Laboraratorul 3. Aplcat ale testelor Massey s Bblografe: 1. G. Cucu, V. Crau, A. Stefanescu. Statstca matematca s cercetar operatonale, ed. Ddactca s pedagogca, Bucurest, 1974.. I. Văduva. Modele de smulare, Edtura Unverstat dn Bucureşt, 004. 3. I. Vladmrescu, Probabltat s statstca, Note de curs, Facultatea de Matematca s Informatca, Unverstatea dn Craova, an III, 1995-1996. 4. R. Trandafr.. Modele de smulare, Note de curs, Facultatea de Hdrotehnca, an III, AIA, 011-01. 5. I. Armeanu, V. Petrehus, Probabltat s statstca aplcate n bologe, MatrxRom, Bucurest, 006. 6. I. Iatan, Îndrumător de laborator în Matlab 7.0, Ed. Conspress, Bucureşt, 009. Scopur: 1) Lstarea unor funct predefnte n Matlab, ce vor f utlzate n cadrul aceste lucrar de laborator. ) Aplcarea testelor Massey s pentru verfcarea normaltat une ser de date s mplementarea n Matlab 7.9 a algortmlor corespunzator acestor teste. In cadrul aceste lucrar de laborator vom utlza urmatoarele funct Matlab 7.9: Nume functe Semnfcate sqrt(x) Calculeaza x exp(x) x Calculeaza e nt(f(x),a,b) b Calculează f xd x a sort(x) Sortează în ordne crescatoare elementele vectorulu x length(x) Returneaza numarul de component ale vectorulu x abs(x) Determna valoarea absoluta a lu x u=fnd(x<=a) Returnează n u ndc elementelor dn vectorul x, care au valoarea ma mca sau egala cu a m=max(v) Determna cea ma mare component a vectorulu v mean( x ) Calculeaza valoarea mede a elementelor lu x std( x ) Calculeaza abaterea standard pentru valorle ndvduale ale une select x sum( x ) Calculeaza suma componentelor lu x eval Evalueaza srurle de caractere cu expres Matlab
vpa fopen fclose fscanf Afseaza un rezultat cu o anumta precze Realzeaza deschderea unu fser Realzeaza nchderea unu fser Realzeaza ctrea dntr-un fser decât 3. TESTUL MASSEY Acest test se utlzeaza pentru verfcarea normaltăţ une select de volum ma mc Pentru aplcarea acestu test se procedeaza astfel: Pasul 1. Se ordoneaza valorle expermentale x 1,..., rezultate dn măsurător n ordne crescatoare. Pasul. Se calculeaza: standard a valorlor selecte. unde x n x meda artmetcă a valorlor observate s abaterea x x z, 1,. Pasul 3. Se normeaza valorle rezultate dn măsurător: n Pasul 4. Se determna valorle Φ z, adca valorle functe de repartte teoretca, numta functa lu Laplace. Φ :, Φ z 1 z t e Pasul 5. Se calculeaza frecvenţele relatve cumulate F n, 1 n, n, dt, adca valorle functe de repartte emprca (expermentala), unde n repreznta numarul de valor z ma mc sau egale cu valoarea z. Pasul 6. Se calculeaza dferentele ş se determnă d z, 1 n F Φ,, n dmax max d. 1
încredere 3 Pasul 7. Dacă d max < d crtc ( d crtc se extrage dn tabele n functe de coefcentul de adoptat s de volumul selecte n) atunc se acceptă poteza că eşantonul are repartta normală; altfel se respnge poteza conform carea esantonul de valor expermentale are o dstrbute normala. Observate. Valorle pentru d crtc dn tabele pot f aproxmate prn calcul utlzând expresle: d crtc 0,1408 0,00714n 0,000769n, 0,1851 0,01064n 0,000785 n, pentu 0.90 pentu 0.95. Exemplul 1. Sa se verfce, la un prag de semnfcate 1 0. 05, poteza conform carea rezstenta ohmca (n KΩ) a unor tronsoane de ceramca acoperte cu carbon este o varabla normala. Verfcarea se va face pe baza a 10 masurator: 1,68; 1,74; 1,8; 1,60; 1,7; 1,90; 1,79; 1,98; 1,85; 1,93. Scret un program Matlab pentru aplcarea testulu Massey datelor dn acest exemplu. Vom constru programul corespunzator testulu Massey utlzand Matlab 7.9: Etapa 1. Se scru ntr-un fser datele rezultate dn măsurător. Etapa. Se scre functa ph.m, corespunzatoare functe lu Laplace. functon r= ph(z) syms t r=1/sqrt(*p)*nt(exp(-t^/),t,-nf,z); Etapa 3. Se construeste functa cu ajutorul carea se deteermna 0.90 sau 0. 95. Massey. functon dcrt=valcrt(n,al) f al==0.95 dcrt=0.1851-0.01064*n+0.000785*n^; elsef al==0.90 dcrt=0.1408+0.00714*n-0.000769*n^; d crtc pentru Etapa 4. Se construeste scrpt-ul Massey.m, ce permte mplementarea testulu fd=fopen('data','r'); x=fscanf(fd,'%f\t',[1,10]);
4 fclose(fd); N=10; x=sort(x); m=mean(x); sgma=std(x); z=(x-m)/sgma; for =1:N ph()=vpa(ph(z()),4); for =1:N n()=length(fnd(z<=z())); f=n/n; normala'); d=abs(f-eval(ph)) dmax=max(d); al=0.95; dcrt=valcrt(n,al); f dmax<dcrt dsp('se accepta poteza ca esantonul de valor expermentale are repartte else normala'); dsp('se respnge poteza ca esantonul de valor expermentale are o dstrbute Modul de aplcare a testulu Massey este lustrat n tabelul urmator: (ordonate crescator) F Φ z d d crtc 1,60-1,6941 0,0451 0,1 0,0549 0,157 1,68-1,0198 0,1539 0, 0,0461 1,7-0,687 0,474 0,3 0,056 1,74-0,5141 0,3036 0,4 0,0964 1,79-0,097 0,4631 0,5 0,0369 1,8 0,1601 0,5636 0,6 0,0364 1,85 0,4130 0,660 0,7 0,0398
1,90 0,8344 0.798 0,8 0,00 1,93 1,0873 0,8615 0,9 0,0385 1,98 1,5087 0,9343 1 0,0657 x 1,801 0.1186 d 0,0964 max 5 TESTUL Cel ma mportant ş ma des utlzat test de verfcare a normaltat reparttlor unu sr de date expermentale este testul. Fe X o varabla aleatoare s x,..., xn 1 o selecte de volum asupra lu X. Algortmul corespunzator testulu este urmatorul: Pasul 1. Valorle caracterstc sub cercetare X se mpart n k ntervale de clasa: unde x x x. 1. k 1 x, x, x,, x, x, x, 1 1 k k1 k1, Conform lu Brooks s Carruthers, numarul k de ntervale de clasa este k 5lg n n tmp ce formula lu Sturges este: k 1 3,3lg n, n fnd volumul sondajulu. Pasul. Se determna frecventele absolute n ale ntervalelor (numarul nregstrat de n, 1, k n valor dn ntervalul I) s respectv frecventele relatve, de repartte emprca. f valorle functe Pasul 3. Se calculeaza valoarea mede artmetce x s respectv abaterea standard a valorlor observate. Pasul 4. Se normeaza valorle rezultate dn măsurător: z x x, 1 k,, unde x repreznta extremtatea dreapta a fecaru nterval I. Pasul 5. Se determna valorle Φ z, adca valorle functe de repartte teoretca, Φ fnd functa lu Laplace.
6 Pasul 6. Se calculeaza probabltatle k I, exprmate de: p p p 1 k P X P x P x 1 k 1 X X x 1 x Pasul 7. Se calculeaza statstca x Φ 1 x x Φ x 1 Φ p, 1, ca o observate sa apartna clase 1 x x x Φ, k 1 k 1 x. n np np, k 1 s se compara cu valoarea dn tabele a lu k s1,1, unde: s= semnfca numarul de parametr estmat (s-au estmat do parametr μ s σ ), α este coefcentul de ncredere, k este numarul ntervalelor de clasa. Exemplul. Sa se verfce, la un prag de semnfcate 1 0. 05, poteza conform carea rezstenta la rupere a unor fre de bumbac este o varabla normala. Verfcarea se va face pe baza a 14 masurator: Scret un program Matlab pentru aplcarea testulu Vom constru programul corespunzator testulu datelor dn acest exemplu. utlzand Matlab 7.9: Etapa 1. Se scru ntr-un fser datele rezultate dn măsurător. Etapa. Se scre functa ph.m, corespunzatoare functe lu Laplace. Etapa 3. Se construeste scrpt-ul hpatrat.m, ce permte mplementarea testulu fd=fopen('date.txt','r'); u=fscanf(fd,'%f\t',[1,14]); fclose(fd); m=mean(u); sgma=std(u);.
N=14; u=sort(u); 5*log10(N) k=9; x(1)=1.65; x(k)=nf; for =:k-1 x()=x(1)+0.05*(-1); n(1)=length(fnd(u<=x(1))); for =:k-1 n()=length(fnd(u> x(-1)& u<= x())); n(k)=length(fnd(u>x(k-1))); f=n/n; z=(x-m)/sgma; for =1:k ph()=vpa(ph(z()),4); p(1)=ph(1); p(k)=1-ph(k-1); for =:k-1 p()=eval(ph())-eval(ph(-1)); h_calc=sum(((n-n*eval(p)).^)./(n*eval(p))) h_tabel=1.59; f h_calc<h_tabel dsp('se accepta poteza ca esantonul de valor expermentale are repartte normala ); else dsp('se respnge poteza ca esantonul de valor expermentale are o dstrbute normala'); Modul de aplcare a testulu este lustrat n tabelul urmator: 7
8 Intervalul I Φ z p n np 1.65 11-1.4459 0.0741 0.0741 0.357, 1.65 1.65, 1.7 1.70 14-1.0105 0.1561 0.08 1.444 1.7, 1.75 1.75 17-0.5751 0.86 0.165 0.1101 1.75, 1.8 1.80 14-0.1397 0.4444 0.1618 1.833 1.8, 1.85 1.85 16 0.956 0.616 0.1718 1.30 1.85, 1.9 1.90 0 0.7310 0.7676 0.1514 0.0801 1.9, 1.95 1.95 14 1.1664 0.8783 0.1107 0.0054 1.95, 10 1.6018 0.9454 0.0671 0.3391, 8 1 0.0546 0.33 x 1.801 0.1186 n n 14 1 calc 5.7118 sk 1;1 1. 59 np Probleme propuse. 1. Se încearcă 16 mprmante de acelaş tp ş se constată tmp de funcţonare dn tabel. Nr. T 1 50,5 60,5 3 71,6 : : 13 1 14 60 15 85 16 304 Sa se verfce poteza conform cărea repartţa tmpulu de funcţonare fără defecţun este normală (se consdera 0. 95 ).. O selecte de volum n 11 asupra une caracterstc X, prvnd sensbltatea la un antbotc a condus la urmatoarele valor: 30, 5, 41, 30, 7, 16, 41, 70, 0, 16, 78. Verfcat la un prag de semnfcate 1 0. 05 poteza conform carea caracterstca X este o varabla normala. 3. Se caută să se pună la punct o maşnă de ambalat cment în sac de greutate nomnală 50 kg. După prmele reglaje, se verfcă la întâmplare 500 de sac a căror greutate a fost notată în tabelul urmator. Greutatea în Kg <45 [45-47) [47-49) [49-51) [51-53) [53-55) [55-57) >57 Total Nr sac 35 53 76 100 88 78 4 8 500 Se poate consdera că repartţa saclor de cment este normală?