(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του alop (alop, teve 979, Moopolstc Competto wth Outsde Goods) - Υποθέτουμε μια πόλη που παριστάνεται από την περιφέρεια ενός κύκλου με περίμετρο L=. p p p 2 p - p 3 / p x x / p - p + p -2 p 4 () Υπάρχουν επιχειρήσεις,, οι οποίες πουλάνε το ίδιο φυσικό αγαθό. - Η ποσότητα προϊόντος που παράγει η επιχείρηση παριστάνεται με q και η τιμή στην οποία πουλάει το προϊόν της η επιχείρηση παριστάνεται με p (όπου =,,). - Υποθέτουμε ότι όλες οι επιχειρήσεις έχουν την ίδια συνάρτηση κόστους: c ( q ) = F + c q, =,..., (όπου F > 0 είναι το σταθερό κόστος εισόδου)
- Οι επιχειρήσεις βρίσκονται εγκαταστημένες σε ίση απόσταση μεταξύ τους πάνω στην πόλη-κύκλο, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Η απόσταση ανάμεσα σε δύο οποιεσδήποτε επιχειρήσεις είναι /. - Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχει ελεύθερη είσοδος νέων επιχειρήσεων στην αγορά. - Δηλαδή: Η αγορά είναι μονοπωλιακά ανταγωνιστική και το πλήθος () των επιχειρήσεων θα προσδιοριστεί στην ισορροπία μέσω της συνθήκης μηδενικών κερδών. () Υπάρχει ένα συνεχές καταναλωτών, οι οποίοι βρίσκονται ομοιόμορφα κατανεμημένοι στην πόλη-κύκλο. - Υποθέτουμε μοναδιαία ζήτηση (ut demad) του αγαθού εκ μέρους των καταναλωτών δηλαδή, κάθε καταναλωτής είτε αγοράζει μία μονάδα του αγαθού από κάποια εκ των επιχειρήσεων,, είτε δεν αγοράζει καθόλου το αγαθό. - Κάθε καταναλωτής αποκομίζει ακαθάριστο πλεόνασμα (χρησιμότητα) 2 s από την αγορά μιας μονάδας του αγαθού.
- Το συνολικό κόστος για έναν καταναλωτή που αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση είναι η τιμή (p ) που πληρώνει συν το κόστος μεταφοράς με το οποίο επιβαρύνεται για να διανύσει την απόσταση (x) που τον χωρίζει από την επιχείρηση. - Υποθέτουμε ότι το κόστος μεταφοράς του καταναλωτή που βρίσκεται σε απόσταση x [0,/ ] από την επιχείρηση είναι μια γραμμική συνάρτηση της διανυόμενης απόστασης: t x, όπου t > 0. - Άρα, η συνολική χρησιμότητα του καταναλωτή που βρίσκεται σε απόσταση x από την επιχείρηση καιαγοράζειτοαγαθόαπότην επιχείρηση είναι: U = s p tx x - Υπολογίζουμε τη μονοπωλιακά ανταγωνιστική ισορροπία ( p, q,, =,..., ) στο υπόδειγμα του alop, χρησιμοποιώντας τη συνήθη μεθοδολογία (βλ. Lecture Notes Week 4).. Ορίζουμε μία τιμή για το προϊόν κάθε επιχείρησης =,,. - Η τιμή του προϊόντος κάθε επιχείρησης είναι p. 3
- Παρατήρηση. Επειδή όλες οι επιχειρήσεις έχουν την ίδια συνάρτηση κόστους και βρίσκονται συμμετρικά τοποθετημένες στην πόλη-κύκλο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι επιλέγουν την ίδια τιμή στην ισορροπία δηλαδή, η ισορροπία του υποδείγματος είναι συμμετρική: p = p = = p 2... - Στην περίπτωση αυτή, οι μόνοι πραγματικοί ανταγωνιστές κάθε επιχείρησης είναι οι δύο πλησιέστεροι γείτονές της δηλαδή, η επιχείρηση - και η επιχείρηση +. - Εξήγηση. Αφού όλες οι επιχειρήσεις πουλάνε το προϊόν τους στην ίδια τιμή, ένας καταναλωτής που προτιμά να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση παρά από την επιχείρηση + προτιμά επίσης να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση παρά από τις επιχειρήσεις +2, +3 κ.λπ. (οι οποίες βρίσκονται ακόμα πιο μακριά από τον καταναλωτή σε σχέση με την επιχείρηση +). Όμοια: Ένας καταναλωτής που προτιμά να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση παρά από την επιχείρηση - προτιμά επίσης να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση παρά από τις επιχειρήσεις -2, -3 κ.λπ. p = p = p - Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση, θέτουμε: + 4
2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για κάθε καταναλωτή και υπολογίζουμε τη συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει για το προϊόν της κάθε επιχείρηση =,,. - Ο καταναλωτής που βρίσκεται σε απόσταση x (0,/ ) δεξιά της επιχείρησης προτιμά να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση παρά από την επιχείρηση + αν: + p p Ux Ux s p tx s p t( x) x + = x 2t 2 Όλοι οι καταναλωτές που βρίσκονται δεξιά της επιχείρησης μέχρι το σημείο x αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση. - Ο καταναλωτής που βρίσκεται σε απόσταση x (0,/ ) αριστερά της επιχείρησης προτιμά να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση παρά από την επιχείρηση - αν: p p Ux Ux s p tx s p t( x) x + = x 2t 2 Όλοι οι καταναλωτές που βρίσκονται αριστερά της επιχείρησης μέχρι το σημείο αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση. x 5
- Άρα, η συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της είναι: p p q( p, p, ) = x + x = 2 x = +, =,..., () t 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση =,, και βρίσκουμε την τιμή (p ) στην οποία επιλέγει να πουλήσει το προϊόν της κάθε επιχείρηση. - Κάθε επιχείρηση επιλέγει την τιμή (p ) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη τη συνάρτηση ζήτησης [ q = q ( p, p, )] που αντιμετωπίζει για το προϊόν της. max Π = pq cq F= ( p c) q F { p } p p st.. q = q( p, p, ) = + t p 0 6
p p max Π ( p, p) = ( p c)( + ) { p } t st.. p 0 (PMP ) -H λύση του PMP είναι: p ( p ) = p + c t + (2) 2 2 - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη συμμετρικής ισορροπίας για να υπολογίσουμε την τιμή που επιλέγει κάθε επιχείρηση ως συνάρτηση του. p = p2 =... = p, δηλαδή: p = p =,...,. (3) (3) (2) p = p= p( ) = c+ t - Αντικαθιστούμε την (4) στη συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει η επιχείρηση και υπολογίζουμε την παραγόμενη ποσότητα κάθε επιχείρησης ως συνάρτηση του : (4) (4) () q = q( ) = / (5) (Συνθήκη Συμμετρικής Ισορροπίας) 7
- Τέλος, υπολογίζουμε τα κέρδη κάθε επιχείρησης ως συνάρτηση του : t π = π( ) = [ p( ) c] q( ) F = F (6) 2 4. Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη μηδενικών κερδών της επιχείρησης για να προσδιορίσουμε το πλήθος () των επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά. t π ( ) = F = 0 = t/ F (7) 2 - Αντικαθιστούμε την (7) στις (4), (5) και βρίσκουμε την τιμή και την ποσότητα ισορροπίας για κάθε επιχείρηση: (7) (4) p = p= c+ tf (7) (5) q = q= F/ t - Άρα, η μονοπωλιακά ανταγωνιστική ισορροπία στο υπόδειγμα του alop είναι: p = p = c+ tf q = q = F/ t = t/ F 8
- Το περιθώριο κέρδους κάθε επιχείρησης σε ισορροπία είναι: p c= tf > - Παρατήρηση. 0 p = c+ tf > MC = c. Η τιμή στην οποία πουλάνε το προϊόν τους οι επιχειρήσεις υπερβαίνει το οριακό κόστος (δηλαδή οι επιχειρήσεις κατέχουν δύναμη αγοράς) αλλά, ταυτόχρονα, τα κέρδη των επιχειρήσεων στην ισορροπία είναι μηδενικά. - Άρα: Η εμπειρική διαπίστωση ότι οι επιχειρήσεις ενός κλάδου δεν πραγματοποιούν υπερκανονικά κέρδη δε συνεπάγεται αναγκαστικά ότιοιεπιχειρήσειςδεδιαθέτουνδύναμηαγοράς. - Παρατήρηση 2 (Συγκριτική Στατική Ανάλυση). ( p c) () < 0, > 0 F F - Άρα: Καθώς αυξάνεται το σταθερό κόστος, το πλήθος των επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά μειώνεται και, επομένως, το περιθώριο κέρδους κάθε επιχείρησης αυξάνεται. 9
( p c) ( ) > 0, > 0 t t - Άρα: Καθώς αυξάνεται το μέσο κόστος μεταφοράς των καταναλωτών, το περιθώριο κέρδους κάθε επιχείρησης αυξάνεται και, επομένως, αυξάνεται επίσης το πλήθος των επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά. - Παρατήρηση 3. lm p = c= MC, lm =, lm q = 0 F 0 F 0 F 0 - Άρα: Καθώς το σταθερό κόστος τείνει στο μηδέν, η τιμήπου επιλέγουν οι επιχειρήσεις προσεγγίζει το οριακό κόστος και το πλήθος των επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά τείνει στο άπειρο (οπότε η ποσότητα που παράγει κάθε επιχείρηση τείνει στο μηδέν). - Δηλαδή: Καθώς το σταθερό κόστος τείνει στο μηδέν, η μονοπωλιακά ανταγωνιστική ισορροπία προσεγγίζει την ανταγωνιστική ισορροπία (όπου η τιμή ισούται με το οριακό κόστος και οι επιχειρήσεις δε διαθέτουν καθόλου δύναμη αγοράς). 0
Μεγιστοποίηση Κοινωνικής Ευημερίας και Αξιολόγηση της Ισορροπίας στο Υπόδειγμα του alop - Υποθέτουμε ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής (η κυβέρνηση) επιλέγει το πλήθος () των επιχειρήσεων κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί το συνολικό πλεόνασμα (δηλαδή την κοινωνική ευημερία): max T = C + P = u( x) + π = u( x) dx + π, όπου: { } x [0,] = 0 = C είναι το πλεόνασμα του καταναλωτή και παριστάνεται από το άθροισμα των χρησιμοτήτων όλων των καταναλωτών. P είναι το πλεόνασμα του παραγωγού και παριστάνεται από το άθροισμα των κερδών των επιχειρήσεων,,. - Τα κέρδη των επιχειρήσεων,, είναι: π = pq cq F π = pq cq F = = = = (8) π = pq c q F= pq c F
- Η χρησιμότητα του καταναλωτή που βρίσκεται σε απόσταση x από την επιχείρηση και αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση είναι: ux ( ) = s p tx - Το πλήθος (ποσοστό) των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση είναι q. - Έστω Α το σύνολο των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση. Τότε: ux ( ) = uxdx ( ) = sq pq t xdx x A x A x A ux ( ) = uxdx ( ) +... + uxdx ( ) = uxdx ( ) = 0 x A x A = x A = s pq t xdx = = x A (9) 2
- Άρα, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας γράφεται ως εξής: max T u( x) dx π { } (8) = + = (9) 0 = s c t xdx F = x A - Δηλαδή, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της ευημερίας είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του συνολικού κόστους μεταφοράς των καταναλωτών στις επιχειρήσεις,, και του συνολικού σταθερού κόστους (=F): m C = { } t xdx + F = x A -Toσυνολικό κόστος μεταφοράς των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση είναι: t x A xdx 3
- Γιαναελαχιστοποιείταιτoσυνολικό κόστος μεταφοράς, κάθε καταναλωτής πρέπει να αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση που βρίσκεται πιο κοντά σε αυτόν. () Για κάθε καταναλωτή που βρίσκεται σε απόσταση x (0,/ ) αριστερά της επιχείρησης (δηλαδή βρίσκεται ανάμεσα στην επιχείρηση και την επιχείρηση -), ισχύει: tx < t(/ x) x < / 2 = xˆ Κάθε καταναλωτής που βρίσκεται σε απόσταση x [0,/ 2 ] αριστερά της επιχείρησης πρέπει να αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση (ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς). () Για κάθε καταναλωτή που βρίσκεται σε απόσταση x [0,/ ] δεξιά της επιχείρησης (δηλαδή βρίσκεται ανάμεσα στην επιχείρηση και την επιχείρηση +), ισχύει: tx < t(/ x) x < / 2 = xˆ Κάθε καταναλωτής που βρίσκεται σε απόσταση x [0,/ 2 ] δεξιά της επιχείρησης πρέπει να αγοράζει το αγαθό από την επιχείρηση (ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς). 4
-Συμπέρασμα. Οι καταναλωτές που βρίσκονται σε απόσταση x [0,/ 2 ] αριστερά και δεξιά της επιχείρησης πρέπει να αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση. To συνολικό κόστος μεταφοράς των καταναλωτών που αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση είναι: /2 /2 /2 t xdx= t xdx+ t xdx= 2 t xdx (0) x A 0 0 0 - Επομένως, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας γράφεται τελικά ως εξής: (0) /2 maxt = s c t xdx F = s c 2t xdx F = { } = x A = 0 /2 t s c 2t xdx F = s c F 4 0 5
t max T = s c F { } 4 st.. 0 (WMP) -H λύση του WMP (δηλαδή το άριστο κατά Pareto πλήθος επιχειρήσεων) είναι: P P P P = t/ F, οπότε: xˆ = / 2 = F / t q = 2 F / t 2 Αξιολόγηση Ισορροπίας - Έχουμε υπολογίσει παραπάνω την ισορροπία στο υπόδειγμα του alop: q = F / t, =,..., = t/ F - Υπολογίσαμε επίσης τη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της κοινωνικής ευημερίας: P q = 2 F/ t, =,..., P = 2 t/ F 6
- Συμπέρασμα. To πλήθος των επιχειρήσεων στην ισορροπία της αγοράς είναι μεγαλύτερο από το κοινωνικά άριστο πλήθος επιχειρήσεων: P = t/ F > = t/ F 2 - Συμπέρασμα 2. Η ποσότητα προϊόντος που παράγει κάθε επιχείρηση στην ισορροπία της αγοράς είναι μικρότερη από την κοινωνικά άριστη ποσότητα προϊόντος: P q = F/ t < q = 2 F / t - Δηλαδή: Τοατομικόόφελοςκάθεεπιχείρησηςαπότηνείσοδότης στην αγορά είναι μεγαλύτερο από το κοινωνικό όφελος της εισόδου (οι επιχειρήσεις έχουν υπερβολικά ισχυρό κίνητρο εισόδου στην αγορά). Εξήγηση. Το κοινωνικό όφελος της εισόδου μιας νέας επιχείρησης είναι η μείωση του συνολικού κόστους μεταφοράς των καταναλωτών.
- Αντίθετα, το ατομικό όφελος μιας επιχείρησης από την είσοδό της στην αγορά προκύπτει από τη δυνατότητά της να αποσπάσει μέρος των πωλήσεων από τις υπόλοιπες επιχειρήσεις δηλαδή, από τη δυνατότητα εκτροπής του εμπορίου από τις ήδη υπάρχουσες επιχειρήσεις στη νεοεισερχόμενη επιχείρηση (αποτέλεσμα εκτροπής του εμπορίου trade dverso effect). Αφού το ατομικό όφελος δεν ταυτίζεται με το κοινωνικό όφελος της εισόδου μιας νέας επιχείρησης στην αγορά, το πλήθος των επιχειρήσεων στην ισορροπία δεν ταυτίζεται με το κοινωνικά άριστο πλήθος επιχειρήσεων. - Τελική Παρατήρηση. Ο κοινωνικός σχεδιαστής επιλέγει το πλήθος () των επιχειρήσεων κατά τρόπο ώστε να ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος μεταφοράς: C m { } 4 t = + F (όπου t/4 είναι το συνολικό κόστος μεταφοράς και F είναι το συνολικό σταθερό κόστος) 8
- Καθώς αυξάνεται το πλήθος των επιχειρήσεων, το συνολικό κόστος μεταφοράς των καταναλωτών μειώνεται αλλά το συνολικό σταθερό κόστος αυξάνεται. - Καθώς μειώνεται το πλήθος των επιχειρήσεων, το συνολικό σταθερό κόστος μειώνεται (δηλαδή εξασφαλίζονται μεγαλύτερες οικονομίες κλίμακας) αλλά το συνολικό κόστος μεταφοράς αυξάνεται. Δηλαδή: Κατά τον προσδιορισμό του κοινωνικά άριστου πλήθους επιχειρήσεων, ο κοινωνικός σχεδιαστής αντιμετωπίζει ένα δίλημμα μεταξύ εκμετάλλευσης των οικονομιών κλίμακας και μείωσης του συνολικού κόστους μεταφοράς των καταναλωτών (tradeoff betwee ecoomes of scale ad aggregate trasportato cost). 9