ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ, 2 Ο ΠΕ.ΚΕ.Σ. ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 08-09/ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ, Ο ΠΕ.ΚΕ.Σ. ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ

2 Λύσεις των Θεμάτων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 09- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ( ) ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕΝΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α. α) Ορισμός, σχολικό βιβλίο σελίδα 5. β) i) Ορισμός, σχολικό βιβλίο σελίδα 35 ii) Ορισμός, σχολικό βιβλίο σελίδ.α 36 A. Διατύπωση θεωρήματος, σχολικό βιβλίο σελίδα 4. Α3. Απόδειξη Θεωρήματος σχολικό βιβλίο σελίδα 35. Α4. α) Λάθος. Αιτιολόγηση (Σχόλιο σχολικού βιβλίου) Η συνάρτηση:, x 0 ( x) αν και ( ) 0, x 0 x,00,. β) Λάθος. Αιτιολόγηση: (Σχόλιο σχολικού βιβλίου) Η συνάρτηση: x, x ( x) x έχει 3, x x για κάθε,0 0, x δεν είναι σταθεή στο x lim ( x) lim lim( x ) x x x x. Όμως () (και οποιαδήποτε μη συνεχής συνάρτηση σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της που τοόριό της υπάρχει στο ). Α5. Το (γ) είναι η σωστή απάντηση (Ερώτημα 0- Ερωτήσεις κατανόησης Κεφάλαιο 3 ο ). ΘΕΜΑ Β Β. Για να έχει η οριζόντια ασύμπτωστη στο την ευθεία y πρέπει και αρκεί να είναι: lim ( x) lim e x λ x Β. Θέτουμε ως συνάρτηση: x ( ) ( ) x g x x x e x, x,3. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση g στο διάστημα,3. Έχουμε:

3 Λύσεις των Θεμάτων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια Η g είναι συνεχής στο διάστημα,3 (ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο g g,3 ). () e 0 e e 3 3 (3) e 0 3 Δηλαδή g() g(3) 0 και άρα υπάρχει, τουλάχιστον ένα, x0,3 g( x ) 0 ( x ) x , τέτοιο ώστε: Η g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα,3, ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο διάστημα,3 με: x x g (x) e ( e ) 0, για κάθε,3 άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,3. x, Επομένως το x0,3 είναι μοναδικό, διότι η συνάρτηση g ως γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,3 είναι και συνάρτηση «-» στο,3. Β3. Για την απόδειξη του «-» στο. Α τρόπος: Η είναι παραγωγίσμη στο (ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με ( x) e x 0 για κάθε x. Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο και άρα είναι συνάρτηση «-» στο. Β τρόπος (με την βοήθεια του ορισμού) Έστω x, x με ( x ) ( x ) άρα η είναι συνάρτηση «-». Για την εύρεση της αντίστροφης :. Έχουμε διαδοχικά: ( x ) ( x ) e e e e x x x x x x Αφού η είναι συνάρτηση «-» υπάρχει η αντίστροφή της συνάρτηση : Για κάθε x και y θέτουμε ( x) y και έχουμε ισοδύναμα: x x ( x) ye ye y x ln( y ) x ln( y ) Άρα η αντίστροφη της είναι: ( x) ln( x ), x Β4. Κατακόρηφη ασύμπτωση θα αναζητήσουμε μόνο στο x Έχουμε:

4 Λύσεις των Θεμάτων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια Θα βρούμε το lim ( x ) lim ln( x ) x x Επομένως είναι:. Θέτουμε x u και έχουμε x u 0. lim ( x) lim ln( x ) lim( ln u) lim(ln u) x x x0 x0 Άρα η κατακόρυφη ασύμπτωτη της είναι η ευθεία x. Για τη γραφική παράσταση C, C των και : Οι γραφικές παραστάσεις C, C των και είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο των γωνιών του ου και 3 ου τεταρτημορίου στο σύστημα συντεταγμένων. Οι γραφικές παραστάσεις των C, C των και φαίνονται στο επόμενο σχήμα:

5 Λύσεις των θεμάτων Μαθημαικών Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο x0. Επομένως στο σημείο x0 είναι και συνεχής. Άρα έχουμε: Είναι: lim ( x ) lim ( x ) () x x Άρα a lim ( x) x lim( e x) x x lim ( ) lim( ) x x x x a a () a Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο x0. Άρα, σύμφωνα με τον ορισμό της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο x0 Έχουμε: ( x) () ( x) () του πεδίου ορισμού της, υπάρχουν τα όρια lim,lim x x x x και είναι ίσα: Άρα: a a,. ( x) () ( x) () lim lim () x x x x ( x) () x a a x lim lim lim lim( x ) x x x x x x x x x ( x) () e x a e ax a lim lim lim x x x x x x x x x e e e lim a lim a lim a a x x x x x στο Γ. Η είναι συνεχής και παραγωγίσμη στο με: ( x) x 0, για κάθε x και άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. x e x ( ) 0 για κάθε x και άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. και αφού η είναι συνεχής και στο 0 x είναι γνησίως αύξουσα στο,, 4

6 Λύσεις των θεμάτων Μαθημαικών Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια Για το σύνολο τιμών της έχουμε (αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο ): διότι: x x ( ) lim ( x), lim ( x), lim ( x) lim x e x 0 ( ) x x lim ( x) lim ( x ) x x Γ3. i) H εικόνα του διαστήματος,0(του αρνητικού ημιάξονα) είναι:,0 lim ( ), lim ( ), x x e, αφού η είναι γνησίως αύξουσα και στο,0. x x0 Αφού 0, e,0 υπάρχει, τουλάχιστον ένα x0,0, τέτοιο ώστε: ( x0 ) 0. Το x 0 είναι προφανώς αρνητικό και μοναδικό αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και συνάρτηση «-». ii) Για κάθε x ( x0, ) έχουμε: Όμως: x x0 x x x x0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, άρα ( x) 0 για κάθε x ( x0, ) x x0 x x0 x x0 x x0 ( ) 0 ( ) 0 για κάθε x ( x0, ) Άρα x x x0 ( ) ( ) 0 για κάθε x ( x0, ) και επομένως η εξίσωση; είναι αδύνατη στο διάστημα ( x0, ). Γ4. Το εμβαδόν Ε του τριγώνου MOK είναι: 0 ( x) ( x) x 0 E ( OK) ( KM ) x y () K M όπου x η τετμημένη του σημείου Κ και K ym η τεταγμένη του σημείου Μ. Αφού x x, y x η () γίνεται: K M Επειδή το x K ( ), E x x x x είναι συνάρτηση του χρόνου t έχουμε: E t x t x t x t ( ) ( )( ( ) ), ( ) 5

7 Λύσεις των θεμάτων Μαθημαικών Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια Ο ρυθμός μεταβολής του E( t ) είναι η παράγωγος ως πος t: Για t t0 είναι x (t), x( t0 ) 3 και άρα: E t x t x x ( ) 3 ( ) (t) (t) E ( t0 ) 33 8 τετραγωγικές μονάδες ανά δευτερόλεπτο. ΘΕΜΑ Δ Δ. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι: (), (). Άρα () (). Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με: Άρα: ( x ) (x) ln( x x ) a, x x x Και από την () προκύπτει. Δ. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: () ln 0 a a ( ) ( ) ( ) ( )ln( ) x x dx x x dx x x x x x dx Επειδή για κάθε, ( )ln( ) x x x dx () x είναι ( x )ln( x x ) >0 διότι: Το εμβαδόν Ε γίνεται λόγω της (): Θέτουμε: u x x x 0 x x x x 0 ( x ) 0 E ( x )ln( x x ) ( x x ) ln( x x ) dx και άρα du x x dx και για x u x u. Άρα: E ln udu ( u) ln udu u ln u u(ln u) du ln du ln u ln τ.μ. Δ3. i) Από το Δ ερώτημα έχουμε: ( x ) (x) ln( x x ), x x x 6

8 Λύσεις των θεμάτων Μαθημαικών Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: ( x ) ( x ) (x) ln( x x ) ln( x x ) 0 x x x x για κάθε x Έχουμε για κάθε x : x x x x 0 ( x ) 0 ln( x x ) ln ln( x x ) ( x ) 0 x x Άρα (x) για κάθε x. ii) H προς απόδειξη ανισότητα γίνεται διαδοχικά: 3 ( ) ln( ) ( ) ln( ) ( ) ( ) ( ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφοικού Λογισμού για την συνάρτηση στο διάστημα, αφού: Η είναι συνεχής στο, (ως συνεχής στο ) Η είναι παραγωγίσιμη στο, (ως παραγωγίσιμη στο ) Επομένως υπάρχει ( ), : (ξ) (ξ) ( ) Όμως (x) για κάθε x άρα και : (ΙΙ) (ξ) ( ) ( ) που είναι η ισοδύναμη (Ι) Δ4. Έστω A( x, ( x )), B( x, g( x )) τα σημεία επαφής των C, C g με τις εφαπτομένες τους αντίστοιχα. Πρέπει ( x ) g ( x ). Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Α είναι: (ε ) y x x x y x x x y x x x ( ) (x )( ) (x )( ) ( ) (x ) (x ) ( ) 7

9 Λύσεις των θεμάτων Μαθημαικών Προσανατολισμού 09-Ημερήσια Γενικά Λύκεια Η εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο Β είναι: (ε ) y g x g x x y g x x g x y g x g x g x ( ) (x )( ) (x )( ) ( ) (x ) (x ) ( ) Οι ευθείες (ε ) και (ε ) συμπίπτουν (αφού δέχονται κοινή εφαπτομένη) και άρα έχουμε: Ισχύουν: ( x ) g ( x ) ( x ) (x ) x g( x ) g (x ) x ( x ) g (x ) ( x ) 3x ( x ) 3x 3x 0 x 0 Για x 0 έχουμε: ln( x x ) 0 ( x ) ( x ) ( x ) x x x x 0 x x ( x ) ln( x x ) ln( x x ) 0 x Για τις τιμές x 0 και x 0 επαληθεύεται και η σχέση ( x ) (x ) x g( x ) g (x ) x (αφού τότε () () g(0) ). Άρα οι τιμές x 0 και x 0 είναι δεκτές αφού επαληθεύουν όλες τις σχέσεις καιάρα η κοινή εφαπτομένη είναι: y (x )( x x ) ( x ) y ( x ) y x Οι τιμές των x 0 και x 0 είναι μοναδικές και άρα η κοινή εφαπτομένη είναι μοναδική. Καραγιάννης Ιωάννης, Συντονιστής Εκπαιδευτικού Έργου Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου, ο ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Ν. Αιγαίου 8