VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

Transcript

1 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y = z b) Să se determine valoarea numărului sin 2 27π+cos 2 27π. c) Să se determine coordonatele punctelor de intersecție ale hiperbolei 2x 2 5y 2 8 = cu dreapta 5y = x. d) Să se calculeze produsul scalar al vectorilor #» v = #» ı + #» j + #» k și w #» = #» ı + #» j 2 #» k. e) Să se determine partea reală a numărului complex 2+3i 3 2i. f) Să se determine aria unui triunghi având lungimile a două laturi de 4 și 5, iar unghiul dintre ele de 3. SUBIECTUL II.. a) Să se determine suma coeficienților polinomului (5X 4) 3. b) Să se determine câte numere de 3 cifre distincte se pot forma folosind cifrele 2, 3, 4, 5. c) Se consideră funcția f : R R, f(x) = x 3. Să se calculeze numărul f( 3) f( 2) f( ) f() f() f(2) f(3). d) Să se determine partea întreagă a numărului 42. e) Să se determine probabilitatea ca un element n din mulțimea {;;2;3} să verifice relația 3 n +5 n = 2 n +6 n. 2. Se consideră funcția f : (,+ ) R, f(x) = x(x+). a) Să se arate că f(x) = x, ( ) x (,+ ). x+ b) Să se calculeze f (x), x (,+ ). f(x),5 c) Să se calculeze lim. x x d) Să se calculeze aria suprafeței plane cuprinsă între axa Ox, graficul funcției f și dreptele x = și x = 2. e) Să se calculeze lim (f()+f(2)+ +f(n)). n + SUBIECTUL III. ( ) Se consideră matricea A = și șirul (F n ) n definit prin relația de recurență F n+ = F n +F n, n N, cu F =, F =. a) Să se calculeze determinantul și rangul matricei A. b) Să se calculeze F 2 și F 3. c) Să se arate că A 2 = A+I 2 și A n+ = A n +A n, ( ) n N, ( n 2. ) d) Utilizând metoda inducției matematice, să se arate că A n Fn+ F = n, ( ) n N F n F. n e) Utilizând relația deta n = (det(a)) n, să se arate că F n+ F n Fn 2 = ( ) n, ( ) n N f) Utilizând egalitatea A m A n = A m+n, să se arate că F n+m = F n+ F m +F n F m, ( )n N, ( )m N. n ( ) k+ g) Să se arate că = F n, ( ) n N. F k F k+ F n+ k=

2 2 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră numerele reale a, b, < a < b și funcțiile f : (,+ ) R, f(x) = ln(+x), iar x g : (,+ ) R, g(x) = ln(+x), ( ) x (,+ ). a) Să se calculeze g (x), x (,+ ). b) Să se arate că g(x) <, ( ) x (,+ ). c) Să se arate că f(x) <, ( ) x (,+ ). d) Să se arate că xln(+x)dx < 3. e) Să se calculeze lim f(x) și lim x f) Să se calculeze lim x x> x g) Să se calculeze lim x + bx ax bx x ax x + f(x) f(t)dt. f(t)dt.

3 VARIANTA 2 3 VARIANTA 2 SUBIECTUL I. a) Să se determine a, b R astfel încât punctele A( 2;4) și B(2;) să aparțină dreptei de ecuație y = ax+b. b) Dacă punctul M este simetricul punctului A( 2;4) față de punctul B(2;), să se determine coordonatele punctului M. c) Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele O(;), A( 2;4) și B(2;). d) Să se determine semnul numărului cos3. e) Să se calculeze tangenta unghiului determinat de diagonala unui cub cu o față laterală a sa. f) Să se arate că punctele C(; ; ), D(; ; ), E(; ; ), F(; ; ) sunt necoplanare. SUBIECTUL II.. Se consideră mulțimea A = {;3;6;...;3}. a) Să se calculeze numărul elementelor mulțimii A. b) Să se determine numărul de submulțimi ale mulțimii A care au trei elemente. c) Să se calculeze probabilitatea ca un element din mulțimea A să fie număr prim. d) Să se calculeze suma elementelor mulțimii A. e) Să se determine câte submulțimi ale mulțimii A au 2 elemente și nu îl conțin pe. 2. Se consideră funcția f : (,+ ) R, f(x) = x arctanx. a) Să se calculeze f (x), x >. b) Să se arate că funcția f este strict crescătoare pe intervalul (,+ ). f(x) f(2) c) Să se calculeze lim. x 2 x 2 d) Să se arate că funcția f este convexă pe intervalul (,+ ). e) Să se calculeze 3 f (x)dx. SUBIECTUL III. Se consideră numerele reale a, a 2,..., a n distincte și b, b 2,..., b n R arbitrare, unde n N, n 3. Definim polinoamele w = (X a 2)(X a 3 )...(X a n ) (a a 2 )(a a 3 )...(a a n ), w 2 = (X a )(X a 3 )...(X a n ) (a 2 a )(a 2 a 3 )...(a 2 a n ),..., w n = (X a )(X a 2 )...(X a n ) (a n a )(a n a 2 )...(a n a n ) și L n = b w +b 2 w 2 + +b n w n. a) Să se verifice că w i (a j ) =, ( ) i j, i, j {;2;...;n}. b) Să se verifice că w (a ) = w 2 (a 2 ) =... = w n (a n ) =. c) Să se verifice că grad(w ) = grad(w 2 ) =... = grad(w n ) = n. d) Să se arate că polinomul L n are gradul cel mult n și L n (a k ) = b k, ( ) k {;2;...;n}. e) Să se arate că dacă f R[X], grad(f) n și f(a k ) = b k, ( ) k {;2;...;n}, atunci f = L n. f) Să se arate că (7a +)w +(7a 2 +)w 2 + +(7a n +)w n = 7X +. g) Să se calculeze a 2 w ()+a 2 2 w 2 ()+ +a 2 n w n ().

4 4 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră numerele strict pozitive a, b R, a < b, funcția f : [,+ ) R, f(x) = și funcția g : [,+ ) R, g(x) = lnx 2 x x+. a) Să se arate că (x+)f(x) = b x+ a x+, pentru orice x [,+ ). b) Să se calculeze f (x), x [,+ ). c) Să se calculeze g (x), x [,+ ). d) Dacă < a < b <, să se calculeze lim f(x). x + e) Să se arate că g(x) >, ( ) x (,+ ). f) Să se demonstreze inegalitatea 2 b a b+a < ln b, pentru orice < a < b. a g) Să se arate că n+ < ln(n+), pentru orice n N. b a t x dt

5 VARIANTA 3 5 VARIANTA 3 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul numărului complex ( i) 4. b) Să se calculeze distanța de la punctul C(;) la dreapta x+y =. c) Să se determine ecuația tangentei la hiperbola x2 4 y2 =, în punctul P(4;3). 3 d) Să se determine a >, astfel încât punctul C(;) să se afle pe cercul x 2 +y 2 = a. e) Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele A(; ), B(3; 3) și C(;). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe (cosπ +isinπ) 3 = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 4 x +3 2 x 4 =. b) Să se calculeze expresia C 6 C2 6 +C4 6 C5 6. c) Dacă funcția f : R R este f(x) = x 4 x, să se calculeze (f f)(). d) Să se calculeze probabilitatea ca un element n {;2;...;5}, să verifice relația 2 n 3n+2. e) Să se calculeze suma elementelor din grupul (Z 8,+). 2. Se consideră funcția f : R R, f(x) = ln(x 2 +3). a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f (x)dx. c) Să se arate că funcția f este strict crescătoare pe intervalul (,+ ). f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x e) Să se determine numărul punctelor de extrem local ale funcției f. SUBIECTUL III. Se consideră matricele E = și I 3 = și mulțimea M formată din toate matricele cu 3 linii și 3 coloane și toate elementele din mulțimea numerelor naturale. a) Să se verifice că E M și că I 3 M. b) Să se arate că dacă A, B M, atunci A+B M. c) Să se arate că dacă A, B M, atunci A B M. d) Să se calculeze determinantul matricei E. e) Să se găsească o matrice C M, astfel încât rang(c) = și o matrice D M astfel încât rang(d) = 2. f) Să se arate că matricea E este inversabilă și E / M. g) Să se arate că, dacă matricea X M este inversabilă și X M, atunci suma elementelor de pe fiecare linie a sa este egală cu și suma elementelor de pe fiecare coloană a sa este egală cu.

6 6 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră funcția f : (,+ ) R, f(x) = xlna alnx, unde a R, a >. a) Să se calculeze f (x), x >. b) Să se calculeze f(a) și f (a). c) Să se arate că e x x e, ( ) x (,+ ). d) Utilizând teorema lui Fermat să se determine a > astfel încât f(x), ( ) x (, + ). e) Să se arate că 2 e x dx 2 x e dx. f) Să se arate că pentru x >, avem e x = x e dacă și numai dacă x = e. g) Să se determine numerele reale c, b, d > cu proprietatea că c x +b x +d x x c +x b +x d, ( ) x (,+ ).

7 VARIANTA 4 7 VARIANTA 4 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze lungimea segmentului AB, dacă A( 5;3) și B(2;). b) Să se calculeze distanța de la punctul M(3; 2) la dreapta 3x 4y + 2 =. c) Să se determine modulul numărului complex z = (3 4i)( + i) d) Să se determine punctele de intersecție dintre dreapta x y = și cercul x 2 +y 2 = 4. e) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe ( i 3) 3 = a+ib. f) Să se determine cos(27π). SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze suma b) Să se rezolve în mulțimea R ecuația x 3 +x 2 =. c) Să se determine mulțimea soluțiilor reale ale inecuației x 2 +x 6. d) Să se determine al cincilea termen al dezvoltării (2x+ 3 x). e) Să se rezolve în intervalul ( 5,+ ) ecuația log 2 (x 2 5) = Se consideră funcția f : R\{ ;} R, f(x) = 2x+ x 2 (x+) 2. a) Să se arate că f(x) = x 2, ( ) x R\{ ;}. (x+) 2 b) Să se determine ecuațiile asimptotelor verticale la graficul funcției f. c) Să se calculeze lim xf(x). x + d) Să se calculeze 2 f(x)dx. e) Să se calculeze suma S = f()+f(2)+ +f(27). SUBIECTUL III. ( ) a b Pentru o matrice A = M c d 2 (C) notăm tr(a) = a+d și considerăm polinomul atașat matricei A, f = X 2 tr(a) ( X ) + det(a). ( Notăm) cu x, x 2 C rădăcinile polinomului f și considerăm matricele I 2 = și O 2 =. ( ) a x b a) Să se verifice că A xi 2 =, ( ) x C. c d x b) Să se arate că f(x) = det(a xi 2 ), ( ) x C. c) Să se verifice că x +x 2 = tr(a) și x x 2 = det(a). d) Să se arate că polinomul atașat matricei I 2 are rădăcinile x = și x 2 =. e) Să se verifice că A 2 (a+d)a+(ad bc)i 2 = O 2 și A n+2 (a+d)a n+ +(ad bc)a n = O 2, ( ) n N. f) Utilizând eventual metoda inducției matematice, să se arate că polinomul atașat matricei A n are rădăcinile x n și xn 2, ( ) n N. g) Să se arate că dacă matricea A verifică tr(a) > 2, atunci A n I 2, ( ) n N.

8 8 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră șirul (a n ) n, definit prin a n = 4 + ( )n + 7 3n+ și funcțiile f n : R R, f n (x) = x x4 4 + x7 7 + ( )n x 3n+, n N. 3n+ a) Să se verifice că a = și f (x) = x, ( ) x R. f (x) b) Să se calculeze lim x + x 4. c) Să se determine f n (x), x R. d) Să se arate că f n (x) = x3n+3 ( )n+, ( ) x R\{ }, ( ) n N. +x3 +x3 e) Să se arate că +x 3 dx = 3 ln2+ π 3 9. f) Să se arate că a n = 3 ln2+ π 3 9 g) Să se calculeze lim a n. n + ( ) n+ x 3n+3 dx, ( ) n N. +x3

9 VARIANTA 5 9 VARIANTA 5 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze distanța dintre punctele A(;2;3) și B(3;2;). b) Să se determine centrul de greutate al unui triunghi cu vârfurile în punctele A(;), B(;), C(2;2). c) Să se calculeze aria cercului de ecuație (x 2) 2 +(y 3) 2 =. ( d) Să se determine modulul numărului complex cos π 5 +i sin π. 5) e) Să se determine numărul punctelor de intersecție dintre parabolele y 2 = 4x și x 2 = 4y. f) Să se determine numărul soluțiilor din intevalul [;2π] ale ecuației sinx =. SUBIECTUL II.. a) Să se rezolve în mulțimea R ecuația lg(x 2 +) =. b) Pentru funcția f : R R, f(x) = x 2 +, să se calculeze suma f()+f(2)+ +f(). c) Să se determine probabilitatea ca alegând o funcție din mulțimea funcțiilor definite pe mulțimea {;2} cu valori în mulțimea {;2;3}, aceasta să fie injectivă. d) Să se determine al zecelea termen al unei progresii geometice cu primul termen 24 și cu rația 2. e) Să se calculeze suma coeficienților dezvoltării (2x+) Se consideră funcția f : R R, f(x) = e x x. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se arate că funcția f este strict descrescătoare pe intervalul (,). c) Să se arate că funcția f este convexă pe R. d) Să se arate că ( ) x R, f(x). e) Să se calculeze lim x + f(x) x 2. SUBIECTUL III. Se consideră mulțimea H = {f Q[X] f( 3 2) = }. a) Să se arate că polinomul nul f = este în H. b) Să se arate că polinomul X 3 2 este din H. c) Să se arate că dacă f, f 2 H, atunci f f 2 H. d) Să se demonstreze că dacă a, b, c Q și a 3 4+b 3 2+c =, atunci a = b = c =. e) Să se arate că dacă g Q[X] și grad(g) = sau grad(g) = 2, atunci g / H. f) Să se arate că dacă grad(g) = 3 și f H, atunci există a Q astfel încât f = a (X 3 2). g) Să se arate că H = {(X 3 2) q q Q[X]}.

10 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. x Se consideră funcțiile f : (,+ ) R, f(x) = ln x+ și g : (,+ ) R, g(x) = f (x). a) Să se arate că g(x) = x x+, x >. b) Să se arate că funcția g este strict descrescătoare pe (,+ ). c) Să se arate că g(x), ( ) x >. d) Utilizând eventual metoda inducției matematice, să se arate că n(n+) = n n+, ( )n N. e) Utilizând teorema lui Lagrange, să se arate că ( ) n N există c n (n,n+) astfel încât g(c n ) = f(n+) f(n). f) Să se arate că g(n+) < f(n+) f(n) < g(n), ( ) n N. n 2n+2 g) Să se arate că < ln 2(n+) n+2 < n n+, ( ) n N.

11 VARIANTA 6 VARIANTA 6 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze distanța dintre punctele A(2;; 2) și B(3; 3;). b) Să se determine raza cercului (x 2) 2 +(y +2) 2 = 6. c) Să se determine ecuația tangentei la parabola y 2 = 5x în punctul P(5;5). d) Să se calculeze modulul numărului complex 5 2i 2 5i. e) Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele M(2;3), N(2; 2) și P(3;2). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe ( cos 3π ) 3π +isin = a+ib. SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze suma primilor 8 termeni dintr-o progresie aritmetică în care primul termen este și rația este 3. b) Să se calculeze probabilitatea ca un element n {; 2; 3; 4; 5} să verifice relația 2 n 3+log 2 n. c) Să se calculeze suma elementelor din grupul (Z,+). d) Să se calculeze expresia E = C 5 C2 5 +C3 5 C4 5. e) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația x 3 x 2 +x =. 2. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. c) Să se arate că funcția f este convexă pe R. f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x e) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x =. SUBIECTUL III. ( ) ( ) ( ) Se consideră matricele I 2 =, J = și O 2 =. Convenim că rang(o 2 ) =. a) Să se calculeze determinanții matricelor J și I 2. b) Să se calculeze matricea J 2. ( ) a b c) Să se arate că, dacă A M 2 (C), A =, atunci A c d 2 (a+d)a+(ad bc)i 2 = O 2. d) Să se găsească o matrice M M 2 (C) pentru care rang(m) rang(m 2 ). e) Să se arate că, dacă matricea B M 2 (C) este inversabilă, atunci matricea B n este inversabilă, ( ) n N. f) Utilizând ( eventual ) metoda inducției matematice, să se arate că, dacă matricea p q C = M r s 2 (C) nu este inversabilă, atunci C n = (p+s) n C, ( ) n N, n 2. g) Să se arate că, dacă matricea D M 2 (C) verifică rang(d) = rang(d 2 ), atunci rang(d) = rang(d n ), ( ) n N.

12 2 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x ln(e x +) și șirul (a n ) n, definit prin a n = e+ + e e n +, ( ) n N. a) Să se verifice că f (x) = e x +, x R. b) Să se arate că funcția f este strict descrescătoare pe R. c) Utilizând teorema lui Lagrange, să se arate că ( ) k [,+ ), există c (k,k +), astfel încât f(k +) f(k) = e c +. d) Să se arate că e k+ < f(k +) f(k) < + e k, ( ) k [,+ ). + e) Să se arate că șirul (a n ) n este strict crescător. f) Să se arate că f(n+) f() < a n < f(n) f(), ( ) n N. g) Să se arate că șirul (a n ) n este convergent și are limita un număr real din intervalul [ ln ( + e ),ln2 ].

13 VARIANTA 7 3 SUBIECTUL I. VARIANTA 7 a) Să se determine numărul real a astfel încât punctul M x 2 ( ) 4 2 3, să aparțină elipsei 4 + y2 a =. b) Să se determine punctele de intersecție ale dreptei de ecuație x + 3y 7 = cu axele de coordonate. c) Să se calculeze distanța de la punctul M(2;3) la dreapta y = x. d) Să se determinea, b,c R astfel încât punctelea( ;;),B(; 2;),C(;;3) să aparțină planului de ecuație ax+by +cz +6 =. e) Să se determine cel mai mare dintre numerele cos π 6, cos π 4, cos π 2. f) Să se calculeze sin 2 +cos 2. SUBIECTUL II.. Se consideră polinomul f R[X], f = X 4 6X 3 +3X 2 2X +4. a) Să se calculeze (X 2 3X +2) 2. b) Să se determine rădăcinile polinomului f. c) Să se determine restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X +. d) Să se determine suma coeficienților polinomului (X 2 3X +2) 4. e) Să se determine cea mai mică valoare a funcției g : R R, g(x) = x 2 3x Se consideră funcția f : R\{ ;} R, f(x) = x(x+). a) Să se arate că f(x) = x, ( ) x R\{ ;}. x+ b) Să se determine partea întreagă a numărului real S = f()+f(2)+ +f(). c) Să se determine punctele de extrem local ale funcției f. d) Să se determine asimptotele verticale la graficul funcției f. e) Să se calculeze aria suprafeței cuprinse între graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = și x = 2. SUBIECTUL III. Se consideră mulțimea H = {A M 3 (Q) det(a), A = A 2 +A} și matricele I 3 = și O 3 =. a) Să se determine inversa matricei X = ai 3, unde a R. b) Să se arate că pentru orice a Q, matricea X = ai 3 nu se află în H. c) Să se arate că dacă A H, atunci A 3 +A 2 I 3 = O 3. d) Să se arate că dacă A H, atunci A 5 = I 3 A. e) Să se arate că matricea H. f) Să se arate că dacă A H și P M 3 (R) este o matrice inversabilă, atunci P A P H. g) Să se arate că mulțimea H conține cel puțin 27 elemente.

14 4 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră șirul (I n ) n, unde I n = x 2n sinxdx și funcția f : [ ( ) x, π ]. 2 a) Să se calculeze I. b) Să se arate că șirul (I n ) n este descrescător. [ ] c) Să se arate că funcția f este concavă pe, π 2 d) Să se arate că 2 ( π x < sinx < x, ( ) x, π 2 e) Să se arate că π(n+) < I n < 2(n+), ( ) n N. f) Utilizând metoda integrării prin părți, să se arate că I n = 2n sin cos 2n(2n )I n, ( )n N, n 2. g) Să se calculeze lim n + ni n. ).. [, π ] R, f(x) = sinx, 2

15 VARIANTA 8 5 VARIANTA 8 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul numărului complex i 27. b) Să se determine inversul numărului complex i 27. c) Să se determine semnul numărului sin π 27 cos π 27. d) Să se calculeze aria triunghiului ABC, dacă AB = 6, BC = și măsura unghiului B este de 45. e) Să se determine ecuația cercului cu centrul în punctul M(; ) și raza 2. f) Să se determine distanța de la punctul A(;; ) la planul de ecuație 3x+2y z =. SUBIECTUL II.. a) Să se determine coordonatele vârfului parabolei de ecuație y = x 2 2x+5. b) Să se determine numărul de elemente ale mulțimii A dacă aceasta are exact 8 submulțimi. c) Să se determine numă rul real x dacă numerele 2, x și x + 4 (în această ordine) sunt în progresie aritmetică. d) Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului f = 2X 3 6X 2 +8X +. e) Să se calculeze ˆ4 27 în Z Se consideră funcția f : R R, f(x) = 3 x. a) Să se calculeze lim f(n). n + b) Să se calculeze f (x), x R\{}. f(x) f(2) c) Să se calculeze lim. x 2 x 2 d) Să se arate că funcția f este strict crescătoare pe intervalul (,+ ). e) Să se calculeze 2 f 3 (x)dx. SUBIECTUL III. Se consideră polinoamele f = X +9X X 2 +X +,5 cu rădăcinile x, x 2,..., x C și g(x ) f. a) Să se calculeze f(). b) Să se calculeze x x 2... x și x +x 2 + +x. c) Să se verifice că g = X X X 2,5X,5. d) Să se arate că, dacă z C și g(z) =, atunci = z + z z 9 +,5,5 + z z. e) Să se arate că u+v u + v, ( ) u, v C. f) Să se arate că, dacă z C și z, atunci z + z z 9 +,5,5 + z z. g) Să se arate că x k, ( ) k {;2;...;}.

16 6 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră funcția f : [,+ ) R, f(x) = sinx x (, x+. Pentru a π ) fixat și pentru 2 orice n N, notăm x n (a) = (sin sin... sin }{{} )(a). de n ori sin a) Să se calculeze derivatele f (x), f [(x), f (x), x. b) Să se arate că f (x) <, ( ) x, π ). [ 2 c) Să se arate că f(x), ( ) x, π ]. 2 a d) Utilizând metoda inducției matematice, să se arate că x n (a) na+, ( ) n N. e) Să se arate că ln(x+) lnx <, ( ) x >. x f) Utilizând inegalitatea de la punctul e), să se arate că n > ln(n+), ( ) n N. g) Să se calculeze lim n + (x (a)+x 2 (a)+ +x n (a)).

17 VARIANTA 9 7 VARIANTA 9 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul numărului complex (2+3i) 2. b) Să se calculeze distanța de la punctul E(; 2) la dreapta x + y + 5 =. c) Să se determine ecuația tangentei la hiperbola x 2 2y 2 = 2 în punctul P(2;). d) Să se arate că punctele L( ; 2; ), M( 2; 3; ) și N( 3; 4; ) sunt coliniare. e) Să se calculeze volumul tetraedrului cu vârfurile în punctele A(; 2; 2), B(2; 2; ), C(2; ; 2) și D(; 2; 3). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe (3+2i) 3 = a+ib. SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze expresia C 5 C 5 +C 2 5 +C 3 5. b) Să se calculeze probabilitatea ca un element x {;2;3;4;5} să verifice relația x 2 x = 6. c) Dacă funcția f : R R, f(x) = x 3 +, are inversa g : R R, să se calculeze g(2)+g()+g(). d) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x +9 x = 2. e) Să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului f = X 3 X 2 X. 2. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x+arctanx. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se determine ecuația asimptotei către + la graficul funcției f. c) Să se arate că funcția f este strict crescătoare pe R. f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x e) Să se calculeze f(x)dx. SUBIECTUL III. Se consideră ) mulțimea M ) 2 (Z 2 ), submulțimea ) H = {X M 2 (Z 2 ) X 2 = X} și matricele (ˆ ˆ O 2 =, B = și I 2 =. ˆ ˆ (ˆ ˆ ˆ ˆ (ˆ ˆ ˆ ˆ a) Să se verifice că O 2 H și I 2 H. b) Să se verifice că B / H. c) Să se găsească două matrice P, Q H, cu proprietatea P + Q / H. d) Să se arate că, dacă U H este o matrice inversabilă, atunci U = I 2. e) Să se determine numărul de elemente din mulțimea M 2 (Z 2 ). f) Să se determine numărul de elemente din mulțimea H. g) Să se arate că orice matrice din mulțimea M 2 (Z 2 ) se scrie ca o sumă finită de elemente din mulțimea H.

18 8 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră n N, n 2, funcțiile f k : [,+ ) R, ( ) k N și g : [,+ ) R, definite prin g(x) = (+x) 2 și f (x) = ( ) ( ) ( ) n (+x) 2 n, ( ) x [,+ ) și f k+ (x) = x f k (t)dt, ( ) x [,+ ), ( ) k N. Notăm prin g (k) (x) derivata de ordinul k a funcției g calculată în punctul x. a) Să se calculeze g (x), x [,+ ). b) Utilizând metoda inducției matematice, să se arate că g (k) (x) = 2 ( 2 ) ( 2 2 )... ( k + 2 ) (+x) 2 k, ( )x [,+ ), ( )k N. c) Să se verifice că g (n+) (t) = f (t), ( ) t [,+ ). d) Integrând relația de la punctul c), să se arate că f (x) = g (n) (x) g (n) (), ( ) x [,+ ). e) Să se demonstreze că ( ) x [, + ) avem egalitatea f n+ (x) = g(x) (g()+ x! g() ()+ x2 2! g(2) ()+ + xn ( ) ( ) f) Să se arate că f k (x) xk k! ( ) x (;]. g) Să se arate că lim n + ) n! g(n) () ( 2 n. ), ( ) k N, (g()+ x! ) g() ()+ x2 2! g(2) ()+ + xn n! g(n) () = g(x), ( )x [;].

19 VARIANTA 9 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul vectorului 2 #» ı +5 #» j. b) Să se calculeze lungimea segmentului cu capetele în punctele A(6;7) și C(7;6). c) Să se calculeze cos π 6 +cos π 3. d) Să se determine a, b R, astfel încât punctele A(6; 7) și C(7; 6) să fie pe dreapta de ecuație x+ay +b =. e) Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele A(6;7), B(5;5) și C(7;6). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe 3+i 4 i = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze elementul ˆ6 27 în Z 7. b) Să se calculeze expresia C 4 9 C 5 9. c) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația x 4 3x 2 +2 =. d) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x +8 x =. e) Să se calculeze probabilitatea ca un element n {;2;3;4;5} să verifice relația 3 n > n Se consideră funcția f : R R, f(x) = e x +x+. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. f(x) f() c) Să se calculeze lim. x x d) Să se arate că funcția f este convexă pe R. 3 n+5 e) Să se calculeze lim n + 2 n+7. SUBIECTUL III. ( ) a a Se consideră matricele A = 2 a 3 a 4 M b b 2 b 3 b 2,4 (R), B = t A A, C = A ta, astfel încât 4 rang(a) = 2 și vectorii #» v k = a #» k ı +bk #» j, ( ) k {;2;3;4}. Se admite cunoscut că rang(x Y) min(rang(x),rang(y)), ( ) X M m,n (R), ( ) X M n,p (R), m, n, p N. ( ) an a a) Să se arate că există n, r {;2;3;4}, astfel încât det r. b n b r b) Să se arate că elementele matricei B sunt b nr = #» v n #» v r, cu n, r {;2;3;4}. c) Să se arate că rang(b) 2. d) Să se arate că det(b) =. e) Să se arate că dacă cei 4 vectori sunt nenuli și distincți, atunci există 2 dintre ei #» v n, #» v r, cu n, r {;2;3;4}, care fac între ei un unghi de cel mult 9. f) Să se arate că matricea B conține cel puțin 6 elemente nenegative. g) Să se arate că det(c) = a a 2 2 b b 2 + a a 3 2 b b 3 + a a 4 2 b b 4 + a 2 a 3 2 b 2 b 3 + a 2 a 4 2 b 2 b 4 + a 3 a 4 2 b 3 b 4.

20 2 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. ( + ) și șirul (e n (a)) x n, Se consideră funcția f a : (,+ ) R, f a (x) = (x+a)ln ( e n (a) = + n) n+a, unde a [;], n. ( a) Să se arate că f a (x) = ln + ) x+a, ( ) x (,+ ). x x(x+) b) Să se arate că f a(x) = (2a )x+a x 2 (x+) 2, ( ) x (,+ ). c) Să se calculeze lim e n(a). n + d) Să se arate că șirul (e n ()) n este strict crescător. e) Să se determine ecuația asimptotei către + la graficul funcției f a. ( ( )) f) Să se arate că șirurile e n și (e n ()) 2 n sunt strict descrescătoare. n g) Să se determine cel mai mic număr a [;] pentru care (e n (a)) n este șir descrescător.

21 VARIANTA 2 VARIANTA SUBIECTUL I. În sistemul cartezian de coordonate xoy se consideră punctele A(;3), B(2;4), C(3;5) și O(;). a) Să se calculeze lungimile segmentelor (AB), (BC) și (AC). b) Să se determine a, b R, astfel încât punctele A(;3) și B(2;4) să se afle pe dreapta y = ax+b. c) Să se demonstreze că punctele A(;3), B(2;4), C(3;5) sunt coliniare. d) Să se calculeze coordonatele proiecției punctului A(;3) pe axa Ox. [ e) Dacă a, π ] și sina = 5, să se calculeze cosa. 2 3 f) Să se calculeze în mulțimea numerelor complexe produsul i i 2... i. SUBIECTUL II.. a) Să se rezolve în R\{ ; } ecuația x+ + x = 4 (x )(x+). b) Să se calculeze log 2 8. c) Să se determine cu câte cifre de se termină numărul!. d) Să se calculeze suma e) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un elementndin mulțimeam = { 3; 2; ;;;2;3}, acesta să satisfacă relația n Se consideră funcția f : R R, f(x) = x 2 +4x+4, ( ) x R. a) Să se calculeze f (x), x R. f(x) f(2) b) Să se calculeze lim. x 2 x 2 c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcției f. d) Să se calculeze f(x)dx. e) Să se calculeze lim n + n 3 n f(x)dx. SUBIECTUL III. Pentru n N, n 2, se consideră funcția f : C C, f(z) = (+z) n. Sunt cunoscute formulele +cosa = 2cos 2 a 2 și sina = 2sin a 2 cos a, ( ) a R. 2 a) Să se calculeze f(). b) Să se arate că f(i) = (C n C ( 2 n +C 4 n C 6 n + )+i(c ) n C 3 n +C 5 n C 7 n + ). c) Să se verifice că +i = 2 cos π 4 +isin π. ( 4 d) Să se arate că f(i) = 2 n 2 cos nπ 4 +isin nπ ). 4 e) Să se arate că C n C2 n +C4 n C6 n + = 2 n 2 cos nπ f) Să se arate că f(cost+isint) = 2 n cos n t 2 n g) Să se arate că C k n coskt = 2n cos n t 2 k= ( 4. cos nt nt +isin 2 2 cos nt 2, t R. ), t R.

22 22 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră șirul (e n ) n N, e n =! +! + 2! + + n!, unde! = și pentru orice șir (a n) n N, a n { ;}, n N, definim șirul (x n ) n N prin a! + a! + a 2 2! + + a n, ( ) n N. n! a) Să se arate că k!, ( ) k N, k 2. (k 2)! k b) Să se arate că! 2 +! (n 2)! n =, ( ) n N, n 2. n! c) Să se arate că șirul (e n ) n N este monoton și mărginit. d) Să se arate că pentru orice n N, n 2, numărul x n nu este număr întreg. e) Să se arate că ( ) n N, există y n, y n [,+ ), astfel încât x n = y n z n. f) Să se arate că șirul (x n ) n N este convergent. g) Să se arate că limita șirului (x n ) n N este număr irațional.

23 VARIANTA 2 23 SUBIECTUL I. VARIANTA 2 a) Să se calculeze modulul numărului complex 4+5i 5+4i. b) Să se calculeze distanța de la punctul D(2; 3) la dreapta x + y + 5 =. c) Să se determine ecuația tangentei la parabola y 2 = 3x dusă prin punctul P(3;3). d) Să se arate că punctele L(; 2; 2), M(2; 3; 2) și N(3; 4; 2) sunt coliniare. e) Să se calculeze volumul tetraedrului cu vârfurile în punctele A(; 2; 3), B(3; 2; ), C(2; ; 3) și D( ; 2; 3). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe (2 3i) 3 = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Să se demonstreze că n! n = (n+)! n!, ( ) n N. b) Să se arate că! +2! 2+ +! =!. c) Să se calculeze probabilitatea ca un element x Z 6 să verifice relația x 3 = x. d) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x +4 x = 6. e) Să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor complexe ale polinomului f = X 4 X Se consideră funcția f : R R, f(x) = 2 x +5 x. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. c) Să se arate că funcția f este convexă pe R. f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x e) Să se determine asimptota orizontală spre la graficul funcției f. SUBIECTUL III. ( ) ( ) Se consideră matricele C = și D =. a) Să se calculeze matricele C +D și (C +D) 2. b) Să se calculeze determinantul și rangul matricei C. c) Să se arate că det(a+b)+det(a B) = 2(det(A)+det(B)), ( ) A, B M 2 (R). d) Să se arate că, dacă x, y, a, b R și x+y = 2(a+b), atunci x a+b sau y a+b. e) Să se arate că ( ) A, B M 2 (R), avem det(a+b) det(a)+det(b) sau det(a B) det(a)+det(b). f) Utilizând metoda inducției matematice, să se arate că ( ) n N și ( ) A, A 2,..., A n M 2 (R), există o alegere a semnelor + sau astfel încât det(a ±A 2 ± ±A n ) det(a )+det(a 2 )+ +det(a n ). g) Să se arate că există o alegere a semnelor + sau astfel încât să avem (cos±cos2± ±cos) 2 +(sin±sin2± ±sin) 2.

24 24 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră funcția f : (,+ ) R, f(x) = 4 3 x3 4 și șirurile (a n ) n, (b n ) n și (c n ) n, a n = , b n = a n = f(n), c n = a n f(n+), ( ) n N. n a) Să se calculeze f (x), x (,+ ). b) Să se arate că funcția f este strict descrescătoare pe intervalul (,+ ). c) Utilizând teorema lui Lagrange, să se arate că ( ) k >, există c (k;k +), astfel încât f(k +) f(k) = 4 c. d) Să se arate că 4 < 4 k + 3 (k +) k 3 4 < 4, ( ) k (,+ ). k e) Să se arate că șirul (b n ) n este strict descrescător iar șirul (c n ) n este strict crescător. f) Să se arate că șirurile (b n ) n și (c n ) n sunt convergente. g) Să se calculeze lim a n. n + ( h) Să se calculeze lim n + 4 n ) n+2 4 2n 4 n 3.

25 VARIANTA 3 25 VARIANTA 3 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul numărului complex 4 6i. b) Să se calculeze lungimea segmentului cu capetele în punctele A(3; 2) și C(4; 3). c) Să se calculeze suma de numere complexe S = i+i 3 +i 5 +i 7. d) Să se determine a, b R, astfel încât punctele A(3; 2) și C(4; 3) să fie pe dreapta de ecuație x+ay +b =. e) Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele A(3; 2), B(2;2) și C(4; 3). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe 5+8i 8 5i = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze elementul ˆ2 26 în (Z 8, ). b) Să se calculeze expresia E = C 3 8 C5 8 +C8 8. c) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale strict pozitive ecuația log 5 x =. d) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 6 x 32 =. e) Să se calculeze probabilitatea ca un element n {;2;3;4;5} să verifice relația 3 n < Se consideră funcția f : R R, f(x) = x 5 +2x. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. f(x) f() c) Să se calculeze lim. x x d) Să se arate că funcția f este strict crescătoare pe R. 2lnn+3 e) Să se calculeze lim n + 5lnn 2. SUBIECTUL III. Se consideră șirul de funcții (f n ) n N, f n : R R, cu f (x) = x, f 2 (x) = x 2 2 și pentru orice n N, n 3 și pentru orice x R, f n (x) = x f n (x) f n 2 (x). Se consideră cunoscute formulele 2cosacosb = cos(a+b)+cos(a b), ( ) a, b R și cos2x = 2cos 2 x, ( ) x R. a) Să se calculeze f 2 (). b) Să se calculeze f 3 (x), pentru x R. c) Să se arate că f 2 (2cost) = 2cos2t, pentru orice t R. d) Utilizând metoda inducției matematice, să se arate că f n (2cosx) = 2cosnx, ( ) n N, ( ) x R. e) Să se demonstreze că pentru orice n N, f n este o funcție polinomială de gradul n cu coeficienți întregi. f) Să se demonstreze că pentru orice n N, coeficientul dominant al funcției f n este egal cu, iar termenul liber aparține mulțimii { 2;;2}. g) Dacă pentru r Q, cosrπ Q, să se demonstreze că cosrπ { ; 2 ;; 2 } ;.

26 26 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră șirurile (x n ) n, (y n ) n definite prin x n = n, y n = x n 2 n, ( ) n N. a) Să se arate că 2 n+ < n+ n < 2 n, ( ) n N. b) Să se deducă inegalitatea 2 n+ 2 < x n < 2 n, ( ) n N, n 2. c) Să se arate că lim x n = +. n + x n. n d) Să se calculeze lim n + e) Să se arate că șirul (y n ) n este strict descrescător. f) Să se arate că șirul (y n ) n este convergent. g) Să se arate că 2 lim n + y n <.

27 VARIANTA 4 27 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze cos π 2 +sin 3π 2. VARIANTA 4 b) Să se determine partea reală a numărului complex z = +i. c) Să se determine a, b R astfel încât punctele A(;) și B( ;) să aparțină dreptei y = ax+b. d) Să se calculeze lungimea înălțimii din A a triunghiului ABC având laturile AB = 6, BC =, AC = 8. e) Să se determine ecuația tangentei la cercul x 2 +y 2 = 4 în punctul A(;2). f) Să se determine a R țiind că punctele A(2;2;a), B(;;), C(;2;) și D(;;2) sunt coplanare. SUBIECTUL II.. a) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale strict pozitive ecuația 2ln 2 x 3lnx+ =. b) Să se calculeze suma S = c) Să se calculeze numărul submulțimilor mulțimii A = {a;b;c;d}. d) Să se calculeze probabilitatea ca o cifră din primele 7 zecimale ale numărului să fie. 7 e) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 6x 3 5x 2 =. 2. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x+ x 2 +. a) Să se calculeze lim f(x). x + b) Să se calculeze f (x), x R. c) Să se arate că funcția f este crescătoare pe R. f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x e) Să se calculeze aria suprafeței plane cuprinsă între graficul funcției f, axa Ox și dreptele x = și x =. SUBIECTUL III. Se consideră mulțimea M formată din toate polinoamele cu coeficienții din mulțimea { ;} și cu toate rădăcinile reale. a) Să se arate că X M. b) Să se arate că X 2 +X + / M. c) Să se arate că ( y t y ) 2 + ( y 2 t y 2 ) ( y n t ) 2, ( ) t R, y n ( ) n N, ( ) y, y 2,..., y n R (. d) Să se arate că (y 2 +y yn) 2 y 2 + y ) yn 2 n 2, ( ) n N, ( ) y, y 2,..., y n R. e) Dacă f M are rădăcinile x, x 2,..., x n, n 2, să se arate că x 2 +x x2 n = 3. f) Să se arate că orice polinom din mulțimea M are gradul mai mic sau egal cu 3. g) Să se determine toate polinoamele din mulțimea M.

28 28 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră funcțiile f, g : R R definite prin f(x) = 2 sinx+ cosx, g(x) = x f(x), 3 ( ) x R și (x n ) n N șirul definit prin x R, arbitrar și x n+ = f(x n ), ( ) n N. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se arate că f (x) 5, ( ) x R. 6 c) Utilizând teorema lui Lagrange, să se arate că f(x) f(y) 5 x y, ( ) x, y R. 6 d) Să se arate că funcția g este strict crescătoare pe R. e) Să se arate că există un unic u R astfel încât g(u) =. ( ) n+ 5 f) Să se demonstreze că x n+ u x u, ( ) n N. 6 g) Să se arate că lim n + x n = u.

29 VARIANTA 5 29 VARIANTA 5 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze produsul scalar al vectorilor #» v = 2 #» ı +3 #» j și #» w = 3 #» ı +2 #» j. b) Să se calculeze cosinusul unghiului format de vectorii #» v = 2 #» ı +3 #» j și #» w = 3 #» ı +2 #» j. c) Să se determine ecuația tangentei la cercul x 2 +y 2 = 4 dusă prin punctul P(4;5). d) Să se arate că punctele L( ; 2), M( 2; 3) și N( 3; 4) sunt coliniare. e) Să se calculeze volumul tetraedrului cu vârfurile în punctele A(; ; 2), B(; 2; ), C(2; ; ) și D( ; 2; 3). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe (cosπ +isinπ) 6 = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Să se rezolve în R inecuația x 2 +3x 4 <. b) Să se calculeze probabilitatea ca un element x Z 6 să verifice relația x 2 = ˆ2x. c) Să se calculeze partea întreagă a numărului a = d) Să se rezolve în mulțimea numerelor strict pozitive ecuația log 2 x = 3. e) Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului f = X 3 +X Se consideră funcția f : R R, f(x) = 4 x 2 x. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se determine ecuația asimptotei spre la graficul funcției f. c) Să se arate că f(x), ( ) x R. 4 f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x x 3 e) Să se calculeze x 4 +3 dx. SUBIECTUL III. Se consideră matricele A = , I 3 = și B = I 3 +A a) Să se calculeze determinantul și rangul matricei A. b) Dacă X = 2 și Y = ( 3 2 ), să se calculeze matricea S = A X Y. 3 c) Să se verifice că A 2 = A. d) Să se arate că matricea B este inversabilă și inversa sa este matricea B = I 3 A. e) Să se arate că A n = n A, ( ) n N, n 2. f) Să se găsească trei matrice U, V, W M 3 (C) de rang, astfel încât B = U +V +W. g) Să se arate că oricare ar fi două matrice, C, D M 3 (C) de rang, avem C +D B.

30 3 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră funcțiile f n : R R, definite prin f (x) = cosx și f n+ (x) = x f n (t)dt, ( ) n N, ( ) x R. a) Să se verifice că f (x) = x sinx, ( ) x R. b) Să se calculeze f 2 (x), x R. c) Utilizând metoda inducției matematice, să se arate că f 2n+ (x) = x2n+ (2n+)! x2n (2n )! + +( )n x! +( )n+ sinx, ( )n N, ( )x R. d) Să se arate că graficul funcției f nu are asimptotă spre +. e) Să se arate că f n (x) 2 xn, ( ) n N, ( ) x >. n! x n f) Să se arate că lim =, ( ) x >. n + ( n! ) x g) Să se arate că lim n +! x3 3! + x5 x2n+ +( )n = sinx, ( ) x R. 5! (2n+)!

31 VARIANTA 6 3 VARIANTA 6 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul numărului complex 5+2i. b) Să se calculeze distanța de la punctul E(3; 4) la dreapta x + y + 3 =. c) Să se scrie ecuația cercului cu centrul în E(3;4) și care este tangent dreptei x+y +3 =. d) Să se arate că punctele L(; 2), M(3; 3) și N(5; 4) sunt coliniare. e) Să se calculeze volumul tetraedrului cu vârfurile în punctele A(; ; 4), B(; 4; ), C(4; ; ) și D( ; ; 3). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe (2+3i)(4+5i) = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Să se arate că C y+ x+ = x+ y + Cy x, ( ) x, y N, x y. b) Să se calculeze probabilitatea ca un element x Z 8 să verifice relația x 2 = ˆ. c) Dacă funcția f : R R, f(x) = x 3 +, are inversa g : R R, să se calculeze g(). d) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 x +9 x = 5. e) Să se calculeze produsul tuturor rădăcinilor polinomului f = X 3 X 2 2X Se consideră funcția f : R R, f(x) = x a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. c) Să se arate că funcția f este convexă pe intervalul (,+ ). f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x e) Să se calculeze (e x +sinx)dx. SUBIECTUL III. Se consideră mulțimea K = {ax+b a, b Z 5 } și polinomul f = X 2 +ˆ2 Z 5 [X]. Pe mulțimea K se consideră legile + (adunarea polinoamelor cu coeficienți în corpul Z 5 ) și definită prin (ax +b) (cx +d) = (ad+bc)x +bd+3ac. a) Să se arate că polinomul f nu are rădăcini în Z 5. b) Să se arate că polinomul f este ireductibil în Z 5 [X]. c) Să se verifice că [(ax +b) (cx +d)] (ux +v) = (ax +b) [(cx +d) (ux +v)], ( ) a, b, c, d, u, v Z 5. d) Să se arate că (ax+b) [(cx+d)+(ux+v)] = [(ax+b) (cx+d)]+[(ax+b) (ux+v)], ( ) a, b, c, d, u, v Z 5. e) Să se determine numărul de elemente ale mulțimii K. f) Să se arate că, dacă a ˆ sau b ˆ, atunci elementul ax + b este simetrizabil în raport cu legea. g) Să se arate că g g... g = g, ( ) g K. }{{} de 25 de ori

32 32 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Pentrua > se consideră șirurilea n = ( c n = ) n (2n) a, n N. a) Să se arate că a n b n c n, n N. ( ) n ( n a, b n = b) Să se arate că, dacă a =, atunci lim a n = n + e. c) Să se arate că, dacă a =, atunci < lim c n <. 3 n + 2 d) Să se arate că, dacă a =, atunci șirul (b n ) n este constant. e) Să se calculeze lim a n, pentru a <. n + f) Să se calculeze lim c n, pentru a >. n + g) Să se arate că șirul (b n ) n este convergent pentru orice a >. )( (n+) a ) ( (n+2) a... ) (2n) a,

33 VARIANTA 7 33 VARIANTA 7 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul numărului complex cos2+isin2. b) Să se calculeze distanța de la punctul D(;2) la punctul C(;). c) Să se calculeze coordonatele punctului de intersecție dintre cercul x 2 +y 2 = 25 și dreapta 3x+4y 25 =. d) Să se arate că punctele L(4; ), M(6; 3) și N(7; 4) sunt coliniare. e) Să se calculeze volumul tetraedrului cu vârfurile în punctele A(; ; 2), B(; 2; 4), C(2; 4; ) și D(; 2; 3). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe ( +i 3) 4 = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Să se verifice identitatea (x y) 2 +(y z) 2 +(z x) 2 = 2(x 2 +y 2 +z 2 xy yz zx), ( ) x, y, z R. b) Să se arate că, dacă x 2 +y 2 +z 2 = xy +yz +zx, unde x, y, z R, atunci x = y = z. c) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 4 x +9 x +49 x = 6 x +4 x +2 x. d) Să se calculeze probabilitatea ca un element x Z 6 să verifice relația x 3 = x. e) Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului f = X 4 X 3 X Se consideră funcția f : R R, f(x) = x sinx. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. c) Să se arate că funcția f este monoton crescătoare pe intervalul f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x f(x) e) Să se calculeze lim x x 2. SUBIECTUL III. [, π ]. 2 ( ) a b M c d 2 (R) notăm cu S(A) suma elementelor sale, cu Pentru fiecare matrice A = ( ) t a c A = transpusa ei și cu det(a) determinantul matricei A. b d a) Să se arate că S( t A) = S(A) = a+b+c+d. b) Să se arate că S(x P +y Q) = x S(P)+y S(Q), ( ) P, Q M 2 (R), ( ) x, y R. c) Să se arate că S(A ta) = (a+c) 2 +(b+d) 2. d) Să se arate că, dacă S(A ta) =, atunci det(a) =. e) Să se arate că ( ) x R, ( ) P, Q M 2 (R), S ( (P +x Q) ( t P +x tq) ) = S(P tp)+x ( S(P tq)+s(q tp) ) +x 2 S(Q tq). f) Să se arate că, dacă P, Q M 2 (R) și det(q), atunci funcția f : R R, f(x) = S ( (P +x Q) ( t P +x tq) ) are gradul egal cu 2. g) Să se arate că S(P tp) S(Q tq) S(P tq) S(Q tp), ( ) P, Q M 2 (R).

34 34 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Pentru n N se consideră funcțiile f n : (,+ ) R definite prin f n (x) = x n +lnx. a) Să se calculeze f n (x), x >. b) Să se arate că funcția f n este monoton crescătoare, ( ) n N. c) Să se calculeze lim f n (x) și lim f x n(x). x + d) Să se arate că funcția f n este bijectivă, ( ) n N. e) Să se arate că ( ) n N, ecuația f n (x) = are o unică soluție x n (;). f) Să se arate că șirul (x n ) n este crescător. g) Să se arate că lim x n =. n +

35 VARIANTA 8 35 VARIANTA 8 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul numărului complex (3+4i) 4. b) Să se calculeze cos cos2... cos79. c) Să se calculeze produsul scalar al vectorilor #» v = #» ı +3 #» j și #» v = 3 #» ı #» j. d) Să se calculeze distanța dintre punctele A(2;3) și B(3;2). e) Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele A(2;3), B(3;2) și C(4;4). f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe ( 2i) 4 = a+bi. SUBIECTUL II.. a) Dacă într-o progresie geometrică primul termen este 3 și rația este 2, să se calculeze termenul al patrulea. b) Să se calculeze probabilitatea ca un număr n {;;2;3;4} să verifice relația n+9 < 3 n. c) Dacă funcția f : R R, f(x) = x 3 +x+ are inversa g : R R, să se calculeze g(). d) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 (x 2 +7) = 3. e) Să se calculeze suma tuturor rădăcinilor polinomului f = X 3 X Se consideră funcția f : R R, f(x) = arctanx+arccotx. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. c) Să se determine asimptota către + la graficul funcției f. f(x) f() d) Să se calculeze lim. x x e) Să se calculeze lim f(x). x SUBIECTUL III. Se consideră matricele A = ( ) 2,I 3 2 = ( ),O 2 = ( ) și funcțiaf : M 2 (R) M 2 (R), f(x) = AX XA. a) Să se calculeze determinantul și rangul matricei A. b) Să se calculeze f(o 2 ) și f(i 2 ). c) Să se arate că f(ax) = af(x), ( ) X M 2 (R) și ( ) a R. d) Să se arate că f(x +Y) = f(x)+f(y), ( ) X, Y M 2 (R). e) Să se găsească o bază a spațiului vectorial (M 2 (R),+) peste corpul de scalari (R,+, ). f) Să se arate că funcția f nu este nici injectivă, nici surjectivă. g) Să se arate că f(x)+f(y) I 2, ( ) X, Y M 2 (R).

36 36 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. a) Să se verifice că a = +a+ +an + an+, ( ) n N și ( ) a R\{}. a b) Să se deducă relația + 4 x = 4 x+( 4 x) 2 +( ) n ( 4 x) n +( ) n+( 4 x) n+ + 4, ( )x [;], ( )n N. x c) Să se arate că ( 4 x) n+ + 4 x ( 4 x) n+, ( ) x [;], ( ) n N. b ( 4 x) n+ d) Să se arate că lim n dx =, ( ) b [;]. x b e) Să se calculeze integrala + 4 dx =, unde b >. x f) Să se arate că lim x+ ( ) x ( )2 x ( )n x n 4 + x n = dt, ( )x [;]. t g) Să se arate că există x (; ) astfel încât n + lim n + x+ ( ) x ( )2 x ( )n x n 4 + n Q. 4 +

37 VARIANTA 9 37 VARIANTA 9 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze distanța de la punctul A(;2) la dreapta de ecuație 4x 3y +3 =. b) Să se determine coordonatele mijlocului segmentului determinat de punctele A(; 3; 5), B(5; 3; ). c) Să se determine a R astfel încât punctul M(2;a) să aparțină dreptei de ecuație 2x 3y +5 =. d) Să se determine punctele de intersecție dintre dreapta y = x și hiperbola x2 6 y2 25 =. e) Să se calculeze tan π 4. f) Să se calculeze suma de numere complexe + i + i 2 + i 3. SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze log 2 4. b) Să se calculeze ˆ ˆ2 ˆ3 ˆ4 ˆ5 ˆ6 ˆ7 în Z 8. c) Să se calculeze 2! + 2 3! + 3 4!. d) Să se determine probabilitatea ca un element din mulțimea {;2;3;...;8} să fie soluție a inecuației n 2 +5n 6 <. e) Să se rezolve ecuația 2 x2 = Se consideră funcția f : (,+ ) R, f(x) = lnx x. a) Să se calculeze f (x), x >. b) Să se arate că funcția f este descrescătoare pe intervalul [e,+ ). f(x) f() c) Să se calculeze lim. x x d) Să se determine asimptota ( orizontală la graficul funcției f. ) e) Să se calculeze lim n+ n. n + SUBIECTUL III. Se consideră n N, n 3 și polinomul f = X n +a n X n + +a X R[X] ale cărui rădăcini z, z 2,..., z n C verifică z, z 2,..., z n. a) Să se calculeze f() și z z 2... z n. b) Să se arate că z z 2... z n =. c) Să se arate că polinomul f are cel puțin o rădăcină reală în intervalul (,+ ). d) Să se demonstreze că z = z 2 =... = z n =. e) Să se demonstreze că f() =. f) Dacă n este par, să se arate că polinomul X 2 îl divide pe f. g) Dacă a n = n, să se arate că f = (X ) n și n este impar.

38 38 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră funcțiile f : R R, f(x) = x+ și g : R R, g(x) = f(x) x, unde x+ 2 2 înseamnă partea întreagă a numărului real x+ [ 2., x a) Să se arate că f(x) = 2, ) [ 2, x = și g(x) = x, ( ) x 2, ]. 2 2 b) Să se arate că funcția g este periodică de perioadă T = și este continuă pe R. c) Să se calculeze d) Să se demonstreze că e) Să se arate că g(x) dx. k k g(x)dx = g(x)g(nx) dx = n k= k n k n g(x)dx, ( ) k N. g(x)g(nx)dx, ( ) n N. f) Să se arate că pentru orice n N și ( ) k {;2;...;n}, există x k, x k [ k ], astfel n, k n încât k k k g(x n n k) g(nx)dx g(x)g(nx)dx g(x n k) g(nx) dx. k k k n n n [ k g) Folosind faptul că ( ) n N, ( ) k {;2;...;n} și orice y k n, k ], avem n n ( 2 lim g(y k ) = g(x)dx, să se arate că lim g(x)g(nx) dx = g(x)dx). n + n n + k=

39 VARIANTA 2 39 VARIANTA 2 SUBIECTUL I. a) Să se calculeze modulul vectorului #» v = 5 #» ı +2 #» j. b) Să se calculeze lungimea segmentului cu capetele în punctele A(3;4) și C(4; 5). c) Să se calculeze sin π 2 sin π 3. d) Să se determine ecuația tangentei la cercul x 2 +y 2 = 25 în punctul P(3; 4). e) Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC în care AB = 2, AC = 2 și m( BAC) = π 6. f) Să se determine a, b R, astfel încât să avem egalitatea de numere complexe a+bi = (cos3 +isin3 ) 3. SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze elementul ˆ2 27 în (Z 3, ). b) Să se calculeze expresia E = C 3 2 C 9 2. c) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale strict pozitive ecuația log 2 x = log 4 x. d) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x = 4 x. e) Să se calculeze probabilitatea ca un element n {;2;3;4;5} să verifice relația n! < n Se consideră funcția f : R R, f(x) = x 3 +2x. a) Să se calculeze f (x), x R. b) Să se calculeze f(x)dx. f(x) f() c) Să se calculeze lim. x x d) Să se arate că funcția f este strict crescătoare pe R. 7n+3 e) Să se calculeze lim n + 8n 2. SUBIECTUL III. ( ) ( ) a b Se consideră a, b, c, d C iar în mulțimea M 2 (C) matricele I 2 =, A =, ( ) ( ) c d y b x B = și C =, unde x, y C. Notăm prin tr(a) = a + d urma matricei A. x c y a) Să se calculeze tr(i 2 ). b) Să se arate că tr(x +Y) = tr(x)+tr(y) ( și) tr(xy) ( = tr(yx), ) ( ) X, Y M 2 (C). a c) Să se calculeze UV VU, unde U =, V =. ( ) a b d) Să se arate că dacă D =, atunci se pot alege x, y C astfel încât matricele B și c a C să verifice relația D = C B. ( ) b e) Să se arate că dacă b, c, atunci matricea S = c este inversabilă și S BS = C. f) Să se arate că nu există X, Y M 2 (C) astfel( încât I) 2 = XY YX. a b g) Să se arate că pentru o matrice oarecare W = M c d 2 (C), cu bc, există matricele X, Y M 2 (C) astfel încât W = XY YX dacă și numai dacă tr(w) =.

40 4 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 SUBIECTUL IV. Se consideră șirurile (I n ) n, definit prin I = π 2 dx, I n = π 2 definit prin w n = 2 3 2n... 2n+. 4 2n a) Să se calculeze I și I. b) Utilizând metoda integrării prin părți, să se arate că I n = n n I n 2, ( )n N, n 2. c) Utilizând metoda inducției matematice, să se arate că I 2n = 2 3 2n n π 2, ( )n N. d) Să se arate că I 2n+ = n 2n 2n+, ( ) n N. e) Să se arate că I n n+ I n+ n, ( ) n N. f) Să se verifice că I 2n = (w n ) 2 π I 2n+ 2, ( ) n N. 2 g) Să se arate că lim w n = n + π. cos n xdx, n și (w n ) n

41 VARIANTA 2 4 VARIANTA 2 SUBIECTUL I. a) Să se scrie trei numere complexe cu modulul egal cu. b) Să se calculeze distanța de la punctul D(2; ) la dreapta x + y + 5 =. c) Să se determine ecuația cercului cu centrul în punctul Q(;) care trece prin punctul P(4;5). d) Să se arate că punctele L(; ; 2), M(; 2; 3) și N(; 3; 4) sunt coliniare. e) Să se calculeze volumul tetraedrului cu vârfurile în punctele A(; ; 2), B(; 2; ), C(2; ; ) și D( ; 2; 3). f) Să se determine un număr complex z care verifică egalitatea z 2 +z + =. SUBIECTUL II.. a) Să se calculeze determinantul matricei A = b) Să se calculeze rangul matricei A = c) Să se determine probabilitatea ca un element x Z să verifice relația x 2 = ˆ. d) Dacă funcția f : R R, f(x) = x 5 +x+3 are inversa g : R R, să se calculeze g(5). e) Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x +8 x =. 2. a) Să se găsească o funcție f : R R, derivabilă, astfel încât f (x) = x, ( ) x R. b) Să se găsească o funcție continuă f : R R, neconstantă, astfel încât c) Să se arate că funcția f : R R, f(x) = 2 x este convexă pe R. d) Să se găsească o funcție f : R R, strict crescătoare pe R. e) Să se calculeze xe x dx. f(x)dx =. SUBIECTUL III. Se consideră mulțimea G = (,+ ) R pe care se definește legea de compoziție prin (a,x ) (a 2,x 2 ) = (a a 2,a x 2 +x ), pentru orice (a,x ), (a 2,x 2 ) G. a) Să se arate că ((a,x ) (a 2,x 2 )) (a 3,x 3 ) = (a,x ) ((a 2,x 2 ) (a 3,x 3 )), ( ) (a,x ), (a 2,x 2 ), (a 3,x 3 ) G. b) Să se verifice că (a,x) (,) ( = )(,) (a,x) ( ) = (a,x), ( ) (a,x) G. c) Să se verifice că (a,x) a, x = a a, x (a,x) = (,), ( ) (a,x) G. a d) Să se găsească două elemente (a,x ) și (a 2,x 2 ) din mulțimea G pentru care (a,x ) (a 2,x 2 ) (a 2,x 2 ) (a,x ). e) Să se arate că legea determină pe mulțimea G o structură de grup necomutativ. f) Să se arate că (a,x) (a,x)... (a,x) = (a n,x(+a+ +a n )), ( )(a,x) G și n N. }{{} de n ori g) Să se demonstreze că pentru orice (a,x) G și oricare ar fi n N, există (u,v) G astfel încât (u,v) (u,v)... (u,v) = (a,x). }{{} de n ori