ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 33

x(t) x(t) ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 33 π/ t Σχήμα.. Απόκριση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας σε εξαναγκασμένη ταλάντση χρίς απόσβεση σε συνθήκες συντονισμού. π t 4π Σχήμα.. Απόκριση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας σε εξαναγκασμένη ταλάντση χρίς απόσβεση όταν. Η ταύτιση της κυκλικής συχνότητας διέγερσης με την φυσική κυκλική συχνότητα είναι γνστή ς συντονισμός. Στην περίπτση αυτή το πλάτος αυξάνεται συνεχώς 3 (βλ. σχήμα.) και το σύστημα μπορεί να οδηγηθεί σε πολύ μεγάλες μετατοπίσεις που πιθανότατα θα οδηγήσουν τελικά σε αστοχία. Από ενεργειακή άποψη, η συνεχής αύξηση του πλάτους οφείλεται στην ενεργειακή συντηρητικότητα του συστήματος. Πράγματι, η ταλάντση με την φυσική συχνότητα διατηρείται αναλλοίτη στον χρόνο (βλ. σχήμα., λύση της ομογενούς) είτε υπάρχει συντονισμός είτε όχι. Επομένς στην περίπτση 3 Στα πραγματικά συστήματα, ο ρόλος της απόσβεσης είναι ιδιαίτερα σημαντικός γιατί συμβάλει στην διατήρηση του πλάτους ταλάντσης σε πεπερασμένες αν και αυξημένες - τιμές.

34 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ συντονισμού η ενέργεια που εισάγεται μέσ της διέγερσης δεν χρειάζεται για την διατήρηση της κίνησης και κατά συνέπεια, ς πλεονάζουσα, οδηγεί σε συνεχή αύξηση του πλάτους ταλάντσης. Σε κάθε άλλη περίπτση η ενέργεια αυτή απλά «καταναλώνεται» για την διατήρηση της κίνησης. Όταν η κυκλική συχνότητα διέγερσης δεν είναι ίση προς την φυσική κυκλική συχνότητα αλλά είναι κοντά σ αυτήν, τότε η απόκριση παίρνει την μορφή του σχήματος...6. Εξαναγκασμένη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με ιξώδη απόσβεση Σχηματική αναπαράσταση εξαναγκασμένης ταλάντσης για ένα σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας με ιξώδη απόσβεση δίνεται στο σχήμα.3.α ενώ στο σχήμα.3.β φαίνονται οι δυνάμεις που δρουν. Εάν θερήσουμε την μάζα μετατοπισμένη στην θέση x(t) (m) κατά την χρονική στιγμή t (sec) (βλ. σχήμα.3.α), τότε η εφαρμογή του ου νόμου του Newto (βλ. σχήμα.3.β) δίνει: και άρα FΚ.Μ. mx( t) Fex( t) kx( t) cx( t) mx( t ) (N) mx( t) cx( t) kx( t) Fex( t ) (N) (.65) c k c k cx() t kx(t) m Κ.Μ. m Κ.Μ. F ex (t) x(t) m Κ.Μ. F ex (t) mx() t α. Η κίνηση στον αρμονικό ταλανττή. β. Δυνάμεις στην μάζα του αρμονικού ταλανττή. Σχήμα.3. Εξαναγκασμένη ταλάντση με ιξώδη απόσβεση.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 35 Η δύναμη 4 F () t (N) μπορεί να είναι περιοδική ή αρμονική. Στην περίπτση που ex είναι αρμονική μία πιθανή μορφή της μπορεί να είναι η εξής: F ( ) si( ) ex t F t ψ (N) (.66) Στην παραπάν σχέση το F (N) ονομάζεται πλάτος της διέγερσης, η (ad/sec) είναι η συχνότητα διέγερσης και ψ (ad) είναι η διαφορά φάσης ανάμεσα στον χρόνο έναρξης της ταλάντσης και στον χρόνο έναρξης επιβολής της διέγερσης. Η (.65) είναι μη ομογενής γραμμική διαφορική εξίσση δεύτερης τάξης και η λύσης της θα προκύψει από το άθροισμα της λύσης της ομογενούς Δ.Ε. και της ειδικής λύσης η μορφή της οποίας εξαρτάται από την έκφραση της F () t (N). Πράγματι, από την (.9) λαμβάνεται η γενική λύση. Εάν κατόπιν αντικαταστήσ τον δεξιό όρο στην (.65) σύμφνα με την (.66) και υποθέσ ότι η ειδική (paticula) λύση θα είναι: xp ( t) Csi( t ψ) Dcos( t ψ ) (.67) ex τότε, για, με αντικατάσταση στην (.65) σύμφνα με την (.67), την (.8) και την (.) θα προκύψει ότι: F x t ζ t ψ t ψ ( ) cos( ) si( ) p m ζ (m) (.68) Αντί για την μορφή της (.67) μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά η μορφή: και τα X και φ προσδιορίζονται εύκολα: x ( ) si( ) p t X t ψ φ (.69) X F m ζ / (m) και φ ta ζ (ad/sec) (.7) Η ποσότητα X ονομάζεται πλάτος ή απόκριση και δείχνει την μέγιστη απομάκρυνση της μάζας του ταλανττή από την θέση ισορροπίας. Μετριέται σε (m) 5 ή (ad) ανάλογα με την περίπτση 6. Το πλάτος εξαρτάται από τις παραμέτρους του συστήματος και από την τιμή του πλάτους της διέγερσης. 4 Μπορεί να είναι και ροπή π.χ. σε ένα σύστημα που εκτελεί στρεπτικές ταλαντώσεις. 5... ή πιο συχνά σε (mm). Η χρήση όμς της μονάδας (m) διατηρεί την συμβατότητα με το σύστημα SI. 6 Ανάλογα με τα αν γίνεται αναφορά σε μεταφορική ή περιστροφική μετατόπιση.

36 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η ποσότητα φ ονομάζεται γνία φάσης ή διαφορά φάσης ή απλώς φάση, μετριέται σε ( o ) ή (ad) και αποτελεί ένδειξη της καθυστέρησης μεταξύ της απόκρισης του συστήματος και της εξτερικής διέγερσης. Στην ενότητα. έγινε μελέτη της ελεύθερης ταλάντσης παρουσία ιξώδους απόσβεσης και απεδείχθη ότι - για οποιαδήποτε τιμή του λόγου απόσβεσης ζ - η ταλάντση του συστήματος φθίνει με την πάροδο του χρόνου. Κατά συνέπεια η λύση της ομογενούς για την (.65) φθίνει καθώς αυξάνει ο χρόνος και απομένει η σχέση (.69) 7 η οποία περιγράφει πλέον την κίνηση του συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή. Εάν ορισθεί ο λόγος συχνοτήτν ( ) ς: (.7) τότε οι σχέσεις (.7) μπορούν να γραφούν εναλλακτικά ς εξής: Aζ (, ) m X F ζ / (.7) και φ ta ζ ζ ta (.73) Στις παραπάν δύο σχέσεις μπορεί να γίνει μία πολύ ενδιαφέρουσα διερεύνηση. Το μέγεθος A(,ζ) ονομάζεται λόγος ευρών ή συντελεστής ενίσχυσης. Από φυσική άποψη αναπαριστά την ποσοτική σχέση (λόγο) ανάμεσα στο πλάτος της διέγερσης F (N) και την μέγιστη αναπτυσσόμενη δύναμη στο ταλαντούμενο σύστημα m X(N). Είναι μέγεθος αδιάστατο και εξαρτάται από τις φυσικές παραμέτρους του συστήματος (m, k, c) και τις παραμέτρους της διέγερσης (, F ) 8. Στο σχήμα.4 δείχνεται η μεταβολή της τιμής του συναρτήσει του λόγου συχνοτήτν για διάφορες τιμές του λόγου απόσβεσης. Βάσει του σχήματος αυτού μπορούν να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις: i. Όταν τότε Aζ (, ). Ο μηδενισμός του λόγου συχνοτήτν προκύπτει από την ανυπαρξία ταλάντσης (=) και κατά συνέπεια το σύστημα απλά μετατοπίζεται στατικά λόγ μη μεταβαλλόμενης χρονικά δύναμης ίσης προς F (N) 7... πάντα σε συνδυασμό με τις (.7)... 8 Σύμφνα με τις σχέσεις (.), (.69)-(.7).

A(,ζ) ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 37 5 4 ζ=. 3 ζ=3 ζ=5 ζ= ζ=.3 ζ=.5 ζ=.8 ζ=..5..5..5 3. Σχήμα.4. Καμπύλες τιμών συντελεστή ενίσχυσης για ταλάντση με ιξώδη απόσβεση. ii. Όταν τότε Aζ (, ). Το πλάτος ταλάντσης είναι πολύ μικρό σε πολύ υψηλές συχνότητες διέγερσης iii. Για δεδομένη τιμή του ο συντελεστής ενίσχυσης μειώνεται όσο αυξάνει το ζ (βλ. σχήμα.4) iv. Όταν ζ τότε ο συντελεστής ενίσχυσης αυξάνεται όσο το αυξάνει στην περιοχή [,] και απειρίζεται όταν γίνει. Κατόπιν αρχίζει και πάλι να μειώνεται καθώς το αυξάνει ακόμη παραπάν (βλ. σχήμα.4) v. Όταν ζ,, τότε ο συντελεστής ενίσχυσης λαμβάνει την μέγιστη τιμή όταν da(, ζ ) d. Σύμφνα με την (.7) αυτό συμβαίνει όταν: A ζ (.74) max Στην περίπτση αυτή η μέγιστη τιμή του συντελεστή θα είναι: A max / ζ ζ (.75) vi. Όταν ζ / αυξάνει, τότε ο συντελεστής ενίσχυσης μειώνεται όσο το

φ 38 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 8 6 ζ=.5 ζ=.8 ζ=.3 ζ= 4 ζ=5 ζ=3 ζ=. ζ= ζ= 8 6 4 ζ=. ζ=.3 ζ=.5 ζ=.8..5..5..5 3. ζ=5 ζ=3 ζ= Σχήμα.5. Καμπύλες τιμών διαφοράς φάσης για ταλάντση με ιξώδη απόσβεση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η διερεύνηση σχετικά με την διαφορά φάσης. Στο σχήμα.5 φαίνεται η μεταβολή της τιμής της διαφοράς φάσης συναρτήσει του λόγου συχνοτήτν για διάφορες τιμές του λόγου απόσβεσης. Βάσει του σχήματος αυτού μπορούν να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις: i. Όταν ζ τότε η απόκριση και η διέγερση είναι σε φάση. Όταν ζ αυτό συμβαίνει μόνο όταν ii. Όταν ζ και (,), τότε φ (, π / ) (ad) iii. Όταν ζ και, τότε φ π / (ad) iv. Όταν ζ και, τότε φ (ad) v. Όταν ζ και, τότε φ π (ad) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να προσδιορίσετε την τιμή του μήκους s (m) έτσι ώστε το πλάτος της γνιακής ταλάντσης σταθερής κατάστασης της μάζας του σχήματος Α.3. να μην υπερβαίνει την ( o ). F(t) k s m O θ L/3 4L/3 c Σχήμα Α.3.. Ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με ιξώδη απόσβεση.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 39 ΛΥΣΗ: Τα δεδομένα για το σύστημα του σχήματος είναι τα εξής: L= (m), m= (Kg), 4 k 4 (N/m), c= (Nsec/m), F( t) Fosi( t) si(5 t ) (N). Εάν υποτεθεί ότι η ταλάντση περιγράφεται με την γενικευμένη συντεταγμένη θ (ad) που αντιστοιχεί στην περιστροφή περί το O και εφαρμοσθεί ο ος νόμος του Newto ς προς το σημείο αυτό, τότε θα είναι (σύμφνα με την (.65)): J eqθ( t) ceqθ( t) keqθ( t) M ex( t ) (Nm) (Α.3.) Στην αντέρ σχέση θα πρέπει να προσδιορισθούν οι συντελεστές. Πράγματι θα είναι: L Jeqθ m θ ml θ (Nm) (Α.3.) 3 και από την παραπάν σχέση θα προκύψει ότι είναι: c k eq eq 6 9 ks cl L M eq( t) F( t) 3 J eq 7 36 ml (Kgm ). Επίσης θα (Α.3.3) και κατά συνέπεια η (Α.3.) θα γίνει: 4 θ( t) 45.74 θ( t).3 s θ( t) 7.4si(5 t ) (Nm) (Α.3.4) Το πλάτος της ταλάντσης που περιγράφει η (Α.3.4) δίνεται από την πρώτη από τις σχέσεις (.7). Για την τρέχουσα περίπτση η σχέση αυτή- σε συνδυασμό με την (.) - θα γραφεί ς εξής: 7.4 Θ / 4 8.3 s 5 45.74 5 π (ad) από την οποία εύκολα προκύπτει ότι θα πρέπει να είναι s.8 (m). (Α.3.4).7. Εξαναγκασμένη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με απόσβεση τύπου Coulomb Στην περίπτση απόσβεσης τύπου Coulomb οι Δ.Ε. (.43) διαφοροποιούνται ώστε να περιλάβουν την εξτερική διέγερση:

4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ mx kx F ( t) μmg x ex mx kx F ( t) μmg x ex (.76) ή σε γενικευμένη μορφή: x mx kx F t μmg (N) (.77) x ex () Όταν οι Α.Σ. είναι μηδενικές, ταλανττική κίνηση μπορεί να υπάρξει μόνο αν το πλάτος της διέγερσης είναι μεγαλύτερο από την δύναμη τριβής. Επομένς δεν θα συμβαίνει κίνηση όσο: kx( t) Fex( t) μmg (.78) Εάν κατόπιν, λόγ μεταβολής της δύναμης διέγερσης, πάψει να ισχύει η παραπάν ανισότητα, η κίνηση θα αρχίσει πάλι 9. Η εξίσση (.77) είναι μη γραμμική και κατά συνέπεια η λύση της δεν μπορεί να εκφρασθεί ς άθροισμα της λύσες της ομογενούς και της ειδικής λύσης. Σύμφνα με την προσέγγιση που αναλύθηκε στην ενότητα.3 και εάν X (m) είναι το πλάτος της ταλάντσης, τότε μία αποδεκτή μορφή για την ειδική λύση θα είναι η εξής 3 : x( t) X si t φ (.79) Εάν ΔE (Nm) είναι η ενέργεια που διαχέεται σε ένα πλήρη κύκλο ταλάντσης και F d (N) η δύναμη απόσβεσης, τότε θα είναι: π / π / d ( ) eq ( ) eq ΔE F x t dt c x t dt c πx (Nm) (.8) Η ενέργεια αυτή ισούται με το έργο της δύναμης τριβής που - για ένα πλήρη κύκλο ταλάντσης - είναι ίσο προς 4 μmg X. Άρα θα είναι: c πx μmg X c eq 4 4 eq μmg πx (Nsec/m) (.8) Κατά συνέπεια η σχέση (.7) θα γραφεί ς: 9 Το φαινόμενο της περιοδικής έναρξης και παύσης της κίνησης είναι γνστό στην βιβλιογραφία με το όνομα stick-slip και είναι δυνατόν να συμβαίνει πολλές φορές κατά την διάρκεια του ταλανττικού κύκλου. 3 Η ειδική λύση θα εκφράζει την ταλάντση του συστήματος μετά την «εξαφάνιση» του μεταβατικού φαινομένου που προκαλεί η λύση της ομογενούς.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 4 Aζ (, ) m X F / / ζ eq 4μmg πf A(, ζ ) (.8) και από την παραπάν σχέση θα προκύψει τελικά: Aζ (, ) 4μmg πf / (.83) Με αντικατάσταση του ζ eq στην (.73) θα προκύψει για την διαφορά φάσης: φ φ 4μmg F π ta, 4μmg F π 4μmg F π ta, 4μmg F π (.84).8. Εξαναγκασμένη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με υστερητική απόσβεση Σύμφνα με την (.53) μπορεί να θερηθεί η εξαναγκασμένη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με υστερητική απόσβεση ς ισοδύναμη εξαναγκασμένη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με ιξώδη απόσβεση. Στην περίπτση αυτή η (.65) θα γραφεί ς εξής: γk mx( t) ceqx( t) kx( t) mx( t) x( t) kx( t) Fex ( t) (N) (.85) Εάν υποτεθεί για την διέγερση η μορφή της σχέσης (.66), τότε η υποτιθέμενη μορφή για την ειδική λύση σύμφνα με την (.69) σε συνδυασμό με τις (.53) και (.85) θα δώσει τα δύο μεγέθη της μόνιμης ταλάντσης του συστήματος:

4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aζ (, ) γ (.86) και φ ta γ (ad) (.87).9. Ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας Προβλήματα και εφαρμογές Στην παρούσα ενότητα εξετάζονται κάποια σημαντικά προβλήματα ταλαντώσεν βάσει της σχετικής θερίας που αναπτύχθηκε στο παρόν αλλά και στο προηγούμενο κεφάλαιο. Επιπλέον περιγράφεται η λειτουργία βασικών οργάνν μέτρησης ταλανττικών μεγεθών. Η λειτουργία αυτή βασίζεται στην θερία ταλάντσης συστημάτν ενός βαθμού ελευθερίας. Μη γραμμική διέγερση Το πρόβλημα της αζυγοσταθμίας Πολλές φορές το πλάτος της διεγείρουσας δύναμης ή ροπής είναι μη γραμμικό ς προς την συχνότητα διέγερσης. Στις περισσότερες περιπτώσεις το πλάτος είναι συνάρτηση του τετραγώνου της έτσι ώστε η (.55) να πρέπει να γραφεί ς: F ( ) si( ) ex t A t φ (N) (.88) όπου το A έχει διαστάσεις (Nsec ) όταν η F ex (t) εκφράζει δύναμη και (Nmsec ) όταν εκφράζει ροπή. Κατά συνέπεια θα είναι ς: F A και η (.7) θα γράφεται Aζ (, ) mx A ζ / (.83) Για την σχέση (.83) μπορούν να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις: i. Όταν τότε Aζ (, ) για κάθε τιμή του ζ ii. Όταν το είναι πολύ μεγάλο τότε Aζ (, ) iii. Το Α(, ζ ) μεγαλώνει χρίς όριο όταν και ζ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 43 iv. Όταν ζ,, τότε ο συντελεστής ενίσχυσης λαμβάνει την μέγιστη τιμή όταν da(, ζ ) d δηλαδή όταν: A max ζ (.84) Στην περίπτση αυτή η μέγιστη τιμή του συντελεστή θα είναι: A max / ζ ζ (.85) v. Όταν ζ / ρυθμό όσο το αυξάνει, τότε ο συντελεστής ενίσχυσης αυξάνεται με βραδύ Η περίπτση ύπαρξης αζυγοσταθμίας σε ένα περιστρεφόμενο στοιχείο μηχανής μπορεί να θερηθεί ς ταλάντση με πλάτος διεγείρουσας δύναμης που είναι μη γραμμικό ς προς την συχνότητα διέγερσης. Στο σχήμα.6 δείχνεται το περιστρεφόμενο στοιχείο που διαθέτει σταθερή γνιακή ταχύτητα (ad/sec) και μάζα m (Kg) ανήκει δε σε μία μηχανή μάζας m (Kg) 3. Εάν θερηθεί ότι το κέντρο μάζας του στοιχείου απέχει απόσταση e (m) από το γεμετρικό κέντρο του τότε η απόσταση αυτή ονομάζεται εκκεντρότητα. m m e c k/ k/ Σχήμα.6. Περιστρεφόμενο στοιχείο που προκαλεί αζυγοσταθμία. Κατά την περιστροφή της έκκεντρης μάζας εμφανίζεται φυγόκεντρος δύναμη που είναι ίση προς me (N). Η δύναμη αυτή σε συνδυασμό με το γεγονός ότι η μηχανή μπορεί να ταλαντθεί μόνο κατακόρυφα ισοδυναμεί με διέγερση που είναι 3 Η μάζα της μηχανής περιλαμβάνει την περιστρεφόμενη μάζα του στοιχείου.

44 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ίση προς me si( ) t. Άρα η Δ.Ε. της ταλανττικής κίνησης θα είναι (βλ. σχέση (.65)): mx( t) cx( t) kx( t) me si( t β ) (N) (.86) όπου β (ad) είναι η γνία που σχηματίζεται από την ακτίνα που διέρχεται από το μετατοπισμένο Κ.Μ. του στοιχείου σε κατάσταση ηρεμίας και την οριζόντιο. Εάν τεθεί ότι η π β τότε η (.86) γράφεται ς εξής: και ο συντελεστής ενίσχυσης θα είναι: mx( t) cx( t) kx( t) me si( t η ) (N) (.87) Aζ (, ) mx me ζ / (.88) Ο εξαναγκασμός βάσης Πολλές φορές η ταλάντση μιας μηχανής οφείλεται στην ταλάντση της βάσης της. Το φαινόμενο αυτό είναι γνστό ς εξαναγκασμός βάσης και συναντάται συχνά στην πράξη. Στην παρούσα ενότητα αναλύεται μέσ ενός απλοποιημένου μοντέλου μάζας ελατηρίου αποσβεστήρα. Έστ μία μηχανή μάζας m (Kg) που εδράζεται ελαστικά σε βάση της οποίας η μάζα θερείται αμελητέα. Εάν θερηθεί ότι εκτός από την ελαστική έδραση υπάρχει και απόσβεση 3, τότε το πλήρες μοντέλο του συστήματος δίνεται στο σχήμα.7. m x(t) k c y(t) Σχήμα.7. Ο εξαναγκασμός βάσης. 3 Θερείται ότι η απόσβεση είναι ιξώδους τύπου. Εάν δεν συμβαίνει αυτό στην πράξη, τότε μπορεί να θερηθεί ότι για το συγκεκριμένο μοντέλο η απόσβεση μη ιξώδους τύπου αναπαρίσταται με ισοδύναμη ιξώδη απόσβεση (βλ. σχετικά προηγούμενες ενότητες).

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 45 Εάν υποτεθεί ότι η βάση ταλαντώνεται και η ταλάντσή της περιγράφεται με την χρονική συνάρτηση y(t) (m), τότε η ταλάντση της μάζας θα περιγράφεται από την συνάρτηση x(t) (m) και σύμφνα με τον ο νόμο του Newto θα είναι: και άρα FΚ.Μ. mx( t) k x( t) y( t) c x( t) y( t) mx( t ) (N) mx( t) cx( t) kx( t) cy( t) ky( t ) (N) (.89) Εάν υποτεθεί ότι η συνάρτηση y(t) (m) είναι αρμονική της μορφής y( t) Y si( t ) και εάν τα μέλη της (.89) διαιρεθούν με m (Kg), θα προκύψει: xt ζ x t x t ζ Y t Y t (N) (.9) ( ) ( ) ( ) cos( ) si( ) Η συνάρτηση x(t) (m) θα είναι αρμονική της μορφής x( t) X si( t φ ). Εάν η μορφή αυτή αντικατασταθεί στην (.9) θα δώσει τελικά: Aζ (, ) X ζ Y ζ / (.9) και φ ta 3 ζ 4ζ (ad) (.9) Για την σχέση (.9) μπορούν να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις: i. Όταν τότε Aζ (, ) για κάθε τιμή του ζ ii. A(, ζ ) για κάθε τιμή του ζ iii. Όταν, το Aζ (, ) είναι αντιστρόφς ανάλογο του ζ iv. Όταν, το Aζ (, ) είναι ανάλογο του ζ v. Για κάθε ζ, Aζ (, ) όταν και μόνο όταν ΑΣΚΗΣΗ 4 Η βάση της μηχανής M ταλαντώνεται με πλάτος Y= (mm) και η ίδια η μηχανή με πλάτος X= (mm) (βλ. σχήμα.7). Η κυκλική συχνότητα διέγερσης (ad/sec) είναι ίση προς τη αναπόσβεστη κυκλική συχνότητα του συστήματος. Ζητούνται:. Η απόσβεση c. Η μεταβιβαζόμενη προς τη βάση δύναμη

46 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Δεδομένα: Μάζα μηχανής m M =3 (Kg), k=4.5 4 (N/m), Η μάζα της βάσης δεν λαμβάνεται υπ όψη. ΛΥΣΗ: Προσδιορισμός της απόσβεσης c Η ταλανττική κίνηση του συστήματος βάση-μηχανή της παρούσας άσκησης περιγράφεται από την σχέση (.89). Από την σχέση (.9) μπορεί εύκολα να προσδιορισθεί η σταθερά απόσβεσης c (Nsec/m). Πράγματι: / ζ A (, ζ) ζ.83 ζ (Α.4.) Επομένς, σύμφνα με τη σχέση (.) θα προκύψει: 4 c ccζ ζ km.83 4.5 3 6 (Nsec/m) (Α.4.) Προσδιορισμός της μεταβιβαζόμενης προς τη βάση δύναμης Η μεταβιβαζόμενη προς τη βάση δύναμη θα δίνεται από την σχέση: F ( ) ( ) ( ) M B t kx t cx t (Α.4.3) Η συνάρτηση x(t) (m) θα είναι αρμονική της μορφής x( t) X si( t φ ). Σύμφνα με την (.9), θα είναι: φ ζ.83 ta ta 8.57 4ζ 4.83 (ad) (Α.4.4) Η κυκλική συχνότητα διέγερσης είναι ίση προς την αναπόσβεστη φυσική κυκλική συχνότητα και άρα: 4 k / m 4.5 / 3.47 (ad/sec) (Α.4.5) Επειδή X= (mm), από τις (Α.4.4) και (Α.4.5) θα προκύψει τελικά: x( t).si(.47 t 8.57) (m) (Α.4.6) Η (Α.4.6) σε συνδυασμό με την (Α.4.3) θα δώσει την σχέση: F t t t M 4 B( ) 4.5.si(.47 8.57) 6.47. cos(.47 8.57) 9si(.47t 8.57) 4.94 cos(.47t 8.57) ( N ) (Α.4.7) Στο σχήμα Α.4. δίνεται η γραφική παράσταση τν cy( t) ky( t ), kx( t) cx( t ). Τι παρατηρείτε;

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 47 F cx( t) kx( t) cy( t) ky( t) t Σχήμα Α.4.. Δυνάμεις αναπτυσσόμενες κατά τον εξαναγκασμό βάσης. Διέγερση πολλαπλών συχνοτήτν Ανάλυση περιοδικών συναρτήσεν κατά Fouie Πολλές φορές η συνάρτηση της διέγερσης περιλαμβάνει περισσότερες της μίας συχνότητες. Στην περίπτση αυτή η διέγερση ονομάζεται διέγερση πολλαπλών συχνοτήτν. Μια τυπική μορφή τέτοιας διέγερσης είναι η παρακάτ: F ( t) F si( t ψ ) (N) (.93) ex i i i i Βάσει της αρχής της υπέρθεσης μπορεί να προσδιορισθεί η τελική απόκριση ενός συστήματος. Τότε θα είναι: x( t) X si( t ψ φ ) (.94) i i i i i και ο συντελεστής ενίσχυσης για κάθε συνιστώσα της απόκρισης θα είναι: A (, ζ ) i mx F i i i ζi / (.95) και φ i ta ζ ζ ta i i i i (.96) Εάν η κίνηση τν ταλαντούμενν σμάτν μπορούσε να περιγράφει πάντα με αρμονικές συναρτήσεις, τότε τα πράγματα θα ήταν σχετικά εύκολα. Τις περισσότερες φορές όμς οι συναρτήσεις τν διεγέρσεν και τν αποκρίσεν είναι περιοδικές και χρειάζεται η ανάλυση τους με σειρές Fouie για την αναγγή τους σε απλές αρμονικές συναρτήσεις. Η σχετική μέθοδος αναλύεται στις παραγράφους που ακολουθούν.

Επιτάχυνση 48 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ t Σχήμα.8. Περιοδική συνάρτηση: Επιτάχυνση του εμβόλου μηχανής εστερικής καύσης. Μια περιοδική συνάρτηση f(t) (βλ. σχήμα.8) μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άπειρν αρμονικών όρν ς εξής: f( t) α / α cos( t) α cos( t)... b si( t) b si( t)... ο ο α / α cos( t) b si( t) (.97) Οι συντελεστές α και b στην παραπάν σχέση μπορούν να προσδιοριστούν από τις παρακάτ ολοκληρώσεις: π/ αo f ( t) dt f ( t) dt π T T o (.98) π/ α f ( t)cos( t) dt f ( t)cos( t) dt π T T o (.99) π/ b f ( t)si( t) dt f ( t)si( t) dt π T T o (.) Οι αρμονικές συναρτήσεις α cos( t ) και b si( ) t ονομάζονται αρμονικές της f(t) τάξης με περίοδο Τ/, όπου Τ (sec) είναι η περίοδος της f(t). Οι αντίστοιχες τιμές τν αρμονικών συντελεστών a και b μπορούν να σχεδιαστούν σε ένα διάγραμμα που είναι γνστό σαν διάγραμμα φάσματος ή διάγραμμα πεδίου συχνοτήτν (βλ. σχήματα.9 και.). Στα διαγράμματα αυτά επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται οι τιμές τν συντελεστών ή οι RMS-τιμές τους 33. 33 Ένα μέγεθος με σχετικά μικρή όμς πρακτική σημασία που καθορίζει την ταλάντση είναι η απόλυτη μέση τιμή που ορίζεται ς:

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 49 Εάν η συνάρτηση f(t) είναι αρκετά πολύπλοκη και η αναλυτική της έκφραση δεν είναι γνστή, τότε οι σχέσεις (.98)-(.) δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Στην περίπτση αυτή μπορεί κανείς να εργασθεί εναλλακτικά χρίζοντας το χρονικό διάστημα μίας περιόδου (στον άξονα του χρόνου) σε N ίσα διαστήματα 34 και παίρνοντας κατόπιν τις τιμές της συνάρτησης f(t) για κάθε χρονικό σημείο. Με τον τρόπο αυτό θα προκύψουν N ζεύγη τιμών (t i,f i ), i=,,,n, οπότε οι αρμονικοί συντελεστές θα δίνονται από τις παρακάτ σχέσεις: α 3 Συχνότητα b 3 Συχνότητα Σχήμα.9.Διάγραμμα φάσματος. AAveage T x t dt T Η RMS-τιμή λαμβάνει υπόψη την «ιστορία» της ταλάντσης για ένα χρονικό διάστημα ίσο προς μία περίοδο. Η τιμή αυτή προσδιορίζεται ς: T ARMS f t dt T Ο κύριος λόγος για την σπουδαιότητα της αντέρ τιμής σαν περιγραφικής παραμέτρου της ταλάντσης είναι η απλή σχέση που έχει με την ενέργεια. Η σχέση μεταξύ του πλάτους ταλάντσης, της απόλυτης μέσης τιμής και της RMS-τιμής είναι η εξής: π ARMS AAveage A 34 Το πλήθος τν ίσν διαστημάτν στα οποία χρίζεται η περίοδος καθορίζει με αναλογικό τρόπο την ακρίβεια προσέγγισης της αρχικής περιοδικής συνάρτησης.

5 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ α o N N i f i (.) α N πti ficos N T i (.) b N πti fisi N T i (.3) t 3 Συχνότητα t 3 Συχνότητα t 3 4 Συχνότητα Σχήμα.. Περιοδικές συναρτήσεις και διαγράμματα πεδίν συχνοτήτν. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να γίνει αρμονική ανάλυση της συνάρτησης του σχήματος Α.5.. Κατόπιν, να σχεδιάσετε τα διαγράμματα φασμάτν. ΛΥΣΗ: Από το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι: t x() t X (Α.5.) T

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 5 Επειδή η συνάρτηση του σχήματος είναι περιοδική, μπορεί να αναλυθεί σε αρμονικούς όρους κατά Fouie. Επομένς θα πρέπει να προσδιορισθούν οι όροι που δίνονται από τις σχέσεις (.98) (.). Έτσι θα είναι: x(t) πb X 3 T T 3T t -πb α. Η περιοδική συνάρτηση. β. Το διάγραμμα φάσματος συχνοτήτν. Σχήμα Α.5.. Περιοδική συνάρτηση και διάγραμμα φάσματος συχνοτήτν T t αo x t dt X dt... X T T T T (A.5.) T T T X X ( )cos( ) cos( ) cos( )...,,,3,... α x t t dt t t dt t dt T T T (A.5.3) T T T X X X ( )si( ) si( ) si( )...,,,3,... π b x t t dt t t dt t dt T T T (A.5.4) Επομένς η αρχική περιοδική συνάρτηση x(t) μπορεί να γραφεί ς εξής: X X X X π xt ( ) si( t) si( t)... si t si t si 3 t... (Α.5.5) π π π 3 και ο γενικός όρος του αθροίσματος στα άγκιστρα θα είναι si( it), i,,.... i Το διάγραμμα φάσματος συχνοτήτν σύμφνα με τις (Α.5.3) και (Α.5.4) - μπορεί να σχεδιασθεί μόνο για τους αρμονικούς συντελεστές τν ημίτονν και δίνεται στο σχήμα Α.5..β. Πρόταση για παραπέρα εργασία: Να γίνει αρμονική ανάλυση τν περιοδικών συναρτήσεν της ης και της 3 ης γραμμής του σχήματος.. Τι παρατηρείτε; Να σχεδιάσετε για την 3 η συνάρτηση

5 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ τα διαγράμματα φάσματος συχνοτήτν καθώς και τους πέντε (5) πρώτους αρμονικούς όρους ημίτονου και συνημίτονου. Όργανα μέτρησης ταλαντώσεν Με τα όργανα αυτά μπορούν να μετρηθούν μία ή περισσότερες παράμετροι (μετατόπιση, ταχύτητα ή επιτάχυνση) της ταλάντσης ενός σώματος. Η λειτουργία τους βασίζεται στην μετατροπή της κίνησης σε ηλεκτρική τάση και λόγ αυτού πολλές φορές τα όργανα αυτά ονομάζονται και μετατροπείς (tasduces). Στο σχήμα..α δείχνεται με σχηματικό τρόπο ένας μετατροπέας που διαθέτει πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο. Η αρχή λειτουργίας του είναι η εξής: Προφορτισμένο ελατήριο Περίβλημα Σεισμική μάζα m Πιεζοηλεκτρικός Τάση κρύσταλλος k c x(t) Ταλαντούμενο σώμα y(t) Ταλαντούμενο σώμα α. Η δομή και η λειτουργία. β. Το ταλανττικό μοντέλο. Σχήμα.. Όργανο μέτρησης ταλαντώσεν. Η σεισμική μάζα βρίσκεται σε επαφή με τον πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο πιεζόμενη από ένα προφορτισμένο ελατήριο ενώ το περίβλημα του οργάνου είναι ακλόνητα τοποθετημένο πάν στο ταλαντούμενο σώμα 35. Καθώς το σώμα ταλαντώνεται η σεισμική μάζα κινείται σχετικά με το περίβλημα του οργάνου και κατά συνέπεια προκαλεί αναλογική σχετική παραμόρφση του πιεζοηλεκτρικού κρυστάλλου η οποία μεταφράζεται σε μεταβολή της ηλεκτρικής τάσης η οποία ενισχυόμενη μπορεί να αποτελέσει ένδειξη. Στο σχήμα..β φαίνεται το ταλανττικό μοντέλο του μετατροπέα. Η μάζα m στηρίζεται με ελατήριο 36 ισοδύναμης σταθεράς k (N/m) και αποσβεστήρα 37 ισοδύναμης σταθεράς ιξώδους απόσβεσης c (Nsec/m). Όταν το σώμα μετατοπίζεται κατά y(t) (m), το κέντρο της μάζας μετατοπίζεται σχετικά κατά 35 Οι κοχλίες του σχήματος συμβολίζουν την σταθερή τοποθέτηση αλλά δεν είναι οπσδήποτε απαραίτητοι. Οι μετατροπείς μπορεί να σταθεροποιηθούν στις επιφάνειες τν ταλαντούμενν σμάτν με ειδικές κόλλες χρίς να είναι απαραίτητη η χρήση επιπρόσθετν συνδετικών στοιχείν. 36 Το ελατήριο αυτό συμβολίζει το προφορτισμένο ελατήριο του οργάνου (βλ. σχήμα..α). 37 Ο αποσβεστήρας αυτός συμβολίζει την απόσβεση υλικού του πιεζοηλεκτρικού κρυστάλλου.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 53 z( t) x( t) y( t ) (m), όπου x(t) (m) είναι η μετατόπιση της μάζας. Το μέγεθος που θα πρέπει να μετρηθεί είναι το y(t) (m) αλλά ουσιαστικά το όργανο μετράει την σχετική μετατόπιση της σεισμικής μάζας zt (). Εάν υποτεθεί ότι y( t) Y si( t ) και z( t) Z si( t φ) τότε θα είναι: Z Y ζ (m) και φ ta ζ (ad) (.4) Όταν 3 τότε Z Y που σημαίνει ότι στην περίπτση αυτή ο μετατροπέας μετρά το πλάτος ταλάντσης του σώματος αλλά σύμφνα με την δεύτερη από τις (.4) βρίσκεται σε διαφορά φάσης π ς προς την απόκρισή του. Σεισμόμετρα (ή σεισμικοί μετατροπείς) ονομάζονται οι μετατροπείς που απαιτούν μεγάλες τιμές του για να δώσουν κατευθείαν το πλάτος ταλάντσης του σώματος. Για να επιτύχει κανείς όμς αυτό το συνδυασμό χρειάζεται να κατασκευάσει μια ογκώδη συσκευή με μεγάλη σεισμική μάζα και "μαλακά" ελατήρια ώστε να κρατήσει χαμηλή τη φυσική της συχνότητα. Το γεγονός αυτό καθιστά τα σεισμόμετρα δύσχρηστα και μη πρακτικά για τις περισσότερες εφαρμογές. Η επιτάχυνση του ταλαντούμενου σώματος δίνεται από την σχέση: ζ ( ) si( ) si( ) yt Y t Z t (m/sec ) (.5) που μπορεί να γραφεί ς: yt () z t ζ φ π (m/sec ) (.6) Όταν το είναι μικρό τότε γραφεί: ζ. Κατά συνέπεια η (.6) θα yt () z t φ π (m/sec ) (.7) και επειδή cost., τότε η επιτάχυνση του σώματος είναι ανάλογη της σχετικής μετατόπισης της μάζας με κάποια διαφορά φάσης (βλ. σχέση.6). Τα όργανα που λειτουργούν βασιζόμενα στην σχέση (.7) ονομάζονται επιταχυνσιόμετρα. Εάν ολοκληρθεί η μέτρηση ενός τέτοιου οργάνου, προκύπτει η

54 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ταχύτητα και με δεύτερη ολοκλήρση η μετατόπιση. Συνήθς για τα επιταχυνσιόμετρα ισχύει ότι.7 ζ και.6.η σεισμική μάζα είναι μικρή και το ελατήριο "σκληρό", γεγονός που σημαίνει μικρή μάζα του οργάνου. Λόγ του γεγονότος αυτού, τα επιταχυνσιόμετρα προτιμούνται σαν όργανα μέτρησης ταλαντώσεν.