Concursul de matematica Arhimede Editia a IV-a. Etapa I-a 25 noiembrie Subiecte clasa a III-a

Transcript

1 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a III-a I. Aflati cea mai mica suma de forma în care s-au folosit doar cifrele 0,,, 4, 5, 6 o singura data. Aratati variantele posibile. II. a) Puneti paranteze astfel încât sa obtineti un numar cât mai mic: b) Reconstituiti adunarea: ABC BC C = 4A5 III. Se da suma: a) Calculati suma grupând convenabil termenii. b) Daca înlocuim un semn cu un semn se obtine rezultatul 0. În fata carui numar din suma s-a pus semnul? IV. La un concurs Cine stie câstiga, cei finalisti, raspund corect la cele 3 întrebari; ei au ales întrebari ce valoreaza punct, 5 puncte sau 0 puncte. Primul a realizat un scor de trei ori mai mare decât al doilea. Care este diferenta de punctaj dintre ei? Punctaj: I. 9p; II. a) 4p; b) 5p; III. a) 4p; b) 5p; IV. 9p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: h 30 min.

2 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a IV-a I. Efectuati calculele: a) A = B = ( ) : b) II. Scrie un numar de 3 cifre care adunat cu rasturnatul sau, sa dea 009. Care este cel mai mare numar cu aceasta proprietate? Câte astfel de numere exista? III. Aflându-se la bunici, Ionel vrea sa numere pasarile din curte. El observa ca le poate grupa astfel încât la 5 gaini sa corespunda rate, iar la 3 rate sa corespunda o gâsca. Stiind ca în curte erau 9 de pasari, aflati câte pasari de fiecare fel sunt în curte. IV. Calculati: ( xyzt mnuv) : 5 stiind ca: xn my = 8 si zv ut = 5 Punctaj: I. a) 4p; b) 5p; II. 9p; III. 9p; IV. 9p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: h 30 min.

3 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a V-a I. Calculati: a) [ ( 37 6) ] b) c) 78:8 9867: 3: 3 Revista Arhimede II. ) Un numar este cu 006 mai mare decât altul. Daca împartim suma lor la diferenta lor, obtinem câtul si restul egale cu. Sa se afle numerele. Cristina Godeanu ) Reconstituiti adunarea: abcd abc ab a = 604 Iolanda Ionescu, Iulian Gogoasa III. Sa se determine numarul x daca suma cifrelor sale este y, suma cifrelor numarului y este z si x y z = 60. Revista Arhimede IV. Sa se afle câte numere naturale A de trei cifre au proprietatea ca putem gasi un numar natural B astfel încât numarul A B sa aiba doua cifre iar numarul A B sa aiba patru cifre. Preda Traian Punctaj: I. a) 3p; b) 3p; c) 3p; II. ) 5p; ) 4p; III. 9p; IV. 9p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: ore.

4 I.. Se dau numerele: II. Concursul de matematica Arhimede Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a VI-a 4 3 a = ( ): 7 ( 5 3 ): si b = 000 :0 ( 3 3 ): 3 3 Sa se afle cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun al numerelor a si b. n 3 n n n n. Sa se arate ca numarul: este divizibil cu 4 pentru orice n N. Revista Arhimede ) Sa se determine cel mai mic si cel mai mare numar de forma abab (scris în baza 0), cu numar minim de divizori. ) Determinati n N pentru care: a) b) 3 < n < < < n 7 Dan Nedeianu 3) Suma dintre cel mai mic multiplu comun si cel mai mare divizor comun a doua numere naturale este 0. Sa se afle numerele. Sorin Radulescu III. Fie punctele coliniare A, A,..., A0, în aceasta ordine, astfel încât A A = mm, A A3 = mm, A3 A4 = 3mm si asa mai departe. a) Ce lungime are segmentul A A? 9 0 b) Determinati lungimea segmentului A A 0 în cm. c) Daca M este mijlocul segmentului A A si N mijlocul segmentului A A, calculati 0 9 lungimea segmentului MN. IV. Se considera unghiurile AOB si BOC astfel încât m ( AOB ) = ab grade, m ( BOC ) = bc ( MON ) ac grade si m = grade unde a, b, c sunt cifre distincte iar [OM si [ON sunt bisectoarele AOB respectiv BOC.. Sa se determine a, b, c.. Sa se afle m( AOC). Preda Traian Punctaj: I. ) 5p; ) 4p; II. ) 3p;.a) p;.b) p; 3) p; III. a) 3p; b) 3p; c) 3p; IV. ) 4p; ) 5p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: ore.

5 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a VII-a I. a) Se considera numerele: ( )( ) ( ) A = a 30 = ( ) ( )...( ) a si C ( ) ( )... ( ) a B * = cu a N. i) Pentru a = 5 ordonati crescator numerele A, B, C. ii) Pentru a = 007 ordonati descrescator numerele A, B, C. b) Fie, a a... a... scrierea zecimala a numarului 0 n Cristian Olteanu. Determinati a 006 si a a... a Damian Marinescu II. a) Sa se gaseasca n Z astfel încât n n 3. b) Sa se demonstreze ca singurele numere rationale care verifica egalitatea: Liviu Oprisescu a a 6 a a = a a sunt 0 si. Sorin Radulescu, Adrian Turcu III. Fie ABCD un patrulater convex si E un punct pe ( BC ) astfel încât [ AB] [ BE], [ ] [ DC] mas AED = 90. a) Aratati ca AB si CD sunt paralele. b) Daca M este mijlocul segmentului AD, atunci mas BMC = 90. IV. În triunghiul isoscel ( ) ' ABC AB AC notam cu C piciorul înaltimii din C( C AB) EC si Diana Niculescu ' si cu M mijlocul laturii AB. Sa se determine masurile unghiurilor ' ABC stiind ca BC = C M. Titu Zvonaru Punctaj: I. a)i) p; a)ii) 3p; b) 4p; II. a) 5p; b) 4p; III. a) 5p; b) 4p; IV. 9p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: 3 ore.

6 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a VIII-a xy I. a) Aflati toate numerele naturale xy pentru care N xy b) Determinati numerele reale x, y, z care verifica egalitatea: Gh. Cristescu ( x y ) z x y x y 3 = 0 a II. a) Fie a, b numere reale nenule astfel încât numerele ab, si 3 3 a b sa fie toate rationale. b Demonstrati ca a si b sunt, de asemenea, numere rationale. b) Fie a, b Z si numerele 3 3 X = 7a 3b a, Y = 5b 3a b Demonstrati ca: X 6 numai daca Y 6. Dan Nedeianu ' ' ' ' ' III. În cubul ABCDA B C D se considera O, centrul bazei ABCD si M, centrul fetei BCC ' B. a) Demonstrati ca ( AB ' D ' ) OM. ' b) Determinati masura unghiului format de dreptele OM si AD. c) Aratati ca planele ( ) DMB si ( ' D ' ) AB sunt paralele. IV. Fie VABC o piramida triunghiulara si punctele A ' ( VA), B ' ( VB), C ' ( VC ) ' A ' B { M } ; BC ' B ' C = { N }; ' CA AC = { P } AB = { N ' }, VP AC = { P ' } VN BC =. Sa se demonstreze echivalenta urmatoarelor afirmatii: a) ( MNP ) ( A ' B ' C ' ) Godeanu Cristina. Notam: ' si VM AB = { M '}, ' ' ' b) M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC respectiv AC. Punctaj: I. a) 4p; b) 5p; II. a) 5p; b) 4p; III. a) 3p; b) 3p; c) 3p; IV. a) 5p; b) 4p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: 3 ore. Preda Traian

7 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a IX-a I. Sa se arate ca: ) Orice numar rational se scrie ca diferenta a doua patrate de numere rationale. ) Pentru orice numar întreg a exista x,y,z numere întregi cu proprietatea a 3a = x y z Marius Dragan II. Fie x,y,z numere reale nenule astfel încât x y z 3 si x y z 3. Sa se demonstreze ca: a) x y z = 3 b) 3 x 3 y 3 z III. Fie x un numar real. Sa se arate ca: 3 Stefan Smarandache ) Daca exista n Ν cu proprietatea ca x n ( ) Q si x n Q atunci x Q. n n ) Exista x R \ Q cu proprietatea ca x Q 3) Daca a b, c N, ( b, c) = an bn c a si x Q ( ) ( ) n N. n N atunci x Q. Sorin Radulescu, Adrian Troe IV. Sa se determine valoarea maxima a parametrului α > 0 pentru care are loc inegalitatea: b c a c a b pentru orice a, b, c > 0. a b c α ( a b ) 3 c I.V. Maftei Punctaj: I. ) 4p; ) 5p; II. a) 4p; b) 5p; III. a) 3p; b) 3p; c) 3p; IV. 9p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: 3 ore.

8 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a X-a I. a) Fie M o multime de numere reale cu cel putin doua elemente si f : M M o functie care îndeplineste conditia: f ( f ( x) ) = f ( x) x, ( ) x M Sa se demonstreze ca f nu poate fi monotona. Gh. Stoica b) Sa se determine multimea A = x R x π arcctg ( ctgx ) = π unde am notat cu { } y partea fractionara a numarului real y. Costel Chites, Adrian Stoica II. Pentru a, b R, sa se determine functia f : R R pentru care b a b b f x x x f x x a b a a, ( ) x R. Dorin Marghidanu III. Se considera functiile f, g : R R definite prin f ( x) x x ) Sa se demonstreze ca functiile f si g sunt strict crescatoare. ) Daca a, b ( 0, ) si f ( a) = 3, ( b) = 4 = 3 si g ( x) x x = 4. g sa se calculeze semnul numarului real c = b a. Sorin Radulescu, Cristian Alexandrescu IV. Fie ABC un triunghi si G centrul sau de greutate astfel încât: BC AG = AC BG = AB CG Aratati ca triunghiul ABC este echilateral. Marius Mâinea Punctaj: I. a) 4p; b) 5p; II. a) 9p; III. ) 4p; ) 5p; IV. 9p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: 3 ore.

9 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a XI-a I. Sa se determine X M ( R) pentru care X 7 56 = Aurel Dobosan II. ) Sa se demonstreze ca: 3 4 x x 0 ( ) x [ 0,]. 7 { } ) Se considera = x 3 x x [ 0,] A. Sa se calculeze inf A si sup A. Petrus Alexandrescu, Iuliana Turcu III. Fie ( ) n n M C cu proprietatea tra = tra = O. A Sa se demonstreze ca A = O. Sorin Radulescu, Mihai Piticari IV. Se considera functia f R R Sa se determine R f x = x, x > 0. x : ( ) a cu proprietatea f ( x) f ( a) ( ) x R,. Sorin Radulescu, Mihail Bencze Punctaj: I. 9p; II. ) 4p; ) 5p; III. 9p; IV. 9p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: 3 ore.

10 Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. I. Fie a (, ). Pe = ( 0, ) Subiecte clasa a XII-a G se introduce urmatoarea lege de compozitie: x [( a )( a ) ] y x * y = log, x, y G. Sa se demonstreze ca: a ) Legea * este lege de compozitie interna pe G. ) ( G,*) este grup abelian. Aurel Dobosan, Bot Trandafir II. x sin x cos x Sa se calculeze dx 3 x, ( ) x 0,. I.V. Maftei, Marius Radulescu III. Fie I, J intervale si a. Sa se calculeze: f : I R o functie cu primitiva F I J F f ( x) ( x) ( F ) dx ln ( x x ) b. Sa se calculeze: IV. Fie ˆ ˆ ˆ x n, = ˆ ˆ ˆ M ( ) A 3 k si G { A k N * } ˆ ˆ ˆ Z n, x J. dx, x R. : bijectiva. =. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a. 3 este prim cu n b. G cu înmultirea este grup Dan Popescu S. Radulescu, I.Savu Punctaj: I. ) 3p; ) 6p; II. 9p; III. ) 5p; ) 4p; IV. ) 4p; ) 5p. Nota: La fiecare problema se acorda punct din oficiu. Timp de lucru: 3 ore.