ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 2271035468
Παραλλαγές της Μ/Μ/1
Παραλλαγές της Μ/Μ/1 Για την πώληση των εισιτηρίων μιας συναυλίας έχει τοποθετηθεί 1 υπαίθρο κιόσκι. Οι ενδιαφερόμενοι που φτάνουν στον χώρο πώλησης σύμφωνα με μια διαδικασία Poisso ρυθμού λ μπαίνουν σε μια σειρά και όταν αδειάζει το κιόσκι ο πρώτος από την σειρά πάει σε αυτό για να εξυπηρετηθεί. Ο χρόνος εξυπηρέτησης κάθε ενδιαφερόμενου είναι εκθετικός παραμέτρου μ. Θεωρητικά ο χώρος στον οποίον έχει στηθεί το κιόσκι έχει απεριόριστη χωρητικότητα. Επειδή η συναυλία γίνεται τον Αύγουστο και η ζέστη είναι έντονη, δεν έχουν όλοι οι ενδιαφερόμενοι την υπομονή να περιμένουν για να αγοράσουν εισιτήριο. Έτσι αν κάποιος βρει μπροστά του (στο κιόσκι και στην σειρά) άλλους ενδιαφερόμενους κατά την άφιξη απογοητεύεται και φεύγει με πιθανότητα q = /(+1), διαφορετικά μένει και περιμένει στην ουρά με πιθανότητα 1- q. Περιγράψτε το σύστημα σαν ένα σύστημα αναμονής και δώστε το αντίστοιχο διάγραμμα καταστάσεων. Να βρεθεί η στάσιμη κατανομή του αριθμού των ενδιαφερομένων που δεν έχουν εισιτήριο στον συναυλιακό χώρο Να βρεθεί ο μέσος αριθμός ενδιαφερομένων που δεν έχουν εισιτήριο στον συναυλιακό χώρο Να βρεθεί ο ρυθμός άφιξης των ενδιαφερομένων που μένουν τελικά για να αγοράσουν εισιτήριο. Να βρεθεί μέσος χρόνος αναμονής ενός ενδιαφερόμενου μέχρι να αγοράσει το εισιτήριο.
με αποθαρρυνόμενους πελάτες Ορισμένοι πελάτες αποθαρρύνονται από την ύπαρξη μεγάλου μήκους ουράς και αποχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν Ας θεωρήσουμε την περίπτωση όπου κάθε πελάτης που βρίσκει άλλους πελάτες στο σύστημα αναχωρεί με πιθανότητα q 1 Σε αυτήν την περίπτωση ο πραγματικός ρυθμός αφίξεων για το σύστημα, δηλαδή ο ρυθμός αφίξεων των πελατών που αποφασίζουν να παραμείνουν και επομένως μεταβάλλουν την κατάσταση του συστήματος είναι: 1 q 1
με αποθαρρυνόμενους πελάτες Επομένως η σ.δ. που εκφράζει την κατάσταση του συστήματος, δηλαδή τον αριθμό των πελατών στο σύστημα την χρ. στιγμή t {Ν(t) : t 0} είναι μια διαδικασία γεννήσεων θανάτων με ρυθμούς 1 & και διάγραμμα μεταβάσεων: λ λ / 2 λ / λ / (+1) 0 1 2... -1 +1... μ μ μ μ
με αποθαρρυνόμενους πελάτες Γνωρίζουμε ότι: Η μοναδική οριακή κατανομή lim t t E υπάρχει αν και μόνο αν B 1 E 0 1 1 2 2 3 1 και τότε έχει την μορφή 012 B 1 2 3 1 E \{0}
με αποθαρρυνόμενους πελάτες Για το σύστημα αναμονής που μελετάμε ( ) B 1 e e άρα υπάρχει η στάσιμη κατανομή πιθανοτήτων για οποιαδήποτε λ και μ. Επομένως η στάσιμη πιθανότητα για την κατάσταση E δίνεται από την σχέση: ( ) e! E είναι δηλαδή μια κατανομή Poisso με παράμετρο ρ
με αποθαρρυνόμενους πελάτες Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα Η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα στην κατάσταση σημαίνει ότι σε αυτήν την κατάσταση ο αριθμός ων πελατών στο σύστημα είναι. Και επειδή η πιθανότητα κατάστασης ακολουθεί την κατανομή Poisso παραμέτρου ρ, ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα θα είναι η μέση τιμή της Poisso παραμέτρου ρ, η οποία είναι ρ. Άρα L
με αποθαρρυνόμενους πελάτες Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα Από το νόμο του Little: L * W W Ο ρυθμός αφίξεων όμως πρέπει να είναι ο πραγματικός ρυθμός αφίξεων των πελατών που εξυπηρετούνται (μένουν δηλαδή στο σύστημα). Επειδή όμως ο ρυθμός αφίξεων δεν είναι σταθερός αλλά μεταβάλλεται ανάλογα με τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (αποθαρρυνόμενοι πελάτες), θα πρέπει να υπολογίσουμε την μέση τιμή του: ( ) * L * 1e
με αποθαρρυνόμενους πελάτες Επομένως ( ) W 2 1 e Μέσος χρόνος παραμονής στην ουρά ( ) W q W 1 Μέσος αριθμός πελατών στην ουρά ( ) * Lq Wq 1 e
με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης Στις περισσότερες ουρές αναμονής υποθέτουμε ότι η εξυπηρέτηση γίνεται με σταθερή ταχύτητα, η οποία θεωρείται ίση με την μονάδα. Έτσι ο υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης κάθε πελάτη που εξυπηρετείται μειώνεται στην μονάδα του χρόνου ακριβώς κατά μια μονάδα. Στην ουρά Μ/Μ/1, μπορούμε αντί να θεωρήσουμε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης έχει την εκθετική κατανομή (μ), ισοδύναμα να υποθέτουμε ότι αυτός έχει την εκθετική κατανομή (1), αλλά συγχρόνως ότι η ταχύτητα εξυπηρέτησης είναι μ και όχι μονάδα. Αυτή η παρατήρηση μας επιτρέπει να γενικεύσουμε την Μ/Μ/1, υποθέτοντας ότι η ταχύτητα με την οποία ο εξυπηρετητής εργάζεται δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα κάθε φορά.
με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης Μια τέτοια γενίκευση είναι και η περίπτωση που θεωρούμε ότι η ταχύτητα εξυπηρέτησης είναι ανάλογη με το μήκος της ουράς. Τότε η σ.δ. {Ν(t) : t 0} είναι μια διαδικασία γεννήσεων θανάτων με ρυθμούς και διάγραμμα μεταβάσεων: & E λ λ λ λ 0 1 2... -1 +1... μ 2μ μ (+1)μ
με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης Η μοναδική οριακή κατανομή lim t t E υπάρχει αν και μόνο αν B 1 E 0 1 1 2 2 3 1 ( ) B 1 e e??? και τότε έχει την μορφή 012 B 1 2 3 1 E e! E είναι δηλαδή μια κατανομή Poisso με παράμετρο ρ
με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα Η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα στην κατάσταση σημαίνει ότι σε αυτήν την κατάσταση ο αριθμός ων πελατών στο σύστημα είναι. Και επειδή η πιθανότητα κατάστασης ακολουθεί την κατανομή Poisso παραμέτρου ρ, ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα θα είναι η μέση τιμή της Poisso παραμέτρου ρ, η οποία είναι ρ. Άρα Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα Από το νόμο του Little: L W W L L 1 W 1
με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης Μέσος αριθμός πελατών στην ουρά L E[ Nq] q L ( ) L q 1 0 Μέσος χρόνος παραμονής στην ουρά Από το νόμο του Little: L q Lq L 1 0 Wq Wq W q W 1 0
Παραλλαγές της Μ/Μ/1 Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ 1 Για την πώληση των εισιτηρίων μιας συναυλίας έχει τοποθετηθεί 1 υπαίθρο κιόσκι. Οι ενδιαφερόμενοι που φτάνουν στον χώρο πώλησης σύμφωνα με μια διαδικασία Poisso ρυθμού 15h -1 μπαίνουν σε μια σειρά και όταν αδειάζει το κιόσκι ο πρώτος από την σειρά πάει σε αυτό για να εξυπηρετηθεί. Ο χρόνος εξυπηρέτησης κάθε ενδιαφερόμενου είναι εκθετικός παραμέτρου 20 h -1. Θεωρητικά ο χώρος στον οποίον έχει στηθεί το κιόσκι έχει απεριόριστη χωρητικότητα. Επειδή η συναυλία γίνεται τον Αύγουστο και η ζέστη είναι έντονη, δεν έχουν όλοι οι ενδιαφερόμενοι την υπομονή να περιμένουν για να αγοράσουν εισιτήριο. Έτσι αν κάποιος βρει μπροστά του (στο κιόσκι και στην σειρά) άλλους ενδιαφερόμενους κατά την άφιξη απογοητεύεται και φεύγει με πιθανότητα q = /+1, διαφορετικά μένει και περιμένει στην ουρά με πιθανότητα 1- q. i. Περιγράψτε το σύστημα σαν ένα σύστημα αναμονής και δώστε το αντίστοιχο διάγραμμα ii. καταστάσεων. Να βρεθεί η στάσιμη κατανομή του αριθμού των ενδιαφερομένων που δεν έχουν εισιτήριο στον συναυλιακό χώρο iii. Να βρεθεί ο μέσος αριθμός ενδιαφερομένων που δεν έχουν εισιτήριο στον συναυλιακό χώρο iv. Να βρεθεί ο ρυθμός άφιξης των ενδιαφερομένων που μένουν τελικά για να αγοράσουν εισιτήριο. v. Να βρεθεί μέσος χρόνος αναμονής ενός ενδιαφερόμενου μέχρι να αγοράσει το εισιτήριο.
Παραλλαγές της Μ/Μ/1 Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ 2 Σε μια Μ/Μ/1 ουρά ο εξυπηρετητής εξυπηρετεί με διπλάσια ταχύτητα όταν ο αριθμός πελατών στο σύστημα υπερβεί τους k πελάτες. Βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστοιχη οριακή κατανομή. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε μια Μ/Μ/1 ουρά ο χρόνος υπομονής κάθε πελάτη έχει την εκθετική κατανομή με παράμετρο ν και μόλις αυτός συμπληρωθεί, ο πελάτης αναχωρεί αν βρίσκεται ακόμα στον χώρο αναμονής. i. Βρείτε το αντίστοιχο διάγραμμα ρυθμών μετάβασης ii. Για ν = μ βρείτε την οριακή κατανομή του μέσου αριθμού πελατών στο σύστημα.
Οι πελάτες εξυπηρετούνται από τον εξυπηρετητή μεμονωμένα, ενώ οι διαδοχικοί χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες τ.μ. που ακολουθούν εκθετική κατανομή (μ) και είναι ανεξάρτητες από την διαδικασία αφίξεων. ΟΥΡΑ Μ / Μ / 1 με ομαδικές αφίξεις Θεωρούμε μια γενίκευση της Μ/Μ/1 όπου οι πελάτες καταφθάνουν στο σύστημα όχι κατ ανάγκη μεμονωμένα, αλλά γενικά σε ομάδες μεταβλητού μεγέθους Ομάδες πελατών (π.χ. οικογένειες) φτάνουν στο σύστημα, το οποίο διαθέτει 1 εξυπηρετητή και άπειρη χωρητικότητα σύμφωνα με μία διαδικασία Poisso παραμέτρου λ. Τα μεγέθη (ο αριθμός των μελών) Υ 1, Υ 2, των διαδοχικών ομάδων είναι ανεξάρτητες ισόνομες τ.μ. με συνάρτηση πιθανότητας (g,in), με πεπερασμένη μέση τιμή m, ανεξάρτητες από τους χρόνους αφίξεων.
με ομαδικές αφίξεις g = Pr (μία ομάδα που καταφτάνει στο σύστημα έχει μέγεθος ) Q(t): ο αριθμός των πελατών στο σύστημα(μαρκοβιανή Διαδικασία) Κατάσταση 0 για 1 Επόμενη κατάσταση k k1 + k k1 Χρόνος Exp(λg k ) Exp(λg k ) -1 Exp(μ)
με ομαδικές αφίξεις λg λg 3 λg -2 λg 2 λg 2 λg -3 λg 1 λg 1 λg 1 λg 1 0 1 2 3... μ μ μ μ Εξισώσεις ισορροπίας 0 1 1 1 k k k 0 g 1
με ομαδικές εξυπηρετήσεις Θεωρούμε μια γενίκευση της Μ/Μ/1 όπου οι πελάτες εξυπηρετούνται σε ομάδες σταθερού μεγέθους Συγκεκριμένα ο 1 εξυπηρετητής επιλέγει r (r > 1) πελάτες από τον χώρο αναμονής και τους εξυπηρετεί ταυτόχρονα, σε χρόνο που ακολουθεί την εκθετική κατανομή παραμέτρου μ Στην περίπτωση όπου στο σύστημα υπάρχουν λιγότεροι από r πελάτες, ο εξυπηρετητής περιμένει έως ότου συμπληρωθεί ο αριθμός r. λ λ λ λ λ 0 1 2... r-1 r r+1... μ μ
με ομαδικές εξυπηρετήσεις Κατάσταση 0 r r Επόμενη κατάσταση Χρόνος +1 Exp(λ) + 1 -r Exp(λ) Exp(μ) Εξισώσεις ισορροπίας 0 r 1 r 1 r 1 r 1 1