4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα

4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακροτάτου. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται οι μαθητές: Να προσεγγίσουν καταρχήν διαισθητικά τις έννοιες των ολικών και των τοπικών ακροτάτων και στη συνέχεια να οδηγηθούν στους τυπικούς ορισμούς τους. Να στοχαστούν πάνω στις προηγούμενες έννοιες, κατασκευάζοντας με τη βοήθεια του λογισμικού κάποια παραδείγματα και αντιπαραδείγματα για τις διάφορες περιπτώσεις τοπικών και ολικών ακροτάτων. Να αποσαφηνίσουν τη σχέση τοπικών και ολικών ακροτάτων. Να αποσαφηνίσουν ότι ενδέχεται να μην υπάρχουν καθόλου τοπικά ή ολικά ακρότατα και ότι εάν υπάρχουν μπορεί να εμφανίζονται σε περισσότερα του ενός σημεία. Λογική της δραστηριότητας Η λογική δομή της δραστηριότητας διαμορφώνεται ως εξής: Στο πρώτο βήμα (4.2.1), με αφετηρία ένα πρόβλημα που αφορά στον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών, εμφανίζεται η αναγκαιότητα εντοπισμού των ολικών και τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Ακολουθεί η διαισθητική αναγνώρισή τους στη γραφική παράσταση και ο κατά προσέγγιση εντοπισμός τους. Η εισαγωγή των ορισμών προκύπτει ως τυποποίηση των καταστάσεων που εμφανίζονται στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Στο δεύτερο βήμα (4.2.2) γίνεται διεξοδική μελέτη αυτών των εννοιών και των μεταξύ τους σχέσεων με τη βοήθεια διαφόρων παραδειγμάτων-αντιπαραδειγμάτων που μπορεί να παράγει το λογισμικό. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να παρουσιαστεί στους μαθητές των τελευταίων τάξεων του Λυκείου στα πλαίσια της συνήθους διδασκαλίας τους. 1

Η αναλυτική εξέταση όλων των περιπτώσεων ακροτάτων μπορεί να περιοριστεί στο επίπεδο της διδασκαλίας της Μαθηματικής Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, αλλά μπορεί και να επεκταθεί για τις ανάγκες ενός μαθήματος Απειροστικού Λογισμού στο 1 ο πανεπιστημιακό έτος. Ο απαιτούμενος χρόνος για τη διεξαγωγή της δραστηριότητας σε πραγματικές συνθήκες εκτιμάται σε 1-2 διδακτικές ώρες. 2

4.2.1 Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Χρήση της γραφικής παράστασης για την εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακρότατου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) περιγράφεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με x 1, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2 έως 31/12/21. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει σε ποια χρονική στιγμή της περιόδου που μελετούμε η αγέλη έχει το μεγαλύτερο αριθμό ελαφιών και σε ποια το μικρότερο. Το ερώτημα αναφέρεται στα ολικά ακρότατα. Ανοίξτε το αρχείο 4.2.1.activity.gr.euc του EucliDraw και στην οθόνη του πατήστε στο πλήκτρο Γραφική Παράσταση, για να δείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Px ( ), όπου το του άξονα x x αντιστοιχεί στο έτος 2. Το αρχείο δίνεται έτοιμο στους μαθητές για οικονομία χρόνου. Η γραφική παράσταση δίνει στοιχεία όχι μόνο για τη χρονική εξέλιξη του πληθυσμού των ελαφιών της αγέλης, αλλά και για τη μεταβολή του. Με βάση αυτή τη διαπίστωση μπορεί να γίνει μια σύντομη συζήτηση στην τάξη σχετικά με τις δυνατότητες των γραφικών παραστάσεων και τη συμβολή τους στην καλύτερη κατανόηση ενός φαινομένου. Με το πλήκτρο Σημείο Συντεταγμένες μπορείτε να εμφανίσετε ένα σημείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης μαζί με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του. Μπορείτε να μεταβάλλετε την τετμημένη του σημείου x Μ, για να το μετακινήσετε πάνω στη γραφική παράσταση και να παρατηρήσετε την αντίστοιχη τεταγμένη y Μ σε διάφορες θέσεις. Επίσης μπορείτε με τη βοήθεια της παραμέτρου k του εργαλείου Ευθεία y = k να μετακινήσετε παράλληλα την ευθεία y = k. Όταν υπάρχουν, σημειώνονται τα σημεία τομής της παραπάνω ευθείας με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 3

Ε1: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, κατά την οποία το κοπάδι έχει το μέγιστο αριθμό ελαφιών; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Είναι επιθυμητή η διαισθητική προσέγγιση για την έννοια του ολικού μεγίστου από τους μαθητές με τη βοήθεια του λογισμικού. Για την απάντηση στην ερώτηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί το εργαλείο Ευθεία y = k. Αναμένεται οι μαθητές να παρατηρήσουν ότι όταν η ευθεία διέρχεται από ένα ακρότατο τότε αυτό είναι το μοναδικό κοινό σημείο της ευθείας με την καμπύλη. Οι επόμενες ερωτήσεις στοχεύουν στον τυπικό ορισμό για την έννοια του ολικού μεγίστου. Ε2: Θέτουμε x τη χρονική στιγμή που προέκυψε από την Ε1. Έστω x [,16]. Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ); Είναι επιθυμητό να οδηγηθούν οι μαθητές στην έννοια του ολικού μεγίστου. Στο σημείο x λέμε ότι η συνάρτηση Pxπαρουσιάζει ( ) ολικό μέγιστο. Ε3:Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), αν Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές με την πιθανή συμβολή του καθηγητή: Έστω σύνολο Α. «Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x A, όταν f ( x) f ( x ) για κάθε x A». Οι επόμενες ερωτήσεις αναφέρονται αντίστοιχα στο ολικό ελάχιστο. Ε4: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, στην οποία το κοπάδι έχει τον ελάχιστο πληθυσμό; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Είναι επιθυμητή η προσέγγιση της έννοιας του ολικού ελαχίστου από τους μαθητές με τη βοήθεια του λογισμικού. 4

Ε5: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε3 να δώσετε έναν ορισμό για το ολικό ελάχιστο; Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές: Έστω σύνολο Α. «Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x A, όταν f ( x) f ( x ) για κάθε x A». Μετά την έννοια του ολικού ακροτάτου ο καθηγητής μπορεί να δώσει κάποια ερεθίσματα για τη σημασία που έχουν οι άνω και κάτω κορυφές στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και να προσανατολίσει τη συζήτηση προς τα τοπικά ακρότατα. Ένα βασικό σημείο που θα τονιστεί και στη συνέχεια μέσω των ερωτήσεων είναι η εικόνα ενός τοπικού ακροτάτου ως ολικό, μέσα σε ένα κατάλληλο ανοικτό διάστημα. Ε6: Κατά τη χρονική περίοδο 2-22 υπάρχει κάποια στιγμή x όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Εδώ επιχειρείται να δοθεί μια διαισθητική εικόνα για το τοπικό μέγιστο, την οποία στη συνέχεια μπορεί ο μαθητής να τυποποιήσει κάπως με τη συμβολή του καθηγητή. Ε7: Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ) για x (,2) ; Ο στόχος είναι να βρει ο μαθητής μια περιοχή του x ή ένα ανοικτό διάστημα που το περιέχει, μέσα στην οποία το τοπικό ακρότατο είναι ολικό. Γενικότερα ο καθηγητής μπορεί, ανάλογα με τους επιθυμητούς στόχους και το διαθέσιμο χρόνο του, να καθοδηγήσει τους μαθητές του με τη βοήθεια απλών γραφικών παραστάσεων ή /και λεκτικά, στη διαμόρφωση των τυπικών ορισμών για τα τοπικά ακρότατα. Στο σημείο x λέμε ότι η συνάρτηση ( ) Px παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. 5

Ε8: Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), αν Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές με την πιθανή συμβολή του καθηγητή: Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x A, όταν υπάρχει διάστημα ( α, β ) με x ( α, β ) ώστε f ( x) f ( x ) για κάθε x A ( α, β ). Ο καθηγητής μπορεί να συμπληρώσει ότι το ανοικτό διάστημα μπορεί να είναι της μορφής ( x δ, x + δ ). Δηλαδή ένα ανοικτό διάστημα με κέντρο το x και ακτίνα δ. Ε9: Κατά τη χρονική περίοδο 22-25 υπάρχει κάποια στιγμή, όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται ελάχιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Επιθυμητή είναι μια πρώτη διαισθητική επαφή με την έννοια του τοπικού ελαχίστου μέσω της γραφικής παράστασης. Ε1: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε8 να δώσετε έναν ορισμό για το τοπικό ελάχιστο; Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές: Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x A, όταν υπάρχει διάστημα ( α, β ) με x ( α, β ),ώστε f ( x ) f ( x) για κάθε x A ( α, β ). Είναι απαραίτητο να υπάρξει μια πρώτη επαφή των μαθητών και με ενδεχόμενα τοπικά ακρότατα, τα οποία μπορούν να βρίσκονται στα άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης. Μια συζήτηση μπορεί να ξεκινήσει με ερωτήσεις που αναφέρονται στην ανωτέρω συνάρτηση, όπως: Νομίζετε ότι ένα τοπικό μέγιστο πρέπει να είναι πάντα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού; Σε ποιες περιπτώσεις μπορούμε να έχουμε ακρότατο και σε άκρο διαστήματος; Ε11: Μέσα στο έτος 29 υπάρχει κάποια στιγμή, όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Αναμένεται από τους μαθητές να απαντήσουν ότι στο τέλος του έτους ή την 1/1/21 ο πληθυσμός γίνεται μέγιστος. Ο καθηγητής μπορεί σε συνδυασμό με την επόμενη ερώτηση Ε12, να συμβάλει στην τυποποίηση της διατύπωσης: η συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο στο άκρο 1 x = του πεδίου ορισμού της [,1]. 6

Ε12: Νομίζετε ότι οι προηγούμενοι ορισμοί που δώσατε για τα τοπικά ακρότατα καλύπτουν και την περίπτωση, όπου το σημείο x είναι άκρο του διαστήματος στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση; Επιθυμητή είναι μια συζήτηση με αφετηρία το τοπικό μέγιστο στο άκρο x = 1 της ερώτησης Ε11 και το τοπικό ελάχιστο στο x =. Ε13: Νομίζετε ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο, όταν υπάρχει, είναι απαραίτητα το μοναδικό σε μια συνάρτηση; Οι μαθητές διατυπώνουν ελεύθερα τις απόψεις τους λαμβάνοντας υπόψη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Με αφορμή τις απαντήσεις των μαθητών στην ερώτηση Ε13 η συζήτηση μπορεί να οδηγήσει σε κάποιο προβληματισμό με στόχο τη σύνδεση των τοπικών με τα ολικά ακρότατα. Προς αυτή την κατεύθυνση ο καθηγητής θα μπορούσε σχεδιάζοντας κάποιες απλές γραφικές παραστάσεις στον πίνακα να οδηγήσει τους μαθητές στα εξής: Τοπικό ακρότατο σημαίνει να υπάρχει μια περιοχή του σημείου, ανεξάρτητα από το εύρος της, μέσα στην οποία το εν λόγω ακρότατο να είναι ολικό (χρήση της ολικής συνθήκης για την κατανόηση της τοπικής). Εάν σε κλειστό διάστημα υπάρχουν πολλά διαφορετικά τοπικά ακρότατα του ίδιου είδους, όπως π.χ. τοπικά μέγιστα, τότε το ολικό μέγιστο (που υπάρχει από το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής) προσδιορίζεται ως το μεγαλύτερο από αυτά (από τις τοπικές συνθήκες στην καθολική). Εάν όμως το εν λόγω διάστημα είναι ανοικτό σε ένα τουλάχιστον από τα άκρα του, τότε δεν υπάρχει απαραίτητα τοπικό ή ολικό ακρότατο. Η τελευταία αυτή παρατήρηση θα εμπλουτιστεί με τα παραδείγματα και αντιπαραδείγματα του Φύλλου Εργασίας 4.2.2. Ε14: Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Px ( ) μπορείτε να συμπεράνετε εάν υπάρχουν και άλλα τοπικά ακρότατα, που δεν εντοπίσατε προηγουμένως; Αναμένεται όλοι οι μαθητές να συμφωνήσουν στο ποια είναι τα τοπικά και ολικά ακρότατα της συνάρτησης. 7

Ε15: Μπορείτε να καταγράψετε όλα τα τοπικά και τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης y = P( x) που βρήκατε; Στοn πίνακα μπορεί να γίνει μια απλή καταγραφή των ακροτάτων κατά αύξουσα σειρά, καθώς και του είδους τους, ώστε να βεβαιωθούν οι μαθητές ότι δεν παραλείφθηκε κάποιο. x P(x) Είδος ακροτάτου (ΤΜ/ΤΕ, ΟΜ/ΟΕ) Ε16: Νομίζετε ότι οι τιμές που βρήκατε για τα ακρότατα με τη βοήθεια του λογισμικού είναι απολύτως ακριβείς; Γιατί; Με αφορμή την ακρίβεια στους υπολογισμούς του προγράμματος θα μπορούσε να ξεκινήσει μια συζήτηση σε σχέση με τις δυνατότητες του υπολογιστικού μέσου. Εάν για παράδειγμα ένα από τα ακρότατα είναι στο x = 2, πώς μπορούμε να έχουμε ακρίβεια; Η συζήτηση αυτή μπορεί να οδηγήσει στην ανάγκη εύρεσης άλλων μαθηματικών εργαλείων που να μας επιτρέπουν τον ακριβή υπολογισμό των τιμών, για τις οποίες η συνάρτηση λαμβάνει τοπικά ή ολικά ακρότατα. Ως επόμενο βήμα ακολουθεί η δραστηριότητα 4.3 που εισάγει το θεώρημα Fermat. 8

4.2.2 Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Περαιτέρω διερεύνηση τοπικών και ολικών ακροτάτων Τα δύο αρχεία που ακολουθούν παρουσιάζουν γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, οι οποίες μπορούν να μεταβληθούν μέσω των παραμέτρων τους δυναμικά (δηλαδή να αλλάζουν, χωρίς όμως να μεταβάλλονται οι σχέσεις με όλα τα υπόλοιπα αντικείμενα που εξαρτώνται από αυτές). Ο στόχος είναι η παραγωγή πολλών και διαφορετικών περιπτώσεων για τα τοπικά και ολικά ακρότατα που είναι απαραίτητες για τον εμπλουτισμό των εννοιών που διαμορφώθηκαν στο 4.2.1. Ανοίξτε το αρχείο 4.2.2.activity.gr.euc του EucliDraw. Αφού ανοίξετε τα υπάρχοντα εργαλεία και τη γραφική παράσταση, μπορείτε να μεταβάλετε κατά βούληση τις παραμέτρους και να κάνετε παρατηρήσεις σε σχέση με τα τοπικά ή ολικά ακρότατα των γραφικών παραστάσεων που εμφανίζονται. Για την απόκτηση μιας πληρέστερης εικόνας οι μαθητές θα ασχοληθούν με απλές γραφικές παραστάσεις διαφορετικές από αυτήν του προηγουμένου προβλήματος, οι οποίες όμως μπορούν να μεταβληθούν μέσω των παραμέτρων, με σκοπό την παραγωγή πολλών και διαφορετικών περιπτώσεων ως προς τα τοπικά ή τα ολικά ακρότατα. Από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που μπορείτε να κατασκευάστε προσπαθήστε να εντοπίσετε, εάν υπάρχουν σε κάθε περίπτωση τα τοπικά και τα ολικά τους ακρότατα. Ο καθηγητής θα πρέπει εδώ να εξηγήσει στους μαθητές τα διάφορα πλήκτρα και παραμέτρους των αρχείων, ώστε να μπορούν αυτοί να τα χειριστούν. Στη συνέχεια μπορεί να τους καθοδηγήσει να κατασκευάσουν διάφορα στιγμιότυπα γραφικών παραστάσεων συνεχών και μη συνεχών συναρτήσεων, με πεδία ορισμού ανοικτά ή κλειστά διαστήματα, όπου θα πρέπει να αποφανθούν για το αν υπάρχουν τοπικά ή ολικά ακρότατα. Χρήσιμα εργαλεία για αυτό είναι η μεταβαλλόμενη οριζόντια ευθεία με τα σημεία τομής με τη γραφική παράσταση, η οποία θα μπορούσε να δώσει μια πρώτη διαισθητική εικόνα για την εφαπτομένη στο ακρότατο και την εισαγωγή στο θεώρημα Fermat. Μέσα από τις απαντήσεις των μαθητών αναμένεται να επιβεβαιωθεί ότι τοπικά ακρότατα μπορούν να είναι και τα άκρα του (κλειστού) διαστήματος που αποτελεί το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης. Εξεζητημένες περιπτώσεις, όπου το Δ αποτελείται από πολλαπλές ενώσεις διαστημάτων, δε θίγονται εδώ, καθώς θεωρούνται αρκετά προχωρημένες για τις απαιτήσεις της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Ωστόσο η 9

παραμετροποίηση που έχει γίνει για τη συνάρτηση του 4.2.1 επιτρέπει και το διαχωρισμό των υποδιαστημάτων του πεδίου ορισμού της συνάρτησης και κατά συνέπεια την επέκταση του προβλήματος σε συναρτήσεις που ορίζονται σε ένωση διαστημάτων του, με τελικό στόχο τη δυνατότητα επέκτασης της έρευνας σε ένα διαφορετικό διδακτικό/μαθησιακό επίπεδο. Με τη βοήθεια των παραμέτρων μπορείτε να μεταβάλετε τις προηγούμενες γραφικές παραστάσεις. Κάνοντας τις παρατηρήσεις σας προσπαθήστε να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: Ε1: Νομίζετε ότι ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο (ή αντίστοιχα ότι ένα τοπικό ελάχιστο είναι πάντα μικρότερο από ένα τοπικό μέγιστο); Μπορείτε να κατασκευάσετε με τη βοήθεια του προγράμματος ή να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση που να υποστηρίζει τον ισχυρισμό σας. Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν σε ομάδες και να κατασκευάσουν διάφορες συναρτήσεις για να υποστηρίξουν τους ισχυρισμούς τους σε αυτήν και τις επόμενες ερωτήσεις. Επίσης μπορούν να ανατρέξουν στην αρχική γραφική παράσταση του 4.5.1. Ε2: Νομίζετε ότι μια συνάρτηση έχει πάντα ένα ολικό μέγιστο ή ελάχιστο; Όταν αυτό υπάρχει, είναι μοναδικό για μια συνάρτηση; Εδώ θα μπορούσαν να αναφερθούν παραδείγματα καθώς και αντιπαραδείγματα συγκεκριμένων μη φραγμένων συναρτήσεων. Με στόχο την αποσαφήνιση των 1 προηγουμένων εννοιών θα μπορούσαν να δοθούν ως παραδείγματα: η f ( x) = x ορισμένη σε διαφορετικά πεδία ορισμού όπως: [1, 4],[1, 3), (, 3], \{} σχετικά με την ύπαρξη ακροτάτων και η g( x) = ημxπου δείχνει ότι τα ακρότατα δεν είναι μοναδικά. Θα μπορούσε επίσης να γίνει αναφορά στο θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης τιμής για συνεχή συνάρτηση σε κλειστό διάστημα ή /και να προστεθούν ερωτήσεις του τύπου: Εξαρτάται η ύπαρξη ενός ολικού ακροτάτου από το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης; Από τις ιδιότητες της συνάρτησης; Από ποιες; Ε3: Νομίζετε ότι, εάν μια συνάρτηση έχει ένα μόνο τοπικό μέγιστο, αυτό είναι πάντα και ολικό; Θα μπορούσε να προκύψει μια συζήτηση για ακρότατα σε κλειστό ή ανοικτό διάστημα και ως επέκταση να δοθούν ερωτήματα όπως: Πότε συμβαίνει αυτό; Μπορείτε να εξηγήσετε τον ισχυρισμό σας με μια κατάλληλη γραφική παράσταση; 1

Δείτε επίσης την αρχική γραφική παράσταση (Αρχείο 4.2.1) σε συνδυασμό με το προηγούμενο αρχείο Ακρότατα, για να απαντήσετε στα επόμενα ερωτήματα. Ε4: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά μέγιστα, τότε το μεγαλύτερο από αυτά είναι και ολικό μέγιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; Προφανώς η συνάρτηση P είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα και άρα διαθέτει ολικά ακρότατα. Η αντιδιαστολή με τα παραδείγματα που μπορούν να προκύψουν από το αρχείο Ακρότατα αναμένεται να εμπλουτίσει το στοχασμό των μαθητών πάνω στις έννοιες τοπικών και ολικών ακροτάτων. Ε5: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά ελάχιστα τότε το μικρότερο από αυτά είναι και ολικό ελάχιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; Ισχύουν τα σχόλια της Ε4. Επιπλέον καθηγητής μπορεί να υπενθυμίσει γραφικές παραστάσεις που έχουν ήδη μελετηθεί ή να προτείνει στους μαθητές να παρουσιάσουν δικά τους παραδείγματα που μπορούν να σχεδιάσουν είτε με τη βοήθεια του λογισμικού είτε πάνω στο φύλλο εργασίας. 11

4.2.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Χρήση της γραφικής παράστασης για την εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακρότατου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) περιγράφεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με x 1, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2 έως 31/12/21. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει σε ποια χρονική στιγμή της περιόδου που μελετούμε η αγέλη έχει το μεγαλύτερο αριθμό ελαφιών και σε ποια το μικρότερο. Ανοίξτε το αρχείο 4.2.1.activity.gr.euc του EucliDraw και στην οθόνη του πατήστε στο πλήκτρο Γραφική Παράσταση, για να δείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Px ( ), όπου το του άξονα x x αντιστοιχεί στο έτος 2. Με το πλήκτρο Σημείο Συντεταγμένες μπορείτε να εμφανίσετε ένα σημείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης μαζί με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του. Μπορείτε να μεταβάλλετε την τετμημένη του σημείου x Μ, για να το μετακινήσετε πάνω στη γραφική παράσταση και να παρατηρήσετε την αντίστοιχη τεταγμένη y Μ σε διάφορες θέσεις. Επίσης μπορείτε με τη βοήθεια της παραμέτρου k του εργαλείου Ευθεία y = k να μετακινήσετε παράλληλα την ευθεία y = k. Όταν υπάρχουν, σημειώνονται τα σημεία τομής της παραπάνω ευθείας με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε1: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, κατά την οποία το κοπάδι έχει το μέγιστο αριθμό ελαφιών; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; 12

Ε2: Θέτουμε x τη χρονική στιγμή που προέκυψε από την Ε1. Έστω x [,16]. Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ); Στο σημείο x λέμε ότι η συνάρτηση Pxπαρουσιάζει ( ) ολικό μέγιστο. Ε3:Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), αν... Ε4: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, στην οποία το κοπάδι έχει τον ελάχιστο πληθυσμό; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Ε5: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε3 να δώσετε έναν ορισμό για το ολικό ελάχιστο; 13

Ε6: Κατά τη χρονική περίοδο 2-22 υπάρχει κάποια στιγμή x όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Ε7: Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ) για x (,2) ; Στο σημείο x λέμε ότι η συνάρτηση Px ( ) παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Ε8: Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), αν... Ε9: Κατά τη χρονική περίοδο 22-25 υπάρχει κάποια στιγμή, όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται ελάχιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; 14

Ε1: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε8 να δώσετε έναν ορισμό για το τοπικό ελάχιστο; Ε11: Μέσα στο έτος 29 υπάρχει κάποια στιγμή, όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Ε12: Νομίζετε ότι οι προηγούμενοι ορισμοί που δώσατε για τα τοπικά ακρότατα καλύπτουν και την περίπτωση, όπου το σημείο x είναι άκρο του διαστήματος στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση; 15

Ε13: Νομίζετε ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο, όταν υπάρχει, είναι απαραίτητα το μοναδικό σε μια συνάρτηση; Ε14: Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = P( x) μπορείτε να συμπεράνετε εάν υπάρχουν και άλλα τοπικά ακρότατα, που δεν εντοπίσατε προηγουμένως; 16

Ε15: Μπορείτε να καταγράψετε όλα τα τοπικά και τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης y = P( x) που βρήκατε; x P(x) Είδος ακροτάτου (ΤΜ/ΤΕ, ΟΜ/ΟΕ) Ε16: Νομίζετε ότι οι τιμές που βρήκατε για τα ακρότατα με τη βοήθεια του λογισμικού είναι απολύτως ακριβείς; Γιατί; 17

4.2.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περαιτέρω διερεύνηση τοπικών και ολικών ακροτάτων Ανοίξτε το αρχείο 4.2.2.activity.gr.euc του EucliDraw. Αφού ανοίξετε τα υπάρχοντα εργαλεία και τη γραφική παράσταση, μπορείτε να μεταβάλετε κατά βούληση τις παραμέτρους και να κάνετε παρατηρήσεις σε σχέση με τα τοπικά ή ολικά ακρότατα των γραφικών παραστάσεων που εμφανίζονται. Από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που μπορείτε να κατασκευάστε προσπαθήστε να εντοπίσετε, εάν υπάρχουν σε κάθε περίπτωση τα τοπικά και τα ολικά τους ακρότατα. Με τη βοήθεια των παραμέτρων μπορείτε να μεταβάλετε τις προηγούμενες γραφικές παραστάσεις. Κάνοντας τις παρατηρήσεις σας προσπαθήστε να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: Ε1: Νομίζετε ότι ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο (ή αντίστοιχα ότι ένα τοπικό ελάχιστο είναι πάντα μικρότερο από ένα τοπικό μέγιστο); Μπορείτε να κατασκευάσετε με τη βοήθεια του προγράμματος ή να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση που να υποστηρίζει τον ισχυρισμό σας. 18

Ε2: Νομίζετε ότι μια συνάρτηση έχει πάντα ένα ολικό μέγιστο ή ελάχιστο; Όταν αυτό υπάρχει, είναι μοναδικό για μια συνάρτηση; Ε3: Νομίζετε ότι, εάν μια συνάρτηση έχει ένα μόνο τοπικό μέγιστο, αυτό είναι πάντα και ολικό; Δείτε επίσης την αρχική γραφική παράσταση (Αρχείο 4.2.1) σε συνδυασμό με το προηγούμενο αρχείο Ακρότατα, για να απαντήσετε στα επόμενα ερωτήματα. Ε4: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά μέγιστα, τότε το μεγαλύτερο από αυτά είναι και ολικό μέγιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; 19

Ε5: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά ελάχιστα τότε το μικρότερο από αυτά είναι και ολικό ελάχιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; 2