Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο σύνολο Τότε κάποιο υποσύνολο του K είναι βάση του V Θεώρημα (ύπαρξη, δεύτερη μορφή) Έστω V K με K πεπερασμένο σύνολο Αν { v,, v} V πεπερασμένο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο του V, τότε υπάρχει βάση B του V της μορφής B { v,, v, u,, u }, u,, u K s s Θεώρημα ΈστωV v,, v Τότε κάθε γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο του V έχει το πολύ στοιχεία Πορίσματα Έστω V πεπερασμένα παραγόμενος διανυσματικός χώρος Ισχύουν οι εξής προτάσεις Κάθε δύο βάσεις του V έχουν το ίδιο πεπερασμένο πλήθος στοιχείων (Το πλήθος αυτό συμβολίζεται με div ) Αν v,, v V με div, τότε τα v,, v είναι γραμμικά εξαρτημένα Αν v,, v V είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε div Έστω U V Τότε diu di V, και U V diu di V 5 Έστω div και v,, v V Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα Τα v,, v αποτελούν βάση του V Τα v,, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα Τα v,, v παράγουν το V Πρόταση Έστω V πεπερασμένα παραγόμενος διανυσματικός χώρος και U, W V Τότε di( U W ) diu diw di U W είναι Συμβολισμοί: Το σύνολο είναι το ή το To σύνολο των πινάκων με στοιχεία από το συμβολίζεται με Ο ταυτοτικός πίνακας συμβολίζεται I (ή απλά I αν δεν υπάρχει ασάφεια για το ) και ο μηδενικός πίνακας με 0 ( ή απλά 0 αν δεν υπάρχει ασάφεια για τα, ) Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση a U {( x, y, z) x y z 0} b U x y z x y z x y {(,, ) 0} a b c U { a, b, c } 0 c a b d U { a d 0} c d Έστω B και V { A AB BA} Βρείτε μια βάση και τη διάσταση του V 0 Δείξτε ότι το σύνολο a V {( a, b, a b, a) a, b } είναι υπόχωρος του και βρείτε μια βάση του a b b U { a, b } είναι υπόχωρος του a b a Δείξτε ότι τα ( x, y, z ), ( x, y, z ), ( x, y, z ) είναι βάση του και βρείτε μια βάση του αν και μόνο αν
x y z det x y z 0 x y z a a,, a, i,, Δείξτε ότι τα a, i,,, είναι βάση του Γενικά, έστω i i i αν det( aij ) 0 5 Αφού δείξτε ότι τα στοιχεία a b (,,0), (,, ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα, βρείτε μια βάση του x, x [ x] i αν και μόνο που τα περιέχει, είναι γραμμικά ανεξάρτητα, βρείτε μια βάση του [ x] που τα περιέχει, 0 c, 0 0 0 6 Αφού δείξτε ότι το σύνολο a {(,,),(,,),(,,0),(0,,)} παράγει το x είναι γραμμικά ανεξάρτητα, βρείτε μια βάση του, βρείτε μια βάση του x που τα περιέχει που περιέχεται σε αυτό, b { x, x x, x, x x } παράγει [ x], βρείτε μια βάση του [ x] που περιέχεται σε αυτό 7 Βρείτε οι τιμές του a για τις οποίες τα στοιχεία (,, a), (,0,), (,,) αποτελούν βάση του Για τις τιμές αυτές του a, εκφράστε το (,0,0) ως γραμμικό συνδυασμό των παραπάνω στοιχείων 8 Βρείτε μια βάση του διανυσματικού χώρου των λύσεων του συστήματος x y z w 0 x y z w 0 x y w 0 9 Έστω οι υπόχωροι του U (,,0, ),(,,,0),(,,, ), V (,,, ),(,,, ),(,,, ) a Να βρεθούν οι διαστάσεις di( U V ),di U V b Να βρεθεί μια βάση του διανυσματικού χώρου U V 0 Έστω οι υπόχωροι του U {( x, y, z) x y z 0}, V {( x, y, z) x y z 0} Για καθένα από τους διανυσματικούς χώρους U, V, U V, U V βρείτε μια βάση και τη διάσταση Αληθεύει ότι το άθροισμα U V είναι ευθύ; t t Βρείτε τις διαστάσεις των διανυσματικών χώρων A { A A A} και B { A A A} Βρείτε μια βάση και τη διάσταση του χώρου γραμμών A του πίνακα 0 A 0 Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και v, v, v V Δείξτε ότι τα v, v, v είναι βάση του V αν και μόνο αν τα v v, v v, v v είναι βάση του V Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και U, W V με V U W Δείξτε ότι αν B, B είναι βάσεις των U, W αντίστοιχα, τότε η ένωση BU BW είναι βάση του V 5 Έστω V ένας πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος και U V Δείξτε ότι υπάρχει W V με V U W Στη συνέχεια βρείτε δύο διαφορετικούς υπόχωρους W, W με U W U W, όπου U {( x, x), x } U W
6 Έστω A Δείξτε ότι υπάρχουν και,, 0 7 Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και K { v,, v } V με τις εξής ιδιότητες a V K b Για κάθε γνήσιο υποσύνολο K του K ισχύει V K Δείξτε ότι το K είναι βάση του V t 8 Έστω V τέτοιος ώστε A V για κάθε A V a a όχι όλα 0 με a0i a A a A 0 Δείξτε ότι τα A,, A V είναι βάση του V αν t και μόνο αν τα,, t A A V είναι βάση του V 9 Να βρεθεί ένα ομογενές γραμμικό σύστημα του οποίου ο χώρος λύσεων έχει βάση το σύνολο { u, v }, όπου u, v 0 0 Βρείτε βάση B του που αποτελείται από αντιστρέψιμους πίνακες Έστω V τέτοιος ώστε κάθε AV είναι μη αντιστρέψιμους πίνακας Δείξτε ότι div Δείξτε ότι ο διανυσματικός χώρος [ x] δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενος Δείξτε ότι ο διανυσματικός χώρος F(, ) των συναρτήσεων δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενος Δείξτε ότι ο υπόχωρος του F(, ) που παράγεται από τις συναρτήσεις x, si x, cos x έχει διάσταση 5 Έστω V ένας πεπερασμένα παραγόμενος -διανυσματικός χώρος και U, U, W V με diu diu Δείξτε τα εξής a Για κάθε u U {0}, έχουμε u U b U W U W {0} c U U U U {0} di( U U) 6 Έστω V,,, όπου (,,), (0,, ), (,0,) a Αληθεύει ότι V ; b Αληθεύει ότι (, 0, 0) V; c Έστω ( a, b, c) Δείξτε ότι ( a, b, c) V a b c 0 7 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογείστε τις απαντήσεις με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα a Αν U, V με diu και div, τότε U V {0} b Κάθε υποσύνολο του που περιέχει 5 στοιχεία είναι γραμμικά εξαρτημένο c Κάθε υποσύνολο του που περιέχει άνω τριγωνικούς πίνακες είναι γραμμικά εξαρτημένο d Έστω V διάστασης και v με v V Αν B είναι βάση του V, τότε το B { v} είναι βάση του e Αν το πλήθος των βάσεων πεπερασμένα παραγόμενου διανυσματικού χώρου V είναι πεπερασμένο, τότε V {0}
Υποδείξεις-Απαντήσεις Παρακάτω δίνονται συνήθως σύντομες υποδείξεις ή τελικές απαντήσεις σε υπολογιστικές ασκήσεις Μια βάση και η διάσταση σε κάθε περίπτωση είναι: a {(,,0),(,0,)}, diu b {(,,)},diu 0 0 0 0 c {,, }, diu 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d {,, }, diu 0 0 0 0 0 0 Μια βάση είναι {, } Η διάσταση είναι Βλέπε άσκηση 56b 0 0 0 a Επειδή ( a, b, a b, a) a(,0,,) b(0,,,0), έχουμε V (,0,,), (0,,,0) και επομένως έπεται άμεσα ότι V Δείξτε στη συνέχεια ότι τα στοιχεία (,0,,), (0,,,0) είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως είναι βάση του V 0 0 b Επειδή a b a b 0 0, έχουμε U, και επομένως έπεται άμεσα a b a 0 0 0 0 ότι U Δείξτε στη συνέχεια ότι τα στοιχεία, είναι γραμμικά ανεξάρτητα και 0 επομένως είναι βάση του U ος τρόπος Επειδή di, τα ( x, y, z), ( x, y, z), ( x, y, z) είναι βάση του αν και μόνο αν παράγουν το (Πόρισμα 5) Το τελευταίο ισοδυναμεί με το A, όπου A είναι ο χώρος γραμμών του πίνακα x y z A x y z x y z Δείξτε ότι A αν και μόνο αν ο A είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον I Αυτό ισοδυναμεί με το ότι ο A είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή με det A 0 ος τρόπος Επειδή di, τα ( x, y, z), ( x, y, z), ( x, y, z) είναι βάση του αν και μόνο αν παράγουν το Το τελευταίο ισοδυναμεί με το ότι υπάρχουν,, με (γιατί;) Ισοδύναμα, i i i ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z ) (,0,0) ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z ) (0,,0) ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z ) (0,0,) x y z 0 0 x y z 0 0 x y z 0 0 Ξέρουμε ότι αυτό ισοδυναμεί με το ότι ο A είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή με det A 0 5 a Μια βάση της ζητούμενης μορφής είναι {(,,0), (,,),(,0,0)} b Μια βάση της ζητούμενης μορφής είναι { x, x,, x }
0 0 0 0 0 c Μια βάση της ζητούμενης μορφής είναι {,,, } 0 0 0 0 0 6 a Μια βάση της ζητούμενης μορφής είναι {(,,),(,,),(0,,)} Δύο άλλες είναι η {(,,),(,,0),(0,,)} και η {(,,),(,,0),(0,,)} 7 Επειδή η διάσταση του det A 0, όπου είναι, το δοσμένο ερώτημα ισοδυναμεί με το να βρεθούν τα a τέτοια ώστε a A 0, (βλ άσκηση ) Υπολογίζοντας βρίσκουμε det A a, οπότε a Για a, τα δοσμένα στοιχεία αποτελούν βάση του Ζητάμε να βρεθούν τα x, y, z τέτοια ώστε (,0,0) x(,, a) y(,0,) z(,,) Το σύστημα που προκύπτει είναι x y z x z 0 ax y z 0 Παρατηρούμε ότι ο πίνακας των συντελεστών είναι ο Α Λύνοντας το σύστημα με μια από τις γνωστές μεθόδους, πχ με τον κανόνα του Craer, βρίσκουμε ότι a x, y, z ( a) ( a ) ( a) 8 Μετά από μερικές πράξεις βρίσκουμε ότι μια κλιμακωτή μορφή του πίνακα των συντελεστών είναι 0 0 0 0 0 0 Εύκολα βρίσκουμε τις λύσεις w ( x, y, z, w) ( y w, y,, w) y(,,0,0) w(,0,,), y, w Είναι σαφές ότι τα διανύσματα (,, 0, 0),(, 0,,) παράγουν το χώρο των λύσεων Είναι γραμμικά ανεξάρτητα γιατί από τη σχέση (,, 0, 0) (, 0,,) (0, 0), όπου λ,μ, έπεται ότι λ μ 0 Άρα μια βάση του χώρου των λύσεων είναι το σύνολο {(,,0,0),(,0,,)} 9 a Επειδή ο χώρος U V παράγεται και από τα έξι δοσμένα στοιχεία, θα εξετάσουμε μια κλιμακωτή μορφή του πίνακα 0 0 Μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών βρίσκουμε την κλιμακωτή μορφή 5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Επειδή υπάρχουν μη μηδενικές γραμμές, συμπεραίνουμε ότι di( U V ) Για την τομή μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο της Πρότασης Όπως και πριν θα μετασχηματίσουμε τους πίνακες των γεννητόρων σε κλιμακωτή μορφή Για το U βλέπουμε ότι μια κλιμακωτή μορφή του 0 0 είναι 0 0 0 0 0 0 και άρα diu Όμοια, div Τέλος di( U V ) diu div di( U V ) b Ας δώσουμε μια υπόδειξη τρόπου λύσης που είναι ανεξάρτητος από το a Για να περιγράψουμε τα στοιχεία της τομής U V, αρκεί να βρούμε τα x, y, z και x, y, z με x(,, 0, ) y(,,, 0) z(,,, ) x(,,, ) y(,,, ) z(,,, ) () x z y z Μετά από καθιερωμένες πράξεις βρίσκουμε Αντικαθιστώντας βρίσκουμε y z x(,, 0, ) y(,,, 0) z(,,, ) ( y z)(,, 0, ) Άρα U V (,,0, ) και μια βάση της τομής είναι το σύνολο {(,,0, )} Σημείωση Θα μπορούσαμε να εργαστούμε έχοντας στο αριστερό σκέλος της () στοιχεία βάσης του U, που θα βρίσκαμε από κλιμακωτή μορφή του 0 0, και στο δεξιό μέλος της () στοιχεία βάσης του V, που θα βρίσκαμε από κλιμακωτή μορφή του 0 Εργαζόμενοι όπως στην άσκηση 8 για καθέναν από τους διανυσματικούς χώρους U, V, U V βρείτε μια βάση και τη διάσταση Για το U V μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι επειδή U V και di( U V ) diu div diu V, παίρνουμε U V Άρα μια βάση του U V είναι η συνήθης βάση του {(,0,0),(0,,0),(0,0,)} Το άθροισμα U V είναι ευθύ καθώς U V {0}, 6
Διαφορετική λύση Επειδή έχουμε U και U ισχύει diu Δύο διανύσματα που ανήκουν στο U είναι τα (,,0) και (,0,) Παρατηρούμε ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα diu = και τα προηγούμενα διανύσματα αποτελούν βάση του U Mε ανάλογο τρόπο βρίσκουμε, για παράδειγμα, τη βάση του V αποτελούμενη από τα διανύσματα (,,0),(0,, ) Από τα προηγούμενα τέσσερα διανύσματα, τα πρώτα τρία είναι γραμμικά ανεξάρτητα, γιατί 0 det 0 6 0, 0 και ανήκουν στο U+V Επειδή ο U+V είναι υπόχωρος του έχουμε di(u+v) Συνεπώς di(u+v) =, και τα προαναφερθέντα τρία διανύσματα αποτελούν βάση Από τη σχέση diu V diu div di( U V ) παίρνουμε diu V = Μένει να βρεθεί μια βάση του U V και προς τούτο αρκεί να βρούμε ένα μη μηδενικό στοιχείο του Λύνοντας το σύστημα x y z 0, x y z 0 βρίσκουμε x = 0, και y+z = 0, οπότε ένα μη μηδενικό στοιχείο της τομής είναι για παράδειγμα το (0,, ) Δείξτε ότι μια βάση του A συγκροτούν τα στοιχεία E ( i ), E E ( i j ) ii ij ji ( ) ( ) Άρα di A Επίσης, μια βάση του B συγκροτούν τα στοιχεία E E ( i j ) ij ji ( ) Άρα di B ( ) Σημείωση Έχοντας βρει ότι di A, θα μπορούσαμε να βρούμε τη διάσταση του B από τη σχέση A B di di A di B που είδαμε στην άσκηση 57d Εύκολα επαληθεύεται ότι ο A είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Συνεπώς μια βάση του A είναι η {(,,0,),(0,,,),(0,0,,0)} Σημείωση Η άσκηση αυτή είναι η άσκηση β του βιβλίου όπου η απάντηση είναι λανθασμένη καθώς εκ παραδρομής στην εκεί αναγραγόμενη βάση περιέχεται το μηδενικό διάνυσμα Δείξτε ότι το ζητούμενο ισοδυναμεί με τη σχέση v, v, v v v, v v, v v Η απόδειξη της σχέσης αυτής είναι η άσκηση 5c Δείτε την απόδειξη της Πρότασης Εδώ έχουμε απλούστευση αυτής 5 Για τo πρώτο αποτέλεσμα χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Μια επιλογή για το δεύτερο ερώτημα είναι W {( x,0) x }, W {(0, y) y } Σημείωση Για κάθε W διάστασης με W U ισχύει ότι U W Αποδείξτε το 6 Από di έπεται ότι τα στοιχεία I, A, A,, A, όπου είναι γραμμικά εξαρτημένα καθώς το πλήθος τους είναι di (Πόρισμα ) 7 Έπεται άμεσα από το Θεώρημα Δώστε μια απόδειξη χωρίς την επίκληση του θεωρήματος αυτού 7
8 Δείξτε ότι τα,, t A A είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν και μόνο αν τα,, t A A είναι γραμμικά ανεξάρτητα 9 Θέλουμε να βρούμε ομογενές γραμμικό σύστημα ( εξισώσεις και αγνώστους) με διάσταση του χώρου λύσεων ίση με Ξέρουμε ότι η διάσταση αυτή ισούται με τη διαφορά r όπου r είναι το πλήθος των οδηγών στοιχείων στην ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα των συντελεστών του συστήματος Άρα r Αυτό μας οδηγεί να θεωρήσουμε σύστημα με μία μόνο εξίσωση, ax by cz 0 Tότε έχουμε a b c a c 0 Μια λύση είναι a, b, c και άρα ένα ζητούμενο σύστημα είναι το x y z 0 0 Μια επιλογή είναι B { I E, I E, I E, I E} Πράγματι, δείξτε ότι κάθε στοιχείο του B είναι αντιστρέψιμος πίνακας και στη συνέχεια ότι το σύνολο B είναι γραμμικά ανεξάρτητο Τότε θα είναι βάση σύμφωνα με το Πόρισμα 5 0 0 Έστω U που παράγεται από τα στοιχεία, Παρατηρήστε ότι κάθε μη μηδενικό 0 0 a b στοιχείο του U είναι αντιστρέψιμο καθώς det a b 0 αν ( a, b) (0,0) Άρα b a U V {0} Το ζητούμενο έπεται από την Πρόταση Αν [ x] p ( x), p ( x), τότε κάθε πολυώνυμο του [ x] θα είχε βαθμό μικρότερο ή ίσο του μέγιστου βαθμού των p ( ), ( ) x p x Αυτό είναι άτοπο Ένας τρόπος είναι με χρήση της προηγούμενης άσκησης Άλλος τρόπος είναι να δείξουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο, οι συναρτήσεις, x, x,, x είναι γραμμικά ανεξάρτητες Για το σκοπό αυτό, στη σχέση a a x a x a x a 0 0, i, πάρτε παραγώγους τάξης, ή μένοντας στα πλαίσια της Γραμμικής Άλγεβρας, θωρήστε διαφορετικές τιμές του x και το προκύπτον ομογενές γραμμικό σύστημα για να συμπεράνετε ότι a0 a a 0 με τη βοήθεια της ορίζουσας Vaderode (άσκηση ) Αν ax bsi x ccos x 0, όπου a, b, c, τότε θέτοντας x 0 προκύπτει c 0 και θέτοντας διαδοχικά x, προκύπτει b c 0 Άρα οι συναρτήσεις x, si x, cos x είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου F(, ), πράγμα που σημαίνει ότι η διάσταση του υπόχωρου που παράγουν ισούται με 5 b Η συνεπαγωγή U W U W {0} είναι σαφής Το αντίστροφο έπεται άμεσα από το a c H πρώτη ισοδυναμία έπεται άμεσα εφαρμόζοντας δύο φορές το b Για τη δεύτερη ισοδυναμία χρησιμοποιήστε την Πρόταση 6 Ο V είναι ο χώρος γραμμών του πίνακα A 0 0 Με το γνωστό τρόπο βρίσκουμε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή 0 A 0 0 0 0 του Α Από αυτή έπεται ότι το σύνολο {(,0,),(0,, )} είναι βάση του V a Έχουμε div di V 8
b Το ερώτημα ισοδυναμεί με το αν υπάρχουν, με (,0,) (0,, ) (,0,0) Δείξτε ότι το προκύπτον σύστημα δεν έχει λύση c Έχουμε a ( a, b, c) V,, (,0,) (0,, ) ( a, b, c),, b c O επαυξημένος πίνακας του τελευταίου συστήματος είναι ο 0 a 0 b c και μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών βρίσκουμε τον 0 a 0 b 0 0 a b c (στον οποίο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα των συντελεστών του συστήματος είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή) Από την τελευταία γραμμή του τελευταίου πίνακα έπεται ότι το σύστημα έχει λύση αν και μόνο αν a b c Διαφορετική λύση Παρατηρούμε ότι {( a, b, c) a b c 0} {( a, b, a b) a, b} { a(,0,) b(0,, ) a, b } (,0,),(0,, ) V Σημείωση Είναι σαφές ότι από την απάντηση του υποερωτήματος c έπονται τα a,b 7 a Σ b Σ c Σ d Σ e Σ 9