«Ποσοτικε ς Με θοδοι στα Οικονομικα : Ανα λυση οικονομικω ν χρονοσειρω ν με γραμμικε ς μεθο δους» - Με ρος Α, Διδάσκων: Κουγιουμτζής Δημήτρης Quaiaive Topics i Ecoomics: Time Series Aalysis wih Liear Mehods Par, Lecurer: Dimiris Kugiumzis hp://users.auh.gr/dkugiu/teach/timeseriesvolos/ Περιεχόμενα Εισαγωγή στην ανα λυση χρονοσειρω ν, στασιμο τητα και αυτοσυσχε τιση Mη-στα σιμη χρονοσειρα, ε λεγχος μοναδιαίας ρίζας και ε λεγχος ανεξαρτησίας Γραμμικε ς στοχαστικε ς διαδικασίες και μοντε λα Προ βλεψη χρονοσειρω ν Στα σιμες πολυμεταβλητε ς χρονοσειρε ς και μοντε λα Μη-στα σιμες πολυμεταβλητε ς χρονοσειρε ς και μοντε λα Βιβλιογραφία Neusser K (6). Time Series Ecoomerics, Spriger. Verbeek M (4). A Guide o Moder Ecoomerics, 4h Ediio, Wiley. Mills TC ad Markellos RN (8). The Ecoomeric Modellig of Fiacial Time Series, 3d ediio, Cambridge Press Κουγιουμτζής Δ. (6). Ανάλυση Χρονοσειρών, Σημειώσεις μεταπτυχιακού μαθήματος «Ανάλυση Χρονοσειρών» στο ΠΜΣ «Στατιστική και Μοντελοποίηση», Μαθηματικό Τμήμα, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.
close idex Μάθημα : Εισαγωγή στην ανα λυση χρονοσειρω ν, στασιμο τητα και αυτοσυσχε τιση Παραδείγματα πραγματικών χρονοσειρών Στασιμότητα και αυτοσυσχέτιση Κάποιες βασικές στοχαστικές διαδικασίες Δειγματική αυτοσυσχέτιση 7 6 ASE idex, period 985 - μονοδιάστατη χρονοσειρά 5 4 3 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8 μόνο μια χρονοσειρά περιορισμένο μήκος μη-στασιμότητα θόρυβος
Ορισμοί / συμβολισμοί Παρατηρούμενο μέγεθος μεταβλητή [variable] Χ Οι τιμές του παρατηρούμενου μεγέθους αλλάζουν με κάποια μικρή ή μεγάλη τυχαιότητα (στοχαστικότητα) τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) [radom variable] Χ Οι παρατηρήσεις γίνονται συνήθως με συγκεκριμένο χρονικό βήμα χρόνος δειγματοληψίας [samplig ime]. Για κάθε χρονική στιγμή θεωρούμε την τιμή x της τυχαίας μεταβλητής Χ. Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής x για κάποια χρονική περίοδο (σε μονάδες δειγματοληψίας) (μονοδιάστατη) χρονοσειρά [(uivariae) ime series] x { x, x,, x } Αν υπάρχουν ταυτόχρονες παρατηρήσεις περισσότερων από μιας μεταβλητής πολυδιάστατη χρονοσειρά [mulivariae ime series] Στη μονοδιάστατη ή πολυδιάστατη χρονοσειρά εφαρμόζουμε μεθόδους και τεχνικές για να αντλήσουμε πληροφορίες για το σύστημα που την παράγει ανάλυση χρονοσειρών [ime series aalysis] Η χρονοσειρά μπορεί να θεωρηθεί ως πραγματοποίηση μιας στοχαστικής ή καθοριστικής διαδικασίας (δυναμικό σύστημα)
close idex volume close idex close idex Δείκτης και όγκος συναλλαγών Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (ΧΑΑ) 7 ASE idex, period 985-6 ASE idex, period 7-6 5 5 4 4 3 3 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8 ASE idex, period 8 7 8 9 5 x 5 ASE volume, period 998-8 6 4 5 8 6 3 4 5 6 7 8 9 mohs 98 99 3 4 5 6 7 8 Πρόβλεψη? Ποια είναι η τιμή του δείκτη αύριο? Μεθαύριο? Δυναμικό σύστημα Στοχαστική διαδικασία? Ποιος είναι ο μηχανισμός της ελληνικής χρηματιστηριακής αγοράς?
Geeral Idex of Comsumer Prices Γενικός δείκτης τιμών καταναλωτή (GICP) Geeral Idex of Comsumer Prices, period Ja - Aug 5 5 5 5 3 4 5 6 Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? Αυτοσυσχέτιση? Αυτοπαλινδρόμηση? Πρόβλεψη?
differece of logs idex relaive chage firs differece Στοχαστική τάση [sochasic red]: τυχαία αργή μεταβολή μ 6 4 8 6 4 Y : η παρατήρηση ενός μεγέθους σε χρόνο y, y,, y - χρονοσειρά 8 85 87 9 9 95 97 5 S&P5 8 85 87 9 9 95 97 5 μετασχηματισμός 5-5..5 -.5 -. -.5 -. S&P5, firs differeces S&P5, relaive chages -.5 8 85 87 9 9 95 97 5 S&P5, differece of logs..5 -.5 -. -.5 -. -.5 8 85 87 9 9 95 97 5 μεταβολή τιμής x y y σχετική μεταβολή τιμής y x y y μεταβολή λογαριθμού τιμής x l y l y
f Y (y) f (x) idex firs differece Y : η τιμή ενός μεγέθους y, y,, y χρονοσειρά Χρονική συσχέτιση Στοχαστική διαδικασία Y 6 S&P5 S&P5, firs differeces 4 8 6 5 μεταβολή τιμής 4-5 x y y 8 85 87 9 9 95 97 5-8 85 87 9 9 95 97 5 3 fy ( y) 3.5 x -3 Gaussia pdf superimposed o S&P5 6 5 f () x Gaussia pdf superimposed o S&P5 reurs Στατική περιγραφή περιθώρια κατανομή.5.5 4 3 Δυναμική περιγραφή? Χρονική συσχέτιση.5 5 5 -.5.5 Y
Στασιμότητα Αυστηρή στασιμότητα [sric-sese saioariy] Οι κατανομές είναι σταθερές στο χρόνο (ισοδύναμα όλες οι ροπές είναι σταθερές) Z, Z,, 3 Z f ( y) f ( y, ) f ( y) Y Y Y f ( y, y ) f ( y, y ) Y, Y Y, Y f ( y, y, y ) f ( y, y, y ) Y, Y, Y 3 Y, Y, Y 3 3 σταθερές Z Ασθενή στασιμότητα [wide-sese saioariy] Οι δύο πρώτες ροπές είναι σταθερές στο χρόνο Y YY, (, ) ( ) Y Y (, ) (, ) ( ) σταθερές Z σταθερή μέση τιμή και αυτοδιασπορά και για τ= Y () σταθερή διασπορά () Y () Y
Αυτοσυσχέτιση Στάσιμη χρονοσειρά Αυτοδιασπορά ( )( ) ( ) () Διασπορά Αυτοσυσχέτιση () () ( ) ( ) ( ) () Συμβολισμός: ( ) ( ) Παρατηρήσεις: k k και k k και k k Πίνακας αυτοδιασπορών Χρονική συσχέτιση μεταβλητών της σε υστέρηση τ. Μετράει τη «μνήμη» της Πίνακας αυτοσυσχετίσεων
3 Κάποιες βασικές στοχαστικές διαδικασίες ανεξάρτητες ισόνομες τ.μ. [idepede ad ideically disribued, iid] P( x, x,, x ) P( x ) P( x ) P( E Y λευκός θόρυβος [whie oise, WN], ασυσχέτιστες τ.μ. E i j ij τυχαίος περίπατος [radom walk, RW] Y Y E Y Y, Y,, Y Y iid E Y E Y E E? x ) Η διασπορά αυξάνει γραμμικά με το χρόνο!
4 Για κάθε τάξη p: Γκαουσιανή (κανονική) στοχαστική διαδικασία f ( x, x,, x ),,, p p είναι p-διάστατη Γκαουσιανή κατανομή Η κανονική κατανομή καθορίζεται πλήρως από τις δύο πρώτες ροπές αυστηρή στασιμότητα ασθενής στασιμότητα Παράδειγμα Στοχαστική διαδικασία: Είναι ασθενώς στάσιμη;.5 ~ WN(, ) E[ ] E[.5 ] E[ ] E (.5 )(.5 )? E[ ] E (.5 )(.5 )....5 E[ ] E (.5 )(.5 )....5 E[ ] E (.5 )(.5 )... Οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης δεν εξαρτώνται από το χρόνο.
Δειγματική αυτοδιασπορά / αυτοσυσχέτιση x, x,, x χρονοσειρά Δειγματική μέση τιμή x x αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής μ της χρονοσειράς? Δειγματική αυτοδιασπορά Άλλη εκτίμηση αυτοδιασποράς Μεροληπτικοί εκτιμητές: ( ) ( x ) () ( ) ( ) ( xx x ) c x x c E[ c ] ( )Var[ x] E[ c ] Var[ x] c x x,,, c( ) Δειγματική αυτοσυσχέτιση r( ) r() c() r ~ N(, Var[ r ]) Για μεγάλο : Var[ r ] ( m m m m 4 mm ) m Var[ r ] m πολύ μεγάλο m Συμβολισμός c( ) c η μεροληψία αυξάνει με την υστέρηση τ Συμβολισμός r( ) r τύπος Barle
Aυτοσυσχέτιση λευκού θορύβου x, x,, x χρονοσειρά λευκού θορύβου, r ~ N(, )? Έλεγχος σημαντικότητας αυτοσυσχέτισης H : H : r R r z / Aπορριπτική περιοχή: / z Ζώνη μη-σημαντικής αυτοσυσχέτισης: a/ για στάθμη σημαντικότητας για =.5 Παράδειγμα Για μια χρονοσειρά παρατηρήσεων δίνονται οι πρώτες αυτοσυσχετίσεις 3 4 5 6 7 8 9 -.38 -.8. -.8....7 -.8.5 Υποθέτοντας ότι η χρονοσειρά είναι τυχαία (Η :ρ=): Var[ r ].5 για =.5, το 95% των αυτοσυσχετίσεων αναμένουμε να βρίσκεται στο διάστημα.96.96.7.39 ρ, ρ και ρ τ = για τ=3,4,