφωνικού αριθµού. Έτσι µας ζητούν το πλήθος των διαφορετικών τηλεφ. αριθµών που δηµιουργούνται από τα ψηφία 6,7,7,7,8 και 9. Παρατηρούµε πως εάν σε µία µετάθεση (τοποθέτηση) των ψηφίων αυτών, µεταθέσουµε µεταξύ τους κάποια από τα όµοια ψηφία µόνο, ο αριθµός που θα προκύψει θα είναι ίδιος µε τον αρχικό. Άρα ο α- ριθµός των µεταθέσεων στην περίπτωση αυτή είναι σαφώς µικρότερος του: Μ 6 =6!=720. Ορισµός Α.2. Εστω ν στοιχεία από τα οποία τα µ [µ ν] είναι όµοια µεταξύ τους, ενώ τα εναποµένοντα ν-µ είναι όλα διαφορετικά µεταξύ τους. Με τον όρο επαναληπτικές µεταθέσεις των ν στοιχείων, όταν τα µ απ'αυτά είναι όµοια µεταξύ τους, εννοούµε τον αριθµό όλων των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούν τα ν αυτά στοιχεία να τοποθετηθούν σε σειρά. Συµβολισµός και τύπος Α.2: Ο αριθµός των επαναληπτικών µεταθέσεων των ν στοιχείων, από τα οποία τα µ είναι όµοια µεταξύ τους, δίνεται από τη σχέση [2] : Μ ν µ = ν! µ! (Α.2) Με όµοιο τρόπο ορίζουµε τις µεταθέσεις των ν στοιχείων, όταν τα κ,λ,µ (κ.ο.κ.) στοιχεία απ'αυτά είναι όµοια µεταξύ τους. Βέβαια είναι όµοια τα κ στοιχεία µεταξύ τους αλλά διαφορετικά από τα λ ή τα µ. Προφανώς ισχύει πως: κ+λ+µ ν.
6 Συµβολισµός και τύπος Α.3: Ο αριθµός των επαναληπτικών µεταθέσεων των ν στοιχείων, από τα οποία τα κ,λ,µ είναι όµοια µεταξύ τους, δίνεται από τη σχέση: ν! ν = (Α.3) κ!λ!µ! Μ κ,λ, µ Παραδείγµατα: 1ο) Να υπολογισθεί το πλήθος των τηλεφωνικών αριθµών που δηµιουργούνται από τα ψηφία 6,7,7,7,8 και 8, όταν (i) δεν γνωρίζουµε την περιοχή του αριθµού, (ii) το τηλέφωνο είναι στην περιοχή της Νέας Εγνατίας [αρχίζει από 8], (iii) το τηλέφωνο είναι στην περιοχή της Ξηροκρήνης [αρχίζει από 7]. Λύση: (i) Στην πρώτη περίπτωση έχω να υπολογίσω τις επαναληπτικές µεταθέσεις των 6 ψηφίων, από τα οποία τα 3 [τα 7/άρια] και τα 2 [τα 8/άρια] είναι ό- µοια µεταξύ τους. Το πλήθος λοιπόν των τηλεφωνικών αριθµών δίνεται από τη σχέση: 6! 1*2*3*4*5*6 4*5*6 Μ 6 = -------- = ----------------- = ---------- = 60 3,2 3!*2! 1*2*3*1*2 1*2 (ii) Στή δεύτερη περίπτωση ξεχωρίζουµε το ένα από τα δύο 8 και µεταθέτουµε µε όλους τους δυνατούς τρόπους τα υπόλοιπα 5 ψηφία από τα οποία τα 3 [7/άρια] είναι όµοια µεταξύ τους. 5! 2*3*4*5 Μ 5 = ---- = ----------- = 4*5 = 20 3 3! 2*3 (iii) Σκεπτόµενοι όπως προηγούµενα, έχουµε για την τρίτη περίπτωση: 5! 2*3*4*5 3*4*5 Μ 5 = ------- = ------------ = --------- = 30 2,2 2!*2! 2*2 2
7 2ο) Η καφετζού της πολυκατοικίας µας προβλέπει πως στο επόµενο δελτίο του ΠΡΟ-ΠΟ θα εµφανισθούν 4 άσσοι, 6 χι και 3 δυάρια. Εµείς την πιστεύουµε και αναρωτιόµαστε για το πόσες στήλες πρέπει να παίξουµε για να κερδίσουµε σίγουρα το δεκατριάρι. Λύση: Μία στήλη 13 σηµείων θα την αντιµετωπίσουµε σαν µία τοποθέτηση πάνω σε µία ευθεία 13 στοιχείων, από τα οποία τα 6, 4 και 3 είναι όµοια µεταξύ τους. Κάθε διαφορετική στήλη εποµένως µπορεί να θεωρηθεί σαν µία µετάθεση των στοιχείων αυτών. Άρα το πλήθος των στηλών που θά'χουν 6 χι, 4 άσσους και 3 δυάρια, δίνεται από τη σχέση: 13! 2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13 Μ 13 = ---------- = ---------------------------------------- = 6,4,3 6!*4!*3! 2*3*4*5*6*2*3*4*2*3 7*8*9*10*11*12*13 = ------------------------- = 60060 2*3*4*2*3 Α.1.3. ιατάξεις. Σε µία ιπποδροµία ξεκινούν 15 άλογα. Εµείς επιχειρούµε να προβλέψουµε την νικήτρια δυάδα. Είναι προφανές βέβαια πως στην περίπτωση αυτή η πρόβλεψη περιλαµβάνει και την σειρά µε την οποία θα τερµατίσουν τα άλογα της νικήτριας δυάδας. Προηγούµενα όµως ζητούµε τον αριθµό όλων των δυνατών αποτελεσµάτων, όλων δηλαδή των διαφορετικών δυάδων που φτιάχνονται από τα 15 άλογα, όταν θεωρούµε διαφορετικές τις δυάδες που αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία, τοποθετηµένα όµως µε διαφορετική σειρά. Ορισµός Α.3. Καλούµε διατάξεις των ν πραγµάτων ανά µ, το πλήθος όλων των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να εκλέξουµε µία µ-άδα από ένα σύνολο ν στοιχείων, όταν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία εκλέχτηκαν τα στοιχεία της µ-άδας.
8 Συµβολισµός και τύπος Α.4.: Εύκολα αποδεικνύουµε τον τύπο των διατάξεων των ν πραγµάτων ανά µ [3] : µ ν ν! = (Α.4) (ν µ)! Παράδειγµα: Σε µία ιπποδροµία ξεκινούν 15 άλογα. Πόσες είναι οι δυνατές νικήτριες δυάδες; Λύση: Ζητούµε όλες τις δυνατές δυάδες που δηµιουργούνται από 15 στοιχεία όταν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία εκλέγεται η δυάδα. Έχουµε λοιπόν διατάξεις των 15 στοιχείων ανά 2: 15! 15! 15 2 = -------- = ----- = 14*15 = 210 [νικήτριες δυάδες] (15-2)! 13! Α.1.4. Συνδυασµοί. Σε πολλά προβλήµατα που εκλέγονται µ-άδες από ν στοιχεία, δεν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέχτηκαν τα στοιχεία της µ-άδας. Για παράδειγµα µία οµάδα µπάσκετ κατεβαίνει σ'έναν αγώνα µε 10 παίκτες, που έχουν στη φανέλα τους αριθµούς 4,5,6,7,8,9,10,11,12 και 13. Από αυτούς οι πέντε θα ξεκινήσουν τον αγώνα. Ζητάµε να υπολογίσουµε τον αριθµό όλων των διαφορετικών αρχικών πεντάδων (3). Όπως είναι φανερό δύο πεντάδες που αποτελούνται από τους ίδιους παίκτες, επιλεγµένους µε διαφορετική σειρά, ουσιαστικά ταυτίζονται. Γίνεται λοιπόν φανερή η ανάγκη συστηµατοποίησης των προβληµάτων αυτού του είδους, η οποία θα µας επιτρέψει να φθάσουµε σ' ένα γενικό τύπο που να τα λύνει. 3 Η πρώτη απάντηση που µας έρχεται αυθόρµητα στο µυαλό είναι πως οι 10 παίκτες µπορούν να φτιάξουν ακριβώς 2 πεντάδες. Προκειται βέβαια για λανθασµένη απάντηση. Το λάθος µας αυτό µάλιστα θα το αντιλαµβανόµασταν γρηγορότερα εάν ο συνολικός αριθµός των παικτών ήταν 9. Εάν κάποιος έχει το κουράγιο να καταγράψει όλες τις δυνατές πεντάδες θα φθάσει στον αριθµό 252!
9 Ορισµός Α.4. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να εκλέξουµε µία µ-άδα από ένα σύνολο ν στοιχείων (µ ν), όταν δεν µας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία εκλέχτηκαν τα στοιχεία της µ-άδας, ονοµάζονται συνδυασµοί των ν πραγµάτων ανά µ. Ο παραπάνω ορισµός µπορεί να διατυπωθεί και διαφορετικά: Συνδυασµοί των ν πραγµάτων ανά µ είναι ο αριθµός όλων των υποσυνόλων πληθικού αριθ- µού µ, τα οποία µπορούν να δηµιουργηθούν από ένα σύνολο ν στοιχείων (4). Συµβολισµός και τύπος Α.5.: Με τη βοήθεια του τύπου των διατάξεων, εύκολα αποδεικνύεται πως οι συνδυασµοί των ν πραγµάτων ανά µ δίνονται από τη σχέση (4) : C n m = n = m n! m!( n m)! (A.5) Παράδειγµα: Ο συνολικός αριθµός των πεντάδων από 12 παίκτες δίνεται από τον τύπο Α.5. ως εξής: 12! 2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12 8*9*10*11*12 C 12 5 = ----------- = --------------------------------------- = --------------------- = 792. 5!(12-5)! (2*3*4*5)*(2*3*4*5*6*7) 2*3*4*5 Παρατηρούµε πως κατά τον υπολογισµό των συνδυασµών, κάνουµε α- πλοποίηση ενός τµήµατος του αριθµητή µε το µεγαλύτερο από τα µ! και (ν-µ)!. 4 Θυµίζουµε: (i) πως ο πληθικός αριθµός ενός συνόλου είναι το πλήθος των στοιχείων του και (ii) πως τα στοιχεία στο εσωτερικό ενός συνόλου δεν έχουν µία συγκεκριµένη σειρά. Αρα δύο σύνολα που έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία ταυτίζονται, ανεξάρτητα από τη σειρά εµφάνισης των στοιχείων στο εσωτερικό του κάθε συνόλου.
10 Ιδιότητες των συνδυασµών: (i) C ν ν = 1 Πράγµατι από ν στοιχεία µπορούµε να δηµιουργήσουµε µία µόνο ν-άδα. Εφαρµόζοντας τον τύπο Α.5 στην περίπτωση αυτή έχουµε: C ν ν = ν!/(ν!0!) = 1/0! = 1 Από τη σχέση αυτή προκύπτει η επόµενη ιδιότητα: (ii) 0! = 1 και C ν 0 = 1 (iii) C ν κ = C ν λ εφ'όσον ισχύει πως κ+λ=ν Παρατηρήσεις: 1η) εχθείτε εξ' ορισµού τη σχέση 0!=1. Παρ' όλον ότι δεν δικαιολογείται από τη σχέση ορισµού του παραγοντικού, η αναγκαιότητά της προκύπτει από τα αποτελέσµατα που θέλουµε να έχει ο συνδυασµός των ν στοιχείων ανά ν. 2η) Η ιδιότητα (iii) µπορεί εύκολα να δειχθεί µε ένα παράδειγµα: 10! 10! C 10 8 = ---------- = ----- 8!(10-8)! 8!2! Τα τελευταία µέλη µας δείχνουν πως και τα πρώτα είναι ίσα µεταξύ του, 10! 10! ενώ η τιµή τους: 9*10/2 = 45 C 10 2 = ---------- = ----- 2!(10-2)! 2!8! Παραδείγµατα: 1ο) Στο Lotto υπάρχουν στην κληρωτίδα 49 αριθµοί (από το 1 έως το 49). Απ' nαυτούς κληρώνονται οι 6. Πόσες είναι οι διαφορετικές εξάδες που µπορούν να κληρωθούν;
11 Λύση: Είναι γνωστό πως η σειρά µε την οποία κληρώνονται οι 6 τυχαίοι αριθµοί δεν µας ενδιαφέρει. Όλες λοιπόν οι διαφορετικές εξάδες του Lotto δίνονται από τους συνδυασµούς των 49 πραγµάτων ανά 6: 49! 49! 44*45*46*47*48*49 L = C 49 6 = ----------- = -------- = ------------------------- = 13983816 6!(49-6)! 6!43! 2*3*4*5*6 2ο) Η αστρολόγος της πολυκατοικίας µας προβλέπει πως στην επόµενη κλήρωση του Lotto, όλοι οι αριθµοί που θα κληρωθούν θα προέρχονται από τη 2η και την 4η δεκάδα (10-19 και 30-39). Εµείς την πιστεύουµε και θέλουµε να υπολογίσουµε τον αριθµό των στηλών που πρέπει να παίξουµε για να κερδίσου- µε, εφ'όσον η πρόβλεψη επαληθευτεί. Λύση: Ουσιαστικά ζητούµε τον αριθµό των εξάδων που δηµιουργούνται από τους 20 αριθµούς που πρόβλεψε η Αστρολόγος και είναι βέβαια οι συνδυασµοί των 20 πραγµάτων ανά 6: 20! 20! 15*16*17*18*19*20 Α = C 20 6 = ------------ = ------- = -------------------------- = 38760 6!(20-6)! 6!14! 2*3*4*5*6 3ο) Η χαρτορίχτρα του ορόφου µας "βελτιώνει" την προηγούµενη πρόβλεψη, προσθέτοντας το δεδοµένο πως από τους αριθµούς που θα κληρωθούν, οι 4 θά'ναι περιττοί και οι 2 άρτιοι. Πόσες είναι οι στήλες που θα χρειαστεί να συµπληρώσουµε για να κερδίσουµε, εφ'όσον ισχύσουν καί οι δύο περιορισµοί; Λύση: Οι 20 αριθµοί που προήλθαν από τον πρώτο περιορισµό αποτελούνται από 10 µονούς και 10 ζυγούς αριθµούς. Από τους πρώτους (περιττούς) πρέπει να δηµιουργήσουµε όλες τις δυνατές τετράδες, ενώ από τους δεύτερους (άρτιους), όλες τις δυνατές δυάδες: 10! 10! 7*8*9*10 πλήθος τετράδων : C 10 4 = ------------ = ------ = ------------- = 210 4!(10-4)! 4!6! 2*3*4 10! 10! 9*10 πλήθος δυάδων : C 10 2 = ------------ = ------ = -------- = 45 2!(10-2)! 2!8! 2
12 εν ξεχνούµε όµως πως ζητούµε τον αριθµό των διαφορετικών εξάδων που δηµιουργούνται µε τη σύνθεση της κάθε µιας τετράδας (από τις 210) µε κάθε µια δυάδα (από τις 45). Με κάθε µία τετράδα µπορούµε να δηµιουργήσουµε 45 εξάδες (τόσες είναι οι διαφορετικές δυάδες που συνδυάζονται µε την κάθε τετράδα). Όλες οι εξάδες εποµένως θα είναι: πλήθος εξάδων : 210*45 = 9450 Παρατήρηση: Ο τρόπος µε τον οποίο σκεφθήκαµε στο προηγούµενο παράδειγµα αξίζει να προσεχθεί ιδιαίτερα από τον αναγνώστη, γιατί εφαρµόζεται σε πολλά είδη προβληµάτων. Α.1.5. Επαναληπτικές διατάξεις. Σκεφθείτε τώρα την περίπτωση κατά την οποία από ν στοιχεία ενός συνόλου εκλέγω µία µ-άδα ως εξής: ιαλέγω το πρώτο στοιχείο της µ-άδας, το καταγράφω (αρα κρατώ τη σειρά µε την οποία εµφανίστηκε) και το ξανατοποθετώ µέσα στο σύνολο από το οποίο θα ξαναεκλέξω το δεύτερο στοιχείο της µ-άδας. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται µέχρι να εκλέξω και το τελευταίο (µ-οστό) στοιχείο. Παρατηρώ πως: (i) Το ίδιο στοιχείο µπορεί να εµφανιστεί περισσότερες από µία φορές στη µ-άδα (µέχρι και µ-φορές). (ii) Για πρώτη φορά το µ έχει τη δυνατότητα νά'ναι µεγαλύτερο του ν (5). 5 Πράγµατι από τα δύο στοιχεία (α,β), µπορώ µε επανεκλογή (επανάθε-ση), να δηµιουργήσω µία πεντάδα, π.χ. την (α,β,α,α,β).
13 Ορισµός Α.5. Όλοι οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να εκλέξουµε µία µ-άδα από ένα σύνολο ν στοιχείων, όταν: (i) µας ενδιαφέρει η σειρά µε την ο- ποία εκλέχτηκαν τα στοιχεία της µ-άδας, και (ii) µπορεί ένα στοιχείο να επανεκλεγεί περισσότερες από µία φορές στη µ-άδα, ονοµάζονται επαναληπτικές διατάξεις των ν πραγµάτων ανά µ (*6). Συµβολισµός και τύπος Α.6.: Αποδεικνύεται πως οι επαναληπτικές διατάξεις των ν πραγµάτων ανά µ δίνονται από τη σχέση: ε ν µ = ν µ Παραδείγµατα: 1ο) Μία στήλη του ΠΡΟ-ΠΟ είναι µία δεκατριάδα που δηµιουργείται από τα τρία στοιχεία 1,Χ και 2. Αναρωτιόµαστε για το πόσες τέτοιες στήλες υπάρχουν. Λύση: Είναι φανερό πως έχουµε ένα πρόβληµα επαναληπτικών διατάξεων των τριών στοιχείων ανά δεκατρία. Ο συνολικός τους αριθµός δίνεται από τον τύπο Α.5: ε 3 13 = 3 13 = 1594323 στήλες. 2ο) Ρίχνουµε πέντε ζάρια. Ζητούµε να υπολογίσουµε το πλήθος των διαφορετικών αποτελεσµάτων. Λύση: Το καθένα από τα αποτελέσµατα δεν είναι τίποτε άλλο παρά µία πεντάδα που αποτελείται από τα ψηφία 1,2,3,4,5 και 6. Στη συνέχεια πρέπει να απαντήσουµε στην ερώτηση: Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία θα εµφανισθούν τα εν λόγω ψηφία στην πεντάδα; 6 Το ότι ενδιαφερόµαστε για τη σειρά εκλογής στην µ-άδα κατά τις επαναληπτικές διατάξεις είναι αυτονόητο και συνήθως παραλείπεται από τον ορισµό, µια και επανάθεση σηµαίνει καταγραφή του κάθε στοιχείου, αρα και καταγραφή της σειράς του στη µ-άδα. Άµεση συνέπεια αυτού είναι η µή ύπαρξη επαναληπτικών συνδυασµών.
14 Ας υποθέσουµε πως δεν γνωρίζουµε µε βεβαιότητα την απάντηση στην ερώτηση αυτή (7). Προχωρούµε λοιπόν στην επόµενη ερώτηση: Είναι δυνατό, στην ίδια πεντάδα, να εµφανιστεί κάποιο από τα ψηφία του ζαριού περισσότερες από µία φορές; Εδώ η απάντηση είναι προφανής: Ένα ψηφίο µπορεί να εµφανιστεί µέχρι και πέντε φορές [για παράδειγµα η σπάνια µα δυνατή ζαριά (6,6,6,6,6)]. Πρόκειται λοιπόν για επανεκλογή (επανάθεση) και εποµένως έχουµε επαναληπτικές διατάξεις! Ο συνολικός τους αριθµός δίνεται και πάλι από τον τύπο Α.6: ε 6 5 = 6 5 = 7776 ζαριές. Παρατήρηση: Το επόµενο "σχεδιάγραµµα" συστηµατοποιεί τις ερωτήσεις τις οποίες θέτουµε στον εαυτό µας, προκειµένου να καταλήξουµε στην έννοια που αντιστοιχεί στο πρόβληµα που µας απασχολεί. Μας ενδιαφέρει η σειρά; ΝΑΙ: Έχουµε επανάληψη; ΟΧΙ...Συνδυασµοί ΝΑΙ...Επαναληπτικές ιατάξεις ΟΧΙ... ιατάξεις εν ξέρω!. Έχουµε επανάληψη; ΝΑΙ...Επαναληπτικές ιατάξεις ΟΧΙ...?? Εάν φθάσετε στα ερωτηµατικά (??) µπορεί να συµβαίνουν δύο πράγµατα: Ή δεν απαντήσατε σωστά στις ερωτήσεις, ή η εκφώνηση του προβλήµατος δεν είναι πλήρης. 7 Είναι πολύ πιθανό να µην µπορούµε να απαντήσουµε µε σιγουριά στην πιο πάνω ερώτηση. Αν για παράδειγµα ρωτήσουµε έναν παίκτη του τάβλι, εάν έχει σηµασία στη ζαριά [6,5], το ποιό ζάρι έφερε 6 και ποιό 5, είναι πιθανό να µας απαντήσει, όχι, παρ'όλο που ξέρει πως υπάρχουν 36 διαφορετικές ζαριές.
15 A.1.6. Η αρχή της απαρίθµησης. Η αρχή της απαρίθµησης συχνά µας βοηθά να επιλύουµε τα προβλήµατα της Συνδυαστικής ανάλυσης µε µία διαφορετική προσέγγιση και συστηµατοποίηση, η οποία συχνά καθιστά ευκολότερη την λύση τους. Πρόκειται για έναν συµπληρωµατικό τρόπο σκέψης, σε σχέση µε τον τρόπο που µάθαµε ως τώρα (µε τη βοήθεια των εννοιών της Συνδυαστικής Ανάλυσης) και ο οποίος µπορεί να εφαρµοσθεί στα προβλήµατα στα οποία η Συνδυαστική Ανάλυση θα χρησι- µοποιούσε τις ιατάξεις (απλές ή επαναληπτικές). Ορισµός Α.7. Έστω πως δηµιουργούµε δείγµατα των µ στοιχείων, ενώ µας ενδιαφέρει η σειρά εκλογής των στοιχείων της µ-αδας (8). Έστω επίσης ότι έχουµε κ 1 διαφορετικούς τρόπους συµπλήρωσης της πρώτης θέσης της µ-αδας, κ 2 διαφορετικούς τρόπους συµπλήρωσης της δεύτερης θέσης, κ 3 της τρίτης, κ.ο.κ.. ιαφορετικοί τρόποι συµπλήρωσης της κάθε κ 1 κ 2 κ 3 κ µ θέσης της µ-αδας.... µ-αδα µενο: Τότε, το πλήθος Μ όλων των διαφορετικών µ-αδων δίνεται από το γινό- Μ = κ 1 *κ 2 *κ 3 *...*κ µ Παραδείγµατα: 1ο) Ρίχνουµε 5 ζάρια και ζητούµε το πλήθος Ν, των διαφορετικών αποτελεσµάτων (ζαριών). 8 Είµαστε δηλαδή στην περίπτωση κατά την οποία χρησιµοποιούµε τους τύπους των ιατάξεων (απλών ή επαναληπτικών).
16 Λύση: Ξεκινάµε µε ένα παράδειγµα το οποίο έχει ήδη λυθεί στο κεφάλαιο της συνδυαστικής ανάλυσης, µε τη βοήθεια των επαναληπτικών ιατάξεων (Ν=6 5 ). Το τυχαίο αποτέλεσµα είναι µία πεντάδα αριθµών (από το 1 έως το 6), µία πεντάδα θέσεων, από τις οποίες η κάθε µία µπορεί να συµπληρωθεί µε 6 διαφορετικούς τρόπους. Άρα το πλήθος Μ των διαφορετικών πεντάδων δίνεται από το γινόµενο: Μ = 6*6*6*6*6 = 6 5 2ο) Σε έναν κάδο έχουµε 15 µπάλες του µπιλιάρδου, από τις οποίες οι 10 είναι κόκκινες, οι 3 άσπρες και οι 2 µαύρες. Τραβώ, χωρίς επανάθεση, 4 µπάλες, καταγράφοντας τη σειρά εκλογής στην τετράδα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορώ να βγάλω 2 κόκκινες µπάλες; Λύση: Παίρνω µία τετράδα στην οποία οι πρώτες δύο µπάλες είναι κόκκινες ενώ οι 3η και 4η άλλου χρώµατος. Για την 1η θέση υπάρχουν 10 δυνατοί τρόποι πλήρωσής της µε κόκκινη µπάλα. Για τη δεύτερη υπάρχουν 9 δυνατοί τρόποι, µια και η δέκατη τοποθετήθηκε στην πρώτη θέση. Για την τρίτη θέση έχουµε 5 δυνατούς τρόπους πλήρωσης, ενώ για την τέταρτη 4 (και πάλι η µία από τις 5 -µη κόκκινες- τοποθετήθηκε στην τρίτη θέση). 10 9 5 4 1η κόκκινη 2η κόκκινη 3η 4η Αρα το πλήθος των διαφορετικών τετράδων (µε τις δύο κόκκινες στις πρώτες θέσεις) δίνεται απ'το γινόµενο: L = 10*9*5*4 = 1800 Όµως, εκτός από την τετράδα της µορφής (Κ,Κ,-,-), έχουµε συνολικά τις εξής µορφές τετράδων: (Κ,-,Κ,-), (Κ,-,-,Κ), (-,Κ,Κ,-), (-,Κ,-,Κ) και (-,-,Κ,Κ) έχουµε δηλαδή 6 µορφές τετράδων, (το πλήθος τους δίνεται και από το πληθος των επαναληπτικών µεταθέσεων των 4 στοιχείων (Κ,Κ,-,-), από τα οποία τα δύο (Κ) είναι όµοια, όπως επίσης και τα άλλα δύο (-). Το πλήθος τους εποµένως δίνεται από τη σχέση: r = ε 4 2,2 = 4!/(2!*2!) = 6
17 Εποµένως το συνολικό πλήθος των τετράδων είναι ίσο µε: Ν = r*l = 6*1800 = 10800 Λύση µέσω των ιατάξεων: Aν θέλαµε να δουλέψουµε µόνο µε τη βοήθεια των εννοιών της συνδυαστικής ανάλυσης, θα σκεφτόµαστε ως εξής: Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους κάνω δυάδες (µε σειρά) από τις 10 κόκκινες µπάλες, δίνονται απ'τη σχέση: L 1 = 10 2 = 10!/(10-2)! = 90 Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους κάνω δυάδες (µε σειρά) από τις 5 µη κόκκινες µπάλες, δίνονται απ'τη σχέση: L 2 = 5 2 = 5!/(5-2)! = 20 Τέλος, οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορούν να τοποθετηθούν οι δύο κόκκινες και οι δύο µη κόκκινες µπάλες στην τετράδα, δίνονται απ'τη σχέση: r = ε 4 2,2 = 4!/(2!*2!) = 6 Έτσι, φθάνουµε και πάλι στο συνολικό πλήθος των τετράδων: Ν = r*l 1 *L 2 = 6*90*20 = 10800 Παρατήρηση: Η ενασχόληση µε τα προβλήµατα της Συνδυαστικής Ανάλυσης δείχνει πως σε κάποια από αυτά η προσέγγιση µέσω της αρχής της απαρίθµησης διευκολύνει την επίλυση του προβλήµατος, ενώ σε κάποια άλλα η χρήση της έννοιας των ιατάξεων βοηθά περισσότερο στην επίλυση και συστη- µατοποίησή τους.
18 A.2. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ: Εισαγωγικές έννοιες. Α.2.1. Πείραµα τύχης (π.τ.). Με τον όρο πείραµα τύχης (π.τ.) καλύπτουµε ένα µεγάλο σύνολο πράξεων, ενεργειών και διαδικασιών που χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητα για το τελικό τους αποτέλεσµα, η οποία προέρχεται από την ύπαρξη περισσοτέρων του ενός δυνατών αποτελεσµάτων. Βέβαια µιλούµε για πείραµα τύχης εφ'όσον υπάρχουν πράγµατι περισσότερα του ενός δυνατά αποτελέσµατα. Πειράµατα τύχης µπορούν να αναφερθούν πολλά, όπως το στρίψιµο του νοµίσµατος, το ρίξιµο ενός ζαριού, η επιτυχία ή η αποτυχία ενός αθλητή στην προσπάθειά του, η τυχαία πρόβλεψη για το φύλο ενός εµβρύου κ.λ.π.. Όµως δεν είναι πείραµα τύχης ένα πείραµα ελεύθερης πτώσης ενός σώµατος ή η προσπάθεια να βάλουµε µέσα σε µια τρύπα του γκολφ µία µπάλα του µπάσκετ. Α.2.2. Απλό γεγονός, δειγµατοχώρος και γεγονός ενός πειράµατος τύχης. Ορισµός Α.8. Καλούµε απλό γεγονός (ή απλό ενδεχόµενο) ενός πειράµατος τύχης το κάθε δυνατό αποτέλεσµα του εν λόγω πειράµατος τύχης. Για παράδειγµα στο ρίξιµο ενός ζαριού, απλά γεγονότα είναι τα έξι δυνατά αποτελέσµατα, δηλ τα 1, 2, 3, 4, 5 και 6. Ορισµός Α.9. Ο δειγµατοχώρος ενός π.τ. είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσµάτων, όλων των απλών γεγονότων του συγκεκριµένου π.τ..
19 Συµβολισµός: Συνήθως διαλέγουµε συµβολισµούς από τη θεωρία συνόλων. Έτσι συµβολίζουµε το απλό γεγονός µε κάποιο µικρό γράµµα και το δειγ- µατοχώρο ενός π.τ. µε το γράµµα Ω που στη θεωρία των συνόλων έχει καθιερωθεί σαν το σύµβολο του γενικού συνόλου. Ξαναγυρίζοντας στο παράδειγµα του ζαριού ο δειγµατοχώρος Ω περιέχει τα έξι γνωστά αποτελέσµατα. Οπότε: Ω = { 1,2,3,4,5,6 } Ορισµός Α.10. Γεγονός (ή ενδεχόµενο) ενός π.τ. είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του δειγµατοχώρου Ω. Ενα γεγονός εποµένως είναι ένα σύνολο που περιέχει απλά γεγονότα, σε αντίθεση µε το απλό γεγονός που είναι ένα στοιχείο. Σαν σύνολο εποµένως το απλό γεγονός συµβολίζεται µε ένα κεφαλαίο γράµµα του αλφαβήτου. Παρατηρήσεις: 1η) Ενα γεγονός συχνά το παρουσιάζουµε απαριθµώντας τα στοιχεία του. Στο παράδειγµα του ζαριού ένα γεγονός είναι και το: Α = { 1,3,5 } 2η) Είναι όµως εξ'ίσου συνηθισµένο να ορίζουµε ένα γεγονός περιγραφικά. Το γεγονός της προηγούµενης παρατήρησης γράφεται: Α = < Μονή ζαριά ενός ζαριού > 3η) Συχνά χρησιµοποιείται η έκφραση: "κατά την εκτέλεση του π.τ., συνέβη το γεγονός Α" Βέβαια δεν είναι δυνατό να συµβούν, ταυτόχρονα, όλα τα απλά γεγονότα ενός γεγονότος Α (εκτός και εάν το Α περιέχει ένα µόνο στοιχείο). Έχουµε λοιπόν τον ορισµό:
20 Ορισµός Α.11. Κατά την εκτέλεση ενός π.τ. λέµε πως το γεγονός Α συνέβη, εάν το τελικό αποτέλεσµα του π.τ. είναι ένα από τα απλά γεγονότα του Α (ανήκει δηλ. στο Α). Παράδειγµα: Ρίχνουµε δύο ζάρια και ορίζουµε το γεγονός: Α = <φέρνουµε άθροισµα των δύο ζαριών 8> = = { (2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4) } Εάν το αποτέλεσµα του πειράµατός µας είναι η ζαριά (6,2), τότε λέµε πως συνέβη το γεγονός Α. Α.2.3. Υπενθυµίσεις από τη συνολοθεωρία. Παρατηρήσεις-Συµβολισµοί. Μέχρις εδώ δεν ήταν απαραίτητο να αναφερθούµε (µε ελάχιστες ίσως ε- ξαιρέσεις) σε έννοιες που έχουν σχέση µε τη θεωρία των συνόλων. Στο τρέχον όµως κεφάλαιο, χρειαστήκαµε και θα χρειαστούµε τη γνώση κάποιων βασικών εννοιών της συνολοθεωρίας. Οι παρακάτω έννοιες λοιπόν θά'ταν σκόπιµο να προσεχθούν ιδιαίτερα. Βέβαια ίσως απορήσει ο αναγνώστης µε το ότι η παράγραφος αυτή δεν τοποθετήθηκε στην αρχή του τρέχοντος κεφαλαίου... Θέλοντας όµως να παρουσιάσουµε τις έννοιες του απλού γεγονότος, του γεγονότος και του δειγµατοχώρου, παράλληλα µε τις αντίστοιχες της συνολοθεωρίας, προτιµήσαµε αυτή τη σειρά παρουσίασης. Αρχικά θα αποφύγουµε να δώσουµε έναν πλήρη ορισµό για την έννοια του συνόλου. Αντ'αυτού θα αναφέρουµε πως το σύνολο είναι µία συλλογή στοιχείων τα οποία (και µόνον αυτά) συνδέονται µε µία χαρακτηριστική ιδιότητα. Έτσι για παράδειγµα, όταν µιλούµε για το σύνολο των ψηφοφόρων του ήµου Θεσσαλονίκης, αναφερόµαστε σε µια συλλογή ανθρώπων που είναι οι µόνοι που κατέχουν την ίδια χαρακτηριστική ιδιότητα: "Έχουν τα εκλογικά τους δικαιώµατα στο ήµο Θεσσαλονίκης".
21 Παρατηρήσεις: (1η) Ενα σύνολο συµβολίζεται µε ένα κεφαλαίο γράµµα. (π.χ. Α, Γ, Ω κ.λ.π.). (2η) Τα στοιχεία ενός συνόλου συµβολίζονται µε ένα µικρό γράµµα. (π.χ. α, β, γ 1, γ 2, κ.λ.π.) (3η) Τρόποι γραφής ενός συνόλου: α) Αναγράφοντας όλα τα στοιχεία του: Α = { α,ε,ι,η,ο,υ,ω } β) Με αναφορά της χαρακτηριστικής ιδιότητας των στοιχείων του: Α = { χ/χ: Φωνήεν του Ελλ. αλφαβήτου } όπου ο παραπάνω συµβολισµός "διαβάζεται": Το Α είναι το σύνολο των στοιχείων χ, όπου το τυχαίο χ είναι φωνήεν του Ελλ.αλφαβήτου. (4η) Ενα στοιχείο ανήκει το πολύ µία φορά σε κάποιο σύνολο. (5η) Το σύνολο αποτελεί µια ποιοτικά διαφορετική οντότητα από τα στοιχεία του (π.χ. δένδρο-δάσος, σπουδαστής-τµήµα κ.λ.π.) (6η) Το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία (συνήθως το "όλα" εξαρτάται από το πρόβληµα), ονοµάζεται γενικό σύνολο και συµβολίζεται µε το Ω. Έτσι εάν µας απασχολούν τα αποτελέσµατα των ηµοτικών Εκλογών στο ήµο της Θεσσαλονίκης, τότε ορίζουµε σαν γενικό σύνολο, το σύνολο όλων των ψηφοφόρων του.θ.. (7η) Γίνεται και πάλι φανερή η σχέση που υπάρχει ανάµεσα στο στοιχείο ενός συνόλου και στο απλό γεγονός ενός πειράµατος τύχης, όπως επίσης ανάµεσα στην έννοια του συνόλου και του γεγονότος. Τέλος, όπως στη συνολοθεωρία το γενικό σύνολο συµβολίζεται µε το Ω, έτσι και ο δειγµατοχώρος ενός π.τ. (δηλαδή το γεγονός -σύνολο- όλων των α- πλών γεγονότων) συµβολίζεται κατ'αναλογία µε το Ω. Για το λόγο αυτό, στις επόµενες ιδιότητες αναφερόµαστε ταυτόχρονα σε σύνολα και γεγονότα.
22 Ιδιότητες-συµβολισµοί: i) Ενα απλό γεγονός (στοιχείο) α ανήκει ή δεν ανήκει στο γεγονός (σύνολο) Α: α A (ανήκει) α A (δεν ανήκει) Παράλληλα να θυµηθούµε πως ένα στοιχείο δεν µπορεί να ανήκει παρά µόνο µία φορά σε κάποιο γεγονός (σύνολο). ii) Ενα γεγονός (σύνολο) Β είναι υποσύνολο του γεγονότος (συνόλου) Α, εάν το Α περιέχει όλα τα στοιχεία του Β: B C A (Το Β υποσύνολο του Α) Εποµένως, για κάθε γεγονός (σύνολο) Α ισχύει πως: Α C Α και Α C Ω iii) ύο γεγονότα (σύνολα) Α και Β για τα οποία δεν ισχύει καµιά από τις δύο σχέσεις: Α C Β ή Β C Α λέγονται µή συγκρίσιµα. Έτσι τα παρακάτω σύνολα είναι µή συγκρίσιµα. Α = { α,β,γ,δ } και Β = { α,δ,η } iv) ύο γεγονότα (σύνολα) Α και Β λέγονται ίσα, όταν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς απλά γεγονότα (στοιχεία). Γράφουµε Α = Β. v) Εύκολα διαπιστώνουµε την ισχύ της αντισυµµετρικής ιδιότητας: [ Α C B και B C A ] A = B vi) Ενα γεγονός (σύνολο) λέγεται κενό ( ), όταν δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το κενό σύνολο (γεγονός) θεωρείται υποσύνολο κάθε συνόλου. C A vii) Ονοµάζουµε πληθικό αριθµό ενός γεγονότος (συνόλου) Α το πλήθος των απλών γεγονότων (στοιχείων) του. Για παράδειγµα, ο πληθικός αριθµός του συνόλου των κεφαλαίων γραµµάτων του Νεοελληνικού αλφαβήτου είναι 24.