CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

Transcript

1 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva costă de trei ori mai mult decât biletul pentru Arad. Biletul pentru Reșița costă cu 9000 lei mai mult decât cel pentru Arad, iar biletul pentru Deva cu 7000 lei mai mult decât biletul pentru Reșița. Cât costă fiecare bilet? 2. Să se determine toate numerele naturale de forma xyz (cu x, y, z nu neapărat distincte) divizibile cu 6 și având proprietatea că x+y = z (numărul xyz este scris în baza 0). 3. Să se determine numerele prime care se pot scrie atât ca sumă cât și ca diferență de două numere prime. 4. Să se determine cifrele x, y, z, t (nu neapărat distincte și considerate în sistemul de numerație cu baza 0) astfel încât să avem x+y +z +t = xyz 0 4.

2 Clasa a VI-a. Să se arate că numărul are ultimele două cifre 98. A = 2 998( ) Să se determine toate numerele naturale de forma abc astfel încât să fie îndeplinite simultan următoarele condiții: a) suma cifrelor sale să fie egală cu 5; b) suma cuburilor cifrelor sale să fie egală cu cubul unui număr prim de forma 4k + cu k N. 3. Fie M un punct interior triunghiului isoscel ABC (AB = AC). Știind că m( MBA) m( MBC) = m( MCA) m( MCB) = 2, să se arate că AM este perpendiculară pe BC. 4. Să se determine numerele întregi x, y, z, u, v, w astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile: a) 0,ab(c)+0,bc(a)+0,ca(b), undea,b,csunt cifre scrise în baza0 încât0 < a < b < c; x+u b) 0,ab(c) = y +v 0,bc(a) = z +w 0,ca(b) ; c) x, y, z sunt numere prime astfel încât x+y+z este cel mai mic număr natural par cu proprietatea x < y < z. 2

3 Clasa a VII-a. a) Să se arate că n++ n = n+ n, ( ) n N. b) Să se determine n N astfel încât numărul A = n++ n să fie număr rațional. 2. Fie triunghiul A n B n C n cu lungimile laturilor a n = 2 n+ +2 n +2 n, b n = 2 n +2 n +2 n 2, c n = 47 2 n 2, unde n N. Să se arate că triunghiurile A n B n C n și A p B p C p sunt asemenea (n, p N). 3. Fie ABCD un patrulater convex. Să se arate că cercurile înscrise în triunghiurile ABC și ACD sunt tangente dacă și numai dacă AB +CD = AD +BC. 4. Arătați că există k Z astfel încât numerele x = 3 k + 2 k și y = 3 k k +2 simultan întregi. să fie 3

4 Clasa a VIII-a. Se consideră funcția f : R\{±, ±3} R definită prin f(x) = x 3 + x + x+ + x+3. a) Determinați mulțimea M = {x R f(x) < 0}. b) Verificați dacă 2+ 3 M. c) Calculați f( 2+ 3). 2. Să se rezolve în numere întregi ecuația 2(x 2 +y 2 )+5xy = Se consideră un triunghi dreptunghic ABC cu m(â) = 90. Notăm cu n perpendiculara în B pe planul (ABC). Considerăm M n un punct arbitrar. Fie P AM și Q CM proiecțiile ortogonale ale punctului B pe dreptele AM, respectiv CM. Demonstrați că: a) CM (BPQ); b) dreapta PQ trece printr-un punct fix. 4. Se consideră cubul ABCDA B C D (AA, BB, CC, DD sunt muchii perpendiculare pe planul (ABC)) cu latura a. a) Fie P mijlocul segmentului (B C) și Q proiecția ortogonală a lui P pe diagonala BD a cubului. Demonstrați că PQ B C; calculați lungimea PQ în funcție de a. b) Demonstrați că punctele A, Q, P sunt coliniare. 4

5 Clasa a IX-a. a) Se consideră funcțiile de gradul al doilea f, g : R R, date prin f(x) = ax 2 +bx+c, g(x) = αx 2 +βx+γ,( )x R (a,α 0). Dacăx,x 2, respectivy,y 2 sunt rădăcinile lui f și g, atunci să se stabilească în ce caz are loc relația: α 2f(y ) g(x ) = a2g(x 2) f(y 2 ). b) Să se determine valorile lui m R, astfel încât rădăcinile reale distincte ale ecuațiilor x 2 x+m = 0 și x 2 +2x+m = 0 să se separe. 2. Se consideră funcția f : R R, f(a) = a(x+) 2 +b a, unde a, b Z, 2 b a. Să se determine toate valorile lui a și b pentru care ecuația f(x) = 0 are rădăcinile întregi. 3. Să se arate că un triunghi care are două bisectoare congruente este un triunghi isoscel. 4. Fie triunghiul dreptunghic ABC (m(â) = 90 ). Se consideră un punct M AB, astfel încât AM AB = AC 2. Să se afle locul geometric al proiecției lui M pe BC, dacă vârfurile A și C sunt fixe, iar B este variabil. 5

6 Clasa a X-a. Să se demonstreze inegalitatea: n+ k=2 ( log k 2 2k + +log k+ 2. Să se arate că numărul N = (+2+ +n)!! 2!... n! ) 2 > 2n. 2k + este natural pentru orice n N. 3. Fie x R astfel încât sinx+cosx Q. Să se demonstreze că sin n x+cos n x Q oricare ar fi n N. 4. Se dă un triunghi ABC și punctele M, K, L situate pe laturile AB, BC, respectiv CA și diferite de vârfurile triunghiului. Să se demonstreze că cel puțin una dintre ariile triunghiurilor MAL, KBM, LCK nu depășește un sfert din aria triunghiului ABC. 6

7 Clasa a XI-a. Fie A, B, C unghiurile unui triunghi. Să se calculeze determinantul cosa cosb cosc = cosa cosc cosb cosb cosc cosa cosc cosb cosa și să se arate că 27 6 < 0. În ce caz are loc egalitatea? 2. a) Fie șirurile (a n ) n N și (b n ) n N astfel ca a n 0, b n 0, ( ) n N și a n +, b n b R. Arătați că există un unic șir (x n ) n N, x n 0, care verifică egalitatea a n x n +b n = e xn, n N. Demonstrați că șirul (x n ) n N este convergent și calculați limita sa. b) Fie a > 0 și f : [0,a) R, cu f(0) = 0, o funcție derivabilă la dreapta în x = 0 Arătați că șirul (y n ) n definit prin y n = n ( k f k= este convergent și calculați limita sa. n 2 ), n N 3. a) Să se determine funcțiile f : R R cu proprietatea f(x+y) f(x) 2 f2 (y) xy, ( )x, y R. b) Fie f, g : R R două funcții derivabile pe R astfel încât f (x) 0, ( ) x R. Definim mulțimile Z(f) = {x R f(x) = 0} și Z(g) = {x R g(x) = 0}. Să se arate că funcția h : R R definită prin h(x) = f(x) g(x), x R, este derivabilă pe R dacă și numai dacă Z(f) Z(g). 4. Fie G i (i =, 2, 3, 4) centrele de greutate ale triunghiurilor ABC i (i =, 2, 3, 4) și fie D mijlocul segmentului [AB]. Arătați că: a) dacă C C 2 C 3 C 4 este un pătrat, atunci și G G 2 G 3 G 4 este pătrat; b) dacă punctele C i (i =, 2, 3, 4) aparțin mediatoarei segmentului [AB] astfel încât atunci DC = AB, DC 2 = 7 6 AB, DC 3 = 5 4 AB și DC 4 = 3 2 AB, m( AC B)+m( AC 2 B)+m( AC 3 B)+m( AC 4 B) = 80. 7

8 Clasa a XII-a. Fie G = { f C[0,] 0 } f(x)dx =. Să se calculeze: min f G 2. Fie f : (0, ) R, f(x) = ex lnx e x +x x. 0 (+x 2 )f 2 (x)dx. a) Să se calculeze primitiva funcției f, notată F, care verifică egalitatea F() = 0. b) Să se studieze existența limitei limf(x). x 0 x>0 3. Fie (A,+, ) un inel cu proprietatea x 2 = x, ( ) x A. Atunci x 2 = x, ( ) x A. 4. Fie (M, ) un monoid finit. Să se arate că a M este inversabil dacă și numai dacă ax = ay = x = y. 8