EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă

Transcript

1 Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000 excelenţă

2 10 Capitolul I MULŢIMEA NUMERELOR REALE A. ELEMENTE DE TEHNICĂ MATEMATICĂ 1. Fie x, y numere reale x 1 z = este întreg. y 1 1. y Știind că x ( x ) 4y ( y 1) Matematică de excelenţă. Clasa a VIII-a =, arătați că numărul Soluția I: x x = 4y y 1 x 4y x+ 4y= 0 x y x+ y x y = 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( x y)( x y ) 0 x y 0 x+ y = + = = sau 0. I. Dacă x y = 0 x= y. Atunci x 1 y 1 = = 1, pentru y 1 y 1 1 y. x 1 y+ 1 1 II. Dacă x+ y = 0 x= y+. Atunci = = 1, y. y 1 y 1 În concluzie, dacă sunt verificate condițiile din enunț, numărul z este întreg. x x = 4y y 1 x x= 4y 4y x x+ 1= 4y 4y+ 1 Soluția a II-a: ( ) ( ) x 1 1 x 1 y 1 y 1 ( x 1) = ( y 1) x 1 = y 1 = 1, y { 1; 1}.. Diferența dintre media aritmetică și media geometrică a numerelor naturale a și b este 1. Arătați că a și b sunt pătratele a două numere naturale consecutive. a+ b Soluție: Fie a > b. Atunci ab = 1 a + b ab = ( a b ) = a b = a = + b a = b+ + b a b = b. Deoarece a b b, deci b k k =,. Obținem a b + b+ k + k + = = = k + k + 1= ( k + 1 ).. Fie ab,,α,β numere raționale, a> 0, b> 0. Arătați că: a) dacă ( a b) b) dacă ( a b) c) dacă ( α a β b) +, atunci a și b ;, atunci a și b ; +, atunci a și b. a b Soluție: a) a + b =. a b Deoarece ( a b) b k = = k și, rezultă ( a b).

3 A. ELEMENTE DE TEHNICĂ MATEMATICĂ 6 Capitolul II CALCUL ALGEBRIC z x+ 1 z Se consideră numerele reale strict pozitive x, y, z, cu proprietatea xy = =. y Arătaţi că unul dintre numere este media aritmetică a celorlalte două. z x+ 1 z + 1 Soluție: Avem x y= și x y =, de unde z = xy + x 1 și z = xy 1. y Obținem ( ) ( ) xy + x = xy x y y + 1 = 0 x y 1 = 0. Deoarece x > 0 z + 1 z + 1 z+ y y 1 = 0 y = 1. Atunci x y = devine x = sau x =, adică x este media aritmetică a numerelor z și y Fie a și b numere reale nenule. Dacă a+ = x, b+ = y și ab + = z, arătați că a b ab x + y + z xyz este număr natural Soluție: x + y + z xyz = a b a b + + a b a b a+ b+ ab+ = a + b + a b a b 1 a a b ab a b a b b 1 = 4. b a a b. Fie a și b numere raționale. Arătați că, dacă a + b = ab, atunci numărul 1 ab este pătratul unui număr rațional. Soluție: Dacă b = 0, atunci a = 0 și 1 ab = 1= 1. Fie b 0. Atunci există k, k b= a k și a 0, a + b = ab a + a k = a k a + ak = k a = și 1 + k b k 6 =. 1 ab k ( 1 k ) ( 1 k ) k Matematică de excelenţă. Clasa a VIII-a 4k 1+ k + k 4k k 1 = = =, deci 1 ab este pă tratul unui număr rațional. 4. Numerele pozitive a, b, c verifică egalitatea a b + a c + abc = a + b c + bc. Arătați că unul dintre ele este media aritmetică sau media geometrică a celorlalte două. a b+ c + abc a b c bc = 0 Soluție: Egalitatea se scrie succesiv: ( ) a ( b+ c) a( a bc) bc( b+ c) = 0 ( b c)( a bc) a ( a bc) ( a bc) ( b+ c a) = 0 : ( ) ( ) + = 0 b+ c a bc a = 0.

4 A. ELEMENTE DE TEHNICĂ MATEMATICĂ 46 Capitolul III FUNCŢII Capitolul Funcții este unul dintre cele mai ample din cadrul programei de olimpiadă. Tema aceasta se regăsește la toate nivelele începând cu clasa a VII-a și terminând cu clasa a XII-a. Exemplele și problemele care vor urma se vor adresa începătorilor în studiul funcțiilor. De altfel, primele exemple sunt construite doar pe baza definiției. EXEMPLUL 1: Fie f :{ 1,,,...,99,100} { 1,0,1} o funcție cu proprietatea: f ( 0) f ( 1 )... f ( 99) f ( 100) 0. Demonstrați că f ( 0) + f ( 1 ) f ( 99) + f ( 100) 0. Soluție: Ipoteza f ( 0) f ( 1 )... f ( 99) f ( 100) 0 f ( 0, ) f ( 1, ) f ( ),..., f ( 100) sunt nenule. Din definiția funcției f obținem că f ( ) f () 1, f ( ),..., ( 100) { 1,1} numere impare. conduce la concluzia că numerele f și atunci suma cerută este nenulă, fiind o sumă de 101 x + 1 :, =. Demonstrați că numărul: x A= f 0 f 1 f... f 10 este număr natural pătrat perfect. EXEMPLUL : Fie funcția f f ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Soluție: Avem succesiv: A= f ( 0) f ( 1) f ( )... f ( 10 ) =... = 11 = EXEMPLUL : Demonstrați că nu există funcții f : care verifică relaţia: ( ) ( ) f x + f x = x+ 1, pentru orice x. Soluție: Ideea este de a particulariza pe x pentru a se obține relații care contrazic definiția noțiunii de funcție. Dacă ar exista o astfel de funcție, am putea alege x = 0 și f 0 + f = 1. Apoi particularizarea f + f 0 =. obținem ( ) ( ) Matematică de excelenţă. Clasa a VIII-a x = conduce la ( ) ( ) Cele două egalități nu pot fi simultan adevărate, deci nu există o funcție care să verifice proprietatea din enunț. ( ) EXEMPLUL 4: Fie o funcție f : care verifică relația f f ( x) = x 4x+ 6, pentru orice. x Calculați f ( ). Soluție: Tehnica de calcul următoare este extrem de eficientă pentru a obține și alte f f x = x x+ 4 deducem: relații pornind de la ipoteză. Din ( ( )) f f ( f ( x) ) = f x x+ 4. ( ) ( ) 0,

5 Capitolul XI CORPURI GEOMETRICE, ARII ŞI VOLUME A. ELEMENTE DE TEHNICĂ MATEMATICĂ Acest capitol este unul dintre cele mai vaste din programa de olimpiadă specifică clasei a VIII-a. Problemele pot fi împărţite în câteva categorii principale: calcule de arii laterale şi volume pentru diferite corpuri geometrice; calculul ariei diferitelor tipuri de secţiuni; probleme cu distanţe soluţionate cu ajutorul formulelor de arie şi volum; probleme de algebră modelate pe suport geometric. EXEMPLUL 1: Fie V o piramidă patrulateră regulată de volum 6 cm. Se notează cu O centrul bazei şi cu F mijlocul muchiei [CD]. Fie {E} = AF BD. Calculaţi volumul piramidei VOEFC. Soluţie: Piramidele V şi VOEFC au înălţime comună pe VO, D F C deci raportul volumelor este egal cu raportul ariilor bazelor lor. În triunghiul ACD, E este centru de greutate, deci: E O A AED = 1 A 1 ACD = A. Apoi A EDF = A AEO = 1 A 1 ACD = A A B Deducem că A CFEO = A 1 A A A = A. Deducem că V VEOFC = 1 V = 6 cm. 6 V EXEMPLUL : Considerăm tetraedrul regulat de latură 1. Fie M [AC] astfel încât MC = AM. Prin M construim un plan paralel cu dreptele AB şi CD. Acesta intersectează muchiile [BC], [BD] şi [AD] în punctele N, P şi respectiv Q. Calculaţi aria secţiunii MNPQ. Soluţie: Din ipoteză deducem că MN şi PQ sunt paralele simultan cu AB, iar NP şi MQ sunt paralele cu CD. Atunci MNPQ este paralelogram. Cum într-un tetraedru regulat muchiile opuse sunt perpendiculare, obţinem că MNPQ este dreptunghi. AM 1 Deoarece AC =, obţinem că MQ 1 CD =, deci MQ = 1. Analog obţinem MN = şi atunci A MNPQ = 9. EXEMPLUL : Fie un tetraedru regulat şi M un punct interior. Demonstraţi că suma distanţelor de la M la feţele tetraedrului este constantă, indiferent de poziţia punctului M. Soluţie: Fie d A, d B, d C şi d D distanţele de la punctul M la feţele (BCD), (ACD), (ABD) şi respectiv (ABC). Folosind formula V MBCD = 1 d A A BCD şi analoagele, obţinem Matematică de excelenţă. Clasa a VIII-a 09

6 (p) TESTE FINALE TESTUL 1 1. a) Se consideră numerele reale x, y, u, v > 0. Demonstraţi că: u v ( u+ v) +. x y ux+ vy (5p) b) Fie a, b, c cifre nenule. Demonstraţi că. Fie a, a > 0 astfel încât ( a a) (p) a) Arătaţi că ( a a + a) şi a. (5p) b) Găsiţi un număr a pentru care ( a a) ab bc ca + +. ba cb ac + şi a. + şi a. (7p). Fie n puncte în spaţiu astfel încât oricare patru să formeze un tetraedru de volum cel mult 1. Arătaţi că există un tetraedru de volum cel mult 7 care să conţină în interior toate cele n puncte. (7p) 4. este un pătrat şi E (BC), F (CD) astfel încât m( EAF) = 45. (p) (4p) (7p) (7p) (p) (4p) Fie BD AE = {Q}, BD AF = {P}, FQ PE = {S}, AS FE = {T} şi MA (ABC). Demonstraţi că MT FE. Timp de lucru: 150 de minute. TESTUL 1. a) Fie a şi b două numere reale pozitive. Arătaţi că: a a + b b a b + b a. b) Arătaţi că, pentru orice număr natural n, are loc inegalitatea: < ( n+ 1) n+ 1+ n n n+ 1.. Determinaţi numerele prime p pentru care numărul p + 1 este număr prim.. Se consideră punctele necoplanare P, A, B, C, D. Dacă PB CD, PD BC, PA BC, arătaţi că picioarele perpendicularelor din A şi C pe BD coincid. 4. Fie ABC un triunghi. Cercul care trece prin vârful B şi este tangent în A laturii [AC] intersectează latura [BC] în D. Cercul care trece prin C şi este tangent în A laturii [AB] intersectează latura [BC] în E. Arătaţi că: a) BC = AB + AC ± BC DE; b) AD = AE = DC BE. Timp de lucru: 150 de minute. Matematică de excelenţă. Clasa a VIII-a 67

7 CUPRINS TESTE INIŢIALE...5 Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR REALE...10 Capitolul II. CALCUL ALGEBRIC...6 Capitolul III. FUNCŢII...46 Capitolul IV. ECUAŢII ŞI INECUAŢII...6 Capitolul V. INEGALITĂŢI...8 Capitolul VI. CERCUL, POLIGOANE ÎNSCRISE, POLIGOANE CIRCUMSCRISE Capitolul VII. PARALELISM ÎN SPAŢIU...17 Capitolul VIII. PERPENDICULARITATE ÎN SPAŢIU Capitolul IX. LOCURI GEOMETRICE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Capitolul X. COLINIARITATE, CONCURENŢĂ, COPLANARITATE...19 Capitolul XI. CORPURI GEOMETRICE, ARII ŞI VOLUME...09 Capitolul XII. INEGALITĂŢI GEOMETRICE ÎN SPAŢIU...44 TESTE FINALE...67 BIBLIOGRAFIE...84 Matematică de excelenţă. Clasa a VIII-a 85