Μάθημα 4: Πρόβλεψη χρονοσειρών Απλές τεχνικές πρόβλεψης Πρόβλεψη στάσιμων χρονοσειρών με γραμμικά μοντέλα Πρόβλεψη μη-στάσιμων χρονοσειρών Ασκήσεις

Μάθημα 4: Πρόβλεψη χρονοσειρών Απλές τεχνικές πρόβλεψης Πρόβλεψη στάσιμων χρονοσειρών με γραμμικά μοντέλα Πρόβλεψη μη-στάσιμων χρονοσειρών Ασκήσεις

Πρόβλεψη Χρονοσειρών Μοντέλα για χρονικές σειρές AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA πρόβλεψη Πολλές εφαρμογές Δείκτης και όγκος συναλλαγών Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών ΧΑΑ

Θα μπορούσαμε να προβλέψουμε τους δύο δείκτες για το Μάιο έστω τις πρώτες μέρες του μήνα γνωρίζοντας τα δεδομένα ως και το τέλος Απριλίου?

Gral Id of Comsumr Prics Γενικός δείκτης τιμών καταναλωτή GICP Gral Id of Comsumr Prics, riod Ja - Aug 5 5 5 5 3 4 5 6 yars Πως θα μεταβληθεί δείκτης GICP τους επόμενους μήνες?

Πρόβλημα πρόβλεψης Γνωρίζουμε τη χρονική σειρά,,, Θέλουμε να εκτιμήσουμε το + Πρόβλεψη Σφάλμα πρόβλεψης: Στοχαστική διαδικασία { X } πρόβλεψη X είναι η εκτίμηση του στοιχείου X + της { X } Βέλτιστη πρόβλεψη : X E[ X X, X, ] Ιδιότητες καλής πρόβλεψης: η αμεροληψία ubiasdss : E[ X ] X η αποτελεσματικότητα fficicy, δηλαδή μικρή διασπορά σφάλματος Var[ ] Var[ X X ] Συνδυασμός αμεροληψίας και αποτελεσματικότητας ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος πρόβλεψης X X E

Αξιολόγηση απόδοσης μοντέλου πρόβλεψης: Γνωρίζουμε,,, μοντέλο πρόβλεψης σύνολο εκμάθησης larig /raiig s γνωρίζουμε επίσης {,,, } l σύνολο αξιολόγησης s / validaio s Σφάλματα πρόβλεψης χρονικά βήματα μπροστά Στατιστικά μέτρα σφάλματος,,, l,,, l Ρίζα μέσου τετραγωνικού σφάλματος roo ma suar rror, rms l l ms l l l l rms l l,,, l Εκτίμηση μέσου τετραγωνικού σφάλματος ma suar rror, ms Κανονικοποίηση του rms ormalid roo ma rms suar rror, rms l l l l rms πολύ καλή πρόβλεψη rms πρόβλεψη ισοδύναμη με μέση τιμή

Προβλέψεις: Πρόβλεψη πολλών βημάτων μπροστά για μια χρονική στιγμή Δίνεται,,,, προβλέπουμε,,, Δίνεται,,,,, ενός μοντέλου πρόβλεψης. Πρόβλεψη για κάποιο βήμα μπροστά για πολλές χρονικές στιγμές, l, θέλουμε να μετρήσουμε την απόδοση. Εκτιμούμε τις παραμέτρους του μοντέλου από τα,,,. Κάνουμε τις προβλέψεις για κάποιο βήμα,,, l 3. Υπολογίζουμε κάποιο στατιστικό μέτρο των σφαλμάτων πρόβλεψης l l rms l l όρια πρόβλεψης c Var / c / / ~ N,

Απλές τεχνικές πρόβλεψης Αιτιοκρατική τάση Λευκός θόρυβος ~ WN, Πρόβλεψη: Τάση, συνάρτηση του χρόνου E,,, Λύση: επέκταση της συνάρτησης μ για χρόνους > Σφάλμα πρόβλεψης: μ =? m γνωστό απλή αντικατάσταση καθολικά προσαρμογή σε, άγνωστο εκτίμηση,, π.χ. με πολυώνυμο τοπικά προσαρμογή στις m τελευταίες m c c c παρατηρήσεις m, m,, m

Δείκτης και όγκος ΧΑΑ, πρόβλεψη με επέκταση τάσεων εκτίμηση με πολυώνυμα

yar cycl of GICP drdd ad dsasod GICP Gral Id of Comsumr Prics drdd GICP Αιτιοκρατικός εποχικός όρος s Αιτιοκρατικός εποχικός όρος και αιτιοκρατική τάση Ίδια προσέγγιση: εκτίμηση του αιτιοκρατικού μέρους Gral Id of Comsumr Prics, riod Ja - Aug 5 5 5 { } 56 s s GICP, Ιανουάριος Αύγουστος 5 3.9 +.3 Gral Id of Comsumr Prics, liar rd is subracd 3 5 - - -3 3 4 5 6 yars 4 3 s Gral Id of Comsumr Prics, yar cycl s -4 3 4 5 6 yars Gral Id of Comsumr Prics, rd ad riod com. subracd 4 3 s s - - -3-4 3 4 5 6 yars Πρόβλεψη Σεπτεμβρίου 5 57 3.9 +.3*57.7 s9.6.86 56 - - -3-4 3 4 5 6 yars

c c c c c Εκθετική ομαλοποίηση Εκτίμηση του + ως σταθμισμένο άθροισμα των προηγούμενων παρατηρήσεων c c c Επιθυμητή συνθήκη για τα βάρη:,,,,, c Ορισμός βαρών με μια παράμετρο : Αναδρομική σχέση :

Πρόβλεψη με εκθετική ομαλοποίηση: Παραδείγματα Δείκτης και όγκος ΧΑΑ Πρόβλεψη με χρονικό βήμα για όλες τις μέρες του Μαΐου Σύγκριση της απόδοσης του μοντέλου εκθετικής ομαλοποίησης για διάφορα Μεγάλο βάρος στις πολύ πρόσφατες παρατηρήσεις δίνει την καλύτερη πρόβλεψη

Πρόβλεψη στάσιμων χρονοσειρών με γραμμικά μοντέλα Προβλέψεις με AR, MA και ARMA Πρόβλεψη με αυτοπαλινδρομούμενα μοντέλα AR Δίνεται η χρονική σειρά,,, AR μοντέλο Λευκός θόρυβος ~ WN, Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Σφάλμα πρόβλεψης : Var Σφάλμα πρόβλεψης : Var Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Σφάλμα πρόβλεψης : Var

Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα :,,, Δίνεται η χρονική σειρά Σφάλμα πρόβλεψης : Var Σφάλμα πρόβλεψης : Var AR μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : παρατήρηση πρόβλεψη όπου Σφάλμα πρόβλεψης : b Var b

Δείκτης ΧΑΑ, πρόβλεψη για Μάιο, 3.4.,,, AR AR6 AR.9995.535.53 -.6 -.3.944.96 -.655 -.663.3.35.94 -.3 -.58.9 -.75.458 -.3

Δείκτης ΧΑΑ, ημερήσιες προβλέψεις για Μάιο,.5. 3.5.

Όγκος ΧΑΑ, πρόβλεψη για Μάιο, 3.4.,,, AR AR6 AR.997.34.35.9.955.557.38.369.38.773.455.58.9.35.68.49.4.57

Όγκος ΧΑΑ, ημερήσιες προβλέψεις για Μάιο,.5. 3.5.

Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ AIC r Οι τιμές είναι τετραμηνιαίες, από το δεύτερο τετράμηνο του 947 ως το πρώτο τετράμηνο του 99 =76.4 Ra growh of GNP of USA.5 Auocorrlaio of ra growh.3.. -. -. -.3 5 5.4.3.. -. -. 5 5.5 Parial Auocorrlaio for Ra Growh -9.5 AIC for Ra Growh.4-9.6.3-9.7. -9.8,. -9.9-9. -. -9. -. -9. 4 6 8-9.3 4 6 8

Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ AR3 ˆ.77 ˆ.35 ˆ.8 ˆ 3.4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.47 3 3 3.47.35.8.4 3.4.3.., 7,,,6 Prdicio of ra growh wih AR s ˆ.98 -. -. -.3 64 66 68 7 7 74 76 AR.47.38 s ˆ.99.4.3.. -. Prdicio of ra growh wih AR3 -. -.3 64 66 68 7 7 74 76

Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ rms rms Απόδοση πρόβλεψης βημάτων AR, =,,, 6 76, 46 76. rms o h las 5 daa. rms o h las 3 daa = =.9.8 = =.9.8.7 4 6 8.7 4 6 8

~ WN, E,, αν αν MA μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Σφάλμα πρόβλεψης : Var Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Var Σφάλμα πρόβλεψης : Var Γενικά για βήμα πρόβλεψης : για για για για

Σφάλμα πρόβλεψης : Var Σφάλμα πρόβλεψης : Var Σφάλμα πρόβλεψης : Var MA μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : αν αν

Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ rms Οι τιμές είναι τετραμηνιαίες, από το δεύτερο τετράμηνο του 947 ως το πρώτο τετράμηνο του 99 =76 ΜΑ.77.4.4 s ˆ.9, 7,,,6, 46 76.4.3. Prdicio of ra growh wih MA. rms wih MA o h las 3 daa = =. -. -..9.8 -.3 64 66 68 7 7 74 76.7 4 6 8

ARMA, μοντέλο Βέλτιστη πρόβλεψη για βήμα : Σφάλμα πρόβλεψης : Var αν αν Γενικά για βήμα πρόβλεψης : Πρόβλεψη με ARMA: σύνθεση των προβλέψεων με AR και MA

Ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ rms ARMA3,.34.5.9..33.3 s 3 ˆ.5, 7,,,6, 46 76.4.3 Prdicio of ra growh wih ARMA3,. rms wih ARMA, o h las 3 daa = =.. -. -..9.8 -.3 64 66 68 7 7 74 76.7 4 6 8

Πρόβλεψη μη-στάσιμων χρονοσειρών Μη-στάσιμη χρονική σειρά y, y,, y Βήματα πρόβλεψης:. μετασχηματισμός σε στάσιμη y, y,, y y. πρόβλεψη του + με κάποιο μοντέλο 3. αντίστροφος μετασχηματισμός για την πρόβλεψη,,, 3 Κλασικό μοντέλο για το y : y s Πρόβλεψη του y + : y s. Εκτίμηση των μ και s ως συναρτήσεις του χρόνου y s. : πρόβλεψη τύπου ARMA του + 3. y s Απαλοιφή των μ και s χρησιμοποιώντας διαφορές πρόβλεψη με μοντέλα ARIMA

ARIMA,, Βήματα πρόβλεψης του y :. μετασχηματισμός: y y. πρόβλεψη του + με ARMA, 3. αντίστροφος μετασχηματισμός: y, y,, y,, 3 y y y στάσιμη Σφάλμα πρόβλεψης : ~ σφάλμα πρόβλεψης του Γενικά για βήμα πρόβλεψης : y y γνωστό από την πρόβλεψη του y +- ARMA, πρόβλεψη του + Παρόμοια διαδικασία πρόβλεψης για ARIMA,d,

clos id rurs r clos id r Γενικός δείκτης Χρηματιστηρίου Αθηνών Περίοδος Ιανουάριος Σεπτέμβριος 5 35 ASE Gral Id, Ja - S 5 Auocorrlaio of ASE Gral Id 3.8 5.6.4 5. 3 4 5 6 yars Απόδοση.5.4.3.. y y y Rurs of ASE Gral Id 3 4 5..5..5 Auocorrlaio of rurs of ASE Gral Id -. -. -.3 -.4 3 4 5 6 yars -.5 -. -.5 -. 5 5

rurs of id clos id AIC Γενικός δείκτης Χρηματιστηρίου Αθηνών Περίοδος Ιανουάριος Σεπτέμβριος 5 Τάξη AR μοντέλου y y Parial auocorrlaio of rurs of gral id AIC of rurs of gral id. y -9.5.5-9.. -9.5.5, -9. -.5 -. -.5-9.5-9.3.5..5 -.5 -. -. 5 5-9.35 5 5 Πρόβλεψη πολλών βημάτων με αφετηρία.9.5 αποδόσεις γενικού δείκτη γενικός δείκτης y of id rur, =.9.5 rur of id y T, AR7 -.5 8 5 9 6 days y y y y Πρόβλεψη y y y y 345 34 335 33 35 of gral id, =.9.5 gral id T, AR7 3 8 5 9 6 days

clos id Γενικός δείκτης Χρηματιστηρίου Αθηνών Περίοδος Ιανουάριος Σεπτέμβριος 5 rms Πρόβλεψη ενός βήματος την περίοδο.9.5..5 Εκτίμηση του σφάλματος πρόβλεψης με ΑR μοντέλα για την περίοδο.9.5..5 345 34 of gral id =.9.5 o..5.5 rms of AR for gral id,.9.5-..5 = = =5 335 33 gral id AR AR7 35 3 8 5 9 6 days.5 5 5