Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A IV-A I. Suma a două numere naturale este 75. Dacă adunăm de patru ori primul număr cu de trei ori al doilea număr obţinem 40. Aflaţi numărul cel mai mare. Eugenia Miron II. Diferenţa a două numere naturale este 687. Dacă împărţim numărul mai mare la numărul mai mic obţinem câtul 6 şi restul. Aflaţi cele două numere. Eugenia Miron III. La concursul interjudeţean de matematică şi informatică Marian Ţarină participă 40 elevi repartizaţi în mod egal în săli. Aflaţi cel mai mic număr de băieţi care ar trebui să participe la concurs, pentru ca indiferent cum se face repartizarea în săli, în fiecare sală să fie cel puţin un băiat. Vasile Şerdean IV. Într-un parc s-au plantat lalele, garoafe şi panseluţe. Ştiind că 56 nu sunt lalele, 74 nu sunt garoafe, iar 9 nu sunt panseluţe, aflaţi câte lalele, câte garoafe şi câte panseluţe s-au plantat. Eugenia Miron, Nicolae Alexandrescu NOTĂ: Fiecare problemă/subiect se apreciază cu 0 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv: ore.
Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A V-A I. În câte zerouri se termină numărul n = 4 6... 00? Ştefania Mustea II. Se consideră mulţimile: n { x x = 5 n N} şi n { y y = 3 n N} A =, B =, a) Determinaţi primele trei elemente ale mulţimilor A şi B. b) Determinaţi A B ; Justificaţi răspunsul. Ioan Groza, Mirela Raţiu III. Se consideră şirul de numere,3, 6, 53,0,... Să se arate că dacă x este numărul de pe locul 007, atunci x + 3este: a) pătrat perfect; b) cub perfect; c) cubul unui pătrat perfect; d) pătratul unui cub perfect. Vasile Şerdean, Cristian Pop Supliment G.M. nr. 4/ 00 IV. Verificaţi dacă există un număr de trei cifre, care în baza 7 are forma abc, iar în baza 9 are forma bca. Mariana Ursu NOTĂ: Fiecare problemă/subiect se apreciază cu 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv: ore.
Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A VI-A I. Se consideră numerele: n n n n a = ( + ) şi b = ( ), n N. a) Arătaţi că produsul celor două numere este divizibil cu 3. b) Pot fi numerele simultan divizibile cu 3? Justificaţi. Mariana Ursu II. Calculaţi suma: S = 000 + 999 + 3 998 +... + 998 3 + 999 + 000 Vasile Şerdean, Lucia Iepure III. Se consideră dreapta d, punctele A, A,..., A00 astfel încât A A = A A = = A A şi B un punct ce nu aparţine dreptei d. Fie 3... 009 00 = mijloacele segmentelor BA, BA,..., BA. M, M,..., M 00 00 a) Câte segmente obţinem, unind în toate modurile posibile, punctele A, A,..., A, M M. 00, 00 b) Calculaţi suma MM + MM + MM +... + M M. 3 6 7 893 980 Ancuţa Nechita IV. Triunghiul isoscel ABC cu 0 AB = AC are m( p A) = 0. Pe ( AC) se consideră punctul D astfel încât 0 ( ABD) =0 m p. Calculaţi BC. AD Vasile Şerdean, Camelia Magdaş NOTĂ: Fiecare problemă/subiect se apreciază cu 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv: ore.
Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A VII-A n n I. a) Calculaţi S = 0 + 0 +... + 0 +. b) Fie p =... 3 şi q = 444...4 3. Arătaţi că p + q + este pătrat perfect. 00 cifre 005 cifre Mariana Ursu II. a) Calculaţi S = + +... +. 009 3 5 0 b) Arătaţi că + + +... + < 3. 3 006 Vasile Şerdean, Gheorghe Lobonţ III. Se consideră triunghiul ABC cu AB = cm şi AC = 8 cm. Fie [ AD bisectoarea unghiului A, D (BC). Să se arate că AD < 4, 4 cm. IV. Se consideră trapezul ABCD, AB CD, AB > CD şi [AC] [ ] diagonalei. Paralela prin E la BD intersectează pe că: a) Δ ABC este isoscel; BD b) ME = ; AB + CD c) CM =. Vasile Şerdean AC BD. Fie E mijlocul AB în M. Demonstraţi Ioan Groza NOTĂ: Fiecare problemă/subiect se apreciază cu 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv: 3 ore.
Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A VIII-A I. a) Arătaţi că dacă [, şi 3 x ] y [, 3], atunci y( y x) 0 x. 3 3 b) Arătaţi că + > 04. 6 7 9 9 Mariana Ursu, Monica Fodor II. Determinaţi numerele reale x, y, z ştiind că z este maxim, iar x + y + z = 4 şi x + y + z = 08. ' ' ' ' III. Se consideră cubul ABCDA B C D de muchie a. a) Determinaţi distanţa de la punctul ' ' B la dreapta AD. b) Calculaţi măsura unghiului dintre dreptele A ' D şi BD '. Vasile Şerdean, Cristian Pop c) Dacă G este centrul de greutate al triunghiului A ' BD demonstraţi că punctele A, G, C ' sunt coliniare. d) Dacă M, N, P sunt puncte situate pe muchiile ( BB ' ), ( CC ' ) respectiv ( ' ) determinaţi poziţia lor pe muchiile cubului astfel încât suma să fie minimă. AM + MN + NP + DD, ' PA Ioan Groza IV. Se consideră un pătrat ABCD cu latura a şi un plan α perpendicular pe planul pătratului, ce conţine latura AB. Fie triunghiul echilateral AEB inclus în planul α şi M un punct pe latura AB, astfel încât MB = x. Notăm N proiecţia lui E pe MC, F mijlocul lui AB, O mijlocul lui CE şi H mijlocul lui DC. Se cere: a) Exprimaţi lungimea segmentului MO în funcţie de a şi x; b) Arătaţi că OC = ON = OF = OB = OH; c) Determinaţi cea mai mică, respectiv cea mai mare valoare a lungimii segmentului OM şi precizaţi x pentru care se obţin valorile respective. Mariana Ursu, Aura Buju NOTĂ: Fiecare problemă/subiect se apreciază cu 7 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv: 3 ore.
CLASA A IX-A. Calculaţi s n = nx k= $ k + 3: p % k ; oricare ar n N. k Dorel I. Duca. S¼a se determine toate tripletele de numere reale (x; y; z) care satisfac relatia x + y + z + = xy + yz + zx + jx y + zj: Titu Andreescu 3. Fie ABC un triunghi oarecare şi punctele A (BC); B (CA); C (AB) astfel încât m(^a AB) = m(^b BC) = m(^c CA) = : Not¼am A = BB \ CC ; B = CC \ AA ; C = AA \ BB :S¼a se demonstreze c¼a r A r B r C 6R p = sin 3 sin 3 A sin C ; unde r A ; r B ; r C sunt razele cercurilor înscrise în triunghiurile A BC; AB C; ABC iar R şi p sunt raza cercului circumscris, respectiv semiperimetrul triunghiului ABC Daniel V¼ac¼areţu 4. Demonstraţi c¼a pentru orice x 0; este adev¼arat¼a inegalitatea (3 sin x) sin 6 x cos 8 x + tg 8 x: Precizaţi dac¼a exist¼a valori ale lui x pentru care se realizeaz¼a egalitatea. Octavian Agratini
CLASA a-x-a. S¼a se arate c¼a pentru orice n natural, n ; este adev¼arat¼a inegalitatea log n (n + 3) log n+ (n + 4) > 0: Mariana Ursu. Fie numerele complexe distincte z ; z ; z 3 cu S¼a se arate c¼a unde jz j = jz j = jz 3 j = : min R jz + ( )z 3 z j = jz 3 z j jz z j : Dorin Andrica, GMB /00 3. Fie k; m N şi p N: Demonstraţi c¼a are loc identitatea X k p Cm k = p a (i) p A p m i C k p+i m p+i ; i=0 a (i) ) p+ = (p i + )a(i p + a (i) p ; a (i) p > 0: Petru Braica, Ovidiu Pop 4. a) S¼a se arate c¼a pentru orice x; y R cu 0 < x y avem x + y x + y ; oricare ar (0; ]: b) S¼a se arate c¼a are loc inegalitatea ad b + ab c + bc d + cd a a + b + c + d; oricare ar a; b; c; d numere reale cu proprietatea 0 < a b c d: Gheorghe Lobonţ
CLASA a XI-a. Fie (a n ) nn un şir m¼arginit astfel încât a n a n+ + a n ; 8n N şi e b n = a n+ a n : a) S¼a se demonstreze c¼a şirul (b n ) nn este convergent şi lim b n = 0: n! b) S¼a se arate c¼a şirul (a n ) nn este convergent. Gheorghe Lobonţ. Determinaţi a = inf [x] + : x > 0 ; x unde [a] reprezint¼a partea întreag¼a a num¼arului real a: Dorel I. Duca 3. Fie A; B M n (C) dou¼a matrice inversabile cu S¼a se demonstreze c¼a AB + A B = I n : det(a B) det (A ) + (B ) = : Traian T¼amâian, GMB 5/009 4. Stabiliţi dac¼a exist¼a A şi B R dou¼a mulţimi in nite şi o in nitate de perechi de funcţii f; g : R! R, ambele discontinue pe A; astfel încât f g este continu¼a pe R şi g f este discontinu¼a pe B Tudor Adrian Micu
CLASA A XII-A. Fie f : R! R o funcţie continu¼a şi F : R! R funcţia de nit¼a prin F (x) = Z x x f (t) dt; oricare ar x R. a) S¼a se arate c¼a funcţia F este derivabil¼a pe R şi calculaţi derivata F 0 a funcţiei F: b) Determinaţi funcţia F atunci când f (x) = sin x; oricare ar x R. c) Determinaţi funcţia F atunci când x f (x) = ; + ln x; dac¼a x dac¼a x >. Dorel I. Duca. Fie f : ( 4; )! (0; ) derivabil¼a de dou¼a ori pe domeniul de de niţie, astfel încât veri c¼a condiţiile i) f 00 (x) = 3f (x); x > 4; ii) f( ) = ; iii) f 0 ( ) = : Z Determinaţi lim f(x)dx:! Octavian Agratini 3. Fie (G,) un grup cu n + elemente cu proprietatea c¼a exist¼a o funcţie f : G! G care veri c¼a relaţia f(xf(xy)) = yf(x ); 8 x; y G: S¼a se arate c¼a G este grup abelian. Mihai Opincariu, GMB /00 4. Fie A un inel cu proprietatea x + y + z = xy + yz + zx + xyz + ; 8 x; y; z A S¼a se arate c¼a A este un corp cu dou¼a elemente. : Andrei V¼aleanu, GMB /009