CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
|
|
- Τιμόθεος Μαυρίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar fi m R, intersecţia este vidă. { R (m 2 + ) 2 2(m + ) + = 0} (, 0) 2) Considerăm legea de compoziţie definită pe Q prin y = y 2 2y + 6,, y Q. a) (5 puncte) Să se arate că Q \ {2} este parte stabilă a lui Q în raport cu şi că (Q \ {2}, ) este un grup abelian. b) (5 puncte) Să se determine a Q astfel încât f : Q Q \ {2}, f() = + a să fie un izomorfism de grupuri de la (Q, ) la (Q \ {2}, ). SUBIECTUL II (30 puncte) ) (0 puncte) Să se determine soluţiile ecuaţiei cos 4 cos 8 cos 5 cos 9 = 0 situate în intervalul (0, 2). 2) Într-un reper ortogonal Oy considerăm punctele A(a, 0) şi B(0, b). În triunghiul OAB fie H piciorul perpendicularei din O pe AB. În eteriorul triunghiului OAB se construiesc pătratele OACD şi OBEF. a) (0 puncte) Determinaţi ecuaţiile dreptelor AE şi BC. b) (0 puncte) Demonstraţi că dreptele AE, BC şi OH sunt concurente. SUBIECTUL III (30 puncte) Considerăm funcţia f : [0, + ) R definită prin relaţia f() = 2 ln 5 ln( + ) +, 0. ) (0 puncte) Calculaţi f şi demonstraţi că 4 f(), 4. 2) (5 puncte) Demonstraţi că şirul definit prin relaţia n+ = f( n ), n N şi 0 4 este convergent şi calculaţi n. n 3) (0 puncte) Să se calculeze ( + f()). 4) (5 puncte) Să se calculeze f (t)f(t) dt. NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 0 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
2 UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Barem de corectare pentru proba de MATEMATICĂ a concursului de admitere, 7 iulie 207 SUBIECTUL I (30 puncte) ) A = { R (m 2 + ) 2 2(m + ) + = 0} este mulţimea soluţiilor reale ale unei ecuaţii de gradul 2 pentru care = 4(m + ) 2 4(m 2 + ) = 8m p Dacă m < 0 atunci A = p Dacă m 0 atunci cele 2 soluţii (posibil egale) ale ecuaţiei (m 2 + ) 2 2(m + ) + = 0 sunt reale şi au acelaşi semn întrucât produsul lor este m 2 + > p 2(m + ) m 0 m + > 0 m 2 > 0, aşadar aceste soluţii sunt pozitive având suma pozitivă 2 p + Finalizare p 2) a) Stabilitatea se rescrie astfel:, y Q, y = 2 = 2 sau y = 2, iar y 2 2y + 6 = 2 0 = y 2 2y + 4 = ( 2)(y 2) = 2 sau y = p Verificarea asociativităţii (pentru orice, y, z Q \ {2}, (y z) = ( y) z = yz 2y 2z 2yz y + 4z 6) p Verificarea comutativităţii p Luând pe = 0 în e =, Q \ {2} obţinem e = 3, prin urmare, dacă eistă element neutru, acesta este e = p Verificarea faptului că 3 =, Q \ {2} pentru finalizarea demonstraţiei eistenţei elementului neutru p Toate elementele din Q \ {2} sunt simetrizabile în raport cu : dacă Q \ {2}, = = 3 ( 2) = 2 3 = care aparţine mulţimii Q \ {2} p b) f funcţie bijectivă ( + a = 2 atunci şi numai atunci când = 0) a = p Verificarea faptului că f este morfism p f() f(y) = ( + 2) (y + 2) = ( + 2)(y + 2) 2( + 2) 2(y + 2) + 6 = y + 2 = f(y) SUBIECTUL II (30 puncte) Problema (i) Ecuaţia este echivalentă cu cos 2 cos 4 = p (ii) Ecuaţia de la punctul precedent este echivalentă cu sin 3 sin = p { π } (iii) Soluţia generală a ecuaţiei de la (ii) este S = 3 k, k Z {nπ, n Z} p }{{}}{{} S S 2 (iv) S 2 (0, 2) = p (v) 0 < π 26 k < 2, deci 0 < k < 3 π p (vi) = π 3, 2π 3, 3π 3, 4π 3, 5π 3, 6π 3, 7π 3, 8π p Problema 2 Notăm cu P punctul de intersecţie dintre dreptele AE şi BC. a) (i) C(a, a), E( b, b) p (ii) Ecuaţia dreptei AE este b + (a + b)y ab = p
3 (iii) Ecuaţia dreptei BC este (a + b) + ay ab = p b) ( (i) Punctul P are coordonatele P ab 2 a 2 + b 2 + ab, a 2 ) b a 2 + b p + ab (ii) Panta dreptei AB este k AB = b a p (iii) Panta dreptei OH este k AB = a b p (iv) ecuaţia dreptei OH este y = a b p (v) punctul P aparţine dreptei OH p SUBIECTUL III (30 puncte) ) f () = 2 ln > 0 pe (0, ) p f(4) = p f crescătoare, deci f() f(4) = 4 pentru p g : [4, ) R, g() = f() p g () = f (), şi g () = f () = 2 < 0, p ln 5 (+) 2 4 g (4) = 2 5 ln < 0, deci g () < 0, p g(4) = 0, deci g() 0, p 2) Demonstrarea prin inducţie matematică a inegalitatăţii n 4, n N p n+ = f( n ) n, deci şirul ( n ) n 0 este descrescător p l p l = f(l) l = p 3) f(0) = 0, şi f este continuă în 0, deci avem o nedeterminare de tipul p ( + f()) = f() = + 2 ln 5 ( + f()) [( + f()) f() ] f() ln(+) = + 2 ln p ln(+) = + 2 ln 5 0 = p = e p 4) f (t) f(t) = 2 (f 2 ) () p 4 f (t)f(t) dt = 2 f 2 (t) = 2 f 2 (4) 2 f 2 () p f (t)f(t) dt = 2 f 2 (4) 2 f 2 (0) = p NOTĂ: Orice altă soluţie corectă va fi punctată corespunzător.
4 UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SOLUŢII CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) A = { R (m 2 +) 2 2(m+)+ = 0} este mulţimea soluţiilor reale ale unei ecuaţii de gradul 2 pentru care = 4(m + ) 2 4(m 2 + ) = 8m. Dacă m < 0, atunci ecuaţia nu are rădăcini reale, deci A =. Dacă m 0, atunci cele 2 soluţii (posibil egale) ale ecuaţiei (m 2 +) 2 2(m+)+ = 0 sunt reale şi au acelaşi semn întrucât produsul lor este 2(m + ) m 2 + m 2 > 0. Din condiţia m 0 rezultă m + > 0, + deci + 2 = > 0. Aşadar aceste soluţii sunt pozitive, deci interecţia este vidă şi în acest caz. 2) a) Pentru a demonstra stabilitatea este suficient să demonstrăm, y Q, y = 2 = 2 sau y = 2. Din relaţia y = 2 obţinem y 2 2y + 6 = 2, adică 0 = y 2 2y + 4 = ( 2)(y 2), deci = 2 sau y = 2. Pentru orice, y, z Q \ {2} avem (y z) = ( y) z = yz 2y 2z 2yz y + 4z 6. Pentru orice, y Q \ {2} avem y = y 2 2y + 6 = y = 2y = = y, deci operaţia este comutativă. Luând pe = 0 în e =, Q \ {2} obţinem e = 3, prin urmare, dacă eistă element neutru, acesta este e = 3. Pe de altă parte 3 =, Q \ {2}, deci e = 3 este element neutru. Pentru orice Q \ {2} = = 3 ( 2) = 2 3 = = 2 + 2, care eistă şi aparţine mulţimii Q \ {2}. b) f funcţie bijectivă 2 ( + a = 2 atunci şi numai atunci când = 0) a = 2. Pentru a = 2 avem f() f(y) = ( + 2) (y + 2) = ( + 2)(y + 2) 2( + 2) 2(y + 2) + 6 = y + 2 = f(y), deci f este morfism. În consecinţă valoarea lui a pentru care f este izomorfism este a = 2. SUBIECTUL II (30 puncte) ) Ecuaţia se poate scrie 2 (cos 2 + cos 4) = (cos 4 + cos 4) 2 sau cos 2 cos 4 = 0, de unde Rezolvând această ecuaţie, obţinem sin 3 sin = 0. = π k, k Z sau = nπ, n Z. 3 Este clar că cea de-a doua familie de soluţii este inclusă în prima, deci putem spune că soluţia generală a ecuaţiei este = π k, k Z. 3 Pentru a obţine soluţiile ce verifică cerinţa problemei, trebuie să punem condiţia 0 < π 3 k < 2, de unde 0 < k < 26 π.
5 k trebuind să fie un număr întreg, obţinem k =,..., 8, deci soluţiile acceptabile sunt: = π 3, 2π 3, 3π 3, 4π 3, 5π 3, 6π 3, 7π 3, 8π 3. 2) Coordonatele punctelor care ne interesează sunt, după cum e uşor de constatat, următoarele: C(a, a), E( b, b). Dreapta AE are ecuaţia în timp ce dreapta BC are ecuaţia b + (a + b)y ab = 0, (a + b) + ay ab = 0. Fie P punctul de intersecţie a dreptelor AE şi BC. Atunci coordonatele lui P sunt date de soluţia sistemului { b + (a + b)y ab = 0, ceea ce ne conduce la ( P = P (a + b) + ay ab = 0, ab 2 a 2 + b 2 + ab, a 2 ) b a 2 + b 2. + ab Tot ce mai avem de făcut este să demonstrăm că dreapta OH trece prin punctul P. E B H P F O A D C Panta dreptei AB este k AB = b, ceea ce înseamnă că panta dreptei OH, care este perpendiculară a pe AB, k OH = a, deci ecuaţia dreptei OH este b y = a b. Este uşor de constatat că punctul P aparţine dreptei OH (coordonatele sale verifică ecuaţia dreptei). SUBIECTUL III (30 puncte) ) Calculăm derivata funcţiei: f () = 2 ln Pentru > 0 avem f () > 0, deci funcţia f este strict crescătoare pe (0, ). Pe de altă parte f(4) = 4, deci din faptul că f este strict crescă toare rezultă f() > f(4) = 4 pentru > 4, deci f() 4, 4.
6 Pentru cea de a doua inegalitate considerăm funcţia g : [4, ) R, g() = f(). g () = f (), şi g () = f () = 2 ln 5 (+) 2 4 < 0, 4. Astfel g este strict descrescătoare. Însă g (4) = 2 5 ln < 0 deoarece ln 5 >, deci g () < 0, 4 şi g este strict descrescătoare. Pe de altă parte g(4) = 0, deci g() 0, 4. Această inegalitate este echivalentă cu f() 4. 2) Demonstrăm prin inducţie matematică inegalitatea n 4, n N. Pentru n = 0 inegalitatea este adevărată datorită condiţiei din enunţ. Dacă k 4, atunci k+ = f( k ) 4 datorită inegalităţii f() 4, 4. Astfel pe baza principiului inducţiei matematice avem n [0, ), n N. Folosind a doua inegalitate de la ) deducem n+ = f( n ) n, deci şirul ( n ) n 0 este descrescător şi mărginit inferior, adică convergent. Fie l ita şirului ( n ) n 0. Din inegalitatea n 4, n 0 prin trecere la ită obţinem l 4, iar prin trecere la ită în relaţia de recurenţă obţinem l = f(l). Astfel folosind ) deducem l = 4. 3) f(0) = 0, şi f este continuă în 0, deci avem o nedeterminare de tipul şi putem folosi ita y 0 ( + y) y = e (cu y = f()). f() deci avem de calculat. f() = + 2 ln 5 ( + f()) ] = [( + f()) f() f(), ln( + ) = + 2 ln 5 ln( + ) = + 2 ln 5 0 =, deci 4) f (t) f(t) = 2 (f 2 ) (), deci ( + f()) = e. f (t)f(t) dt = 2 f 2 (t) 4 = 2 f 2 (4) 2 f 2 (). Astfel ita cerută este f (t)f(t) dt = 2 f 2 (4) 2 f 2 (0) = 8.
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραConcursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a
Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II n α+1 1
GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραVARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)
Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Διαβάστε περισσότεραBACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1
BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului
Διαβάστε περισσότεραTimp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.
Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραTeste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei
Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei 0 aprilie 04 Cuprins Algebră 5 Analiza 39 3 Trigonometrie 6 4 Geometrie 69 5 Modele teste 73 5.
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I
GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα