ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ I Εργαστηριακή Άσκηση Μέτρηση Ιξώδους Επιμέλεια: Λάμπρος Καϊκτσής Μάρτιος 011
1. Εισαγωγή Ανάπτυξη διατμητικών τάσεων σε ροή Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης είναι η μέτρηση του ιξώδους ενός ορυκτελαίου, με χρήση της μεθόδου της πτώσης σφαιριδίων. Ακολούθως, γίνεται μια σύντομη αναφορά σε σχετικές έννοιες που αφορούν στο ιξώδες των υγρών, καθώς και στη ροή γύρω από σφαίρα. Περισσότερες λεπτομέρειες παρουσιάζονται στη σχετική βιβλιογραφία, βλ. π.χ. [1, ]. Κατά την κίνηση ενός ρευστού, αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις. Στα νευτωνικά ρευστά, το μέτρο των διατμητικών τάσεων είναι ευθέως ανάλογο του ιξώδους του ρευστού. Το απλούστερο παράδειγμα ροής, στο οποίο να καταδεικνύεται η σχέση μεταξύ του ιξώδους και των αναπτυσσόμενων διατμητικών τάσεων είναι η ροή Quette (Σχ. 1). Στη ροή Quette, το ρευστό περικλείεται από δύο παράλληλες πλάκες, εκ των οποίων η μία (άνω) κινείται με σταθερή ταχύτητα U. Εξαιτίας της συνθήκης της συνάφειας, η άνω στοιβάδα του ρευστού κινείται με την ίδια ταχύτητα, U. Η ανάπτυξη διατμητικών τάσεων, μεταφέρει ορμή σε ολόκληρη τη μάζα του ρευστού. Στην κάτω επιφάνεια, η συνθήκη της συνάφειας οδηγεί σε μηδενική ταχύτητα του ρευστού. Από την επίλυση των εξισώσεων διατήρησης της μάζας και της ορμής για ασυμπίεστη ροή, προκύπτει ότι η κατανομή της ταχύτητας u=u(y) είναι γραμμική (Σχ. 1). Κατά συνέπεια, στη ροή Quette, η κατανομή της διατμητικής τάσης είναι σταθερή. u τ = µ = const y (1) Σχήμα 1. Σχηματική απεικόνιση της ροής Quette. Στη σχέση (1), μ είναι το δυναμικό ιξώδες του ρευστού. Το κινηματικό ιξώδες του ρευστού, ν, ορίζεται ως ο λόγος του δυναμικού ιξώδους προς την πυκνότητα, ρ, του ρευστού: µ ν = () ρ
Μονάδες μέτρησης ιξώδους Στα υγρά, το ιξώδες είναι φθίνουσα συνάρτηση της θερμοκρασίας. Στα αέρια, ισχύει η γενική εξάρτηση v~t 3/ /p, όπου Τ η απόλυτη θερμοκρασία και p η πίεση του αερίου. Οι διαστάσεις του ιξώδους προκύπτουν από τη σχέση (1). Έτσι για το δυναμικό ιξώδες ισχύει: μ: [Μ L -1 T -1 ], ενώ για το κινηματικό ιξώδες : ν: [L T -1 ]. Με βάση τα παραπάνω, στο σύστημα SI το δυναμικό ιξώδες εκφράζεται στις ακόλουθες μονάδες: μ= kg/m s = N s/m = Pa s. Μια βασική τιμή αναφοράς του δυναμικού ιξώδους είναι αυτή του νερού σε θερμοκρασία θ=0 ο C: μ=10-3 Pa s. Στο σύστημα cgs, η μονάδα μέτρησης του δυναμικού ιξώδους είναι το 1 poise (1 P): 1 P =1 g/cm s = 0.1 Pa s. Μια σημαντική υποδιαίρεση είναι εν προκειμένω: 1 centipoise (1 cp) = 10 - P = 10-3 Pa s. Με βάση τα προηγούμενα, το δυναμικό ιξώδες του νερού στους 0 ο C είναι 1 cp. Αναφορικά με το κινηματικό ιξώδες, αυτό εκφράζεται στο σύστημα SI στις ακόλουθες μονάδες: ν=m /s. Η μονάδα μέτρησης του κινηματικού ιξώδους στο σύστημα cgs είναι το 1 stoke (1 St) = 1 cm /s = 10-4 m /s. H ευρέως χρησιμοποιούμενη υποδιαίρεση είναι στο 1 centistoke (cst) = 10 - St = 10-6 m /s. Με βάση τα προηγούμενα, η τιμή του 1 cst αντιστοιχεί στο κινηματικό ιξώδες του νερού στους 0 ο C. Ροή γύρω από σφαίρα Κατά τη ροή γύρω από ένα μη αεροδυναμικό σώμα, όπως μια σφαίρα, αναπτύσσεται μια δύναμη επί του σώματος, με κατεύθυνση συμπίπτουσα με την κύρια κατεύθυνση της ροής (δύναμη αντίστασης). Η δυναμική της ασυμπίεστης ροής εξαρτάται από την τιμή του αριθμού Reynolds: U d Re = (3) ν όπου U η ταχύτητα της ροής μακριά από το σώμα, d η διάμετρος της σφαίρας και ν το κινηματικό ιξώδες του ρευστού. Με βάση τη διαστατική ανάλυση, προκύπτει ότι η δύναμη αντίστασης, F D, δίνεται από τη σχέση: ρ F C A U D = D (4) όπου C D o (αδιάστατος) συντελεστής αντίστασης και Α η προβολική επιφάνεια του σώματος σε επίπεδο κάθετο προς την κύρια κατεύθυνση της ροής (στην περίπτωση της σφαίρας, Α=πd /4). 3
Σχήμα. Σχηματική απεικόνιση της ροής γύρω από σφαίρα. Ο συντελεστής αντίστασης, C D, είναι συνάρτηση του αριθμού Reynolds, βλ. Σχ. 3. Για χαμηλές τιμές του αριθμού Reynolds, η ροή είναι στρωτή, ενώ στην περιοχή Re~300 καθίσταται μεταβατική, και για Re~1000 τυρβώδης. Η μεταβατική και η τυρβώδης ροή χαρακτηρίζονται από αυτοσυντηρούμενες ταλαντώσεις. Έτσι, στο Σχ. 3, οι τιμές του συντελεστή αντίστασης, C D, είναι οι χρονικά μέσες τιμές. Η δύναμη αντίστασης προκύπτει από την ολοκλήρωση της κατανομής των διατμητικών τάσεων και των κάθετων τάσεων (πίεση) επί της επιφάνειας του σώματος. Στο όριο που η τιμή του αριθμού Reynolds τείνει στο μηδέν, η δύναμη αντίστασης οφείλεται σχεδόν εξ ολοκλήρου στην κατανομή των διατμητικών τάσεων, δηλαδή στην επίδραση του ιξώδους του ρευστού. Από τη σχετική βιβλιογραφία προκύπτει ότι, για χαμηλές τιμές του αριθμού Reynolds, στη ροή γύρω από σφαίρα, ο συντελεστής C D μπορεί να υπολογιστεί από τις ακόλουθες σχέσεις: Re < 0., C D = 4 / Re (Σχέση του Stokes) (5) 3 0. < Re < 5, C D = 4 / Re 1+ Re 16 (Σχέση του Oseen) (6) 5 < Re < 850, C D = 4 / Re 1+ /3 Re 6 (Σχέση του Klyachko) (7) 4
Σχήμα 3. Τιμές του συντελεστή αντίστασης, C D, συναρτήσει του αριθμού Reynolds, Re, στη ροή γύρω από σφαίρα. Ισορροπία δυνάμεων κατά την πτώση σφαιρικού σωματιδίου σε υγρό Θεωρούμε την πτώση σφαιρικού σώματος. Στο σώμα ασκούνται οι ακόλουθες δυνάμεις, βλ. Σχ. 4: τo βάρος Β, η δύναμη άνωσης Α και η δύναμη αντίστασης F D. Η έκφραση για τη δύναμη αντίστασης έχει δοθεί στη σχέση 4, ενώ για τις δυνάμεις Β και Α ισχύουν οι σχέσεις: B = mg = ρ Vg (8) B A = ρ Vg (9) L όπου ρ Β και ρ L η πυκνότητα της σφαίρας και του υγρού, αντίστοιχα, και V ο όγκος της σφαίρας (V=πd 3 /6). Σχήμα 4. Σχηματική απεικόνιση των δυνάμεων που ασκούνται σε σφαιρικό σωματίδιο, κατά την πτώση του σε υγρό. 5
Η πτώση της σφαίρας λαμβάνει χώρα διότι Β>Α ή, ισοδύναμα, ρ Β >ρ L. Κατά συνέπεια, στη συνέχεια θα θεωρούμε ότι ισχύει πάντα η ανισότητα ρ Β >ρ L. Από τον νόμο του Newton προκύπτει: du = (10) B A FD m dt Εάν η αρχική ταχύτητα της σφαίρας είναι μηδενική ή σχετικά χαμηλή, η σφαίρα βυθίζεται επιταχυνόμενη. Η αύξηση της ταχύτητας έχει ως επακόλουθο την αύξηση της δύναμης αντίστασης, F D. Έτσι, η επιτάχυνση du/dt ελαττώνεται, με αποτέλεσμα, μετά από κάποιον χρόνο, η σφαίρα να αποκτά μια σταθερή ταχύτητα πτώσης, η οποία ονομάζεται οριακή ταχύτητα. Εάν η αρχική ταχύτητα της σφαίρας είναι σχετικά υψηλή, η μεγάλη τιμή της δύναμης αντίστασης F D θα προκαλέσει την επιβράδυνσή της. Έτσι, καί στην περίπτωση αυτή, η σφαίρα θα αποκτήσει τελικά την οριακή ταχύτητα. Για τον υπολογισμό της οριακής ταχύτητας, στη σχέση (10) η επιτάχυνση της σφαίρας τίθεται ίση με μηδέν, ενώ το βάρος και η άνωση εκφράζονται με βάση τις σχέσεις (8) και (9), αντίστοιχα. Ανάλογα με την έκφραση που χρησιμοποιείται για τον συντελεστή αντίστασης, C D, μπορούν να προκύψουν εκφράσεις της οριακής ταχύτητας, σε συνάρτηση με τα χαρακτηριστικά της σφαίρας (πυκνότητα και διάμετρος) και τις θερμοφυσικές ιδιότητες του υγρού (πυκνότητα και κινηματικό ιξώδες). Ισοδύναμα, για γνωστή οριακή ταχύτητα, μπορεί να εκφραστεί το κινηματικό ιξώδες του υγρού ως συνάρτηση της οριακής ταχύτητας, των χαρακτηριστικών της σφαίρας, και της πυκνότητας του νερού. Οι προκύπτουσες εκφράσεις είναι οι ακόλουθες: Από τη σχέση του Stokes, σχέση (5) (Re<0.): gd ρβ ρ L ν = 18U ορ ρl (11) Από τη σχέση του Oseen, σχέση (6) (0.<Re<5): gd ρβ ρ L 3 ν = du 18U ορ ρl 16 ορ (1) Από τη σχέση του Klyachko, σχέση (7) (5<Re<850): 1 /3 /3 1/3 gd ρβ ρ L ν + Uορ d ν = 0 18U ορ ρl (13) Με χρήση της κατάλληλης σχέσης εκ των (11), (1) και (13), μπορεί να προκύψει η τιμή του κινηματικού ιξώδους, ν. 6
Από την επίλυση της εξίσωσης (10), μπορεί να προκύψει η έκφραση για τη μεταβολή της ταχύτητας της σφαίρας συναρτήσει του χρόνου. Με χρήση της σχέσης του Stokes για τον συντελεστή αντίστασης, C D, η λύση της (10) είναι η ακόλουθη: U Ce mg ρ ρ kt / m Β L = + k ρl (14) όπου k=3πρ L dν και σφαίρας). C U mg ρ ρ Β L = init k ρl (U init είναι η αρχική ταχύτητα της Πρακτικά, θεωρούμε ότι ο χρόνος αποκατάστασης της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης της σφαίρας είναι εκείνος για τον οποίον η διαφορά της στιγμιαίας και της οριακής ταχύτητας είναι μικρότερη από 1%. Για τις συνθήκες του παρόντος πειράματος, ο χρόνος αυτός προκύπτει πολύ μικρός. 7
. Πειραματική διάταξη και διεξαγωγή των μετρήσεων Στο πλαίσιο της Άσκησης, θα προσδιοριστεί πειραματικά το ιξώδες ορυκτελαίου, με χρήση της μεθόδου πτώσης σφαιριδίων. Το ορυκτέλαιο έχει γνωστή πυκνότητα, ρ L =0.890 g/cm 3. Η διάταξη του ιξωδομέτρου είναι εγκατεστημένη στο Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας, στο ισόγειο του κτηρίου Λ. Το ιξωδόμετρο περιλαμβάνει δύο κατακόρυφους διαφανείς κυλίνδρους, οι οποίοι φωτίζονται με τη βοήθεια λυχνίας [3]. Οι διαστάσεις κάθε κυλίνδρου είναι: εσωτερική διάμετρος, D t =94 mm, συνολικό ύψος, H t =1300 mm. Οι κύλινδροι φέρουν δύο οριζόντιες ενδείξεις, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους κατά 1 m. Κατά την εκτέλεση του πειράματος, ρίπτονται σφαιρίδια από την κορυφή του κυλίνδρου. Τα σφαιρίδια αποκτούν την οριακή ταχύτητα πριν διέλθουν από το οριζόντιο επίπεδο της πρώτης (άνω) ένδειξης του κυλίνδρου. Με χρήση χρονομέτρου χειρός, μετράται ο χρόνος καθόδου μεταξύ των δύο ενδείξεων, και υπολογίζεται η τιμή της οριακής ταχύτητας, U ορ,m. Η προκύπτουσα οριακή ταχύτητα των σφαιριδίων είναι κατά τι μικρότερη, σε σχέση με την αντίστοιχη σε απείρως μεγάλο δοχείο ("blockage effect"). Επειδή οι σχέσεις (5), (6) και (7) αντιστοιχούν σε ροϊκό πεδίο απείρως μεγάλων διαστάσεων, θα πρέπει να διορθωθεί κατάλληλα η προσδιορισθείσα τιμή της οριακής ταχύτητας. Η διόρθωση αυτή μπορεί να γίνει με χρήση της σχέσης του Brenner: U ορ d = + + 1.105 1.95 ορ, m Dt Ht Για τη διεξαγωγή του πειράματος είναι διαθέσιμα σφαιρίδια διαφορετικών υλικών και μεγέθους. Για την αποφυγή δημιουργίας φυσαλίδων, η οποία επιδρά αρνητικά στην ακρίβεια των πειραματικών αποτελεσμάτων πρέπει τα σφαιρίδια να καθαρίζονται με πανί εμποτισμένο σε αλκοόλη. Στον Πίνακα 1 παρατίθενται τα χαρακτηριστικά των διαθέσιμων σφαιριδίων. Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά διαθέσιμων σφαιριδίων. Υλικό Πυκνότητα (g/cm 3 ) Διάμετροι (mm) Πολυαμίδιο 1.13 3, 4, 8 Γυαλί.50 8 Ανοξείδωτος χάλυβας 7.83 3.5, 4, 4.5, 5, 6, 7, 8 Πολυακετάλη 1.45 5, 6, 7, 8 Το κριτήριο για την επιλογή των σφαιριδίων πρέπει να είναι η επάρκεια του χρόνου καθόδου, για την αποφυγή μεγάλου σχετικού σφάλματος στη χρονομέτρηση. Ο χρόνος αυτός ενδείκνυται να είναι μεγαλύτερος από 15-0 s. Η επιλογή των σφαιριδίων μπορεί να βασιστεί σε προκαταρκτικούς υπολογισμούς ή πειράματα. Για κάθε σφαιρίδιο, το πείραμα πρέπει να επαναλαμβάνεται αρκετές φορές, ώστε να προκύπτει μια αξιόπιστη μέση τιμή για τον χρόνο καθόδου. Ο Πίνακας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την καταγραφή των μετρήσεων και την παράθεση των αποτελεσμάτων. 8 d U (15)
Πίνακας. Μετρήσεις και αποτελέσματα α/α Υλικό σφαίρας ρ Β d t U ορ,m U ορ Σχέση Stokes Σχέση Oseen ν Re ν Re 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 9
Πηγές 1. P.K. Kundu & I.M. Cohen, Fluid Mechanics, Elsevier, 008.. R.L. Mott, Applied Fluid Mechanics, Prentice Hall, 006. 3. Leeder Enterprises Ltd., Εγχειρίδιο Λειτουργίας Ιξωδομέτρου EH101, 011. 10