ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου, ii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν ΑΒ = 10cm και ΒΓ = 6cm.. Η θέση ενός κινητού, το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα, δίνεται από τη 3 σχέση ( t) t 6t 9t 4, t 0 i) Ποιες χρονικές στιγμές το κινητό βρίσκεται στην αρχή των αξόνων; ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του κινητού για t =. iii) Να βρεθούν οι θέσεις του κινητού στις οποίες αυτό ηρεμεί. iv) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κινητού για t = 3. 3. Το ύψος της στάθμης του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης cm ανεβαίνει με ρυθμό cm / s. i) Να γραφεί σχέση που να συνδέει τον όγκο V του νερού με το ύψος της στάθμης του. ii) Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος του νερού. 4. Ο όγκος ενός σφαιρικού μπαλονιού αυξάνεται με ρυθμό 3π cm 3 / s. Να βρείτε: i) την ακτίνα του μπαλονιού τη χρονική στιγμή t 0 που η επιφάνεια του είναι 16π cm. ii) τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η ακτίνα του τη χρονική στιγμή t 0 που η επιφάνεια της σφαίρας είναι 16π cm. 5. Σε έναν κατακόρυφο τοίχο βρίσκεται στερεωμένη πλάγια μια σκάλα μήκους 5m. Το κάτω μέρος της σκάλας αρχίζει να γλιστρά με ρυθμό 1m/s. Τη χρονική στιγμή t 0 που το κάτω μέρος της σκάλας απέχει από τον τοίχο 3m, να βρείτε: i) σε τι ύψος είναι στερεωμένη η σκάλα, ii) με τι ρυθμό πέφτει το πάνω μέρος της σκάλας, iii) με τι ρυθμό μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη σκάλα, τον τοίχο και το έδαφος, iv) με τι ρυθμό μεταβάλλεται η γωνία θ που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο. 6. Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ = 16 cm μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/s. Αν τη χρονική στιγμή t 0 το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6cm, να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών, ii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. 7. Αν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η περίμετρος αυξάνεται με ρυθμό 3cm / s, να βρεθεί: i) με τι ρυθμό μεταβάλλεται η πλευρά του τριγώνου, ii) με τι ρυθμό μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου όταν αυτό είναι ίσο με 3 cm. 8. Ένα σημείο Μ(, y) κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 f ( ) 3. Αν τη χρονική στιγμή t 0 η κλίση της f στο σημείο Μ είναι 141

Ενότητα 17 5 και η τετμημένη του Μ αυξάνεται με ρυθμό cm/s, να βρεθούν : i) η τετμημένη του σημείου Μ, ii) ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του κύβου τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 5cm. 9. Το μήκος ενός κύκλου αυξάνεται με ρυθμό 3cm/s. Τη χρονική στιγμή t 0, κατά την οποία το εμβαδόν του κύκλου είναι 100π cm, να βρεθούν: i) η ακτίνα του κύκλου ii) ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του κύκλου, iii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του κύκλου. 10. Οι ακτίνες r και R( r < R ) δύο ομόκεντρων κύκλων μεταβάλλονται με τέτοιον τρόπο, ώστε το εμβαδόν του σχηματιζόμενου δακτυλίου να είναι σταθερό και ίσο με 0π m. Το μήκος του μικρού κύκλου μεταβάλλεται με ρυθμό π m/s. i) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας r. ii) Να αποδειχθεί ότι dr R r. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μεγάλου κύκλου όταν dt 4 r m. 11. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μήκους της σκιάς ενός ανθρώπου, ύψους 1,70m, ο οποίος απομακρύνεται με ταχύτητα m/s από μια κολόνα, της οποίας η λάμπα φωτίζει από ύψος 5,1 m από το έδαφος. 1. Δύο πλοία Α και Β, που κινούνται το ένα ανατολικά και το άλλο βόρεια με ταχύτητες ua 1 km / h u B 18 km / h αντίστοιχα, διήλθαν από έναν φάρο στη 1 μ.μ. και στις μ.μ. αντίστοιχα. Να βρείτε: i) την απόσταση των δύο πλοίων στις 3 μ.μ., ii) τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των δύο πλοίων στις 3 μ.μ. 13. Σε μια κωνική δεξαμενή χύνεται νερό με ρυθμό π m 3 /s. Αν το ύψος της δεξαμενής είναι 10m και το πάνω μέρος της έχει εμβαδόν 5π m, να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο ανέρχεται το επίπεδο του νερού όταν το βάθος του είναι m. Προβλήματα 14. Από ένα διαστημικό κέντρο Κ παρακολουθείται η κατακόρυφη εκτόξευση ενός πυραύλου. Η βάση εκτόξευσης βρίσκεται 3km από το κέντρο παρακολούθησης. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζουν ο πύραυλος, το κέντρο και η βάση εκτόξευσης, τη στιγμή που ο πύραυλος έχει διανύσει 6km και η ταχύτητα του είναι 45km/s. 15. Ένας γερανός έλκει οριζόντια ένα βαρύ αντικείμενο που βρίσκεται στο έδαφος με ένα συρματόσχοινο. Η τροχαλία βρίσκεται σε ύψος 3m από το έδαφος πάνω από τον γερανό. Αν το συρματόσχοινο διέρχεται από την τροχαλία με ρυθμό 0m/min, να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο το σώμα πλησιάζει τον γερανό όταν αυτό απέχει 4m. 16. Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) ( 1). Η τετμημένη του Μ είναι θετική και απομακρύνεται από την αρχή Ο των αξόνων με ρυθμό. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C f στο Μ με τον άξονα όταν αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y 1 0, καθώς και η τετμημένη του Μ τη στιγμή εκείνη. 14

Ενότητα 17 17. Σε έναν κύκλο με μεταβλητή ακτίνα είναι εγγεγραμμένο ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Η ακτίνα του κύκλου αυξάνεται με ρυθμό 3 cm / s. i) Να γραφτεί το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου. ii) Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου όταν έχει εμβαδόν ίσο με 4π cm. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή που το εμβαδόν του κύκλου είναι 4π cm. 18. Η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 8cm / s. Να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η ακτίνα της είναι 5 cm. 19. Σε ένα ισοσκελές και οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) η γωνία Â αυξάνεται με ρυθμό 4 rad / s, ενώ οι ίσες πλευρές του διατηρούν σταθερό μήκος. i) Να γραφεί το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση των ίσων πλευρών του και της γωνίας του. ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή που αυτό γίνεται ισόπλευρο. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή που αυτό γίνεται ορθογώνιο. 0. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = 10 και ua 6. Στο τρίγωνο εγγράφουμε ορθογώνιο ΔΕΖΗ με. i) Αν ΕΖ = και ΗΖ = y, να βρεθεί σχέση μεταξύ των και y. ii) Να γραφεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς την πλευρά ΕΖ καθώς αυτή αυξάνεται τη στιγμή που ΕΖ =. iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς την ΕΖ όταν το εμβαδόν του ΔΕΖΗ γίνεται μέγιστο. 1. Μια κάμερα είναι τοποθετημένη στην κορυφή ενός φαναριού ύψους 3 m. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ υπό την οποία η κάμερα παρακολουθεί ένα όχημα που κινείται με ταχύτητα 40 km/h όταν αυτό: i) έχει απομακρυνθεί από το φανάρι κατά 4m, ii) σε 4 m θα έχει διέλθει από το φανάρι.. Ένας ερευνητής διαθέτει μια συσκευή που του δίνει τη δυνατότητα να μετρά τη γωνία θ υπό την οποία φαίνεται η ακτίνα R ενός σφαιρικού αερόστατου που βρίσκεται σε απόσταση h από αυτόν. Αν R = m, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης h ως προς τη γωνία θ όταν θ = 3. 143

3. Μια μεταβλητή ορθή γωνία AOB τέμνει την παραβολή με εξίσωση στα σημεία Α και Β. Η τετμημένη A του Α μεταβάλλεται με ρυθμό 3 cm/s. Να βρεθούν: i) οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β ως συνάρτηση του A, ii) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του A, iii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΟΒ τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι cm. A y ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (Θ. Μ. Τ.) Ασκήσεις για λύση 1). Να εξετάσετε για ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο αντίστοιχο διάστημα. 4 i) f()=, -, ii) g()=, -, iii) h()= 3, -3,3 1 iv) φ()=( 3 ) e, 1, ). Στο επόμενο σχήμα δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα 1,8. i) Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στα διαστήματα: a) 1,3 β) 3,5 ) 1,6 δ),8 ii) Να βρείτε ένα διάστημα στο οποίο ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle, αλλά δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις του., -1 3). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i) 3, > -1 Να εξετάσετε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της μέσης τιμής για την f στο διάστημα 3,. ii) Εφόσον πληρούνται, να το εφαρμόσετε και να βρείτε τα ξ που το επαληθεύουν. 144

a, 0 4). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Να 3 ( 1), > 0 βρείτε τις τιμές των α και β έτσι, ώστε να εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο διάστημα 1,1. 5). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ, ώστε για τη συνάρτηση a, <0 f ( ) να 4, 0 εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα,. Στη συνέχεια να επαληθευτεί το θεώρημα για τη συνάρτηση f., παραγωγίσιμη στο 6). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα διάστημα (α, β), f (α) = β και f (β) = α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε f (ξ) = - 1. 3 7). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 1 18 6 0 έχει για κάθε τιμή του μ το πολύ μία ρίζα στο διάστημα (1, ). 5 8). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5 0, όπου λ, δεν μπορεί να έχει δύο πραγματικές ρίζες στο διάστημα (-1, 1). 9). Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β. 10). Να αποδείξετε ότι: i) ημα-ημβ για κάθε α, β ii) αν 0<α<β, τότε 1 ln 1 a iii ) αν 0<α<β, τότε a a π e e e e iv ) αν 0<α<β<, τότε 11). Να αποδείξετε ότι: e 1 i) e 1 για κάθε < 0 ii) ln( 1) +1 για κάθε > 0 1). Δίνεται η συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f ''( ) 0 για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει το πολύ δύο ρίζες.,, δύο φορές 13). Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) και ισχύουν f (α) = α, f (β) = β και f (γ) = γ,, τέτοιο, ώστε για κάποιο γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ f ''( ) 0. 14). Δίνεται η συνάρτηση f :, συνεχής στο διάστημα, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β) με f (α) = f (β). Αν γ είναι σημείο του (α, β) 145

f ( ) f ( ) f ( ) f ( a) τέτοιο, ώστε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α, β) a με f ''( ) 0. 4 15). Αν α < 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση a 0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. :, 16). Δίνεται η συνάρτηση f a, η οποία είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (α, β). Να αποδείξετε ότι: i) για f ( ) τη συνάρτηση g( ) e ( a)( ) εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο, ii) υπάρχει ξ ( ) τέτοιο, 1 1 ώστε f '( ) a. 17). Αν α + 5β +10γ = 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση α 4 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1). 18). Σε έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν ταυτόχρονα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή t 0 στη διάρκεια του αγώνα, κατά την οποία οι δύο αθλητές έχουν την ίδια ταχύτητα. 19). Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μια διαδρομή 300 km σε 3 ώρες. Να αποδείξετε ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 100km την ώρα. 0). Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο f( )=f( ) f '( )=f '( )=0, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ( α, β ) τέτοιο, ώστε f '''( ) 0. 1). Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο (-, ) με f '( ) 1 για κάθε (,), f(-)=- f()=. i) Να εφαρμόσετε για την f τo Θ.M.T. στα διαστήματα,0 0,. ii) Να αποδείξετε ότι f (0) = 0. ). Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : είναι f '( ) για κάθε. f(1)=000, να αποδείξετε ότι 1998 f () 00. 3). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). 1,, παραγωγίσιμη στο 4). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα διάστημα (1, ) και f() f(1) =3, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f '( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1, )., παραγωγίσιμη στο 5). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα διάστημα (α, β) και f ( a) f ( ) a. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 ( ) τέτοιο, ώστε f '( 0 ) 0. f :, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα 6). Δίνεται η συνάρτηση, αποδειχθεί ότι: i) υπάρχει γ a και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) με f ( a) a f( )=. Να τέτοιο, ώστε f (γ) = α + β γ, ii) υπάρχουν 1, ( ) με 1 τέτοια, ώστε f '( 1 ) f '( ) 1. 146

7). Δίνεται η συνάρτηση (4a ) 3a 8, <0 f ( ) Να βρείτε τους α, β και γ, ώστε: i) η f να παραγωγίζεται στο, ii) να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για την f στο 1,1. 3 a 3 3 (6 a) 3 a 1, 0, <1 8). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) με α, β. Να 1 βρεθούν οι α και β, ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Α(-1, 0) και στο διάστημα 0, να εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής. Στη συνέχεια να γίνει η εφαρμογή του θεωρήματος. 4 9). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5 1 0 έχει, για κάθε λ, μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα (0,1). a 30). Αν α, β, γ, δ και 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 3 a 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). 4 3 31). Αν η εξίσωση a 3 0 έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες μεταξύ τους (α, β, γ, δ ), να αποδείξετε ότι a 3). Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 4 3 4 3 f ( ) 7 5 g()= 4 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (1, ). 33). Να αποδείξετε ότι: e 5 1 3 i) ln ii) συν e 18 36 34). Να αποδείξετε ότι: e i) εφ50 1 ii) - ln 18 e εφβ π iii) για καθε α, β (0, ) εφα π iv) εφ για καθε 0, συν 35). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, 8. και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β), να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1,, (, ) με ξ1 τέτοια, ώστε f '( ) f '( 1) f '( ). 36). Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα, και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β). Αν f ( ) και f(β)=α, να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ(ξ, f (ξ) ) της C f στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση y 3 0. 147

37). Έστω α > 0 και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα a συνάρτηση g. Αν g(0) g( a) g( a), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( a) τέτοιο, ώστε g ''( ) 0. 38). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) με f(α) = f(β), να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1, (, ) τέτοια, ώστε f '( 1) f '( ) 0. 0,1 και 39). Δίνεται η συνάρτηση : 0,1 (0,1), f συνεχής στο διάστημα παραγωγίσιμη στο διάστημα (0,1) με f '( ) 1 για κάθε (0,1). Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0,1) τέτοιο, ώστε f ( ). 40). Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο τυχαίων ριζών της εξίσωσης e 1 βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e 1 0. 41). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και g()=ημ+συν. Να αποδείξετε ότι C f και C g έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία που έχουν τετμημένες (,0) και (0, ). 1 4). Δίνεται συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα, με f ( a) f '( a) 0 και f( ) = f '( )=0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( ) τέτοιο, ώστε f '''( ) 0. 43). Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, όπου 0,1 με f(0) =0 και f(1)=1. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει γ (0,1) τέτοιο, ώστε f (γ) = 1 -γ, ii) υπάρχουν α, β τέτοια, ώστε f '( a) f '( ) 1. 44). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα 1,, παραγωγίσιμη στο διάστημα (1, ), f (1) = 3 και f() = 6, να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. a 1 45). Να αποδειχθεί ότι ln( a ) a 1 για κάθε α > - 1. a και 46). Έστω οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο διάστημα παραγωγίσιμες στο διάστημα (α, β) με f (α) = f (β) = 0 και f '( ) g( ) f ( ) g '( ). Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση g () για κάθε = 0 έχει ρίζα στο (α, β). 47). Δίνεται το πολυώνυμο f ( ) ( 1)( )( 3). i) Να βρείτε την f. ii) Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών του πολυωνύμου g( ) ( )( 3) ( 1)( 3) ( 1)( )( 3) 48). Αν αe > βe >1, να αποδείξετε ότι α α > β β. 49). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ, ώστε για τη συνάρτηση 3 ( a ) ( ), < 1 f ( ) να (β+) ( a 4) 6, 1 εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα 1,. 148

50). Έστω f : παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει f ( ) γ τέτοιο ώστε f '( ). 1 51). Δίνεται η συνάρτηση f : f(1)=1, η οποία είναι παραγωγίσιμη f ( 0) στο. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 0 τέτοιο, ώστε f '( 0 ). 0 5). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,1, f(0)=0 f() 0 για κάθε 0, να αποδείξετε ότι υπάρχει γ (0,1) τέτοιο, ώστε f '( ) f '(1 ). f ( ) f (1 ) 53). Να λυθεί η εξίσωση 3 4 5,. 54). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,1 με f(0)=0 και f(1)=1, να αποδείξετε ότι : i) Υπάρχει (0,1) τέτοιο ώστε ii) υπάρχουν 1, (0,1) τέτοια, ώστε 1 f ( ) 1 1 f ( ) f ( ) 1 Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. ii) Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle. 4 iii) Ισχύει το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση f ( ) στο διάστημα, ; Να βρείτε το ξ, για το οποίο f '( ) 0. ( ) 1 1, 0,3. Είναι f '() 0 (0,3). Ισχύει λοιπόν το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle για την f στο 0,3. Ισχύουν όμως οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο 0,3 ; v) Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Να δικαιολογήσετε την ερμηνεία αυτή. iv) Έστω f 3 vi) Να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f ( ), 0,4. vii) Έστω η εξίσωση f ( ) 0. Τι σημαίνει η έκφραση ότι η εξίσωση f ( ) 0 έχει: κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα Δ, κ το πολύ ρίζες στο διάστημα Δ, κ ακριβώς ρίζες στο διάστημα Δ; viii) Πως αποδεικνύουμε ανισότητες με τη βοήθεια του θεωρήματος της μέσης τιμής; 149

i) Να αποδείξετε ότι 1 a ln 1 a ) 3 Πως θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0 έχει μία ακριβώς ρίζα στο (-, -1); Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Για να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για την f στο διάστημα, πρέπει: Η f να είναι.. στο Η f να είναι.. στο Να ισχύει Το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle είναι ότι.. ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε γεωμετρικά το συμπέρασμα αυτό σημαίνει ότι υπάρχει σημείο Α(, f ( )) Cf με τετμημένη ξ(α, β) τέτοιο, ώστε η της C στο σημείο Α να είναι.. προς τον άξονα.. f ii) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ=. Για να εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο, πρέπει: Η f να είναι.. στο Η f να είναι.. στο Θα υπάρχει τότε τέτοιο, ώστε f '( )... Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ η εφαπτομένη της C f στο σημείο.. να είναι στην ευθεία ΑΒ με Α(α, f(α)) και Β(β, f(β)). iii) Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση f ( ) 1 0,, θα βρούμε ξ =.. iv) Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα της μέσης τιμής για τη συνάρτηση f ( ) 0, 4, θα βρούμε ξ = στο διάστημα 4 v) Για τη συνάρτηση f ( ) 1 δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα,, διότι η f στο σημείο 0 = του διαστήματος.. vi) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει κ το πολύ ρίζες, δεχόμαστε ότι έχει τουλάχιστον.. ρίζες, τις ρ 1 <ρ <..<ρ κ <ρ κ+1, και με εφαρμογή του θεωρήματος.. στα διαστήματα,,...,, για τις f ', f '' κ.λ.π. καταλήγουμε σε 1 1 vii) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f () = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β), εφαρμόζουμε το θεώρημα σε μια αρχική συνάρτηση F της f στο, δηλαδή σε μια συνάρτηση με την ιδιότητα F '( ) f ( ) για κάθε a,. 150

Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής έτσι, ώστε η ευθεία 1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ΑΒ με Α(α,f(α)) και Β(β, f(β)) να είναι παράλληλη στον άξονα. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για την f στο, πρέπει ακόμα: Α. η f να είναι συνεχής στο Β. η f να είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) Γ. η f να είναι παραγωγίσιμη στο Δ. η f είναι συνεχής στο (α, β) και παραγωγίσιμη στο (α, β) Ε. η f να είναι συνεχής στο. Κατά την εφαρμογή του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση 6 4 f ( ) 3 3,3 3,3 τέτοιο, ώστε στο διάστημα προκύπτει ξ f '( ) 0. Είναι: Α. ξ = - 1 Β. ξ = Γ. ξ = 1 Δ. ξ = 0 Ε. ξ = - 3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο (α,β). Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής: Α. υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f '( ) 0 f ( ) f ( a) Β. υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f a Γ. υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f f f ' a f f a Δ. υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε f ' a Ε. δεν αρκούν οι προϋποθέσεις για εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο 4. Για τη συνάρτηση f του διπλανού σχήματος μπορούμε να εφαρμόσουμε: 0, Α. το θεώρημα Rolle στο διάστημα Β. το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα 1, 4 Γ. το θεώρημα Rolle στο διάστημα 1, 4 Δ. το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα 0,3 Ε. δεν εφαρμόζεται κανένα από τα θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής για οποιοδήποτε διάστημα 5. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f() = 0 έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα (α, β): Α. εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano δύο φορές σε κατάλληλα διαστήματα Β. εξασφαλίζουμε την ύπαρξη δύο τουλάχιστον ριζών (με διπλή εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano ή του Rolle σε κατάλληλη αρχική συνάρτηση) και στη συνέχεια αποδεικνύουμε με το θεώρημα Rolle ότι δεν υπάρχουν άλλες ρίζες 151

Γ. εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle δύο φορές για την f σε κατάλληλα διαστήματα Δ. εφαρμόζουμε το θεώρημα της μέσης τιμής Ε. προσπαθούμε να λύσουμε την εξίσωση f() = 0 με αλγεβρικές μεθόδους Άσκηση αντιστοίχισης Να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις των στηλών Α και Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. Η εξίσωση 0 α) Έχει μόνο τις ρίζες 0 και 1 4. Η εξίσωση 1 0 β) Έχει δύο ακριβώς ρίζες. 3. Η εξίσωση 1 γ) Έχει το πολύ δύο ρίζες δ) Έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (-, 0). Ερωτήσεις τύπου «Σωστό ή Λάθος» Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). και f(α) = f(β), εφαρμόζεται το i) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο θεώρημα Rolle στο. ii) Αν δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο, τότε δεν υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f '( ) 0. 4 iii) Για τη συνάρτηση f ( ) εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα a για κάθε α > 0. iv) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο. v) Αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f ( ) 4 στο διάστημα 0,, βρίσκουμε ότι στο σημείο Μ(1, 5) η εφαπτομένη της C f είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ με Α(0, f(0)) και Β(, f()). vi) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f() = 0 έχει κ ακριβώς ρίζες, αρκεί να αποδείξουμε ότι έχει τουλάχιστον κ ρίζες. vii) Η εξίσωση 3 1 με λ 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). viii) Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη και η C f τέμνει τον άξονα σε 001 σημεία, τότε η C f τέμνει τον άξονα σε 000 τουλάχιστον σημεία. i) Αν η f δεν έχει ρίζες στο (α, β), τότε η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο (α, β). 15

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 διάστημα (, 4) για κάθε λ. Τεστ Θέμα 1 ο 3 5 3 έχει το πολύ μία ρίζα από Θέμα ο Δίνεται α > 0 και η συνάρτηση f : a, συνεχής στο διάστημα a και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-α, α). Αν f ( a) f (0) f ( a), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(-α, α) τέτοιο, ώστε f ''( ) 0. Θέμα 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( 4). Αφού διαπιστώσετε ότι οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στα διαστήματα,0 0,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 4) 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. 153