Π E Ρ I E X O M E N A Πξόινγνο... xiii ΚΔΡΟ ΠΡΩΣΟ ΒΑΙΚΔ ΔΝΝΟΙΔ ΣΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΘΔΦΑΙΑΗΟ 1 ΠΡΑΓΚΑΣΗΘΔ ΤΛΑΡΣΖΔΗ ΚΗΑ ΠΡΑΓΚΑΣΗΘΖ ΚΔΣΑΒΙΖΣΖ 1.1 Δηζαγσγή... 3 1.2 Η έλλνηα ηνπ ζπλόινπ ύλνια αξηζκώλ Βαζηθέο έλλνηεο... 4 1.3 Η έλλνηα ηεο πξαγκαηηθήο ζπλάξηεζεο κηαο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο... 7 1.4 Οξηζκέλεο βαζηθέο ζπλαξηήζεηο... 10 1.5 Ιζόηεηα θαη πξάμεηο κεηαμύ ζπλαξηήζεσλ... 13 1.6 Δίδε ζπλαξηήζεσλ... 14 1.7 Μνλόηνλεο Φξαγκέλεο ζπλαξηήζεηο... 16 1.8 Αθξόηαηα ζπλάξηεζεο... 18 1.9 Η αληίζηξνθε ζπλάξηεζε... 19 1.10 ύλζεζε ζπλαξηήζεσλ... 21 1.11 Η εθζεηηθή ζπλάξηεζε... 23 1.12 Η ινγαξηζκηθή ζπλάξηεζε... 25 1.13 Η έλλνηα ηεο αθνινπζίαο... 29 1.14 Μηα εθαξκνγή ησλ εθζεηηθώλ ζπλαξηήζεσλ: Η πεξίπησζε ηνπ ζπλερνύο αλαηνθηζκνύ... 30 1.15 Μαζεκαηηθέο θαη ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο ηνπ Excel... 33 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 1 νπ θεθαιαίνπ... 41 Αζθήζεηο 1 νπ θεθαιαίνπ... 42 ΘΔΦΑΙΑΗΟ 2 ΟΡΗΟ ΘΑΗ ΤΛΔΥΔΗΑ ΤΛΑΡΣΖΖ 2.1 Δηζαγσγή... 45 2.2 Η έλλνηα ηνπ νξίνπ... 46 2.3 Οξηζκόο ηνπ νξίνπ... 49 2.4 Ιδηόηεηεο ησλ νξίσλ Πξάμεηο κεηαμύ νξίσλ... 52 2.5 Όξην ζπλάξηεζεο ζην άπεηξν... 61 2.6 Ιδηόηεηεο ησλ νξίσλ ζην άπεηξν... 64 2.7 πλέρεηα ζπλάξηεζεο... 68 2.7.1 Έλλνηα Οξηζκόο ηεο ζπλέρεηαο... 68 2.7.2 Πξάμεηο κε ζπλερείο ζπλαξηήζεηο... 71 2.7.3 πλέρεηα βαζηθώλ ζπλαξηήζεσλ... 72
viii Εφαρμοςμζνα Μαθηματικά 2.8 Βαζηθά ζεσξήκαηα ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ... 76 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 2 νπ θεθαιαίνπ... 81 Αζθήζεηο 2 νπ θεθαιαίνπ... 82 ΚΔΡΟ ΓΔΤΣΔΡΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΘΔΦΑΙΑΗΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΗ ΤΛΑΡΣΖΔΩΛ ΚΗΑ ΚΔΣΑΒΙΖΣΖ 3.1 Δηζαγσγή... 89 3.2 Η έλλνηα ηεο παξαγώγνπ... 90 3.3 Παξαγσγηζηκόηεηα θαη ζπλέρεηα ζπλάξηεζεο... 92 3.4 Παξάγσγνη βαζηθώλ ζπλαξηήζεσλ... 94 3.5 Καλόλεο παξαγώγηζεο... 97 3.6 Παξάγσγνο ζύλζεηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο... 103 3.7 Παξάγσγνο πιεγκέλεο ζπλάξηεζεο... 110 3.8 Δξκελεία ηεο παξαγώγνπ... 112 3.8.1 Γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο παξαγώγνπ Δθαπηνκέλε θακπύιεο... 112 3.8.2 Η παξάγσγνο ζηε θπζηθή... 114 3.8.3 Η παξάγσγνο σο ξπζκόο κεηαβνιήο... 116 3.9 Γηαθνξηθό ζπλάξηεζεο... 118 3.9.1 Η έλλνηα ηνπ δηαθνξηθνύ... 118 3.9.2 Καλόλεο δηαθόξηζεο... 120 3.9.3 Γηαθνξηθά νξηζκέλσλ βαζηθώλ ζπλαξηήζεσλ... 121 3.10 Γεληθά παξαδείγκαηα Δθαξκνγέο... 122 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 3 νπ θεθαιαίνπ... 125 Αζθήζεηο 3 νπ θεθαιαίνπ... 126 Σππνιόγην παξαγώγσλ... 136 ΘΔΦΑΙΑΗΟ 4 ΚΔΙΔΣΖ ΤΛΑΡΣΖΔΩΛ ΚΔ ΣΖ ΒΟΖΘΔΗΑ ΣΩΛ ΠΑΡΑΓΩΓΩΛ ΑΠΡΟΓΗΟΡΗΣΔ ΚΟΡΦΔ 4.1 Δηζαγσγή... 141 4.2 Θεκειηώδε ζεσξήκαηα ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ... 142 4.2.1 Οξηζκνί Θεώξεκα Fermat... 142 4.2.2 Θεώξεκα Rolle... 145 4.2.3 Θεώξεκα κέζεο ηηκήο ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ... 147 4.3 Μειέηε ζπλαξηήζεσλ... 151 4.3.1 Μνλνηνλία ζπλαξηήζεσλ... 151 4.3.2 Αθξόηαηα ζπλαξηήζεσλ... 153 4.3.3 Κπξηέο θαη θνίιεο ζπλαξηήζεηο εκεία θακπήο... 158
Εφαρμοςμζνα Μαθηματικά ix 4.3.4 Αζύκπησηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κηαο ζπλάξηεζεο... 164 4.3.5 Μειέηε θαη ράξαμε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο κηαο ζπλάξηεζεο... 166 4.4 Απξνζδηόξηζηεο κνξθέο Καλόλαο de L Hospital... 174 4.5 Γεληθά παξαδείγκαηα Δθαξκνγέο... 182 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 4 νπ θεθαιαίνπ... 186 Αζθήζεηο 4 νπ θεθαιαίνπ... 187 ΘΔΦΑΙΑΗΟ 5 ΤΛΑΡΣΖΔΗ ΠΟΙΙΩΛ ΚΔΣΑΒΙΖΣΩΛ 5.1 Δηζαγσγή... 195 5.2 Η έλλνηα ησλ ζπλαξηήζεσλ πνιιώλ κεηαβιεηώλ... 196 5.3 Όξηα θαη ζπλέρεηα ζπλαξηήζεσλ πνιιώλ κεηαβιεηώλ... 203 5.4 Μεξηθέο παξάγσγνη... 208 5.4.1 Μεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο... 208 5.4.2 Μεξηθέο παξάγσγνη δεύηεξεο θαη αλώηεξεο ηάμεο... 216 5.4.3 Σν δηάλπζκα θιίζεο κηαο ζπλάξηεζεο... 219 5.5 Αιπζσηή παξαγώγηζε Οιηθή παξάγσγνο... 220 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 5 νπ θεθαιαίνπ... 225 Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ... 226 ΘΔΦΑΙΑΗΟ 6 ΟΚΟΓΔΛΔΗ ΤΛΑΡΣΖΔΗ ΤΛΑΡΣΖΗΑΘΔ ΟΡΗΕΟΤΔ ΑΘΡΟΣΑΣΑ ΤΛΑΡΣΖΔΩΛ ΠΟΙΙΩΛ ΚΔΣΑΒΙΖΣΩΛ 6.1 Δηζαγσγή... 235 6.2 Οκνγελείο ζπλαξηήζεηο... 236 6.3 Η νξίδνπζα ηνπ Jacobi θαη ε νξίδνπζα ηνπ Hesse... 242 6.4 Αθξόηαηα ζπλαξηήζεσλ πνιιώλ κεηαβιεηώλ... 245 6.4.1 Διεύζεξα αθξόηαηα... 245 6.4.2 Γεζκεπκέλα αθξόηαηα... 249 6.5 Αθξόηαηα πιεγκέλσλ ζπλαξηήζεσλ... 258 6.6 Μηα εθαξκνγή ησλ νκνγελώλ ζπλαξηήζεσλ: Η πεξίπησζε ησλ ζπλαξηήζεσλ παξαγσγήο ηύπνπ Cobb Douglas... 260 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 6 νπ θεθαιαίνπ... 263 Αζθήζεηο 6 νπ θεθαιαίνπ... 264 ΘΔΦΑΙΑΗΟ 7 ΔΦΑΡΚΟΓΔ ΣΟΤ ΓΗΑΦΟΡΗΘΟΤ ΙΟΓΗΚΟΤ Δ ΠΡΟΒΙΖΚΑΣΑ ΟΗΘΟΛΟΚΗΘΖ ΑΛΑΙΤΖ 7.1 Δηζαγσγή... 269 7.2 Διαζηηθόηεηα ζπλαξηήζεσλ... 270 7.2.1 Η έλλνηα ηεο ειαζηηθόηεηαο... 270 7.2.2 Γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο ειαζηηθόηεηαο... 272
x Εφαρμοςμζνα Μαθηματικά 7.3 Η έλλνηα ηεο νξηαθήο θαη κέζεο ζπλάξηεζεο... 277 7.4 πλαξηήζεηο παξαγσγήο ή ζπλαξηήζεηο ζπλνιηθνύ πξντόληνο... 277 7.5 πλαξηήζεηο θόζηνπο... 279 7.6 πλαξηήζεηο εζόδσλ... 282 7.7 πλαξηήζεηο θεξδώλ (άξηζην επίπεδν παξαγσγήο λεθξά ζεκεία)... 286 7.8 Γεληθά παξαδείγκαηα Δθαξκνγέο... 290 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 7 νπ θεθαιαίνπ... 297 Αζθήζεηο 7 νπ θεθαιαίνπ... 298 ΚΔΡΟ ΣΡΗΣΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΘΔΦΑΙΑΗΟ 8 ΑΟΡΗΣΑ ΟΙΟΘΙΖΡΩΚΑΣΑ 8.1 Δηζαγσγή... 305 8.2 Σν αόξηζην νινθιήξσκα ζπλάξηεζεο... 306 8.3 Σύπνη νινθιεξσκάησλ ησλ θπξηνηέξσλ ζηνηρεησδώλ ζπλαξηήζεσλ... 308 8.4 Μέζνδνη νινθιήξσζεο... 311 8.4.1 Οινθιήξσζε θαηά κέξε... 311 8.4.2 Οινθιήξσζε θαηά παξάγνληεο... 312 8.4.3 Οινθιήξσζε κε αληηθαηάζηαζε (αιιαγή) ηεο κεηαβιεηήο... 315 8.5 Παξαηεξήζεηο ζηνλ ππνινγηζκό ησλ νινθιεξσκάησλ... 319 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 8 νπ θεθαιαίνπ... 322 Αζθήζεηο 8 νπ θεθαιαίνπ... 323 ΘΔΦΑΙΑΗΟ 9 ΟΡΗΚΔΛΑ ΟΙΟΘΙΖΡΩΚΑΣΑ 9.1 Δηζαγσγή... 327 9.2 Σν νξηζκέλν νινθιήξσκα ζπλάξηεζεο... 328 9.3 Ιδηόηεηεο ηνπ νξηζκέλνπ νινθιεξώκαηνο... 331 9.4 Θεώξεκα κέζεο ηηκήο ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ... 333 9.5 πλάξηεζε πνπ νξίδεηαη από νινθιήξσκα... 335 9.6 ρέζε νξηζκέλνπ νινθιεξώκαηνο θαη αξρηθήο ζπλάξηεζεο (Θεκειηώδεο ζεώξεκα ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινγηζκνύ)... 336 9.7 Τπνινγηζκόο εκβαδώλ... 341 9.7.1 Δπίπεδν ρσξίν πνπ νξίδεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο... 341 9.7.2 Δπίπεδν ρσξίν πνπ νξίδεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε δύν ζπλαξηήζεσλ... 350 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 9 νπ θεθαιαίνπ... 361 Αζθήζεηο 9 νπ θεθαιαίνπ... 362
Εφαρμοςμζνα Μαθηματικά xi ΘΔΦΑΙΑΗΟ 10 ΔΦΑΡΚΟΓΔ ΣΟΤ ΟΙΟΘΙΖΡΩΣΗΘΟΤ ΙΟΓΗΚΟΤ Δ ΠΡΟΒΙΖΚΑΣΑ ΟΗΘΟΛΟΚΗΘΖ ΑΛΑΙΤΖ 10.1 Δηζαγσγή... 367 10.2 Τπνινγηζκόο ζπλνιηθνύ θόζηνπο από ην νξηαθό θόζηνο... 368 10.3 Τπνινγηζκόο ζπλνιηθώλ εζόδσλ από ηα νξηαθά έζνδα... 369 10.4 πλαξηήζεηο θαηαλάισζεο θαη απνηακίεπζεο... 370 10.5 Πιεόλαζκα θαηαλαισηή θαη παξαγσγνύ... 373 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 10 νπ θεθαιαίνπ... 377 Αζθήζεηο 10 νπ θεθαιαίνπ... 378 ΚΔΡΟ ΣΔΣΑΡΣΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΔΒΡΑ ΘΔΦΑΙΑΗΟ 11 ΠΗΛΑΘΔ ΟΡΗΕΟΤΔ 11.1 Δηζαγσγή... 383 11.2 Οξηζκόο πίλαθα Ιζόηεηα πηλάθσλ... 384 11.3 Δηδηθέο κνξθέο πηλάθσλ... 386 11.4 Πξάμεηο πηλάθσλ... 390 11.4.1 Πξόζζεζε θαη αθαίξεζε πηλάθσλ... 390 11.4.2 Πνιιαπιαζηαζκόο πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ κε πίλαθα... 391 11.4.3 Πνιιαπιαζηαζκόο πηλάθσλ... 392 11.4.4 Δζσηεξηθό Δμσηεξηθό γηλόκελν δηαλπζκάησλ... 396 11.5 Αληηζηξέςηκνη πίλαθεο... 399 11.6 Οξζνγώληνη Σαπηνδύλακνη πίλαθεο... 401 11.7 Γξακκνπξάμεηο Ιζνδύλακνη πίλαθεο Αλεγκέλνο θιηκαθσηόο πίλαθαο... 402 11.8 Οξίδνπζεο... 404 11.8.1 Οξίδνπζα 2 εο ηάμεο... 404 11.8.2 Οξίδνπζα 3 εο ηάμεο... 405 11.8.3 Οξίδνπζα n - ζηήο ηάμεο... 408 11.9 Ιδηόηεηεο ησλ νξηδνπζώλ... 412 11.10 Δύξεζε ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα... 418 11.10.1 Δύξεζε ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα κε ηε βνήζεηα ηνπ πξνζαξηεκέλνπ πίλαθα... 419 11.10.2 Δύξεζε ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα κε ηηο γξακκνπξάμεηο... 423 11.11 Βαζκόο ελόο πίλαθα... 425 11.12 πλαξηήζεηο ηνπ Excel ζρεηηθέο κε ηνπο πίλαθεο θαη ηηο νξίδνπζεο... 428 11.13 Γεληθά παξαδείγκαηα Δθαξκνγέο... 435 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 11 νπ θεθαιαίνπ... 439 Αζθήζεηο 11 νπ θεθαιαίνπ... 440
xii Εφαρμοςμζνα Μαθηματικά ΘΔΦΑΙΑΗΟ 12 ΓΡΑΚΚΗΘΑ ΤΣΖΚΑΣΑ 12.1 Δηζαγσγή... 449 12.2 Η έλλνηα ηνπ γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο... 450 12.3 Μέζνδνη επίιπζεο γξακκηθώλ ζπζηεκάησλ... 454 12.3.1 Η κέζνδνο απαινηθήο ηνπ Gauss... 455 12.3.2 Η κέζνδνο ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα... 457 12.3.3 Η κέζνδνο ησλ νξηδνπζώλ (θαλόλαο ηνπ Cramer)... 459 12.3.4 Δθαξκνγή ηνπ θαλόλα ηνπ Cramer ζε νκνγελή ζπζηήκαηα n εμηζώζεσλ κε n αγλώζηνπο... 463 12.3.5 Άιιεο κέζνδνη επίιπζεο γξακκηθώλ ζπζηεκάησλ m εμηζώζεσλ κε n αγλώζηνπο (m n)... 464 12.4 Γηεξεύλεζε γξακκηθώλ ζπζηεκάησλ κε ηε βνήζεηα ηεο έλλνηαο ηνπ βαζκνύ πίλαθα... 466 12.5 Λύζε γξακκηθώλ ζπζηεκάησλ κε ηε βνήζεηα ηνπ Excel... 469 Δξσηήζεηο ζεσξίαο 12 νπ θεθαιαίνπ... 473 Αζθήζεηο 12 νπ θεθαιαίνπ... 474 ΒΗΒΙΗΟΓΡΑΦΗΑ... 477