ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Καμία Σελίδα 1/5
ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ A Σελίδα 1/2 2x 3 1) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g όπου f ( x) και g ( x) x 5. Να x 1 υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων. 2) Να λυθεί η εξίσωση 2 1 e x 5. 3) Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από τον τύπο f( x) ln(3x 4). Να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες των συντεταγμένων. 4) Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την γραφική παράσταση της παραγώγου f μιας συνάρτησης f. Να προσδιορίσετε την τιμή του x για την οποία f έχει μέγιστο ή ελάχιστο. Δικαιολογηστε την απάντηση σας. 5) Οι συναρτήσεις f, g και h είναι παραγωγίσιμες στο x 1. Αν γνωρίζουμε ότι f ( x) g( x) h( x) και g(1) 3, g (1) 2, h(1) 4, και h (1) 5. Να υπολογίσετε το f (1). 6) Εστω η συνάρτηση f ( x) ln(8 x). Να βρείτε εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x 7. Σελίδα 2/5
ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ A Σελίδα 2/2 7) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη με 2 εξίσωση y 3x 2, τις ευθείες x 1 x 3, και τον άξονα x x. 2x 8) Η παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι η f ( x) 4e. Να βρείτε την f ( x ), αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο P 0, 3. e 2 9) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα x 1 dx. 1 x 10) Δύο άτομα A και B πυροβολούν ένα στόχο. Η πιθανότητα ο A να πετύχει τον στόχο σε μία βολή είναι 3 4. Η πιθανότητα ο B να πετύχει τον στόχο σε μια βολή είναι 1 3. Ο A πυροβολεί 3 φορές και ο B πυροβολεί 5 φορές. Ποιος από τους δύο έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να πετύχει τον στόχο τουλάχιστον μια φορά; Να αιτιολογήσετε την απαντηση σας.. 11) Μια συγκεκριμένη μέρα στην αυλή ενός καφενείου: 54% των πελατών είναι γυναίκες, 70% των πελατών φοράνε γυαλιά ηλίου και 41% των πελατών είναι γυναίκες που φορούν γυαλιά ηλίου. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο από αυτά Να βρεθεί η πιθανότητα να είναι άντρας και να φοράει γυαλιά ηλίου.. 12) 50 άτομα παιρνούν από τελωνιακό έλεγχο. 5 από αυτά μεταφέρουν απαγορευμένα προιόντα. Επιλέγουμε τυχαία 4 από αυτά τα άτομα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα την πιθανότητα 2 ακριβώς από αυτά τα 4 άτομα να μεταφέρουν απαγορευμένα προιόντα. Σελίδα 3/5
ΣΥΝΘΕΤΗ ΕΡΩΤΗΣΗ B1 ΑΝΑΛΥΣΗ Σελίδα 1/1 Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από τον τύπο f( x) (2x 3)e x. a) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. 1 μονάδα b) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες των συντεταγμένων. c) i. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας της. ii. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του ακρότατου της f καθώς και το είδος του. d) Προσδιορίστε εξίσωση της εφαπτομένης t της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x 0. e) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f και της t στο ίδιο διάγραμμα. f) Δείξτε ότι η F( x) (2x 1)e x είναι μια αρχική της f. g) Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τους άξονες των συντεταγμένων και την ευθεία x 1. Σελίδα 4/5
ΣΥΝΘΕΤΗ ΕΡΩΤΗΣΗ B2 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σελίδα 1/1 Μία κάλπη περιέχει 6 σφαιρίδια, που το καθένα φέρει ένα μόνο από τα παρακάτω σύμβολα A, B, C, D, E και F. Κάθε σύμβολο εμφανίζεται μόνο μια φορά. a) Επιλέγουμε τυχαία ένα σφαιρίδιο, καταγράφουμε το σύμβολο που φέρει και ξαναβάζουμε το σφαιρίδιο στην κάλπη. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται 3 φορές. i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να εμφανιστούν τα σύμβολα B, A και C με αυτή την διάταξη (σειρά). ii. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να εμφανιστούν τα παραπάνω σύμβολα με οποιαδήποτε διάταξη. b) Ένα πείραμα εκτελείται ως εξής : 3 σφαιρίδια επιλέγονται τυχαία, το ένα μετά το άλλο, χωρίς επανατοποθέτηση στην κάλπη. i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να εμφανιστούν τα σύμβολα B, A, C, με αυτή την διάταξη. ii. Το πείραμα αυτό επαναλαμβάνεται 10 φορές (στο τέλος κάθε πειράματος και τα 3 σφαιρίδια επανατοποθετούνται στην κάλπη). Να υπολογίσετε την πιθανότητα να εμφανιστούν τα σύμβολα B, A, C με αυτή την διάταξη σε ένα τουλάχιστον πείραμα. Σελίδα 5/5