Οµάδα Ασκήσεων #3-Λύσεις

Οµάδα Ασκήσεων #3-Λύσεις Πρόβληµα # (α) Ο βραχίονας είναι επίπεδος. Μπορούµε να βρούµε τον προσπελάσιµο χώρο εργασίας µε µια βήµα-προς-βήµα προσέγγιση. Πρώτα βρίσκουµε το χώρο που καλύπτεται όταν η άρθρωση-3 µεταβάλλεται από. Μετά σχεδιάζουµε την περιοχή που σαρώνεται καθώς η άρθρωση- "κινείται" από o 36 o. Τέλος βρίσκουµε την περιοχή που καλύπτεται καθώς η άρθρωση- µεταβάλλεται από. Το αποτέλεσµα φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Σχήµα 3-. Προσπελάσιµος χώρος εργασίας για το βραχίονα του προβλήµατος # Ο βραχίονας έχει 3 Β.Ε., ενώ ο χώρος εργασίας έχει διάσταση. Εποµένως ο "επιδέξιος" χώρος εργασίας είναι µονοδιάστατος. Ο βραχίονας µπορεί να φτάσει σ ένα δεδοµένο σηµείο (του προσπελάσιµου χώρου εργασίας) µε περισσότερους από έναν προσανατολισµούς. (β) Από το σχήµα: x E d +l c +d 3 c(θ + 9 ) d +l c s y E l s +d 3 s(θ + 9 ) l s +d 3 c θ E θ + 9 (3.) (γ) Αλγεβρικά, από την (3.), προκύπτουν οι αντίστροφες κινηµατικές εξισώσεις: θ θ E 9 Η λύση υπάρχει αν και µόνο αν d 3 (y E l s )/c d x E l c +d 3 s (3.) c θ π, 3π (3.3) Στις περιπτώσεις όπου

θ π, 3π οι σύνδεσµοι,3 γίνονται παράλληλοι και µπορεί να προσδιοριστεί µόνο το άθροισµα ή η διαφορά των µεταβλητών των αντίστοιχων πρισµατικών αρθρώσεων, δηλαδή d +d 3 ή d. Δεν υπάρχει µοναδική λύση για τις d,d 3. (δ) Από διαφόριση των κινηµατικών εξισώσεων (3.), προκύπτει: x E d l s θ c θ s d 3 y E (l c s ) θ +c d 3 (3.4) θ E θ ή x E l s c s d y E l c s c θ θ E d 3 J V (3.5) (ε) Η Ιακωβιανή, χρησιµοποιώντας τη γενική µέθοδο, για την περίπτωση του PRP βραχίονα, είναι: z J V ( z ) p E z 3 z (3.6) Δεδοµένου ότι ο βραχίονας είναι επίπεδος, χρειαζόµαστε το τµήµα της J L που αφορά τις (x,y) συνιστώσες της ταχύτητας του άκρου (δύο πρώτες γραµµές του J V (6 6) ) και το τµήµα του J A που αφορά την z-συνιστώσα της γωνιακής ταχύτητας του άκρου ((έκτη γραµµή του J V (6 6) ). Σχήµα 3-. ΣΣ για το βραχίονα του προβλήµατος # Είναι z [ ], z [ ]

c s s z 3 R z 3 R z (θ ) z 3 s c c x E d l c s p E p E p y E l s +d 3 c ( z ) p E Οπότε τελικά, έχουµε: l s c p E l c s l s c s J V l c s c (3.7) (στ) Χρησιµοποιείται η µέθοδος διάδοσης της ταχύτητας. Το πλεονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι ότι οι ενδιάµεσες ταχύτητες δε χρειάζεται να εκφρασθούν στο Σύστηµα Συντεταγµένων (ΣΣ) της βάσης, πράγµα που µειώνει τον αριθµό των πράξεων (χρήσιµη για προγράµµατα H/Y). Διάδοση γραµµικής ταχύτητας (γενικά): i+ R i i v i + i ω i i+ v i+ i+ R i i v i + i ω i Για την J L, έχουµε: ( ) i i p i+ ( ) i i p i+, + i+ z i+ d i+, (Revolute) (Prismatic) (3.8) P (άρθρωση-): v R v + ω R (άρθρωση-): p + z d [ ] d [ d ] (3.9) v R v + ω p s c c s d c d s d (3.) P (άρθρωση-3): 3

3 v 3 R 3 v + ω p 3 + 3 z 3 d 3 θ c d θ l s d + θ d 3 + d 3 [ c d +d θ 3 s d +l θ + d 3 ] (3.) E v E 3 v 3 (3.) Αυτό είναι αρκετό για να προσδιορίσουµε την E J L. Εδώ θέλουµε να εκφράσουµε την Ιακωβιανή στο ΣΣ της βάσης, για να συγκρίνουµε το αποτέλεσµα µ'αυτό των βηµάτων (δ), (ε). x E c s v E y E R E E v E R R 3 3 v 3 s c 3 v 3 z E d (d 3 c +l s ) θ s d 3 ( s +l c ) θ l s c s d +c d 3 l c s c θ d 3 (3.3) (Κρατούµε τις δύο πρώτες γραµµές). Διάδοση γωνιακής ταχύτητας (γενικά): i+ z θi+ i+ ω i+ i+ + i+ R i i ω i, (Revolute) i+ R i i ω i, (Prismatic) (3.4) Για την J A, έχουµε: Υποθέτουµε ότι η βάση είναι ακίνητη, δηλαδή ω v (3.5) οπότε έχουµε διαδοχικά P (άρθρωση-): ω R ω (3.6) 4

R (άρθρωση-): ω [ θ ] (3.7) P (άρθρωση-3): 3 ω 3 3 R [ θ ] [ θ ] (3.8) E ω E 3 ω 3 (3.9) Και για το ΣΣ βάσης, έχουµε: ω E R E E ω E R R 3 3 ω 3 [ θ ] (3.) ή d ω E,z θ E [ ] θ θ (3.) d 3 Εποµένως η Ιακωβιανή δίνεται από την l J J V L ( 3) s c s l c s c J A ( 3) (3.) (ζ) Η συνεισφορά της άρθρωσης- στη γραµµική ταχύτητα του άκρου, δίνεται απότη δεύτερη στήλη της J L : x E y E l s d c 3 l by joint- c s θ (3.3) (η) Οι ιδιόµορφες θέσεις του βραχίονα προκύπτουν από την εξίσωση det( J) det( J) c θ ± π ( π < θ π) (3.4) Σ'αυτές τις ιδιόµορφες θέσεις, χάνεται ένας βαθµός κινητικότητας: Για κάθε συνδυασµό ταχυτήτων αρθρώσεων, οι συνιστώσες της ταχύτητας του άκρου είναι παράλληλες προς τον άξονα-x (δεν είναι δυνατόν να πετύχουµε ταχύτητα µε y- συνιστώσα για το άκρο). Πρόβληµα # (α) Χρησιµοποιώντας ταχύτητες γωνιών Euler (ZYZ) για να περιγράψουµε την περιστροφική ταχύτητα του σφαιρικού (3R) καρπού, έχουµε: 5

α q 4 q 4 ı Ε β q 5 q 5 γ q 6 q 6 J r (3.5) (β) Σύνδεση της γωνιακής ταχύτητας του άκρου, µε τις ταχύτητες των (ZYZ) γωνιών Euler: ω Ε z q 4 + y q 5 + z q 6 q 4 + R z (q 4 ) q 5 + R z (q 4 )R y (q 5 ) q 6 s 4 c 4 s 5 q 4 + c 4 q 5 + s 4 q 6 c 5 s 4 c 4 s 5 q 4 α c 4 s 4 q 5 E ZYZ β c 5 q 6 γ (3.6) Κάθε στήλη του E ZYZ αντιπροσωπεύει τη συνεισφορά κάθε µιας από τις ( q 4, q 5, q 6 ) στην ταχύτητα του άκρου ω Ε. Η Ιακωβιανή J A είναι: J A E ZYZ J r E ZYZ I 3 E ZYZ (3.7) (γ) q J A ω E,(des) (3.8) Η παραπάνω αντιστροφή είναι δυνατή, για τον J A (3 3), αν και µόνο αν det( J A ). (Ισοδύναµα, όλες οι στήλες του J A (3 3), πρέπει να είναι γραµµικά ανεξάρτητες). Σ αυτή την περίπτωση, υπάρχει µοναδική λύση για τις ( q 4, q 5, q 6 ), που δίνεται από την (3.8). Ιδιοµορφίες: det( J A ) q 5 o,±8 o (3.9) Σ αυτές τις θέσεις είναι z 4 z 6, οπότε δεν υπάρχει µοναδική λύση για τα q 4, q 6. Επιπλέον η γωνιακή ταχύτητα άκρου που µπορεί να επιτευχθεί, θα βρίσκεται στο 6

επίπεδο που ορίζεται από τους άξονες (z 4 z 6, z 5 ). Οι ιδιοµορφίες αυτές είναι "φυσικές" και "παράστασης" ( E ZYZ,representational): ω E J A q E ZYZ J r q E ZYZ q (3.3) Πρόβληµα #3 (α) Εµβαδά, διατοµών: Κάτω τµήµα: A outer.35.93 m A inner.86.9.8357 m (3.3) A I xxl A I yyl ρl l ( A outer (.35 +.35 ) A inner (.86 +.9 )) 5. kgm ( ) 78.4 kgm ρl l A outer (.3 +.35 ) A inner (.3 +.9 ) (3.3) ( ) 78.49 kgm A I zzl ρl l A outer (.3 +.35 ) A inner (.3 +.86 ) A I ijl, (i j) Άνω τµήµα: A I xxu A I yyu ρl u ( A outer (.35 +.35 ) A inner (.86 +.9 )) 4.86 kgm ( ) 46. kgm ρl u A outer (.93 +.35 ) A inner (.93 +.9 ) (3.33) ( ) 46.47 kgm A I zzu ρl u A outer (.93 +.35 ) A inner (.93 +.86 ) A I iju, (i j) (β) Σχήµα 3-3. Μοντέλο των συνδέσµων και αντίστοιχα ΣΣ (πρόβληµα #3) cos(α).93 +.3 + 4. (.3 4.) α 3 ο (3.34) Παρόµοια: 7

β 5.6 ο (3.35) p A R z (α).3.3.6 p B 4..93.93 cβ sβ 3.8.6 p C m p A A + m B p B l p l A +l u p B.6.6 m A + m B l l +l u (3.36) (γ) Πρώτα βρίσκουµε το A I l A, εκφρασµένο στο ΣΣ {C}: C I l A A R C A I l A A R C (3.37) και ακολούθως µετατοπίζουµε (θεώρηµα παραλλήλων αξόνων): C I C l C I A l + m ( A p CA 7.38 p CA I 3 p CA p CA ) 8.69 5.98 5.98 3.44 7.57 (3.38) όπου p CA p A p C.935 (free vector) cα sα.974.5 A R C R z ( α) sα cα.5.974 (3.39) Ανάλογα έχουµε για το άνω µέρος: C I u B B R C B I u B B R C C I C u C I B u + m ( B p CB 4.35 p CB I 3 p CB p CB ) 7..85.85.49 4.9 (3.4) όπου p CB p B p C. B R C R z (β) (3.4) Τελικά έχουµε (αφού τα ΣΣ {C} και {} είναι παράλληλα): C I boom C C I boom 5.9 5.3 C I C l + C I C u 5.3 444.9 45.5 (3.4) 8

(δ) Ναι, τα γινόµενα αδράνειας I xy,i xz,i yz είναι αµελητέα σε σχέση µε τις ροπές αδράνειας I yy,i zz. Επίσης η ροπή αδράνειας I xx είναι αµελητέα σε σχέση µε τις I yy,i zz. Πρόβληµα #4 Το PUMA είναι ένα ροµπότ περιστροφικών αρθρώσεων, οπότε ως µεταβλητές άρθρωσης, θεωρούνται οι θ,θ. Link-(i) α i- (twist) a i- (length) d i θ i h θ -9 o L θ Ε L (α) Σχέδιο µε τα ΣΣ, για θ θ Σχήµα 3-4. ΣΣ, για την "άρθρωση" ώµου, του προβλήµατος #4 (β),(γ) Βήµα- Βρίσκουµε τα p C, p C, p, v C, v C, v C, v C, ω, ω, ω, ω, p C, p C p C R p C R z (θ ) L L s c (3.43) p C R p C R z (θ )R x ( 9 o )R z (θ ) L L c c s c s (3.44) p C p + p C p C p C p p C p + p C + p C L s c L s L c h L s + L c c L c + L s c h L s (3.45) (3.46) (3.47) 9

v C v C d dt p C L c θ L s θ (3.48) v C v C d dt p C ( L c L s c ) θ c s L θ ( L s + L c c ) θ s s L θ L c θ (3.49) v C ( L s + L c c ) θ L s s L c θ + L s θ v C L s θ L c θ ( L c L s c ) θ L c s θ +(L s L c c ) θ L c c θ + L s s θ θ θ +( L c L s c ) θ L s c θ L c s θ θ L c θ + L s θ ω z θ θ ω z θ + z θ s θ c θ θ ω θ (3.5) (3.5) (3.5) (3.53) (3.54) ω c θ θ s θ s θ θ +c θ θ (3.55) Βήµα- Γράφουµε τις εξισώσεις Newton-Euler, για όλους τους συνδέσµους, ξεκινώντας από το άκρο προς τη βάση και απαλείφουµε διαδοχικά τις εσωτερικές δυνάµεις (δυνάµεις περιορισµών, που δεν παράγουν έργο). Τα παρακάτω διανύσµατα, θεωρούνται όλα εκφρασµένα στο ΣΣ της βάσης (εκτός αν φαίνεται διαφορικά) Σύνδεσµος-: g g Υποθέτοντας µηδενικές δυνάµεις-ροπές στο άκρο, g g (3.56) f m (v C g) m v c,x v c,y v c,z + g (3.57)

n (p C ) C f + I ω +(ω ) C I ω s f + s c f,y,z L s f,x c c f,z s c f,x +c c f,y (3.58) Σύνδεσµος-: f f + m (v C g) (3.59) n n +(p C ) m (v C g)+(p ) C f + I ω +(ω ) C I ω L c ( s f,x +c f,y )+ m L θ L (c f,x + s f,y ) (3.6) Βήµα-3 Αντικαθιστούµε και υπολογίζουµε τις ροπές αρθρώσεων: τ z in s c n τ m L (L s θ + L θ + L s c θ gc ) (3.6) inertial centrifugal gravitational τ (m L + m (L + L c )) θ + m L L s θ + m L L c θ m L s c θ θ inertial centrifugal Coriolis (3.6) Πρόβληµα #5 (α) Για να βρούµε τις δυνάµεις των επενεργητών που απαιτούνται για την εφαρµογή (στο άκρο) των επιθυµητών δυνάµεων-ροπών 6 f E, 6 n E, πρέπει να εκφράσουµε τις τελευταίες στο ΣΣ της βάσης: R F 6 6 f E R 6 6 R 6 n E ( c c 4 s )f ( s c 4 +c )f s F 4 f ( c c 4 s )n ( s c 4 +c )n s 4 n R 6 f n (3.63)

όπου χρησιµοποιήθηκε ο R 6 #. που έχει υπολογισθεί στο Πρόβληµα #3 της Οµάδας Οι απαιτούµενες δυνάµεις επενεργητών, δίνονται από την: τ J V F (3.64) τ τ f,a f 3,a τ 4 τ 5 τ 6 (3.65) Χρησιµοποιώντας τον J V που υπολογίσθηκε στο Πρόβληµα #5 της Οµάδας #, έχουµε: τ (H +q 3 )c 4 f + s 4 n (3.66) f,a s 4 f (3.67) f 3,a f (3.68) τ 4 n (3.69) τ 5 (3.7) τ 6 n (3.7) Από τις (3.67),(3.68), φαίνεται ότι οι πρισµατικές αρθρώσεις δε συµµετέχουν στη ροπή περί τον z 6. Επίσης από τις (3.69) έως (3.7) φαίνεται ότι οι ροπές αρθρώσεων του σφαιρικού καρπού δε συµµετέχουν στην εφαρµογή δύναµης κατά τον z 6 άξονα. (β) Δεδοµένου ότι ο J V είναι τετραγωνικός (6x6), µπορούµε να γράψουµε: (όλα εκφρασµένα στο ΣΣ της βάσης). F J τ (3.7) Θέλουµε να βρούµε για ποιες θέσεις του βραχίονα, µεγιστοποιείται η δύναµη κατά µήκος του άξονα-6, µε δεδοµένους τους περιορισµούς για τις δυνάµεις-ροπές των επενεργητών. Εξετάζουµε οριακές περιπτώσεις, για να απλοποιήσουµε το πρόβληµα. Θεωρούµε επίσης n, οπότε από τις (3.66) έως (3.68), έχουµε για την f: f τ (H +q 3 )c 4 (3.73)

f f,a s 4 (3.74) f f 3,a (3.75) Περίπτωση- Ιδιοµορφία στην άρθρωση-, οπότε η f προκύπτει από τις αρθρώσεις και 3: Οπότε από (3.74),(3.75) παίρνουµε c 4 (3.76) f 3 f 5 θ 5 tan () 63.4 o f 33.6N (3.77) Περίπτωση- Ιδιοµορφία στην άρθρωση-, οπότε η f προκύπτει από τις αρθρώσεις και 3: Οπότε από (3.73),(3.75) παίρνουµε s 4 (3.78) f 5.5 f 5 Περίπτωση-3 θ 5 tan ( 5 5 ) 73.3o f 5.N (3.79) Ιδιοµορφία στην άρθρωση-3, οπότε η f προκύπτει από τις αρθρώσεις και : Οπότε από (3.73),(3.74) παίρνουµε (3.8) f 5.5c 4 f 3 s 4 θ 4 tan ( 3 5 ) 3o f 58.3N (3.8) Εποµένως η δύναµη f, γίνεται περίπου µέγιστη για την παραπάνω περίπτωση-3. 3

Για την επιθυµητή ροπή n, από τις (3.69) έως (3.7), έχουµε αντίστοιχα, (θεωρώντας f): n τ s 4 (3.8) n τ 4 (3.83) n τ 6 (3.84) Αφού είναι τ 5Nm και τ 4,6 Nm, έχουµε από τις (3.8) έως (3.84), ότι ο βραχίονας µπορεί να ασκήσει ροπή ±Nm περί τον z 6, σε κάθε θέση στο χώρο αρθρώσεων. Πρόβληµα #6 (α) Στην αναδροµική µέθοδο Newton-Euler, οι δυναµικές εξισώσεις κάθε συνδέσµου γράφονται στο ΣΣ του τρέχοντος συνδέσµου (κι όχι στο ΣΣ της βάσης, όπως στη αντίστοιχη µέθοδο κλειστής µορφής). Οι εσωτερικές δυνάµεις περιορισµών διαδίδονται (δεν απαλείφονται). Η µέθοδος είναι κατάλληλη για προγραµµατισµό σε Η/Υ (δραστική µείωση των πράξεων). Εφαρµόζεται σε δύο φάσεις: (i) Κινηµατικός υπολογισµός προς τα εµπρός, όπου οι ταχύτητες (γραµµικές και γωνιακές) και οι αντίστοιχες επιταχύνσεις υπολογίζονται διαδοχικά ξεκινώντας από τη βάση (συνήθως µε µηδενικές τιµές) και προχωρώντας προς το άκρο του βραχίονα, και (ii) Δυναµικός υπολογισµός προς τα πίσω, όπου οι δυνάµεις-ροπές υπολογίζονται διαδοχικά ξεκινώντας από το άκρο (συνήθως µε µηδενικές τιµές) και προχωρώντας προς τη βάση. (β) Έχουµε επίπεδο βραχίονα, RP. Τα ΣΣ, φαίνονται στο επόµενο σχήµα. Σχήµα 3-5. Τα ΣΣ, για το βραχίονα RP του προβλήµατος #6 g g, g g (3.85) Για να ληφθεί υπόψη η βαρύτητα, θέτουµε v g g (3.86) 4

Θα χρειαστούν τα R, R, p, p, p C, p C, C I, C I. R R z (θ ) (3.87) R (3.88) p p l d p C p C l l C (3.89) (3.9) I C R I C R diag(,,i ) (3.9) I C R I C R diag(,i,) (3.9) Βήµα- (Ξεκινούµε από τη βάση, υπολογισµός προς τα εµπρός): ω θ, ω θ ω R ω θ, ω θ v R v + ω v R v g s c ( ) p + ( ω ) ( ω ) { p } + + R ω ˆ z d + z d v C v + ( ω ) p C + ( ω ) ( ω ) p C R v d ( ) p C ( ) ω d θ l θ θ d + gs l θ + d d θ + gc ( ) p C v C v + ω + ω (d l C ) θ l θ θ d + gs l θ + d (d l C ) θ + gc l θ + gs l θ + gc v d (d l C ) d * (3.93) (3.94) (3.95) (3.96) (3.97) (3.98) 5

Χρησιµοποιούµε τις εξισώσεις N-E για να βρούµε τη συνισταµένη δύναµη-ροπή, για κάθε σύνδεσµο: F m v C, F m v C (3.99) N C I ω I θ (3.) N C I ω I θ (3.) Βήµα- (Υπολογισµός προς τα πίσω. Ξεκινούµε από το άκρο): 3 f 3 E f E f F (3.) Οπότε η f,a που ζητείται, θα είναι: f,a z i F m l θ + m d m d θ + m gc (3.3) (γ) Μηδενίζουµε τις χρονικές παραγώγους και προσθέτουµε το µέρος που αναλογεί στην άρθρωση- (για τη δεδοµένη δύναµη στο άκρο): f,a m gc + z R F m gc F x s + F y c (3.4) 6