Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου V πεπερασμένα παραγόμενος, καθορίζεται πλήρως από τις εικόνες f ( v ),, f ( v ) των στοιχείων μιας βάσης { v,, v } του V Θεώρημα Δύο πεπερασμένα παραγόμενοι -διανυσματικοί χώροι είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση Πυρήνας και εικόνα γραμμικής απεικόνισης (ορισμοί, παραδείγματα και πρώτες ιδιότητες) Θεώρημα Έστω f : V W γραμμική απεικόνιση, όπου V πεπερασμένα παραγόμενος Τότε div di ker f di I f Πόρισμα Έστω f : V W γραμμική απεικόνιση όπου V, W πεπερασμένα παραγόμενοι και div di W Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός f είναι - f είναι επί Συμβολισμοί: Το σύνολο είναι το ή το To σύνολο των πινάκων με στοιχεία από το συμβολίζεται με Ο ταυτοτικός πίνακας συμβολίζεται I (ή απλά I αν δεν υπάρχει ασάφεια για το ) και ο μηδενικός πίνακας με 0 ( ή απλά 0 αν δεν υπάρχει ασάφεια για τα, ) Ποιες από τις ακόλουθες απεικονίσεις είναι γραμμικές; a f :, f ( x, y) ( xy, x y) b f :, f ( x, y ) ( x y, x y ) c d e Έστω : (, ) (, ) f f x y x y x y f :, f ( ) det 4 4 f :, f ( ) Tr f : [ x] [ x], f ( g( x)) g( x) 5 5 f 6 6 και L :, L( X ) X a Αφού δείξτε ότι η απεικόνιση L είναι γραμμική, δείξτε ότι η εικόνα I L παράγεται από τις στήλες του b Αληθεύει ότι αν οι πίνακες, είναι γραμμοϊσοδύναμοι, τότε I L I L ; c Έστω ότι Δείξτε τα εξής Για κάθε, B έχουμε LB L LB Η απεικόνιση L είναι ισομορφισμός αν και μόνο αν ο είναι αντιστρέψιμος Στην περίπτωση αυτή, η αντίστροφη απεικόνιση της L είναι η L Δώστε μια γεωμετρική εποπτεία της γραμμικής απεικόνισης L :, L( X ) X, στις ακόλουθες περιπτώσεις 0 a 0 cos si b si cos Στη συνέχεια αποδείξτε ότι L L L και δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης αυτής
4 Βρείτε μια βάση και τη διάσταση για καθένα από τους χώρους ker L και I L, όπου 0 5 Δίνεται γραμμική απεικόνιση f ( x, y ) για κάθε ( x, y) f : τέτοια ώστε (,) (, ) f και f (, ) (,) Βρείτε το 6 Σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις, εξετάστε αν υπάρχει γραμμική απεικόνιση τις δοσμένες ιδιότητες a f (,,) (,, 4), f (,, ) (,,), f (0,,) (, 5, 0) b f (,,) (,, 4), f (,, ) (,,), f (0,0,) (, 5,0) 7 Βρείτε όλες τις γραμμικές απεικονίσεις a f :, b f : f : με 8 Θεωρούμε την απεικόνιση Tr :, Tr( ) a Δείξτε ότι η απεικόνιση Tr είναι ένας επιμορφισμός διανυσματικών χώρων b Δείξτε ότι το σύνολο { Tr( ) 0} είναι υπόχωρος του και βρείτε μια βάση του 9 Έστω Θεωρούμε την απεικόνιση f :, f ( B) Tr( B) f είναι γραμμική a Δείξτε ότι η : b Δείξτε ότι αν, είναι τέτοιοι ώστε f f, τότε c Έστω f : μια γραμμική απεικόνιση Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικός ώστε f f 0 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση για καθέναν από τους χώρους ker f, I τέτοιος f όπου f είναι η γραμμική απεικόνιση f :, f ( x, y, z) ( x y z, y z, x y z) Για τις διάφορες τιμές του a υπολογίστε τις διαστάσεις dii f, di ker f, όπου f είναι η 4 γραμμική απεικόνιση f :, f ( x, y, z) ( x y z, x y, x z,x y az) Για ποιες τιμές του a η f είναι -; Επί; Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση f :, f ( x, y, z) ( x y kz, x y z, y z), όπου k Εξετάστε για ποιες τιμές του k έχουμε a (, 0, 0) I f, b (7,, 4) I f, c dii f, d dii f, e dii f Έστω B και f :, f ( ) B B Αφού δείξετε ότι η f είναι γραμμική, βρείτε 0 μια βάση και η διάσταση για καθέναν από τους χώρους ker f, I f t 4 Αφού δείξετε ότι η f :, f ( ), είναι γραμμική, βρείτε μια βάση και η διάσταση για καθέναν από τους χώρους ker f, I f 5 Δείξτε ότι η απεικόνιση f : [ x] [ x], f ( p( x)) p( x), είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων, a b g : [ x] [ x], g( p( x)) p( x ) p( x), είναι επιμορφισμός διανυσματικών χώρων 6 Έστω f : V W μια γραμμική απεικόνιση Δείξτε τις εξής προτάσεις
a Αν τα v,, v V είναι γραμμικά εξαρτημένα, τότε τα f ( v ),, f ( v ) είναι γραμμικά εξαρτημένα b Αν τα v,, v V είναι γραμμικά ανεξάρτητα και η f είναι -, τότε τα f ( v ),, f ( v ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα c Έστω { v,, v } βάση του V Η f είναι ισομορφισμός αν και μόνο αν { f ( v ),, f ( v )} είναι βάση του W 4 7 Έστω a και V που παράγεται από τα στοιχεία (,0,0, a),( a,0,0,),(0,, a,0),(0, a,,0) Για ποιες τιμές του a oι διανυσματικοί χώροι V και είναι ισόμορφοι; 8 Έστω T το υποσύνολο των άνω τριγωνικών πινάκων του Δείξτε ότι T και ότι η a b απεικόνιση f : [ x] T, ax bx c είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων 0 c 7 7 9 Έστω f : γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε f f 0 Δείξτε ότι di I f 0 Έστω V διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και U, W V τέτοιοι ώστε diu diw div Δείξτε ότι υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : V V με ker f U και I f W 5 Έστω U {( x, x, y, y, y) x, y } a Δείξτε ότι δεν υπάρχει γραμμική απεικόνιση b Βρείτε γραμμική απεικόνιση f : Βρείτε δύο διαφορετικές γραμμικές απεικονίσεις Βρείτε γραμμική απεικόνιση f : 5 με ker f U f, g : 5 με ker f U τέτοιες ώστε ker f ker g {( x, y, y) x, y }, I f I g {( x, x, x) x } f : 4 4 με ker I f f U, όπου 4 U {( x, y, z, w) x y z w x y z w 0} 4 Έστω { v, v, v } βάση διανυσματικού χώρου V Έστω f ( v ) v, f ( v ) v, f ( v ) 0 Δείξτε ότι f 0 και ker f,ker f ; f : η γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε f 0 Ποιες είναι οι διαστάσεις των 5 Έστω f : V V μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε f f Δείξτε ότι V ker f I f 6 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογείστε τις απαντήσεις με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα a Υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : με ker f I f b Έστω f : V W μια γραμμική απεικόνιση και v,, v V Αν τα f ( v ),, f ( v ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε τα v,, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα a b c Υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : με ker f { a, b, b 0} 0 b a b d Οι πυρήνες των γραμμικών απεικονίσεων, c d και c d [ x], p( x) p(0), είναι ισόμορφοι διανυσματικοί χώροι e Υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : [ x] που είναι επί και όχι - 5
Υποδείξεις-Απαντήσεις Παρακάτω δίνονται συνήθως σύντομες υποδείξεις ή τελικές απαντήσεις σε υπολογιστικές ασκήσεις Οι f, f, f 4 δεν είναι γραμμικές Οι άλλες είναι γραμμικές 0 0 b Δεν αληθεύει Ένα αντιπαράδειγμα είναι, Σύμφωνα με το a ερώτημα έχουμε 0 0 0 I L και I L Είναι σαφές ότι I L I L 0 a Η L παριστάνει την ανάκλαση του επιπέδου ως προς τον άξονα των x b Η L παριστάνει την στροφή του επιπέδου κατά γωνία στην αντίθετη φορά της κίνησης των δεικτών ρολογιού 4 Βάση του ker L : Λύνοντας το σύστημα X 0 βρίσκουμε τη βάση {(,, )} Βάση της I L : Χρησιμοποιώντας την άσκηση a, βρίσκουμε βάση του χώρου που παράγουν οι στήλες του Ένας τρόπος είναι να εφαρμόσουμε απαλοιφή Gauss στον ανάστροφο πίνακα 0 t 0 0 Άρα μια βάση της I L είναι {, } 0 0 0 5 Γράφοντας το ( x, y ) ως γραμμικό συνδυασμό των (,),(, ) βρίσκουμε x y x y ( x, y) (,) (, ) και εφαρμόζοντας τη γραμμική f έχουμε x y x y x y f ( x, y) f (,) f (, ) ( x y, ) 6 a Δείξτε ότι τα στοιχεία (,,),(,, ),(0,,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα και άρα αποτελούν βάση του Συνεπώς υπάρχει γραμμική απεικόνιση f με τις δοσμένες ιδιότητες b Θα εξετάσουμε αν τα στοιχεία (,,),(,, ),(0,0,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα Λύνοντας το σύστημα που προκύπτει από τη σχέση a(,,) b(,, ) c(0, 0,) (0, 0, 0), βλέπουμε ότι υπάρχει μη μηδενική λύση a, b, c Άρα έχουμε τη σχέση (,,) (,, ) (0, 0,) (0, 0, 0) Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει γραμμική απεικόνιση f με τις δοσμένες ιδιότητες, τότε από την προηγούμενη σχέση παίρνουμε (0, 0, 0) f (0, 0, 0) f (,,) f (,, ) f (0, 0,) (,, 4) (,, ) (, 5, 0) (0, 0,), άτοπο 7 a Έστω f : γραμμική Ορίζοντας a f (,0,,0), a f (0,,0,,0),, a f (0,,0,), δείξτε ότι f ( x, x,, x ) a x a x a x Αντίστροφα, ο παραπάνω τύπος ορίζει γραμμική απεικόνιση f : Άρα οι γραμμικές απεικονίσεις f : είναι ακριβώς οι παραπάνω b Εφαρμόστε το a στη σύνθεση f i i όπου είναι η προβολή στην i συντεταγμένη Προκύπτει ότι κάθε γραμμική είναι της μορφής f ( x,, x ) ( a x a x, a x a x,, a x a x ), f 4
όπου a, i, j ij Σημείωση Από το b και τον ορισμό του γινομένου πινάκων, έπεται άμεσα ότι κάθε γραμμική απεικόνιση f : είναι της μορφής f L όπου, βλ άσκηση 8 b Το σύνολο { Tr( ) 0} είναι ο πυρήνας γραμμικής απεικόνισης σύμφωνα με το a και άρα είναι υπόχωρος του Μια βάση του αποτελούν τα στοιχεία E ( i j ), E E ( i ) ij ii 9 b Υπολογίστε το γινόμενο E ij και δείξτε ότι το ίχνος του είναι Tr( Eij ) a ji, όπου ( a ij ) c Θεωρείστε τον πίνακα ( a ij ) όπου τα a ij ορίζονται από aij f ( Eij ) 0 Για τον πυρήνα έχουμε εξ ορισμού ( x, y, z) ker f f ( x, y, z) (0,0,0) ( x y z, y z, x y z) (0,0,0) x y z 0 y z 0 x y z 0 Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε ( x, y, z) z(,,), z Άρα μια βάση του πυρήνα είναι το σύνολο {(,,)} και di kerf Έχουμε di I f di di ker f Ξέρουμε ότι η εικόνα I f παράγεται από τις εικόνες των στοιχείων κάθε βάσης του πεδίου ορισμού Θεωρώντας τη συνήθη βάση του η I f παράγεται από τα f (,0,0) (,0,) f (0,, 0) (,,), έχουμε ότι f (0,0,) (,, ) Επειδή τα (,0,),(,,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία της I f και το πλήθος τους είναι ίσο με dii f συμπεραίνουμε ότι αυτά αποτελούν βάση της I f ος τρόπος για την εικόνα Δίνουμε εδώ μια λύση για την εικόνα που είναι ανεξάρτητη από τον πυρήνα Σχηματίζουμε τον πίνακα με γραμμές τα f (,0,0), f (0,,0), f (0,0,), δηλαδή τον 0 Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς βρίσκουμε την κλιμακωτή μορφή 0 0 0 0 0 Επειδή υπάρχουν μη μηδενικές γραμμές συμπεραίνουμε ότι di I f και μια βάση της I f αποτελείται από τις γραμμές αυτές, δηλαδή μια βάση της I f είναι το (,0,),(0,, ) Ξέρουμε ότι η I f παράγεται από τα f (, 0, 0) (,,,), f (0,, 0) (,, 0, ), f (0,0,) (, 0,, a) Σχηματίζουμε τον πίνακα με γραμμές τα στοιχεία αυτά 0 0 a και μετά από μερικούς στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών φτάνουμε στον πίνακα 5
0 0 0 0 a Αν a 0, τότε ο Α είναι σε κλιμακωτή μορφή και υπάρχουν μη μηδενικές γραμμές Άρα dii f Συνεπώς di ker f di dii f Αν a 0, τότε με έναν ακόμη στοιχειώδη μετασχηματισμό στον Α καταλήγουμε στην κλιμακωτή μορφή 0 Άρα di I f Συνεπώς di ker f 0 0 0 0 Ξέρουμε ότι μια γραμμική απεικόνιση είναι - αν και μόνο αν έχει τετριμμένο πυρήνα Από τα παραπάνω έπεται ότι η f είναι γραμμική αν και μόνο αν a 0 4 Επειδή η f : είναι γραμμική, έχουμε di I f (αυτό έπεται άμεσα, ανεξάρτητα από την παραπάνω διερεύνηση) Άρα di I f 4 και η f δεν είναι επί για κάθε a a και b Έστω ( a, b, c) Εξετάζουμε για ποια k έχουμε ( a, b, c) I f Παρατηρούμε ότι f ( x, y, z) ( a, b, c) ( x y kz, x y z, y z) ( a, b, c) x y kz a x y z b y z c Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο k a b 0 c που μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών παίρνει τη μορφή k a 0 k b a 0 0 4 k c b a Αν έχουμε 4 k 0 και c b a 0, τότε από την τελευταία γραμμή συμπεραίνουμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο Επομένως ( a, b, c) I f Αν έχουμε 4 k 0 και c b a 0, τότε το σύστημα είναι συμβιβαστό Επομένως ( a, b, c) I f Αν έχουμε 4 k 0, τότε το σύστημα είναι συμβιβαστό για κάθε a, b, c Επομένως ( a, b, c) I f Συνεπώς για το ( a, b, c) (,0,0) ισχύει ότι (, 0,0) I f k 4 και για το ( a, b, c) (7,, 4) ισχύει ότι (7,, 4) I f για κάθε k c Από τη διερεύνηση του συστήματος που πραγματοποιήσαμε πριν, συμπεραίνουμε ότι η f είναι επί αν και μόνο αν k 4 Άρα dii f k 4 d Έστω k 4 Ισχυριζόμαστε ότι di ker f Πράγματι έχουμε dii f, αφού I f, I f Επίσης τα στοιχεία f (,0,0) (,,0), f (0,,0) (,,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία της εικόνας Άρα dii f Συνεπώς dii f e Από τις περιπτώσεις και 4 βλέπουμε ότι δεν υπάρχει τιμή του k τέτοια ώστε dii f a b Έστω Έχουμε c d 6
a a b a c b d c a b d f ( ) B B c c d c d c c Για τον πυρήνα της f έχουμε c a b d 0 0 a b d 0 ker f c c 0 0 c 0 b d b 0 b d 0 d 0 0 0 0 0 Συνεπώς ker f, Τα στοιχεία, είναι γραμμικά ανεξάρτητα γιατί 0 0 0 0 0 0 0 0 0 από έπεται ότι 0 Άρα μια βάση του ker f είναι το σύνολο 0 0 0 0 0 0 {, } 0 0 0 και di ker f Με χρήση της () δείξτε ότι μια βάση της εικόνας I f είναι το σύνολο 0 0 {, } 0 0 και dii f 4 Παρατηρήστε ότι ο πυρήνας είναι το σύνολο των αντισυμμετρικών πινάκων και η εικόνα είναι το σύνολο των συμμετρικών πινάκων Ιδέ άσκηση 6 5 b Δείξτε ότι τα στοιχεία g( x), g( x ),, g( x ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα χρησιμοποιώντας το διωνυμικό ανάπτυγμα και το ακόλουθο λήμμα Λήμμα Έστω p ( ),, ( ) [ ] x p x x μη μηδενικά πολυώνυμα τέτοια ώστε deg p ( x) deg p ( x) i j Τότε τα p ( ),, ( ) x p x είναι γραμμικά ανεξάρτητα Απόδειξη Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι deg p ( x) deg p ( x) Υποθέτουμε ότι ( ) ( ) 0 p x p x, όπου, και θα δείξουμε επαγωγικά στο ότι 0 Το αποδεικτέο είναι σαφές όταν, γιατί p ( ) 0 x Θεωρώντας στη σχέση ( ) ( ) 0 k p x p x συντελεστές του x όπου k deg p( x), προκύπτει άμεσα ότι 0 Συνεπώς έχουμε p ( x) p ( x) 0 και από την υπόθεση της επαγωγής παίρνουμε 0 i 6 a Έστω ότι τα v,, v είναι γραμμικά εξαρτημένα Τότε υπάρχουν a,, a, όχι όλα μηδέν, τέτοια ώστε av a v 0 f a v a v f (0) 0 a f ( v ) a f ( v ) 0 Αφού ένα Άρα τουλάχιστον από τα a i είναι μη μηδενικό, συμπεραίνουμε ότι τα f ( v ),, f ( v ) είναι γραμμικά εξαρτημένα b Έστω a f ( v ) a f ( v ) 0, όπου ai Τότε f ( av av ) 0 f (0) Επειδή η f είναι - παίρνουμε av av 0 Αφού τα v,, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα έχουμε a a 0 Συνεπώς τα f ( v ),, f ( v ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα 7 Σύμφωνα με το Θεώρημα, το ζητούμενο ισοδυναμεί με το να βρεθούν τα a ώστε div Εφαρμόστε απαλοιφή Gauss στον πίνακα με γραμμές τα δοσμένα διανύσματα Απάντηση: a 8 9 Παρατηρήστε ότι f f 0 I f ker f και χρησιμοποιείστε το Θεώρημα i j () 7
0 Ξέρουμε ότι υπάρχει βάση του V της μορφής { v,, v, v,, v}, όπου { v,, v } είναι βάση του U Έστω { w,, w} βάση του W Για τη γραμμική απεικόνιση f : V V που ορίζεται από f ( v ) 0, i,, δείξτε ότι ker f U και I f W i f ( v ) w, j,, j j a Αν υπάρχει τέτοια γραμμική f, τότε di ker f (γιατί;) και di I f καθώς I f Τότε di ker f dii f 5, που αντιβαίνει στο Θεώρημα b Εφαρμόστε την ιδέα της λύσης της άσκησης 0 Εφαρμόστε την ιδέα της λύσης της άσκησης 0 4 Υπολογίστε τα f ( v i ) και τα f ( vi ), i,,, προκειμένου να βρείτε γεννήτορες των I f και I f και τις διαστάσεις τους Μετά εφαρμόστε το Θεώρημα 5 Παρατηρήστε ότι γράφοντας v v f ( v) f ( v) έχουμε v f ( v) ker f (αποδείξτε το) και f ( v) I f Άρα V ker f I f Στη συνέχεια δείξτε ότι ker f I f {0} 6 a Λ b Σ c Λ d Σ e Λ (Ιδέ Πόρισμα) 8