atias Uiesitāte Fizikas u ateātikas fakultāte Fizikas odaļa ekciu kospekts kusa ispāīgaā fizikā lektoagētiss As pof Adis Muižieks Nofoēus u gafika: Adis Muižieks, Kaspas ācis Rīga, 3 Aotācia Šaā kospektā tie autāuie, kas tiek aplūkoti kusa lektoagētiss lekciās, tiek dots lekcias faktoloģiskais ateiāls (zīēui, foulas uc fakti), kas studeta i obligāti āzia Mateiāla izpatei u paeizai itepetāciai āapeklē lekcias u āstudē ācību gāatas Tie eksāea (pogaas) autāui, kas etiek aplūkoti lekciās u a šaā kospektā, i āapgūst patstāīgi
atus lektostatika4 Kuloa likus4 lektiskais lauks 5 3 Gausa teoēa (GT) akuuā 6 4 Gausa teoēas pielietošaas pieēi7 Dabs, poteciāla eeģia u poteciāls elektiskaā laukā9 Dabs elektiskaā laukā 9 Poteciālā eeģia 9 3 Poteciāls, poteciālu stapība eb spiegus 3 Vadītāi elektiskaā laukā 3 ādiņa izietošaās, lauka itesitāte u poteciāls adītāā 4 īdzstāa 4 4 lektiskā stāa4 4 Oa likus ķēdes posa5 43 Oa likus difeeciālā foā 6 44 tāas dabs u auda Džoula eca likus 7 45 lektodziēspēks (D)8 46 ādiņu atdalīšaa stāas aotos8 47 tāas aota lietdeības koeficiets 9 48 Oa likus ķēdes posa, kuā i elektodziēspēks 49 azaotas ķēdes, Kihofa likui 5 Magētiskie spēki u elektiskās stāas agētiskās 4 5 Magētiskais spēks4 5 Kustoša lādiņa agētiskais lauks akuuā4 53 Magētiskais lauks ap stāas eleetu u stāu5 54 Vielas elatīā agētiskā caulaidība, agētiskā lauka itesitātes ektos6 55 Riņķeida stāas agētiskais lauks u stāas agētiskais oets 6 56 Koekcias stāas agētiskais lauks, Rouleda u ihealda ekspeieti 7 57 Magētiskā lauka idukcias ektoa cikulācia, cikulācias teoēa (CT) u lauka ipuļaiais akstus (soleoidāls lauks)8 58 Cikulācias teoēas pielietoui9 59 pēks uz stāas adu āēā agētiskā laukā, stāu iiedabība, Apēa likus3 6 lektoagētiskā idukcia 33 6 lektoagētiskās idukcias paādība, Faadea likus, eca likus33 6 Magētiskās plūsas aiņas iespēaie ieesli 34 63 lektoagētiskā idukcia o elektou teoias iedokļa35 64 lektoagētiskā idukcia o eeģētiskā iedokļa 35 7 Dielektiķi elektiskaā laukā37 7 lektiskais dipola oets37 7 Dielektiķa polaizācia 38 73 Polaizācias ektoa saistība a isas polaizācias lādiņa blīuu39 74 lektiskais lauks dielektiķī4 75 Gausa teoēas ispāiāus telpā a dielektiskie apgabalie4 8 Vielas agētiskās īpašības 4 8 Atoa agētiskais oets4 8 Magētiķu agetizācia4
83 Magetizācias ektoa saistība a isas agetizācias stāas lieāo blīuu 43 84 Magētiskais lauks agētiķī44 85 Cikulācias teoēas ispāiāus telpā a agētiķu apgabalie 45 9 lektoagētiskais (M) lauks, M lauka eeģia u ipulss, M ili46 9 Maksela ieādoui (MV)46 9 Nobīdes stāas 47 93 Paatous obīdes stāu ieiešaai48 94 Pila M uzdeua shēa 49 95 lektoagētiskā lauka eeģia, eeģias plūsa, eeģias plūsas blīus 49 96 lektoagētiskā lauka ipulsa blīus5 97 lektoagētiskie iļņi, iļņu ieādoui5 98 foācia pa iļņa ieādouu 53 99 Plakisks M ilis54 9 lektoagētisko iļņu eeģias blīus, eeģias plūsas blīus, ipulsa blīus, spiedies, asas blīus55 9 lektoagētisko iļņu izstaošaa, dipols kā staotās57 3
lektostatika Kuloa likus Kuloa likus ektoiālā u skalāā foā Ogistēs Kulos, 785 g Mūsdieu foa sistēā: F F F, F 3 4πε F, F 4πε ε 885* C /(N ) elektiskā kostate Cetāls spēks upepozīcias picips i F F F i F F i i F, ku F i izēķia pēc Kuloa likua lādiņu pāi u i ēieību sistēa F Def tāas ēieība apēs (A) Ja F* 7 N, tad A t, t Def ādiņa ēieība kulos (C) C A s t 4
Kuloa likus hoogēā eieobežotā dielektiķī F 4πε ε, ku ε ielas elatīā dielektiskā caulaidība (āda, cik eižu paāiāsies spēks ielā) Pieēi: akuua ε (pēc defiīcias), gaisa ε59, ūdei ε8 lektiskais lauks lektiskā lauka defiīcia lādiņš lādiņš (tāldabība) lādiņš lauks lādiņš (tudabība) F Def F elektiskā lauka itesitātes ektos telpas puktā, ku atodas lādiņš Pukteida lādiņa elektiskais lauks F 3, 3 4πε ε 4πε ε F upepozīcias picips elektiskaa lauka eko o supepozīcias picipa elektiskaa spēka i i i i 5
Pieēs: elektiskais lauks pēc absolūtās ētības ieādu, bet a petēā zīē, pukteida lādiņu sistēai tupiot iegusta: Nepātaukti lādiņu sadalīui ρ V σ V tilpua blīus C/ 3 isas blīus C/ l λ l lieāais blīus C/ 3 Gausa teoēa (GT) akuuā lektiskā lauka plūsa cau isu d d oāles ieības ektos d d isas eleeta ektos Def N d plūsa 6
Gausa teoēa d k i i d d 3 ai V ρ dv d ε i i eb d, ku ε i i lektiskā lauka itesitātes plūsa cau oslēgtu isu i ieāda a isas iekšpusē (tilpuā V) esošo lādiņu algebisko suu, dalītu a elektisko kostati GT pieaksts epātaukta lādiņu sadalīua: d ε V ρdv GT pielietošaas soļi: ) zatoot sistēas sietias īpašības tiek izeidots piekšstats pa elektiskā lauka kalitatīo akstuu; ) Tiek izēlēta pieēota oslēgta isa; 3) Pielieto GT katitatīi 4 Gausa teoēas pielietošaas pieēi ielas ieēīgi uzlādētas plākses lauks G d σ C d d G d d d d G G C ; σ, σ ε 7
Vieēīgi uzlādētas lodes lauks d R d Āpusē: d d d 4π ekšpusē: d d d 4π ; 3 4πε R ezgalīgi gaa ieēīgi uzlādēta diega lauks ; 4πε 3 4 3 ρ V ρ π, ρ, 3 4, 3 3 πr R 3 G d d d l C G d d d d d d G λ ε π G C C C πl, λl, πl λl ε 8
Dabs, poteciāla eeģia u poteciāls elektiskaā laukā Dabs elektiskaā laukā F α α d lektiskā spēka eiktais dabs pukteida lādiņa pāietooties lādiņa elektiskaā laukā: A 4πε 4πε F F cosα d d 4πε 4πε Dabs a atkaīgs o ceļa foas, bet tikai o galapuktu oietoua poteciāls spēku lauks No supepozīcias picipa seko, ka elektiskā spēka eiktais dabs, pāietooties pukteida lādiņa, a atkaīgs o ceļa foas aī ebkuas foas lādiņa gadīuā Poteciālā eeģia Poteciālo eeģias W stapības (saaziāšaās) stap diie lādiņa oietouie telpā tiek defiēta kā elektisko spēku eiktais dabs, lādiņa pāietooties stap šie stāokļie Def A W W F W W 9
Poteciālās eeģias absolūtā ētība puktā P tiek defiēta pieņeot, ka bezgalīgi tālu o ieobežotas lādiņu sistēas poteciālā eeģia i P 8WW P 8 W, A P WP W WP, tātad W P A P 3 Poteciāls, poteciālu stapība eb spiegus Poteciāls puktā P W P ϕ P P Def ϕ W P P Poteciālu stapība eb spiegus: Def U ϕ ϕ ϕ ϕ U U ϕ ϕ ( W W ) A F F, tātad Hoogēā laukā l U l, tātad U l
3 Vadītāi elektiskaā laukā 3 ādiņa izietošaās, lauka itesitāte u poteciāls adītāā Vadītāa pieēs etāls Ja āēa elektiskā lauka a: ekustīgs pozitīu ou ežžģis a akoskopisko lādiņa tilpua blīuu ρ kustīgi bīie elektoi a akoskopisko lādiņa tilpua blīuu ρ tad ezultēošais akoskopiskais lādiņa tilpua blīus ρ ρ ρ Ja adītās ieietots āēā elektiskā laukā: e i e i tad tā kā i bīie lādiņi, tad lādiņu pādalīšaās tupiāsies tik ilgi, kaē adītāa iekšieē ezultēošais elektiskais lauks kļūs : ez e i
Vadītāa āēā elektiskā laukā īpatības elektostatiskā līdzsaa gadīuā Vadītāa iekšieē ezultēošais elektiskais lauks i Vadītāa iekšēie u isas puktie i ieāds poteciāls 3 ϕ 3 > ϕ ϕ ϕ ϕ, tātad ϕ ϕ ϕ ϕ cost 3 3 Āpus adītāa tā isas tiešā tuuā ezultēošais elektiskais lauks i pepedikulās isai dϕ > ϕcost Poteciāla a lēciea, dϕ, ϕ cost, dϕ, tātad eb 4 Vadītāa iekšēos puktos ezultēošais akoskopiskais lādiņa tilpua blīus ρ, ( ρ ρ ρ ), lādiņi izietoas tikai uz isas kā isas lādiņi d > ρ V Tiek pielietota GT pataļīgai oslēgtai isai adītāa iekšieē: d ρdv, ρ dv, ρ ε V V
5 Dobua izeide adītāa iekšieē eko eaia, o dobua aī ρ eko ekaēšaas iespēa > dobus ρ ρ 6 ādiņi izietoas tikai uz āēās isas, uz dobuu isā lādiņš a > dobus ρ d V ρ Tiek pielietota GT pataļīgai oslēgtai isai, kas iete dobua isas fagetu: d, ε 3
4 īdzstāa 4 lektiskā stāa lektiskās stāas defiīcia bīie eleetālādiņi stāa Ja i tikai pozitīi bīie eleetālādiņi: d t d tdt Def d, [ ] A dt Ja i abu zīu bīie eleetālādiņi, tad: Def d d dt tāas blīus d d d Def d, d tāa cau isu d, [] A / lektou teoia eeleetaladis l e t e l e t, e, tātad e t t 4
kaitlisks pieēs: A 7 ρ 3 5 8 3 A/, saukāt N A 64 6 ( / ) M 7 7 3 ( / s) 8 9 e 6 6 5, tātad 4 Oa likus ķēdes posa Oa likus u adītāa petestība ϕ ϕ l Daudzos gadīuos paksē U ϕ ϕ l, U l, ku U spiegus ~ U, GU, ku G elektoadītspēa elektiskā petestība U Oa likus ķēdes posa, 87g G Os R V [ R ] Ω (os), [ G] (sīess) A Ω f U oltapēu akstulīke Vispāēā gadīuā ( ) R G R R > dielektodu lapa Volta loks U U U Īpatēā petestība Os atklāa, ka l l R R ρ, Def ρ ateiāla īpatēā petestība l 5
Ω 6 [ ρ ] Ω ai Ω Visazākā īpatēā petestība i Ag u Cu Pieēa Īpatēā adītspēa: Def γ ρ, [ ] γ Ω 8 ρ 69 Ω Cu Petestība ada a aiīgu šķēsgiezua laukuu R l ρ l l 43 Oa likus difeeciālā foā d U, d, U, R R tātad, eb γ ρ ezeēua petestība ρ, d d ρ / d, U ρ h>> d l >> ϕ 4πε ε, ϕ 4πε ε, U ϕ ϕ πε ε, U 4πε ε 6
U U Pie :, d d π U ρ ρ ρ, ρ U U ρ ρ R π U π π γ Tātad f ( ) R l 44 tāas dabs u auda Džoula eca likus lektisko spēku eiktais dabs ϕ U ϕ ϕ ϕ A U, t, A U t A J Jauda: Def N U, [ N] W A V t s 6 Kiloatstuda: kw h 36 J Džoula eca likus iltua daudzus Q Rt (ekspeietāli) U Ja spēkā Oa likus, tad Q Rt t Ut R Džoula eca likus difeeciālā foā dq d dq ( d ) drt ( d) ρ t ρdt ρdvt d dq Īpatēā teiskā auda: Def w T ρ dv Ja spēkā Oa likus γ, tad w T ρ γ ρ 7
45 lektodziēspēks (D) tāas (elektoeeģias) aots ϕ e F e U F ϕ U ϕ ϕ lektiskie spēki āēā ķēdē eic dabu A ( ϕ ) U ϕ > lektiskie spēki iekšēā ķēdē eic dabu A ( ϕ ) A U ϕ < Neelektostatiskas dabas āēs (e) spēks eic dabu A U A,, ku U > i dabs elektiskā lauka aotā pāaēšaai, u A akstuo bezi D: Def Ja A, [ ] V A,, > A U A A,, U Q t, ku Def D aota iekšēā petestība, tad U Ja U R, tad R u iegūsta: Oa likus oslēgtai ķēdei : R 46 ādiņu atdalīšaa stāas aotos F e āēs, eelektostatiskas dabas spēks, pieēa, M idukcia ai ķīiskas dabas spēki Va ieest: e Fe / āēā spēku lauka itesitāte Tad pilais spēks F ( e ), u A F ( e ) e e A Tā kā, tad e 8
e U Voltas stabs piais pastāīgās stāas aots, A Volta 793 g galaiskie (ķīiskie) eleeti Ķīiskā eleeta pieēs: 77V Cu Z 33V H O 4 H O O 4 H 4 V 47 tāas aota lietdeības koeficiets, U R Āēā ķēdē elektiskie spēki eic lietdeīgo dabu A l U tu ekšēā ķēdē zudui Q t Tātad pilais dabs A Ut t t ietdeības koeficiets A Def l Ut U η, ku U spiegus uz stāas aota spailē, stāas A t R aota D Ja spēkā i Oa likus, U R, tad η ( R ) / R η R Ja, tad η 9
ietdeīgā auda: N l R R ( R ) Maksiālā ētība pie: N l R 4 R R ( R ) N l R a R N l,a, 4 īiu lietdeības koeficiets geeatos G U pateetas N P R, N R, N līias petestība u audas zudui taā Kopēā auda N N P N N P N N N R η N R ; N U η, N N N U bet N U, tātad NR η U ai η būtu, āpalielia U pie dotās N (pāadāā auda) u R (līias petestība) egopāadē lieto pat 3V 48 Oa likus ķēdes posa, kuā i elektodziēspēks Paasts ķēdes poss R U U R Ķēdes poss a elektodziēspēku Pieēs, a D daboas petēi spiegua: R U Ja taā pašā izieā, tad: U R U R, u U R
Pieēs D oteikšaa a kopesācias etodi ϕ A ϕ Ja, U ϕ ϕ 49 azaotas ķēdes, Kihofa likui Kihofs, 847 g azaotas ķēdes ķēdes a ezglie Kihofa likus k stāu algebiskā sua i k a) izēlas ezglu; b) pataļīgi izēlas stāu apzīēuus u izieus isos zaos, kas pieiet ezgla; c) aksta algebisko stāu suu: a pieāk ezgla tad a zīi, a aiziet, tad a zīi, suai ābūt Pieēs 3 3 Kihofa likus k K k i i a) izēlas oslēgtu kotūu; b) izēlas apeas izieu taā; c) uzaksta spieguu kituu uz petestībā algebisko suu kotūā, pie ka, a apeas izies sakīt a stāas izieu petestībā, tad Rk ņe a zīi, a e tad a zīi; d) uzaksta D algebisko suu, pie ka, a apeas izies sakīt a D izieu, tad a zīi, a ē, tad a zīi Pielīdzia abas suas
Pieēs: 5,3 R 3 7 kotua apeas izies 6 4, 4 R8 i Rk 3 5 R7 5 R8 6 4 6 u i 4 3 tātad 4 3 3 5 R7 5 R8 6 4 6 hēā atod tik daudz eatkaīgas sakaības (ga ezglu puktie Kihofa likua pielietouus, ga kotūie Kihofa likua pielietouus), lai kopīgais lieāi eatkaīgo sakaību skaits būtu ieāds a eziāo stāu skaitu Atisia lieāo algebisko ieādouu sistēu Ja kādai stāai k >, tad izēlētais izies i paeizs, a k <, tad patiesībā stāa plūst petēā izieā kā izēlēts Pielietoua pieēs Vadītāu paalēlā slēgua petestība R R R R, Kihofa likus K K, tātad Kihofa likus R tātad R Aaloģiski īkooties: R R K eb R K R uēot ( ) R K ( ) ( ) R R zatoot K likuu ( ), u R
R, R, tātad R R, eb R R Pielietoua pieēs ieādi ikē saslēgti stāas aoti,,, R Kihofa likus R, tātad R R ez u ez ez, ez Pielietoua pieēs ieādi paalēli saslēgti stāas aoti,,, R Kihofa likus K K eb K Kihofa likus R R Tā kā K K, tad, u K K, tātad R, ai R Acīedzai, ka ez u ez 3
5 Magētiskie spēki u elektiskās stāas agētiskās īpašības 5 Magētiskais spēks 8g H steds atklā stāas ada iiedabību a agētadatu ādiņi iea stāoklī Kuloa likus ādiņi kustībā speciālā elatiitātes teoia, izaiās F No F F el F izdalīta spēka kopoete F, kas atkaīga o lādiņu kustības agētiskais spēks Aplūkoa speciālgadīuu y F el F F el No elatiitātes teoias seko: F 3 4π c 7 ku 4π Ns C agētiskā kostate / F Moduļie (<<c): F, F el, u ε, ku 4π 4 πε Fel c c gaisas ātus akuuā 3* 8 /s 5 Kustoša lādiņa agētiskais lauks akuuā Magētiskā lauka idukcias ektos Def 4π 3 c Ja <<c, tad oeca foula 3 4π z y > (>) abās ītes skūes likus 4
oeca spēks Magētiskais spēks F, pilais spēks F F el F, tātad F si, Moduļie ( ) F pēka oietācia: keisās okas likus F u F d dt F Mēieība, tā kā ( ) [ ] N, T ( tesla) Ja <<c, tuiāti a si, C / s elektiskos u agētiskos laukus uzskatīt pa eatkaīgie Paadokss (oāda uz ipulsa elektoagētiskaa lauka eksisteci): y F F 53 Magētiskais lauks ap stāas eleetu u stāu Magētiskais lauks ap stāas eleetu Def d d d dt,, d, dt d, ku eleetāais stāas eleets d Modulis: d si (, ) aplasa foula: d 3 4π 4π Vektoa oietācia:,, labās ītes skūes likus 5
Magētiskais lauks ap bezgalīgi gau, taisu stāas adu α α R α dα dα α si α R dα Rdα d, d,,, 4π si α si α si α α α Rdα si α si α si α α cosα cosα 4π si α 4π 4π α d R R R α ezgalīgi gaa ada α u α π, tad ioaāa likus 4π ( ) 54 Vielas elatīā agētiskā caulaidība, agētiskā lauka itesitātes ektos Vielas klātbūte a pastipiāt ai paāiāt agētisko lauku, ( kā būtu akuuā, a telpa i epātaukti aizpildīta a agētisku ielu), ielas elatīā agētiskā caulaidība Paaagētiķi >, diaagētiķi <, feoagētiķi >> Tiek ieests palīgektos agētiskā lauka itesitāte: Def H Pieēa, ioaāa likus tad i: H [H]A/ π 55 Riņķeida stāas agētiskais lauks u stāas agētiskais oets 9 o d M Magētiskais lauks iņķa cetā d, 4π π d 4π, 4π H 6
tāas agētiskais oets M Def M Magētiskais lauks uz iņķa ass attāluā o o iņķa plakes β d d β d, 4π 4π π M d, 3 3 4π 4π 4π, d d si β d 3 ( ) M Ja >>, tad 3, ti a tieši atkaīgs o 4π 3 ( ) 56 Koekcias stāas agētiskais lauks, Rouleda u ihealda ekspeieti ) tāa ados adīšaas stāa ) ādiņa ehāiska, akoskopiska pāietošaās koekcias stāa N 878g Rouleds kalitatīi 9g ihealds katitatīi 7
57 Magētiskā lauka idukcias ektoa cikulācia, cikulācias teoēa (CT) u lauka ipuļaiais akstus (soleoidāls lauks) Magētiskā lauka līias (petstatā elektiskā lauka līiā) i oslēgtas Magētiskā lauka idukcias ektoa cikulācia Ļoti gaš, taiss stāas ads pepedikulāi zīēua plakei β dα cos β dα dα dα π π Tātad Šī izteikse de aī a kotūs a plakē u ads i liekts Redza, ka a poteciāls lauks, o poteciāla lauka, pieēa, spēkā ieē i Cikulācias teoēa (aiāku stāu gadīuā) itegālā foā i i i Magētiskā lauka idukcias ektoa cikulācia pa oslēgtu kotūu i ieāda a to stāu algebisko suu (paeiziātu a agētisko kostati), kuas sķēso isu, kas i uzstiepta uz aplūkoaā kotūa (tāu algebiskā sua i atkaīga o kotūa izēlētā apiešaas iziea u atbilstošā oāles iziea) H i i 8
`` Cikulācias teoēa difeeciālā foā d d, tad d u o toksa teoēas seko ot d d, u ot, eb oth auka ipuļaiais akstus (soleoidalitāte) Tā kā aplasa foulā u lauka līias i oslēgtas, seko: d Difeeciālā foā: di eciāus: dabā a agētisko lādiņu CT pielietošaas soļi: ) zatoot sistēas sietias īpašības tiek izeidots piekšstats pa agētiskā lauka kalitatīo akstuu; ) Tiek izēlēts pieēots oslēgts kotūs; 3) Pielieto CT katitatīi 58 Cikulācias teoēas pielietoui ezgalīgi gaš soleoīds (spole) iekspuse sueas, hooges lauks apuse kopeseas l Kotua :, ku ieību, l, tatad adu skaits uz gaua l 9
Tooīds, ku iuu skaits π, u π Taiss bezgalīgi gaš ads e i π ~ ~ i e ekšpusē:, i π π π Āpusē: e i, π, e e π, i π, i ioaāa likus π 59 pēks uz stāas adu āēā agētiskā laukā, stāu iiedabība, Apēa likus pēks uz stāas eleetu df d df d, d, df Apēa spēks df si, Oietācia: F, F Keisās okas likus Moduļie: ( ) 3
Hoogēā laukā taiss ada poss l F F df l, tātad F l l si l, ( ) gai paalēli adi akuuā F l F l, F l, F Apēa likus F F π π pieelkas, atgūžas A defiīcia: Ja pie l F* 7 N, tad A Magētiskā spēka salīdziāus a elektisko spēku Ja gaie paalēlie adie akuuā, tad F F, bet saukāt λ, ku λ kustīga lādiņa lieāais blīus uz l π λ λ gaua ieību Tāpēc F, u λ, tādeādi: π πε F el F λ πε, o ε, ku c gaisas ātus Fel πλ c c Paasti <<c, tātad F <<F el, bet F el tiek kopesēts, o adītāi i eitāli F F F F F ekustigi oi 3
Vispāīgas stāas kotūu foas gadīus, Apēa likus difeeciālā foā) df d ( ) d, df 3 d, df, 3 4π 4π aalogi ( ) df 3 4π Vispāīgā gadīuā df df Noslēgtie kotūie ga i spēkā: F F 3
`` 6 lektoagētiskā idukcia 6 lektoagētiskās idukcias paādība, Faadea likus, eca likus F el F F Tā kā F Fel F a kalpot elektisko lādiņu atdalīšaai eeģias aotos kā D Faadea likus 83g M Faades atklā elektoagētiskās idukcias paādību d izeletais kotua apiesaas izies u attieciga oale Magētiskā lauka plūsa cau isu : Def Φ d d izieu (uz ieu ai otu pusi) osaka izies, bet to osaka izēlētais kotūa apiešaas izies dφ Faadea likus dt Magetiskās plūsas cau isu izaiņas ātus laikā i ieāds a elektodzēspēku (D), kas tiek iducēts kotūā, uz kua šī isa i uzstiepta Ja >, D daboas izēlētaā kotūa apiešaas izieā Ja <, tad petēi eca likus aug id id eca likus i ies o Faadea likua seciāuie: D kotūā tiek iducēts tādā izieā, lai ta atbilstošā iducētā stāa adītu tādu agētisko lauku, kas cestos kopesēt aēā lauka izaiņu (ts agētiskā lauka iece) id 33
`` `` 6 Magētiskās plūsas aiņas iespēaie ieesli ) Kotūs ekustīgs, aiās agētiskais lauks a) tuia (att) ai attālia agētu b) ieslēdz (att) ai izslēdz stāu aug aug N V V ) Maiās kotūa laukus t t Pieea: V adosas sliedites adoss stieitis 3) Kotūs giežas d V d Ja i aiāki iui (spole) i dφ i d dφ i Φ i, Φ kopēā plūsa i i dt dt i dt d Ja Φ K Φ i K Φ Φ, tad Φ Φ u Φ dt 34
63 lektoagētiskā idukcia o elektou teoias iedokļa z z` K` K ` y` F y oeca spēks ekustīgā atskaites sistēā K i F Atskaites sistēā K, kuā lādiņa ātus a ieesla agētiskaa spēka Noēotās spēku F ( F F, a << c) sistēā K itepetēs kā elektisko spēku, tātad kā kāda papildus elektiskā lauka paādīšaos Šis paādās, a pāietoas agētiskā lauka aoti, kuu ātus sistēā K i Tātad Pieēs: F l Aplūkoa stieīti u tikai oduļus: d d ( ) ( l) d dφ l l l ti, Faadea idukcias likus dt dt dt dt Mēs: speciālā elatiitātes teoia u Kuloa likus agētiskais spēks elektoagētiskās idukcias paādība Vēstuiski: Kuloa likus, agētiskais spēks u elektoagētiskās idukcias paādība speciālā elatiitātes teoia 64 lektoagētiskā idukcia o eeģētiskā iedokļa l F Apea speks d d, d dt, dφ ld dt 35
Apēa spēka eiktais dabs: da Fd ld dφ Šo dabu u zuduus petestībās odošiāa D dabs ezūdaības likua iziet: dt dφ Rdt, tātad d dt No eeģias dφ dt dφ id a tikt uzskatīts, kā D, kas daboas petī R dt dφ Paksē: līdzstāas elektootoie, a azs, azs, id azs, liels u seko, dt ka liels spēks u giezes oets Paadokss oeca spēks dabu ea eikt ( F ), bet iducētais a ķēdē eikt dabu F F a F Fa F F, F e F e Apskatā sistēā eiktos dabus: F eic dabu da F dt edt, bet F : da F dt edt Kopēais oeca spēka eiktais dabs: da da da Tātad oeca spēks tikai osacīti pagiež F a dabu ķēdē 36
7 Dielektiķi elektiskaā laukā 7 lektiskais dipola oets lektiskā dipola oeta defiīcia l p Dii pukteida lādii a Def p l elektiskais dipola oets Ja atoa elektiskais dipola oets i atšķiīgs o, tad atos oietēas āēā elektiskā laukā e tā, ka tā dipola oets i ēsts e izieā e F e F p peku pais F pagiez `` atou sadi `` at at e ekooši, atoa dipola elektiskais lauks Dipola elektiskais lauks at paāia uzlikto lauku e A ϕ 4πε 4πε 4πε α p l cosα α Ja >> l, tad l cosα p l ϕ cosα 4πε 4πε >> l ϕ p ϕ p Atasiot: cosα 3 α 4πε α si α 3, α 4πε, u p α 3cos α 3 4πε p o p Ja α, Ja α 9, 3 3 4πε 4πε Poteciāla: ϕ 4πε ϕ,, 4πε 37
7 Dielektiķa polaizācia ducētā polaizācia (epolāas olekulas) e Oietācias polaizācia (polāas olekulas) e potāā polaizācia (pie, segetoelektiķi), kad dielektiķa paaugs i polaizēts bez āēā elektiskā lauka ( e ) potāā polaizācia eeidoas ieē, o stap lādiņie daboas e tikai pieilkšaās, bet aī atgūšaās spēki, kas cešas polaizāciu izaukt ez ta olekulu teiskās sāstības cešas polaizāciu izaukt auc polaizaciu seke polaizaciu Polaizācia saazia elektisko lauku dielektiķī, o uz dielektiķa isas odas isas polaizācias lādiņa blīus ez e p p e Acīedzai, polaizācias pakāpi osaka ezultēošais elektiskais lauks dielektiķa iekšieē σ p < ρ σ p p > 38
Polaizācias ektos Tiek aplūkots akoskopiski azs, bet ikoskopiski liels tilpua eleets V p i p p p Def P V p V i polaizācias ektos V 73 Polaizācias ektoa saistība a isas polaizācias lādiņa blīuu ρ ρ epolaizeta olekula Nepolaizētā dielektiķi egatīo lādiņu akoskopiskais tilpua blīus ρ aizņe to pašu telpu, ko pozitīo lādiņu blīus ρ Tā kā ρ ρ ρ, tad akoskopiski ekāda lādiņu blīua a: ρ ρ Polaizācias ezultātā lādiņi sastapēi obīdās atbilstoši pāietoua ektoa l l l P polaizeta olekula l Katai olekulai dipoloets i p l Tāpēc polaizācias ektos ( olekulu P kocetācia): P l ρl Tātad: l ρ Visas polaizācias lādiņa blīus uz sāu isas labaā puse: σ p P ρ ρ ρ l P 39
74 lektiskais lauks dielektiķī ieāais tuiāus: P ε κ, ku Def κ dielektiskā uzņēība Aplūkoa plakau kodesatou a dielektiķi iekšpusē p ez kodesatoa plates e ez Polaizācias lādiņa isas blīus σ p P ε κez, ada sau elektisko lauku σ p ε κez, abilstoši lauka foulai stap diā platē p κez, ε ε et o supepozīcias picipa: No tā seko, ka ez, e p e κ ez, e e ez, ku ieed apzīēuu: Def κ ε ielas elatīā κ ε dielektiskā caulaidība Tātad plakaā kodesatoā ieietoot dielektiķi, tā lauks tiek paāiāts ε eizes Tupāk lietosi apzīēuu: ez Tā kā palīgektos elektiskā lauka idukcias ektos tiek defiēts sekooši: D ε ε, tad: D ε ( κ ) ε P Gadīuā, a dip, a paādīt, ka odas aī polaizācias tilpua lādiņa blīus 4
75 Gausa teoēas ispāiāus telpā a dielektiskie apgabalie Dielektiskas ielas apgabalu klātbūte ada polaizācias lādiņus, kas izaia ezultēošo lauku Toē aī ši izaiītaa lauka a foulēt Gausa teoēu d P ε i akoskopisks ladis ` `` ε plas ielas slaitis ρ ρ ρ ez isas eleets d isa ε > V l P l ρ ρ Polaizācias ezultātā isas eleetu d šķēsoa u tilpuā V iegāa lādiņš d l ρ Tā kā P ρ u Pd ρ d ρ ld, tad iegāušais lādiņš i P d Kopuā tilpuā V ieiet lādiņi P d Pielietoa Gausa teoēu akuua: d Pd ε ε P d, [ ], tātad ε εd eb izatoot palīgektou Dd epaeizi akstīt d, o tas de tikai speciālgadīuos, pieēa, ε ε eieobežotā dielektiskā idē 4
8 Vielas agētiskās īpašības 8 Atoa agētiskais oets Ja ielas atoa paša agētiskais oets i atšķiīgs o, tad atos oietēas āēā agētiskā laukā e tā, ka tā agētiskais oets M at i ēsts e izieā Tādā gadīuā atoāās stāas at agētiskais lauks at pastipia uzlikto lauku e e M at e peku pais F pagiez ` atou sadi ` e F at at M at at at at F at 8 Magētiķu agetizācia Ja atoa agētiskais oets i atšķiīgs o (paaagētiķi) e Mat Mat haotiska oietacia, agetizacias a ieada oietacia, iela i agetizeta iespēaa aī spotāā agetizācia (feoagētiķi), kad ateiāla paaugs i agetizēts bez āēa agētiskā lauka ( e ) potāā agetizācia eeidoas ieē, o stap atoāā stāā daboas spēki, kas e tikai eicia oietāciu, bet aī cešas to izaukt ez ta, atou teiskās sāstības cešas agetizāciu izaukt petei oietetas staas atguzas, ` auc agetizaciu ieadi oietetas staas pieelkas,eicia oietaciu 4
Ja atoa paša agētiskais oets i (diaagētiķi), tad ielai agetizēoties M at e u agētiskais lauks ielā i saaziāts Magetizācias ektos Tiek aplūkots akoskopiski azs, bet ikoskopiski liels tilpua eleets V M i M M M Def J V M V at, i agetizācias ektos 83 Magetizācias ektoa saistība a isas agetizācias stāas lieāo blīuu Atoa agētisko oetu M at epezetēa sekooši: M at M at at V at at V at tilpus ielā uz ieu atou, V at, ku atou kocetācia Ja ielā isi atoi ieādi agetizēti, tad J M at, eb J at at V at agetika isas fagets ` at at at at l ateiala ieksiee ` staas kopeseas No zīēua seko, ka isas agetizācias stāas lieāais blīus i i: at at at l i at at J, tātad l l i J, ti isas agetizācias stāas blīus i ieāds a agetizāciu 43
84 Magētiskais lauks agētiķī κ ieās tuiāus: J e Aplūkoa gau cilidisku agētiķi āēā agetiskā laukā, κ ielas agētiskā uzņēība (susceptibilitāte) e, tad i e κ i J e No spoles a lieāo stāas blīuu i agētiskā lauka foulas seko, ka agetizācias stāa ada lauku: i κ e No supepozīcias picipa agētiskaa lauka agētiķī iegūsta: ez e e eκ e ( κ ) e, ku κ ielas elatīā agētiskā caulaidība Tātad: ez e Tupāk lietosi apzīēuu: ez Palīgektoa H (agētiskā lauka itesitāte) seko: ez ez e ez ez ez eκ H ( κ ) ez J eb H ez J 44
85 Cikulācias teoēas ispāiāus telpā a agētiķu apgabalie Magētisku ielu apgabalu klātbūte ada o akoskopiskā iedokļa fiktīas agetizācias stāas, kas izaia ezultēošo lauku Toē aī ši izaiītaa lauka a foulēt cikulācias teoēu i J i J α Magetizācias ezultātā līias eleeta tiešā tuuā paādās stāa d, kas šķēso isu : d i i cosα, ku i agetizācias stāu lieāais blīus Tā kā i J u J i cosα, tad cau isu plūst papildus stāa d J Pielietoa cikulācias teoēu akuua: J, [ J ] Tātad, eb izatoot palīgektou H epaeizi akstīt eieobežotā agētiskā idē, o tas de tikai speciālgadīuos, pieēa, 45
9 lektoagētiskais (M) lauks, M lauka eeģia u ipulss, M ili 9 Maksela ieādoui (MV) 86g 873g Dž K Maksels MV itegālā foā lektoagētiskā idukcia t d d Magētiskā lauka soleoidalitāte (agētiskā lauka līias i oslēgtas u ea isas iekšpusē apauties) d d 3 Cikulācias teoēa agētiskaa lauka pilās stāas gadīuā ( ε ε) t d ε ε t ε ε t d 4 Gausa teoēa (eb Kuloa likus) ε d ε ρdv V V ρ d 46
MV difeeciālā foā ot dt di 3 ot ( ε ε) t 4 di( ε ε) ρ Koplektu a aizstāt a palīgektou H, attiecīgi ε ε a D 9 Nobīdes stāas zņeot locekli ( ε ε) 3 ieādouā iss pāēais 873 g bia ekspeietālo t faktu ispāiāus ocekli: ε ε obīdes stāas blīus, o teoētiskie apsēuie ieeda t Def ( ) b Maksels Pateicoties ši locekli aēa paādīt tādas M paādības kā M iļņi iespēaību Pieaksta foas obīdes stāas blīua: D ( ) ( ε P) P b ε ε ε t t t t t Pilās stāas blīus Def p, ku adītspēas stāas blīus b Pilai stāai d d d d P p ( b ) b b, ku adītspēas stāa, b obīdes stāa Maksels paādīa, ka lauku osaka eis, bet P Tā kā σ, tad a f (fekece) u σ, b << u b a eieēot kazistacioāais tuiāus 47
93 Paatous obīdes stāu ieiešaai Cikulācias teoēa agētiskaa lauka foā d oed pie petuas, a aplūko pātauktu stāas ķēdi, pieēa, kodesatoa gadīuā d d 3 d 3 Pielietoa cikulācias teoēu: isai, isai Tā i petua, o cikulācias teoēa atļau pataļīgi izēlēties isu, kas uzstiepta uz kotūa, ezultāta būtu ābūt eatkaīga o izēlētās isas Šis pieēs ieosia cikulācias teoēu izaiīt tā, ka itegālī pa isu tiktu ņets ēā ga (saīgi isai ), ga aī kaut kādā eidā (saīgi isai ) Acīedzai, ka d, d, d, ku 3 kopēā oslēgtā isa 3 Pielietoa Gausa teoēu oslēgtai isai 3 : ε εd ρdv V d d No lādiņa ezūdaības seko, tātad dt d ε εd u dt d( ε ε) d d dt itegālis tiek saukts pa o isas izplūstošo adītspēas stāu itegālis tiek saukts pa o isas izplūstošo obīdes stāu b d ( ε ε) tiek saukts pa obīdes stāas blīuu dt P b tiek saukta pa pilo stāu Tātad isas pilās stāas i oslēgtas Pilās stāas epātauktības ieādous: d dt ( ε ε) d 48
Pielietoot dieģeces teoēu d d di ( ε) dv di ε dt dt V ε, ( ε ), bet di( ε ε) ρ, tāpēc dρ di dt lādiņa ezūdaības likus difeeciālā foā Pilās stāas epātauktības ieādouu a pāakstīt sekooši kodesatoa gadīua: d ( ε ε d ) d( ε ε) d( ε ε) d, d d, dt Acīedzai, cikulācias teoēa dos ieādus ezultātus ga, ga, a cikulācias teoēā adītspēas stāas ietā tiks lietota pilā stāa dt dt d 94 Pila M uzdeua shēa lauku aoti ρ u Atisiot MV o ρ u iegūst u Mateiālās sakaības, pie, σ uc, lādiņa ezūdaības likus ļau iegūt ρ u F ( ) oeca spēks F a ehāikas kustības ieādoui ļau iegūt ρ u 95 lektoagētiskā lauka eeģia, eeģias plūsa, eeģias plūsas blīus No MV a tīi ateātiski izest sekoošu itegālu sakaību pataļīgai oslēgtai isai pa tilpuu V (skat Platacis lektība): D H t V [ H ] d dv V dv 49
ocekļu aalīze Atgādiā, ka D ε ε u H D H loceklis akstuo kaut kāda skalāa lielua izaiņu laikā loceklis i kaut kāda ektoa H plūsa cau isu itegāļa pa tilpuu V 3 loceklis: NV dv oeca spēka ehāiskā auda ieai lādētai daļiņai i V N F [ ] Kāda telpas pukta apkātē, ku i lādētas daļiņas a kocetāciu, M spēka audas tilpua blīus i N (o ) Ja i M spēka audas tilpua blīus, tad N V i ehāiskā auda, ko M lauks tilpuā V piešķi daļiņā Mehāikā a daba palīdzību defiē spēku lauka poteciālo eeģiu W, kuas stapība stap diie stāokļie W W ieāda a spēku eikto dabu sistēai pāeot o stāokļa uz stāokli Šeit eidoa līdzīgas defiīcias: ε ε D H Def ϖ i M lauka eeģias tilpua blīus M lauka eeģia tilpuā V tad i W ω dv V Def P H i M lauka eeģias plūsas blīua ektos Poitiga ektos eģias plūsa laika ieībā Φ W cau isu i tad Φ P d W 3 Def NV dv V i M lauka spēku eiktā daba auda tilpuā V Jauaos apzīēuos eeģias ezūdaības likus i: dw ΦW N V Difeeciālā foā: ϖ dip dt t 5
P d D H ω V F Pieēa, M lauka eeģias saaziāšaās tilpuā V i ieāda a M spēku eikto dabu (uz lādētā daļiņā) tilpuā V plus Poitiga ektoa plūsas cau isu itegālis pa laiku 96 lektoagētiskā lauka ipulsa blīus Ja kādā telpas daļā iiedaboas M lauks u ateiālas lādētas daļiņas (pie, pukteida lādiņi i a asu i ), tad oeca spēka iedabībā a aiīties daļiņu ipulsi Aplūkoa kāda telpas pukta azu apkāti a tilpuu V u daļiņā taā Katai daļiņai i spēkā d( ) i i i ii, i, K, dt uēa isus šos ieādouus u izdalā a V : ii i ii d i i i dt V V V Keisā puse i sistēas kopēais ehāiskais ipulss dalīts a tilpuu, tātad tas i ipulsa blīus, ko sauksi pa ateiālo ipulsa blīuu k i i at ρ lādiņu V ii i akoskopiskais tilpua blīus akoskopiskais stāas blīus V Tātad: d dt ( k ) at ρ zatoot MV a šī ieādous labo pusi tīi ateātiski pāeidot tā, lai taā būtu tikai ektoi u Pēc šie pāeidouie a iegūt sekoošu itegālu izteiksi pataļīgai oslēgtai isai a tilpuu V: t P c kat dv V T d ik, ku P [ H ] Poitiga ektos u T ik i Maksela spieguu tezos, kas i saežģīta izteikse o ektoie u : 5
δ ik Tik i k i k ( ) P No šīs sakaības seciā, ka ektou k at a defiēt pa sistēas (M lauks u c ateiālās daļiņas) kopēo ipulsa blīuu, ku k at i ateiālais ipulsa blīus P Def k e tiek defiēts pa elektoagētiskā lauka ipulsa blīuu c Tā kā P H i Poitiga ektos, tad: k e P c ε Tik d ε k at ke V 97 lektoagētiskie iļņi, iļņu ieādoui Viļņa ieādoua iegūšaa o Maksela ieādouu sistēas t M iļņu iespēaība t Aplūkoa telpu bez lauka aotie ( ρ, ), ε, cost, tad: ot t di ot di( ε ε) t ( ε ε) Uz ieādouu iedabooties a ot u izatoot 3 ieādouu iegūsta: 5
53 ( ) ( ) t ot t ot ot ε ε Tā kā ( ) ( ) z y di gad ot ot, seko z y t ε ε Aaloģiski iegūst z y t ε ε Šāda tipa ieādoua (iļņa ieādous) eksistē iļņa eida atisiāui Tātad elektoagētiskais lauks a izplatīties telpā iļņu eidā elektoagētiskie iļņi Viļņa fāzes ātus: ε ε No H F / 57, / 8854 6 ε, seko, ka akuuā s c / 3 8 ε Tā kā šis ātus sakita a optiski izēīto gaisas ātuu, Maksels seciāa, ka gaisa aī i M ilis Vielā ε c Mēieību pābaude:[ ] s A A N N s A s A A T V C H F ε 98 foācia pa iļņa ieādouu f t f šāda tipa ieādouu sauc pa iļņa ieādouu Kā iļņa ieādoua atisiāus de ebkua sekooša tipa fukcia: t g g t f ) ( ), ( ξ, ku t ξ Šo faktu pābaudā ieietoot f(,t) iļņa ieādouā:, ) (,, g f g f g t f g t f ξ ξ ξ ξ, tādeādi
54 g g ξ ξ u edza, ka iļņa ieādous izpildās Pieēs y A A t t ( ) t t A A Viļņa izskatu apaksta fukcia ( ) ξ g Aplūkoa laika oetu t Viļņa foa telpā i t g Piā aksiua stāoklis i A Pēc kāda laika iteāla laika oetā t iļņa foa telpā i ( ) t g g ξ Fukciai g piais aksius būs pie tās pašas ξ ētības, tātad t t t t A A A A Redza, ka paaets patiešā i iļņa pāietošaās ātus fāzes ātus 99 Plakisks M ilis Aplūkoa plakaisku M ili, kas izplatās ass izieā u kua iļņa fote sakīt a yz plaki (ti y u z izieos ekas eaiās) ) No 4 MV: z y z y, tātad seko Tātad ass izieā eaiās Tāpēc M ili, o pieņēā, ka ilis izplatās tieši ass izieā Aaloģiski seciā, ka Abi ektoi u i pepedikulāi iļņa izplatīšaās iziea, tātad M ilis i šķēsilis Viļņa šķēsiļņa akstus iziet o tā, ka telpā bez ρ u ga, ga i soleoidāli ) Pieņea, ka yass ēsta tā kā ektos Tad o MV: t y k z z y i y z y z, u seko, ka k t t z k z y Tātad ektoa āguļ uz zass, ti, pie ka t z y, u dt y z
3) Haoiskā gadīuā y ω ω πf π si ω t si ωt, ku ω πf u k, λ f λ ku k iļņu skaitlis y Tātad si ( ωt k) Atoda z : ( k) cos ( ωt k) y y k dt k ( t k) dt ( t k) cos ω si ω ϖ z Kopsailkus:, u y z si si ( ωt k) ( ωt k), ku, tātad, a y>, tad aī z > y z 9 lektoagētisko iļņu eeģias blīus, eeģias plūsas blīus, ipulsa blīus, spiedies, asas blīus M iļņa eeģias blīus D H M lauka eeģias blīus i ω (palīgektoi D ε ε u H ) M ili i spēkā ε ε eb H ε ε Tad izatoot sietisku pieakstu, kas ētāks izteiksēs ( ε ε H ) ε ε H ω M iļņa plūsas blīus Tā kā ilis izplatās (pāietoas) a ātuu, tad cau iļņa izplatīšaās ε ε iziea pepedikulāu laukua ieību laika ieībā izplūst eeģia P ω ε ε H H ε ε 55
Tas i eeģias plūsas blīus eb Poitiga ektoa odulis M ilī, H, i sastapēi pepedikulāi u eido labās skūes sistēu Tas atbilst Poitiga ektoa defiīciai P H Plakiska ili: ( t k) P H si ω ω P Vidēais laikā eeģias plūsas blīus: P H si ( t k) dt H T T ϖ Ja ilis izplatās akuuā, tad ε H u P ε H ε Pieēs Cau izplūst J liela eeģia sekudē (auda W) lektiskā lauka itesitāte ilī i 7 4 π P 75 ε 885 ( V ) M iļņa ipulsa blīus u spiedies P Tā kā M lauka ipulsa blīus i k, u M ili i spēkā P ω c (ω c ω c ω M iļņa eeģias blīus), tad M ili ipulsa blīus i k c c ω,k c Tātad, a M lauks tiek absobēts ķeeī a isu, kas i pepedikulāa iļņa iziea, tad ķeeņa isa saņe iļņa esto ipulsu M iļņa tilpua k k ipulss i c t F k k c t M iļņa spiedies i p k c t t ω Tā kā M ili k, tad spiedies i p ω c 56
M iļņa asas blīus pulss speciālaā elatiitātes teoiā i k, ku elatīistiskā asa, tāpēc ipulsa tilpua blīus i k δ, ku δ asas blīus Šo pielietoot M ili akuuā, iegūsta (c iļņa izplatīšaās ātus): k δ M c Tā kā M ili ω ω k, seko ω δc, u δ Noteikta tilpua: W c c c 9 lektoagētisko iļņu izstaošaa, dipols kā staotās Paātiāta lādiņa kustība M iļņu izstaošaa (izplatās akuuā a gaisas ātuu c) lādiņš tiek bezēts ai pocess tupiātos, āēie spēkie āeic dabs bezēšaas spēka pāaēšaai, kas ieāds a izstaotā M iļņa eeģiu Va paādīt, ka staoua auda N sta ~ a Aplūkoa oscilēošu dipola oetu: ( ωt) p p si ωt si Dipola tiešā tuuā pastā: p ) elektiskais lauks d ~ 3 si θ, ) agētiskais lauks d ~ 3 si θ, 3) ipuļais elektiskais lauks ~ ~ ~ ω p si θ si ( ωt) t t 4) ipuļais agētiskais lauks ω p si θ si( ωt) ~ c πc u izplatās akuuā a ātuu c iļņu eidā, kuu iļņa gaus: λ f ω Tā kā M iļņi pāes eeģiu, tad stacioāā staošaas pocesā cau katu iedoātu sfēu ap dipolu cetā u a ādiusu izplūst laika ieībā ieāda eeģia Tāpēc: 4π cost, u ~ ~ Ja >> λ (iļņu zoa), tad >> d, >> d u ω p si θ ~ si ω p si θ ( ωt), ~ si ( ωt) p θ, 57
P Dipola staoua iziea diagaa θ θ P a 4 ω p si θ ~ eģias plūsas blīus: P si ( ωt) 4 ω p si aikā idēā ētība: P ~ θ Kopēā laika ieībā izstaotā eeģia dipola staoua itesitāte: 4 pω ε πc 58