9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

Transcript

1 9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 7-8 ΘΕΜΑ Α (α) Δίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα [ ].Αν η G είναι μια παράγουσα της στο [ ], τότε να αποδείξετε ότι : d G G (Μονάδες 6) (α) α. Να χαρακτηρίσετε τον παρακάτω ισχυρισμό ψευδή ή αληθή. «Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο». (Μονάδες 3) α. Να διολογήσετε, με παράδειγμα,την απάντηση του παραπάνω ισχυρισμού. (Μονάδες 6) (α3) Να αντιγράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό της πρότασης δίπλα να γράψετε το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λ αν η πρόταση είναι λάθος.. Όταν d, τότε κατανάγκη θα είναι.. Αν οι συναρτήσεις,g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα g h, για κάθε τότε η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο 3. Αν ()(), για κάθε, είναι τοπικό ακρότατο της τότε: Το (Μονάδες ) (Μονάδες ) (Μονάδες ) 4. Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη. (Μονάδες ) σημείο καμπής 5. Αν οι συναρτήσεις, g έχουν στο τότε η h g έχει στο σημείο καμπής.

2 (Μονάδες ) Δίνεται η συνάρτηση, με Να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ Β β. β. β3. β4. β5. Η συνάρτηση αντιστρέφεται (Μονάδες 4 ) e ln, για κάθε (Μονάδες 6 ) Η εφαπτομένη στη της της (Μονάδες 3 ) Αν η C στο σημείο είναι ο άξονας συμμετρίας, για κάθε είναι συνεχής τότε 4 7 το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη τον άξονα την ευθεία 4, όπου C (Μονάδες 7 ) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση τρείς φορές παραγωγίσιμη στο [ ] F παράγουσα της, τα,, με, για τα οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι γ. Η συνάρτηση έχει αρνητική ελάχιστη τιμή θετική μέγιστη τιμή γ. Η δεύτερη παράγωγος της δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο γ3. Η συνάρτηση έχει μόνο ένα σημείο καμπής γ4. Η συνάρτηση δέχεται ακριβώς δυο εφαπτόμενες παράλληλες στον γ5. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον,, ώστε

3 F F F F ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο lim, για κάθε ακόμα ισχύουν C δ. e Να βρείτε την εφαπτομένη στη στη συνέχεια να αποδείξετε ότι, για κάθε C C στο δ. Η C είναι κυρτή να υπολογίσετε το δ3., για κάθε,] δ4., d δ5. Αν, τότε να βρείτε τον τύπο της lim (Μονάδες 4 ) (Μονάδες 4 ) (Μονάδες 7 ) 3

4 ενδεικτικές απαντήσεις ΘΕΜΑ Α (α) Σχολικό βιβλίο σελίδα 6. (Μον 6) (α) α. (Μον 3) α. Η συνάρτηση,με,, δεν είναι συνεχής, ενώ η έχει τύπο είναι συνεχής (Μον 6) (α3) Λ - Λ - Λ Σ - Λ ΘΕΜΑ Β ενδεικτική απάντηση β. Η συνάρτηση αντιστρέφεται Η έχει πεδίο ορισμού το είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική μ Με , για κάθε μ Άρα είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε αντιστρέφεται β. e ln, για κάθε e ln e ln e ln μ Θεωρούμε τη συνάρτηση, με e ln, μ e,,για κάθε Οπότε,για κάθε 4 μ, άρα η είναι γνησίως αύξουσα μ επομένως για, άρα e ln Τελικά η e ln, αληθεύει για κάθε

5 β3. Η εφαπτομένη στη συμμετρίας της της C στο σημείο είναι ο άξονας, άρα η εφαπτομένη στη είναι η y C στο σημείο, οπότε είναι ο άξονας συμμετρίας της της μ3 β4., για κάθε Είναι 5 3 6, για κάθε μ, όμως κυρτή στο η y εφάπτεται C, άρα, για κάθε μ3 β5. Αν η είναι συνεχής τότε 4 7, όπου το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C τον άξονα την ευθεία 4 Έστω [,] Οπότε Άρα, είναι 4, για κάθε 4] 4 d. Θέτουμε u u Οπότε u για u u, ενώ για 4 u 4 u μ Οπότε άρα 4 7 u u du u u u du 4 u u du u u u du μ [ ] [ ] μ3 5

6 ΘΕΜΑ Γ ενδεικτική απάντηση γ. Η συνάρτηση έχει αρνητική ελάχιστη τιμή θετική μέγιστη τιμή Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα, άρα έχει ελάχιστη τιμή στο [ ] μέγιστη τιμή στο [ ] οπότε < Άρα η συνάρτηση έχει αρνητική ελάχιστη τιμή θετική μέγιστη τιμή γ. Η δεύτερη παράγωγος της δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο Η συνάρτηση είναι συνεχής, αν η διατηρεί σταθερό πρόσημο Τότε η συνάρτηση θα είναι γνησίως μονότονη, άτοπο γιατί Από το θεώρημα Fermat Οπότε η συνάρτηση δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο μ5 γ3. Η συνάρτηση έχει μόνο ένα σημείο καμπής Η συνάρτηση είναι συνεχής δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε Έστω ώστε,τότε η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [ ], άρα υπάρχει, ώστε άτοπο,οπότε το είναι μοναδικό μ Άρα η διατηρεί πρόσημο στο [) διατηρεί πρόσημο στο (, όμως η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ ] άρα αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του, επομένως η έχει μοναδικό σημείο καμπής 6

7 γ4. Η συνάρτηση δέχεται ακριβώς δυο εφαπτόμενες παράλληλες στον Από το ερώτημα γ δυο εφαπτόμενες παράλληλες στον Έστω ώστε, οπότε η δέχεται, με, τότε η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε κάθε ένα από τα διαστήματα το άτοπο,, ώστε [ ], [ ], άρα υπάρχουν,, άρα Οπότε η συνάρτηση δέχεται ακριβώς δυο εφαπτόμενες παράλληλες στον μ3, ώστε γ5. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον, F F F F Η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ σε κάθε ένα από τα διαστήματα [ ] [ ] οπότε υπάρχουν ώστε F F F F F F οπότε F F άρα F F F F 7

8 ΘΕΜΑ Δ δ. Να βρείτε την εφαπτομένη στη Θεωρούμε τη συνάρτηση, με στο, lim, συνεχής, άρα C στο ορισμένη κοντά lim lim lim, οπότε Άρα η εφαπτομένη στο είναι y μ δ. Η C είναι κυρτή να υπολογίσετε το lim e C e C άρα άρα κυρτή, οπότε, lim συνεχής, άρα lim μ δ3., για κάθε,] μ Η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο, άρα υπάρχει, ώστε < η είναι γνησίως αύξουσα, άρα <, οπότε για κάθε,] μ μ 8

9 δ4. d,, για κάθε,] αν, για κάθε,] τότε, για κάθε,] άτοπο, επομένως το δεν ισχύει παντού, άρα d d d οπότε d [ ] d [ ], ολοκλήρωση κατά παράγοντες d δ5. Αν, τότε να βρείτε τον τύπο της e C, για C, οπότε e,e, για κάθε. Θεωρούμε συνάρτηση g, με g,για κάθε g συνεχής παραγωγίσιμη στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών παραγωγίσιμων συναρτήσεων g Οπότε άρα οπότε, g g e g g e e g g C C C C g e, οπότε g e, άρα e e, άρα e μ3 9