ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ 3 ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ (DISCOUNT) 7 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΙΤΛΩΝ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) 11 ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ) 12 ΧΡΗΜΑΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (ΡΑΝΤΕΣ) 22 ΔΑΝΕΙΑ 29

2 ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ) Το μέγεθος του απλού τόκου (Ι) είναι ανάλογο με τα τρία άλλα ποσά, δηλαδή το Kεφάλαιο ( K ή C ),το χρόνο ( n ή t ) και το επιτόκιο (i). I = Κ n i Παρατηρήσεις 1. Κατά την εφαρμογή του παραπάνω τύπου πρέπει να προσέχουμε ώστε ο χρόνος n να εκφράζεται στην ίδια χρονική περίοδο στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο, δηλαδή αν το επιτόκιο είναι ετήσιο, εξαμηνιαίο, τριμηνιαίο κ.λ.π. πρέπε ι αντίστοιχα και η διάρκεια τοκισμού να είναι n έτη, n εξάμηνα, n τρίμηνα κ.λ.π. 2. Αν το επιτόκιο είναι ετήσιο και η διάρκεια τοκισμού αναφέρεται σε μήνες, τότε ο τύπος του τόκου θα γίνει:.. i Ι = 12 όπου ο αριθμός των μηνών τοκισμού μ, δηλαδή η διάρκεια τοκισμού, εκφράζεται σε κλάσμα του έτους. 3. α) Αν το επιτόκιο είναι ετήσιο και η διάρκεια τοκισμού αναφέρεται σε ημ έρες, τότε ο βασικός τύπος του τόκου θα γίνει:.. i.. i Ι = ή Ι = για δίσεκτο έτος, 365 366 όπου ο αριθμός των ημερών τοκισμού ν, εκφράζεται πάλι σε κλάσμα του έτους (έτος πολιτικό). β) Αν στον παραπάνω τύπο θεωρήσουμε, για διευκόλυνση των υπολογισμών, ότι το έτος περιλαμβάνει 360 ημέρες και κάθε μήνας 30 ημέρες (έτος εμπορικό), ο τύπος γίνεται:.. i I = 360 γ) Επειδή ο τρόπος υπολογισμού με εμπορικό έτος είναι άδικος για τον οφειλέτη, μια συμβιβαστική λύση είναι να θεωρείται ότι το έτος έχ ει 360 ημέρες, αλλά ο κάθε μήνας να έχει τον πραγματικό αριθμό ημερών του, όπως και στο πολιτικό έτος ( έτος μικτό). Ο τύπος είναι.. i πάλι: I = 360 Τοκάριθμος- Σταθερός Διαιρέτης Τους υπολογισμούς στην εύρεση του τόκου όταν ο χ ρόνος δίνεται σε ημέρες, διευκολύνουν ο τοκάριθμος και ο σταθερός διαιρέτης :.. i.. i Αν πάρουμε τους τύπους I = και Ι = 360 365 και διαιρέσουμε τους όρους του κλάσματος δια i, θα έχουμε:

3 I =.. i / i 360/ i ή Ι = K. 360/ i και Ι =.. i / i 365/ i ή Ι = K. 365/ i To γινόμενο Κν λέγεται Τοκάριθμος και συμβολίζεται με Ν. Το πηλίκο 360/i ή 365 / i λέγεται Σταθερός διαιρέτης και συμβολίζεται με Δ. Τότε ο τύπος γίνεται: Ι = K. ή Ι = όπου Δ = 360 i ή Δ = 365 i. Τελική Αξία Η τελική αξία Κn ενός κεφαλαίου Κο μετά απο n έτη θα είναι: Κn = Ko +I δηλ. Kn =Ko +Ko n i ή Kn = Ko (1+ni) Οταν το επιτόκιο είναι ετή σιο και οχρόνος εκφράζεται σε μήνες, η τελική αξία θα είναι : Κμ = Κο ( 1 + 12 i ) Οταν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες, η τελική αξία θα εί ναι : Kv = Ko ( 1+ 365 i) και Kv = Ko ( 1+ 360 i) και K ν = Ko + 0 ή K ν = Ko (1 + ) Oι παραπάνω τύποι μπορούν να λυθούν ως προς Κο και τότε θα δώσουν την παρούσα αξία ( αρχικό κεφάλαιο ) συναρτήσει της τελικής του αξίας. Πρόβλημα: Σε πόσο χρόνο ένα κεφάλαιο διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται κ.λ.π. Λύση:Για να το λύσουμε, μπορούμε να αντικαταστήσουμε στον κατάλληλο τύπο, όπου Kn = 2Ko Kn = 3Ko κ.λ.π. Π.χ. αν αντικαταστήσουμε στον τύπο: Kn=Ko (1+ni), όπου Kn = 2Ko,θα βρούμε n= i 1 και αν αντικαταστήσουμε στον τύπο: K ν = Ko (1 + ), όπου Kν = 2Ko, θα βρούμε ν=δ Επίσης, αν Κν = 3 Κο,, θα βρούμε: ν = 2Δ

4 Αρα το κεφάλαιο θα διπλασιασθεί σε n = i 1 έτη ή σε τόσες ημέρες,όσος είναι ο σταθερός διαιρέτης.επίσης θα τριπλασιασθεί σε μέρες ίσες με το διπλάσιο του σταθερού διαιρέτη. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ 1) Ενα κεφάλαιο τοκίστηκε προς 21% για 6 έτη και έγινε μαζί με τους τόκους του 3.390 Eυρώ. Ποιό ήταν το αρχικό κ εφάλαιο και ποιός ο τόκος του; (Απ. Κο = 1.500 Eυρώ, Ι = 1.890 Eυρώ ). 2) Κεφάλαιο έχει τοκισθεί επί 180 ημέρες προς 15 % και έγιν ε με τον τόκο του 43.000 Eυρώ. Ποιό είναι το κεφάλαιο ; ( έτος μικτό). (Απ. Ko = 40.000 Eυρώ). 3)Κεφάλαιο τοκίσθηκε προς 18% επί 5 μήνες και το τοκοκεφάλαιο τοκίσθηκε πάλι προς 24% και έδωσε μηνιαίο τόκο 4.300 Eυρώ.. Ποιό ήταν το αρχικό κεφάλαιο (Απ.200.000 ). 4) Κεφάλαιο τοκίσθηκε επί 90 ημέρες και έγινε με τους τόκους του 145.250 Eυρώ. Το τοκοκεφάλαιο ξανατοκίσθηκε για άλλες 120 ημέρες και έγινε μαζί με τους τόκους του 152.512,5 Eυρώ. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο( έτος μικτό). (Απ. i= 15%, Ko =140.000 ). 5) Στις 20 Φεβρουαρίου, ο έμπορος χ δανείσθηκε ένα χρηματικό ποσό με τη συμφω νία να το εξοφλήσει την 20η Απριλίου του ίδιου έτους. Ο πιστωτής κράτησε προκαταβολικώς τον τόκο του ποσού που δάνεισε προς 30% και ο χ εισέπραξε 23.750 Eυρώ. Ποιό είναι το οφειλόμενο ποσό; Ετος μικτό. (Απ. K = 25.000 ). 6) Μια βιομηχανική επιχείρηση δανε ίσθηκε απο την Εμπορική Τράπεζα Ελλάδος ένα χρηματικό ποσό για 72 ημέρες προς 25%. Η τράπεζα κράτησε προκαταβολικά τον τόκο του δανεισθέντος ποσού και η επιχείρηση έλαβε τελικά 95.000 Eυρώ. Ποιό είναι το ποσό το οποίο δανείσθηκε η επιχείρηση ; ( έτος μικ τό). ( Απ. K= 100.000 ). 7) Ο Α ζήτησε απο τον Β δάνειο 730 00Eυρώ. για χρονικό διάστημα 120 ημερών με ετήσιο επιτόκιο 0,20 και συμφωνήθηκε να κρατηθεί ο τόκος προκαταβολικά. Αν χρησιμοποιηθεί έτος πολιτικό, να βρεθεί τι ποσό πήρε στα χέρια του ο Α. (Απ. = 68200 ). 8) Ενας έμπορος πλήρωσε στις 25 Ιανουαρίου 524.000 Ευρώ, για τόκους και κεφάλαιο ενός δανείου που είχε πάρει στις 30 Αυγούστου του προηγούμενου έτους με επιτόκιο 12%. Ποιό ήταν το αρχικό χρέος; Ετος μικτό.( απ. 500.000 Ευρώ. ) 9) Κάποιος κατέθεσε σε μια τράπεζα ένα ποσό προς 15% και ένα ίσο ποσό προς 18 %. Μετά απο 18 μήνες πήρε συνολικά τόκους και κεφάλαιο 299.400 Ευρώ. Πόσα είχε τοποθετήσει και πόσοι είναι οι τόκοι κάθε τοποθέτησης; (απ. 120.000, τόκοι 27.000 και 32.400 ) 10) Ενα κεφάλαιο τοκίσθηκε επι 80 ημέρες και έγινε με τους τόκους του 208.000 Ευρώ. Το ποσό αυτό ξανατοκίσθηκε για 120 ημέρες με το ίδιο επιτόκιο και έγινε με τους τόκους του 220.480 Ευρώ. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο.ετος μικτ ό. ( 200.000 ).

5 11) Τι ποσό πρέπει να ζητήσει κάποιος σαν δάνειο ώστε αν κρατηθεί προκαταβολικά ο τόκος με ετήσιο επιτόκιο 24% και για χρονικό διάστημα 150 ημερών, να εισπράξει 100.000 Ευρώ. (απ. 111.111,11 Ευρώ) 12) Κάποιος κατέθεσε στις 21-3-02 σε μια τράπεζα ένα κεφάλαιο.στις 2-9-02 τα χρήματα αυτά είχαν γίνει με τους τόκους τους 213.750 Ευρώ. Το ποσό αυτό ξανατοκίστηκε για 160 ημέρες με το ίδιο επιτόκιο και έγινε με τους τόκους του 228.000 Ευρώ. Να βρείτε το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο. Ετος μικτό. (απ. i = 15%, Ko = 200.000 Ευρώ.) 13) Υπάλληλος κατέθεσε σε μια τράπεζα 250 Ευρώ στις 4 Ιουλίου και 100 Ευρώ στις 20 Οκτωβρίου. Στις 31 Δεκεμβρίου του ιδίου έτους ο συνολικός τόκος στο βιβλιάριο ήταν 29 Ευρώ. Με ποιό επιτόκιο υπολογίσθηκαν οι τόκοι των παραπάνω καταθέσεων; Ετος μικτό. (απ. 20% ). 14) Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά 5.000 Ευρώ. Το μεγαλύτερο τοκίσθηκε με επιτόκιο 4% και το μικρότερο με επιτόκιο 5%. Αν στα κεφάλαια αυτά προστεθούν και οι ετήσιοι τόκοι τους αντίστοιχα, θα γίνουν ίσα. Να βρεθούν τα αρχικά κεφάλαια. ( απ. 525.000, 520.000 Ευρώ.) 15) Δύο κεφάλαια τοκίσθηκαν το πρώτο στις 31 Ιανουαρίου και το δεύτερο στις 16 Απριλίου του ιδίου έτους με επιτόκιο 9% και 18% αντίστοιχα. Αν γνωρίζετε οτι το δεύτερο είναι 2πλάσιο του πρώτου και οτι στις 8 Οκτωβρίου του ιδίου έτους έδωσαν και τα δύο μαζί τελική αξία 582.750 Ευρώ, να βρείτε τα δύο κεφάλαια. ( απ. 180.000 & 360.000 Ευρώ ) 16) Ενα κεφάλαιο 1.000 Ευρώ τοκίζεται με επιτόκιο 16% με απλό τόκο και έτος μικτό. α) Σε πόσο χρονικό διάστημα θα διπλασιαστεί ; β) Σε πόσο χρονικό διάστημα θα τριπλασιαστεί; (απ. α) 6,25 έτη β) 12,5 έτη). 17) Κάποιος κέρδισε στο λαχείο ένα ποσό και δάνεισε αμέσως τα 6/10 του ποσού με ετήσιο επιτόκιο 24% ενώ το υπόλοιπο το κατέθεσε με ετήσιο επιτόκιο 21% 8 μήνες αργότερα. Πόσα χρήματα κέρδισε στο λαχείο, αν 3 χρόνια μετά την κατάθεση πήρε τόκο 11.700 Ευρώ; (απ. 15.000 Ευρώ.) 18)Ενα κεφάλαιο τοκίστηκε επί 18 μήνες και έδωσε τόκο το 1/12 της αξίας του. Να βρείτε το επιτόκιο. (απ. 5.55 %) 19)Κάποιος δάνεισε με απλό τόκο 500.000 Ευρώ με επιτόκιο 24%. Αργότερα συ μφώνησε να μειώσει το επιτόκιο σε 18%. Να βρείτε το χρόνο που μεσολάβησε μέχρι την αλλαγή του επιτοκίου αν μετά απο 1 έτος πήρε συνολικά τόκο 97.500 Ευρώ. Ετος εμπορ ικό. (απ. μ1= 3 μήνες). 20) Ενας πατέρας θέλει να καταθέσει 100.000 Ευρώ με απλό τόκο και επιτόκιο 20% για τα δύο παιδιά του, ηλικίας σήμερα 8 και 13 ετών. Πως πρέπει να μοιράσει το ποσό, ώστε τα δύο μερίδια να δώσουν ίσες τελικές αξίες όταν το κάθε παιδί γίνει 18 ετών; ( απ. 40.000 και 60.000 Ευρώ) 21)Ενας καταθέτης έχει στην τράπεζα 30.000 Ευρώ σ' ένα λογαριασμό με επιτόκιο 15% και 10.000 Ευρώ σε άλλο λογαριασμό

6 με επιτόκιο 18%. Αν μέχρι σήμερα το πρώτο έχει δώσει τόκο 6400 Ευρώ και το δεύτερο 3600 Ευρώ, μετά απο πόσο χρονικό διάστημα ο συνολικός τόκος που θα έ χει δώσει το πρώτο θα είναι διπλάσιος από τον συνολικό τόκο που θα έχει δώσει το δεύτερο. Έτος μικτό. ( απ. ν=320 ημέρες ). ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ( DISCOUNT ) Προεξόφληση μιας συν/κής λέγεται η διαδικασία με την οποία ο κάτοχος της συν/κής (εκδότη ς ή οπισθογράφος) την μεταβιβάζει( συνήθως σε Τράπεζα) πριν απο τη λήξη της και εισπράττει ένα χρηματικό ποσό (Α) μικρότερο από το ποσό που γράφει επάνω η συν/κή ( Κ ). Το ποσό που γράφει επάνω λέγεται Ονομαστική Αξία ( Κ ) της συν/κής και το ποσό που θα εισπράξει ο κομιστής κατά την προεξόφληση λέγεται Παρούσα Αξία (Α). Η διαφορά Κ-Α είναι το ποσό που θα κρατήσει η Τράπεζα σαν τόκο για το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί απο την ημέρα προεξόφλησης μέχρι την ημέρα λήξης της συν/κής. Ο τόκος αυτός λέγεται προεξόφλημα ή υφαίρεση (Ε). Το προεξόφλημα ( Ε) υπολογίζεται με απλό τόκο όταν ο χρόνος προεξόφλησης είναι μικρός. Για χρονικά διαστήματα πάνω απο ένα έτος το προεξόφλημα υπολογίζεται με ανατοκισμό. Στην ουσία η προεξόφληση είναι μια μορφή δανεισμού χρημάτω ν και μάλιστα περίπτωση δανεισμού στην οποία η Τράπεζα κρατάει προκαταβολικά τον Τόκο. Το κεφάλαιο δανεισμού Κ είναι η ονομαστική αξία ( Κ ) της συν/κήςτο ελαττωμένο κεφάλαιο (Κ*) που θα εισπράξει πράγματι ο δανειζόμενος είναι η παρούσα αξία ( Α ) της συ ν/κής. Ο τόκος που θα κρατήσει η Τράπεζα είναι το προεξόφλημα ( Ε ).Ισχύει η σχέση: Ονομαστική αξία = Παρούσα αξία + Προεξόφλημα ή συμβολικά Κ = Α + Ε Χρόνος προεξόφλησης λέγεται το χρονικό διάστημα απο την ημέρα προεξόφλησης μέχρι την ημέρα λήξης τ ης συν/κής. Αν και υπάρχουν διαφορές στις Τράπεζες στον τρόπο που υπολογίζουν το χρόνο προεξόφλησης, συνήθως υπολογίζονται σαν τοκοφόρες και η ημέρα προεξόφλησης και η ημέρα λήξης της συν/κής. Επιτόκιο προεξόφλησης λέγεται το επιτόκιο υπολογισμού του προεξοφλήματος. Το ύψος του καθορίζεται απο την Τράπεζα Ελλάδος και κυμαίνεται γύρω στο 25%. Υπάρχουν δύο είδη προεξόφλησης. Η εξωτερική και η εσωτερική. Εξωτερική λέγεται η προεξόφληση όταν το προεξόφλημα υπολογίζεται επί της ονομαστικής αξίας ( Κ ) της συ ν/κής με τη μέθοδο υπολογισμού απλού τόκου.

7 Εσωτερική λέγεται η προεξόφληση όταν το προεξόφλημα υπολογίζεται επί της παρ ούσας αξίας (Α ) της συν/κής, ε πίσης με απλό τόκο. Ι. Εξωτερική προεξόφληση Στην εξωτερική προεξόφληση το προεξόφλημα λέγεται εξωτερικό (Ε) και υπολογίζεται πάνω στην ονομαστική αξία ( Κ ) με τους τύπους του απλού τόκου. Κμ i Kv i K v Ε= Κ n i ή Ε = ----------- ή Ε = ------------ ή Ε = ---- 12 360 ( ή 365) Δ Η παρούσα αξία ( Α ) στην εξωτερική προεξόφληση υπολογίζεται απο τη θεμελιώδη σχέση της προεξόφλησης: Κ = Α + Ε Α = Κ - Ε και αν αντικαταστήσω το Ε απο κάποιον απο τους παραπάνω τύπους: Κ ν Α= Κ - --------- ( 1 ) Δ Επειδή όμως στην πράξη η Τράπεζα κάνει και άλλες κρατήσεις για να βρούμε το πραγματικό ποσό που θα πρέπει να πάρει ο πιστ ωτής πρέπει να αφαιρέσουμε και τις κρατήσεις αυτές. Αν παραστήσουμε την προμήθεια με θ, τα διάφορα έξοδα με το ε και το χαρτόσημο με το χ θα ισχύουν τα εξής: Το χαρτόσημο υπολογίζεται συνήθως εφάπαξ άρα αφαιρείται απλώς. Η προμήθεια υπολογίζεται σε ποσοσ τό επί της ονομαστικής αξίας για κάθε μήνα προεξόφλησης και τα μέρη του μήνα θεωρούνται ολόκληροι μήνες. Δηλαδή θα αφαιρέσουμε ένα ποσοστό. 100 για την προμήθεια κατά μήνα και για ολόκληρους μήνες. Τα έξοδα υπολογίζονται σαν ποσο στό κατά εκατοντάδα και για ολόκληρη εκατοντάδα ή κατά χιλιάδα και για ολόκληρη χιλιάδα και θα αφαιρεθεί ένα ποσοστό.. Ετσι ο τελικός τύπος της πραγματικής 100 αξίας θα είναι: Κ ν Κ θ Κε Α= Κ- --------- - -------- - ------- - χ Δ 100 100

8 ΙΙ. Εσωτερική προεξόφληση Στην εσωτερική προεξόφληση το προεξοφλημα λέγεται εσωτερικό (Ε 1 ) και υπολογίζεται πάνω στην παρούσα αξία, είναι δηλαδή ο τόκος της παρούσας αξίας. Αυτή η παρούσα αξία θα είναι τώρα διαφορετική ( Α 1 ). Αυτό το Α1 δεν μπορεί να υπολογισθεί απο τη σχέση: Κ = Α 1 +Ε 1 (1) διότι σ'αυτή την ισότητα τόσο τοα 1 όσο και το Ε 1 είναι άγνωστα. Θα ισχύει όμως εξ ορισμού και η σχέση: Α 1 ν Α 1 v i Α 1 μ i Ε 1 = -------- ή Ε 1 = ----------- ή Ε 1 = -------- ή Ε 1 = Α 1 n 1 i Δ 360 ( 365) 12 Αντικαθιστούμε μια απο τις σχέσεις αυτές, έστω την πρώτ η, στη σχέση ( 1 ) θα έχομε: Α 1 ν ν Δ + ν Κ = Α 1 + ------ ή Κ = Α 1 ( 1 + ---- ) ή Κ = Α 1 ( -------) ή Δ Δ Δ Κ Δ ή Α 1 = ----------- ( 2 ) Δ + ν Ο τύπος (2) μας δίνει την παρούσα αξία Α 1 απο την ονομαστική (Κ). Και το προεξόφλημα θα υπολογισθεί εύκολα απο τους τύπους του απλού τόκου : Α 1 ν Κ Δ ν Κν Ε 1 = ---------- ή Ε 1 = ------ ------ ή Ε 1 = ------ ( 3 ) Δ Δ + ν Δ Δ+ν Η εξωτερική προεξόφληση είναι άδ ική για τον οφειλέτη, γιατί η τράπεζα υπολογίζει τον τόκο επι της ονομαστικής αξίας, ενώ προσφέρει μικρότερο ποσό ( την παρούσα αξία ). Το μέγεθος της αδικίας φαίνεται απο το εξής:. Αν στον τύπο Ε =, γίνει ν = Δ τότε Ε = Κ και για ν> Δ θα είναι Ε > Κ δηλαδή στην εξωτερική προεξόφληση, το προεξόφλημα μπορεί να γίνει ίσο ή και μεγαλύτερο ( 1 ) απο την ονομαστική αξία.

9. Αν γίνει το ίδιο στον τύπο της εσωτερικής Ε = παρατηρούμε ότι πάντα θα ισχύει Ε < Κ όποια τιμή και αν πάρει ο ν. Στην πράξη χρησιμοποιείται η εξωτερική προεξόφληση, επειδή για μικρές τιμές του ν δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά και επειδή οι σχετικοί υπολογισμοί είναι πιο απλοί, αν και τώρα με τη χρήση των Η /Υ αυτός ο ισχυρισμός έχει πάψει να ισχύει. Πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης Επειδή η τράπεζα κατά την προεξόφληση κρατά όχι μόνο το προεξόφλημα δηλαδή τον τόκο αλλά και διάφορα άλλα έξοδα, ονομάζουμε πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης j το υποθετικό εκείνο επιτόκιο με το οποίο αν τοκιζόταν το καθαρό ποσό που θα πάρει αυτός που δίνει την συν/κή για προεξόφληση, θα έδινε τόκο ίσο με το προεξόφλημα + έξοδα σε χρόνο ίσο με το χρόνο προεξόφλησης.αν λοιπόν η συν/κή προεξοφλείται ν ημέρες πριν τη λήξη της το πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης θα βρεθεί απο τη σχέση: Α ν j K- A = ---------------και λύνονται ως προς j : 360 ( 365) ( K - A ) 360 ( K - A ) 365 j = ------------------ ή j = ----------------- A v A v Παράδειγμα. Μια τράπεζα προεξοφλεί γραμμάτιο 2000 Ευρώ, 60 ημέρες πριν τη λήξη με επιτόκιο 18% και κρατάει επιπλέον για προμήθεια και για έξοδα 1,5%. Με ποιό πραγματικό επιτόκιο έγινε η προεξόφληση; Λύση Δ=2000 Κ ν θ + ε 2000 x60 2000 x 1,5 A = K - ----- - K ------- = 2000 - -- -------- - -------------- Δ 100 2000 100 = 2000-60 - 30 = 1910 Ευρώ.Αντικαθιστώντας τώρα στον τύπο του πραγματικού επιτοκίου θα έχομε: J =0,282722 ή J = 28 % περίπου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ 1. Μια συν/κή ονομαστικής αξίας 3000 Ευρώ που έληγε στις 30 Ιανουαρίου 2003 προεξοφλήθηκε στις 19-12-02 προς 30%. Να βρεθεί το εξωτερικό και το εσωτερικό προεξόφλημα καθώς και το καθαρό ποσό που εισέπραξε ο εκδότης της, αν η τράπεζα κράτησε: α) προμήθεια 1,5 % β) πάγια έξοδα 30 Ευρώ. Στις τοκοφόρες ημέρες η τράπεζα υπολογίζει και τις 2 επιπλέον για το νόμιμο περιθώριο πληρωμής της συν/κής. Ετος μικτό. Λύση : ν= 45 Δ = 1200

10 Κν 3000 x 45 Ε = ---------- = ---------------- = 112,5 Ευρώ. Δ 1200 Κν 3000 x 45 Ε 1 = --------------- = ----------------------------- = 108,434 Ευρώ. Δ + ν 1245 Κ ν Κ θ Α = Κ - ------------ - --------- - 30 = 3000-112,5-45 -30 = Δ 100 = 3000 187,5 = 2812.5 Ευρώ. Κν Κ θ Α 1 = Κ - --------- - ------- - 30 = = 2 816,7 Ευρώ. Δ+ν 100 2. Αγόρασε κάποιος είδη αξίας 2000 Ευρώ και για να τα εξοφλήσει υπογράφει συν/κή 3μηνης λήξης με επιτόκιο 25%. Να βρείτε την ονομαστική αξία της συν/κής όταν υπολογισθεί και προμήθεια 3% και πάγια έξοδα 5%ο. Εξωτερική προεξόφληση. Ετος μικτό. 3. Να βρείτε την παρούσα αξία συν/κής 2500 Ευρώ, που προεξοφλήθηκε εξωτερικά 120 ημέρες πριν τη λήξη της με επιτόκιο 24% και κρατήσεις: προμήθεια 2%, έξοδα 0,5% κατά μήνα, Ε.Φ.Τ.Ε 3 %. Ετος μικτό. 4.Ενα γραμμάτιο ονομαστικής αξίας 1200 Ευρώ, προεξοφλήθηκε εξωτερικά με ετήσιο επιτόκιο 20%, 75 ημέρες πριν τη λήξη του. Η τράπεζα κράτησε ακομη προμήθεια 1% το μήνα και για ολόκληρους μήνες και 3%ο εισπρακτικά καθώς και 15 Ευρώ για διάφορα έξοδα. Να βρείτε το πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης με έτος μικτό Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Ι Σ Ο Δ Υ Ν Α Μ Α Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Α 1. Ενας έμπορος οφείλει τα εξής γραμμάτια : 800 Ευρώ λήξης σε 70 ημέρες, 500 Ευρώ λήξης σε 50 ημέρες και 900 Ευρώ, λήξης σε 40 ημέρες απο σήμερα. Θέλει να τα αντικαταστήσει με ένα γραμμάτιο που να λήγει σε 60 ημέρες απο σήμερα. Να υπολογισθεί η ονομαστική αξία Κ του ενιαίου γραμματίου εξωτερικώς, με επιτόκιο 18 % και εποχή ισοδυναμίας :α) την ημέρα υπολογισμού β) την κοινή λήξη. Ετος μικτό. 2. Οφείλει κάποιος τα γραμμάτια: α) 20.000 που λήγει στις 10-4 β) 40.000 που λήγει στις 10-5 και γ ) 60.000 που λήγει στις 19-6. Τα αντικαθιστά με άλλα τρία α ) 50.000 που λήγει στις 15 Μαρτίου β ) 30.000 λήξης στις 20 Μαίου και 40.000. Πότε θα λήγει το τελευταίο ; 3. Πότε πρέπει να λήγει γραμμάτιο αξίας 50.500 δρχ, το οποίο την 1η Σεπτεμβρίου αντικαθιστά τα εξής γραμμάτια : α ) 20.000 δρχ. λήξεως 10 Οκτωβρίου και β ) 30.000δρχ λήξεως 19 Νοεμβρίου. Επιτόκιο 8 % και έτος πολιτικό. Εποχή ισοδυναμίας : η ημέρα υπολογισμού και η κοινή λήξη.( Απ. 18 Δεκ. - 19 Δεκ. ) 4. Οφείλει κάποιος γραμμάτιο 50.000 δρχ. που λήγει την 20 Απριλίου. Για να εξοφλήσει το γραμμάτιο υπογράφει τα εξής γραμμάτια : α) 10.000 δρχ λήξεως 21 Μαρτίου, β ) 10.000 λήξεως 10 Απριλίου, γ) 10.000 δρχ λήξεως 10 Μαίου και δ )

11 γραμμάτιο που λήγει στις 10 Ιουνίου. Να βρεθεί η ονομαστική αξία του δ' γραμματίου. Εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη. Επιτόκιο 7% και έτος πολιτικό. ( Απ. 20.158, 81) ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ) Ανατοκισμός ή σύνθετος τόκος ή σύνθετη κεφαλαιοποίηση λέγεται το σύστημα κεφαλαιοποίησης στο οποίο ο χρόνος τοκισμού χωρίζεται σε ίσες χρονικές περιόδους και ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου προστίθεται στο κεφάλαιο και αποτελεί παραγωγικό κεφάλαιο για τις επόμενες χρονικές περιόδους. Έστω ότι ένα κεφάλαιο Κο ανατοκίζεται για n χρονικές περιόδους ίσες με π με επιτόκιο i για κάθε χρονική περίοδο π. Αν στο τέλος της 1ης χρονικής περιόδου η τελική αξία του κεφαλαίου Κ 0 γίνει Κ 1 θα ισχύει η σχέση : Κ 1 = Κ 0 ( 1+ i ) και στο τέλος της δεύτερης περιόδου θα είναι : Κ 2 = Κ 1 ( 1 + i ). Επίσης στο τέλος της τρίτης : Κ 3 = Κ 2 ( 1 + i ). Ετσι στο τέλος της n χρονικής περιόδου : Κ n = Κ n-1 ( 1 + i ). Πολλαπλασιάζω κατά μέλη και μετά τις απλοποιήσεις θα έχω : Κ n = Κ 0 ( 1 + i ) n (1) Ο αριθμός ( 1 + i ) n λέγεται συντελεστής τελικής αξίας ανατοκισμού και δίνεται απο ειδικούς πίνακες για τα διάφορα i και n. Στον τύπο αυτό το n παριστάνει τον αριθμό των χρονικών περιόδων κατά τις οποίες γίνεται ο ανατοκισμός. Δηλαδή αν ο ανατοκισμός είναι ετήσιος το επιτόκιο θα είναι επίσης ετήσιο και το n θα παριστάνει έτη, αν είναι εξαμηνιαίος θα πρέπει να μετατραπεί ο χρόνος σε εξάμηνα και να αντικατασταθεί το ετήσιο επιτόκιο με το ανάλογο εξαμηνιαίο. Ε ύ ρ ε σ η τ ο υ α ρ χ ι κ ο ύ κ ε φ α λ α ί ο υ Αν είναι γνωστή η τελική αξία Κn και ζητάμε το αρχικό κεφάλαιο Κο, που όταν ανατοκισθεί για n χρονικές περιόδους με επιτόκιο i, γίνεται ίσο με Κn, τότε θα λύσουμε τον τύπο (1) του ανατοκισμού ως προς Κο Κ n Κ ο = -------------- ή Κ ο = Κ n ( 1 + i ) -n (2 ) (1 + i ) n Εύρεση του χρόνου ανατοκισμού Για να βρούμε το χρόνο που πρέπει να ανατοκισθεί ένα κεφάλαιο Κο με ετήσιο επιτόκιο i για να γίνει ίσο με Κn, λύνουμε τον τύπο ( 1 ) ως προς n : K n = K o ( 1 + i ) n άρα ( 1 + i ) n = K n / K 0 Απο αυτή τη σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε το n με δύο τρόπους:

12 1ος τρόπος:. Απο τους πίνακες. Κάνουμε τη διαίρεση K n / K 0 και αναζητούμε το πηλίκο στους αριθμούς της στήλης i των πινάκων. Αν τον βρούμε η αντίστοιχη γραμμή θα μας δώσει αμέσως το n. Αν δεν τον βρούμε θα πάρουμε τους δύο αριθμούς που ανάμεσα τους βρίσκεται ο αριθμός μας και θα βρούμε τα έτη στα οποία αντιστοιχούν. Υποθέτοντας οτι η αύξηση του χρόνου είναι ανάλογη προς την αύξηση της τιμής του ( 1 + i ) n θα βρούμε τελικά με ακρίβεια το χρόνο. 2ος τρόπος : Αν στη σχέση ( 1 + i ) n δύο μελών θα έχουμε: = K n / K 0 πάρουμε τους λογαρίθμους και των log ( 1 + i ) n = log(k n / K 0 ) ή n log ( 1 + i ) = log (K n / K 0 ) και συνεχίζουμε χρησιμοποιώνται λογαριθμικούς πίνακες ή " κομπιουτεράκι " με πλήκτρο log. Παράδειγμα 4 : Μετά απο πόσα χρόνια, ένα κεφάλαιο 2500 Ευρώ που ανατοκίζεται κάθε χρόνο με επιτόκιο 15% γίνεται 13375,625 Ευρώ. Λύση : Kn = Ko ( 1 + i ) n ή ( 1 + i ) n n = = 5,35025. Στους πίνακες του ( 1 + i ) n αναζητάμε τον αριθμό 5,35025 και ειδικά στη στήλη του 15 %. Τον βρίσκουμε στη γραμμή n = 12. Αρα ο χρόνος είναι 12 έτη. K 0 Παράδειγμα 5 : Μετά πόσο χρόνο ένα κεφάλαιο 150.000 Ευρώ που ανατοκίζεται κάθε χρόνο με επιτόκιο 18% γίνεται 588.687 Ευρώ. Λύση : Παίρνουμε τον τύπο Kn = Ko ( 1 + i ) n και λύνουμε ως προς ( 1 + i ) n. ( 1 + i ) n = Kn/ K 0 = 588687/ 150.000 = 3,92458. 1ος τρόπος : Αναζητούμε τον αριθμό που βρήκαμε στους πίνακες του ( 1 + i ) n και στο επιτόκιο 18%. Ο ίδιος δεν υπάρχει αλλά βρίσκεται ανάμεσα στους 3,7588592 και 4,4354539 που αντιστοιχούν σε 8 και 9 έτη. Aν υποθέσουμε οτι η αύξηση του χρόνου στο διάστημα ( 6,7 ) έτη είναι ανάλογη με την αύξηση της τιμής του ( 1 + 0,18 ) θα έχουμε την αναλογία: n - n 1 Ψ Ψ 1 -------------- = ---------------- ( 4 ) Τύπος της γραμμικής παρεμβολής. n 2 - n 1 Ψ 2 Ψ 1 Σ'αυτόν τον τύπο n 1 και n 2 είναι τα δύο ακέραια χρονικά διαστήματα που ανάμεσά τους βρίσκεται ο αριθμός που ζητάμε δηλαδή τα 8 και 9 έτη (n 1 = 8, n 2 = 9 ) και Ψ1, Ψ2 είναι οι δύο αριθμοί του πίνακα που ανάμεσά τους βρίσκεται ο αριθμός μας. Επίσης Ψ είναι ο αριθμός μας, δηλαδή το K n / K 0. Με αντικατάσταση, θα έχουμε : n 8 9 8 = 3,924580 3,7588592 4,4354539 3,7588592 ή n 8 1 = 0,1657208 0,6765947 = 0,2449336 ή

13 n -8 = 0,2449336 ή n = 8 + 0,2449336 = 8,2449336 = 8 έτη + 0,2449336 x 12 = 8 έτη και 2 μήνες + 0,9392032 = 8 έτη 2 μήνες και 28 ημέρες περίπου. 2ος τρόπος : Με χρήση λογαριθμικών πινάκων ή " κομπιουτεράκι " με πλήκτρο log. Με ανάλογο τρόπο γίνεται και η εύρεση του επιτοκίου. Ανάλογα επιτόκια - Ισοδύναμα επιτόκια Ας ονομάσουμε i το επιτόκιο που αναφέρεται σε μια χρονική περίοδο π και i ' το επιτόκιο που αναφέρεται σε υποδιαίρεση της περιόδου π, έστω στην περίοδο 1 i π' = π. Αν i' =, τότε το i' λέγεται ανάλογο επιτόκιο του i για τη χρονική μονάδα π'. Επίσης αν i είναι το επιτόκιο μιας χρονικής περιόδου π = μπ* (η περίοδος π είναι πολλαπλάσιο της περιόδου π* ) και ισχύει : i = μ i* τότε το i* θα λέγεται ανάλογο επιτόκιο του i για τη χρονική μονάδα π*. Π.χ. Αν έχουμε ετήσιο επιτόκιο i = 18%, το ανάλογο εξαμηνιαίο επιτόκιο του i θα είναι: i * = 0,18/2 = 0,09 = 9%. και το ανάλογο τετραμηνιαίο θα είναι i * = 0,18/3 = 0,06 = 6% Επίσης αν έχουμε τριμηνιαίο επιτόκιο i* = 4%, το ανάλογο ετήσιο επιτόκιο του i* θα είναι : i = 4x4 = 16%. Ισοδύναμα επιτόκια Δύο επιτόκιο i και i' που αναφέρονται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους π και π' θα λέγονται ισοδύναμα όταν: ίσα κεφάλαια τοκιζόμενα με τα επιτόκια i και i' δίνουν ίσες τελικές αξίες για οποιοδήποτε χρονικό διάστημα. Για να βρούμε τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα ισοδύναμα επιτόκια δύο διαφορετικών χρονικών περιόδων, χωρίζουμε τη χρονική περίοδο π, στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο i σε λ ίσες χρονικές περιόδους π', όπου λ φυσικός αριθμός. ( Αν το π είναι 1 έτος τότε το λ θα είναι 2,3,4,6, ή 12, οπότε το έτος χωρίζεται αντίστοιχα σε εξάμηνα, τετράμηνα, τρίμηνα, διμηνίες ή μήνες). Ονομάζουμε i λ το επιτόκιο κάθε μιας περιόδου π' που είναι ισοδύναμο με το i. Τότε η τελική αξία ενός κεφαλαίου Κ στο τέλος της πρώτης περιόδου π θα είναι : Κ 1 = Κ (1 + i ). Επίσης η τελική αξία του κεφαλαίου Κ στο τέλος της πρώτης περιόδου π, όταν ανατοκίζεται σε κάθε χρονική 1 περίοδο π' = ---- π θα είναι Κ λ = Κ ( 1 + i λ ) λ λ

14 Αφού τα επιτόκια είναι ισοδύναμα, θα πρέπει οι δύο τελικές τους αξίες να είναι ίσες δηλαδή Κ( 1 + i ) = K ( 1 + i λ ) λ άρα 1 + i = ( 1 + i λ ) λ ( 5 ) και 1 + i λ = 1 + i = ( 1 + i ) 1/λ άρα: i λ = 1 + i - 1 ( 6 ) ή i λ = ( 1 + i ) 1/λ - 1 ( 6' ) Υπάρχει πίνακας που μας δίνει τις τιμές του ( 1 + i ) 1/λ για τα διάφορα επιτόκια. Φυσικά μπορούμε να υπολογίσουμε το ( 1 + i ) 1/λ με κομπιουτεράκι που μας δίνει την λ τάξεως ρίζα του 1 + i. Παράδειγμα : Για ετήσιο επιτόκιο i= 18% το ισοδύναμο εξαμηνιαίο είναι : i 2 = ( 1 + 0,18 ) 1/2-1 = 1,086278-1 = 0,086278 ~ 8,63% το ισοδύναμο τριμηνιαίο θα είναι : i4 = ( 1 + 0,18 ) 1/4-1 =1,0422466-1 = 0,0422466 ~ 4,22% το ισοδύναμο μηνιαίο θα είναι: i 12 = ( 1 + 0,18 ) 1/12-1 = 1,0138884-1 = 0,0138884 ~ 1,39 % Aν ξέρουμε το επιτόκιο ενός μικρότερου χρονικού διαστήματος και θέλουμε να βρούμε το επιτόκιο ενός πολλαπλάσιου του χρονικού διαστήματος ( Κπ), χρησιμοποιούμε τον τύπο (5) 1 + i = (1 + i λ ) λ ή i = (1 + i λ ) λ -1 ή i (κ) = ( 1 + i ) κ -1 (7) Στον τύπο (7) το i (κ) πήγε στη θέση του i και συμβολίζει το επιτόκιο στο πολλαπλάσιο χρονικό διάστημα Κπ, το i πήγε στη θέση του i λ και συμβολίζει το επιτόκιο στο αρχικό χρονικό διάστημα π και το Κ πήγε στη θέση του λ και είναι ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε το χρονικό διάστημα π για να πάρουμε το πολλαπλάσιο του Κπ. Ετσι αν για παράδειγμα έχουμε τριμηνιαίο επιτόκιο 4% τότε το ισοδύναμο (2) 6μηνιαίο θα είναι : i (2) = (1 + 0,04 ) 2-1 = 1,0816-1 = 0,0816 ~ 8,16% και το ισοδύναμο ετήσιο θα είναι : i (4) = (1 + 0,04 ) 4-1 = 1,16986-1 = 0,16986 ~ 16,9% Γενίκευση του τύπου του ανατοκισμού Αποδείξαμε οτι ένα κεφάλαιο Κο που ανατοκίζεται για n περιόδους, θα έχει τελική αξία στο τέλος της n περιόδου : Kn = Ko ( 1 + i ) n.

15 Αν όμως ένα κεφάλαιο ανατοκίζεται για n χρονικές περιόδους και μ/λ μέρη της περιόδου π, τότε η τελική αξία μετά απο n +μ/λ περιόδους π, θα υπολογισθεί με δύο τρόπους ανάλογα με το πως θα βρούμε τον τόκο στο χρονικό διάστημα μ/λ της περιόδου π. α) Αν ο τόκος στο διάστημα μ π/λ υπολογισθεί με ανατοκισμό, όπως και στις προηγούμενες ακέραιες περιόδους π, τότε θα έχουμε : Kn = Ko (1 + i ) n+ μ/λ = Ko (1 +i) n (1 +i) μ/λ (9) Ο τύπος ( 9) λέγεται εκθετικός τύπος του ανατοκισμού ή εκθετική συνθήκη. Αν η περίοδος π είναι ένα έτος, το χρονικό διάστημα n έτη και μ μήνες θα γραφτεί n + μ/12 και η τελική αξία μετά απο n έτη και μ μήνες θα είναι : Kn = Ko (1 + i ) n+ μ/12 = Ko (1 +i) n (1 +i) μ/12 Αν η περίοδος π είναι ένα εξάμηνο τότε ο τύπος θα γίνει : Kn = Ko (1 + i ) n+ μ/6 = Ko (1 +i) n (1 +i) μ/6 β) Αν ο τόκος στο διάστημα μπ/λ υπολογισθεί με τον τύπο του απλού τόκου ( ενώ στις προηγούμενες ακέραιες περιόδους θα υπολογισθεί με ανατοκισμό τότε η τελική αξία μετά απο n + μ/λπεριόδους π θα γίνει: μ μ Kn = Kn + Kn -------- i = Ko ( 1+ i) n + Ko (1 + i ) n ------- i λ λ μ Κn = Ko ( 1 + i ) n ( 1 + ------- i ) ( 10 ) λ Ο τύπος (10) λέγεται μικτός τύπος του ανατοκισμού ή μικτή συνθήκη. Αν η ακέραια περίοδος είναι το έτος ο τύπος (10) θα γίνει : μ Κn = Ko ( 1 + i ) n ( 1 + ------- i ) 12 και αν είναι το εξάμηνο : μ Κn = Ko ( 1 + i ) n ( 1 + ------- i ) 6 Επίσης αν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη ( ή εξάμηνα ) μήνες και ημέρες τότε οι μήνες μετατρέπονται σε μέρες και εφαρμόζεται ο τύπος με τη μορφή :

16 ν Κn = Ko ( 1 + i ) n ( 1 + ------- i ) 365 Παράδειγμα : Κεφάλαιο Κ = 300.000 Ευρώ ανατοκίζεται κάθε χρόνο με i = 16%. Ποιά είναι η τελική του αξία μετά απο 5 χρόνια και 4 μήνες ; Λύση : α) με τον εκθετικό τύπο : Kn = Ko (1 + i ) 5+ 4/12 = 300.000 x1,16 5 x1,16 4/12 = 300.000 x 2,1003418 x 1,0507176 = 662.059, 8285 β ) με το γραμμικό τύπο: 4 Kn = 300.000 ( 1 + 0,16 ) 5 ( 1 + ------ x 0,16 ) = 12 = 300.000 x 1,16 5 ( 1 + 0,0533 ) = 300.000 x 2,1003418 x 1,0533 = 663.687, 0051. Ασκήσεις 1. Το ετήσιο επιτόκιο τοκισμού ενός κεφαλαίου είναι 8%. Να υπολογισθεί το ισοδύναμο εξαμηνιαίο τετραμηνιαίο τριμηνιαίο και μηνιαίο. Λύση : Το ετήσιο επιτόκιο είναι 8%. Το ισοδύναμο εξαμηνιαίο είναι : i 2 = ( 1 + i ) 1/λ - 1 = ( 1 + 0,08 ) 1/2-1 = 1,08 6/12-1 = 0,0392305 = 3,92 %. To ισοδύναμο τετραμηνιαίο : i 3 = ( 1 + 0,08 ) 1/3-1 = ( 1,08 ) 4/12-1 = 0,0259856 = 2,598 %. To ισοδύναμο τριμηνιαίο : i 4 = ( 1+ 0,08 ) 1/4-1 = 1,08 3/12-1 = 0,0194265 = 1,94 %. To ισοδύναμο μηνιαίο : i 12 = ( 1+ 0,08 ) 1/12-1 = 0,006434 = 0,64 %. 2. Να υπολογισθεί το εξαμηνιαίο πραγματικό επιτόκιο, το οποίο είναι ισοδύναμο προς το πραγματικό ετήσιο του 6%. Λύση : Το εξαμηνιαίο ( πραγματικό ) επιτόκιο που είναι ισοδύναμο με ετήσιο ( πραγματικό ) 6% είναι : i 2 = ( 1,06) 1/2-1 = 1,06 6/12-1 = 0,0295630 = 2,96 % 3. Το ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο είναι 10%. Να υπολογισθεί το εξαμηνιαίο ονομαστικό επιτόκιο και το ετήσιο πραγματικό επιτόκιο αν ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο. Λύση : Ισχύει γενικά :ετήσιο ονομαστικό j = λi λ και για το εξαμηνιαίο j = 2i 2 = 10% = 0,10. Αρα i 2 = 0,10/2 = 0,05 Eπίσης αν ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο ισχύει j = 4 i 4 = 0,10.

17 Αρα i 4 = 0,10/4 = 0,025. Kαι i = ( 1 + 0,025 ) 4-1 = 1,10381289-1 =0,10381289 = 10,38 % 4. Το ετήσιο επιτόκιο είναι 16%, να βρεθεί το ανάλογο τριμηνιαίο. Λύση : Αν i = 16% = 0,16 το ανάλογο τριμηνιαίο είναι : 0,16/4 = 0,04 = 4 %. 5. Το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 2%. Ποιό είναι το ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο. Λύση : Αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 2 % δηλ. i 4 = 0,02 τότε απο τη σχέση : ( 1 + i λ ) λ = 1 + i, θα έχουμε ( 1 + 0,02 ) 4 = 1 + i και i = ( 1 + 0,02 ) 4-1 = 0,0824322 = 8,24 %. 6. Ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο και το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 6%. Να βρεθούν τα εξής επιτόκια :α). Το ισοδύναμο ετήσιο. β) Το ισοδύναμο εξαμηνιαίο. γ) Το ισοδύναμο μηνιαίο. δ) Το ανάλογο ετήσιο. ε) Το ανάλογο εξαμηνιαίο. στ) Το ανάλογο μηνιαίο. Λύση : Αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 6 % τότε : α) Το ισοδύναμο ετήσιο είναι : i = ( 1 + i 4 ) 4-1 = ( 1 + 0,06 ) 4-1 = 0,2624770 = 26,25%. β) Το ισοδύναμο εξαμηνιαίο είναι : i = ( 1 + i 2 ) 2-1 = ( 1+ 0,06) 2-1 = 0,1236 = 12,36 %. γ) Το ισοδύναμο μηνιαίο είναι : i 3 = ( 1 + 0,06 ) 1/3-1 = ( 1,06 ) 4/12-1 = 0,0196128 = 1,96 %. δ) Το ανάλογο ετήσιο είναι : 0,06 x 4 = 0,24 = 24 %. ε) Το ανάλογο εξαμηνιαίο είναι :0,06 x 2 = 0,12 = 12 %. στ) Το ανάλογο μηνιαίο είναι : 0,06 : 3 = 0,02 = 2 %. Προεξόφληση τίτλου με ανατοκισμό Αν ένα γραμμάτιο, ονομαστικής αξίας Κ προεξοφλείται με επιτόκιο προεξόφλησης i που αναφέρεται σε χρονική περίοδο π και η προεξόφληση γίνεται πριν απο n τέτοιες χρονικές περιόδους π, το προεξόφλημα υπολογίζεται με ανατοκισμό. Η παρούσα αξία Α του γραμματίου την ημέρα της προεξόφλησης θα είναι το ποσό που αν ανατοκισθεί για n χρονικές περιόδους με επιτόκιο i θα γίνει ίσο με Κ. Δηλαδή χρησιμοποιούμε μόνο εσωτερική προεξόφληση γιατί η εξωτερική μπορεί να μας οδηγήσει και σε τιμές του προεξοφλήματος μεγαλύτερες (! ) της ονομαστικής αξία.

18 Η παρούσα αξία θα υπολογισθεί ως εξής: Θα πρέπει : Κ = Α ( 1 + i ) n άρα A = Κ/ ( 1 + i ) n ή A = K ( 1 + i) n ( 13 ) Το προεξόφλημα Ε θα υπολογισθεί ως εξής : Θα πρέπει : Ε = Κ - Α δηλ. E = K - K( 1 + i) n ( 14 ) Παράδειγμα : Ενα κεφάλαιο 500.000 λήγει μετά 3 έτη και προεξοφλείται με ετήσιο επιτόκιο 16%. Να βρείτε την παρούσα αξία και το προεξόφλημα. Λύση : A= K(1 + i ) -n = 500.000 x 1,16-3 = 500.000 x 0,6406577 = 320.328,85. Αρα το προεξόφλημα θα είναι : Ε = Κ - Α = 500.000-320,328,85 = 179.671,15. Ισοδύναμα γραμμάτια στον ανατοκισμό Οπως και στα προβλήματα βραχυπρόθεσμων οικονομικών πράξεων έτσι και στον ανατοκισμό, ένα κεφάλαιο θεωρείται ισοδύναμο με άλλα κεφάλαια σε μια ορισμένη στιγμή αν τη στιγμή αυτή, η παρούσα αξία του κεφαλαίου που αντικαθιστά τα άλλα, είναι ίση με το άθροισμα των παρουσών αξιών των άλλων. Παρούσα αξία του Κ = ( παρ.αξ.κ 1 ) + ( παρ.αξ. Κ 2 ) +...+ ( παρ. αξ Κ μ ) Δήλ. αν έχω τα κεφάλαια Κ 1, Κ 2,..., Κ μ που πρέπει να πληρωθούν μετά απο n 1, n 2,...,n μ έτη και αντικατασταθούν απο ένα κεφάλαιο Κ που θα λήγει μετά απο n έτη με επιτόκιο i η εξίσωση ισοδυναμίας θα γίνει: α) Με εποχή ισοδυναμίας την ημέρα υπολογισμού: Κ (1 +i ) -n K 1 ( 1 + i ) n 1 + K 2 ( 1 + i ) n 2 +... + K μ ( 1 + i ) n μ (16) β ) Με εποχή ισοδυναμίας την κοινή λήξη : K = K 1 ( 1 +i ) -( n 1-n) + K 2 ( 1+i ) -(n 2-n) +...+ K μ ( 1 + i ) -( n μ-n) Απο τις σχέσεις αυτές υπολογίζουμε το Κ ή το n όταν δίνονται τα υπόλοιπα μεγέθη. Παράδειγμα : Ενας έμπορος οφείλει 100.000 Ευρώ, που πρέπει να τα πληρώσει μετα απο 4 έτη, 250.000 Ευρώ που πρέπει να τα πληρώσει μετά απο 8 έτη και 320.000 Ευρώ που πρέπει να τα πληρώσει μετά απο 10 έτη. Τι ποσό θα πληρώσει μετά απο 6 έτη για να τα εξοφλήσει όλα αν το επιτόκιο είναι 6% και εποχή ισοδυναμίας α) η ημέρα υπολογισμού; β) η κοινή λήξη ; Λύση : α) εποχή ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού. Εφαρμόζω τον τύπο ( 16 ).

19 Κ ( 1 + 0,06 ) 6 = K1 ( 1 + 0,06) 4 + K2 ( 1+ 0,06 ) 8 + K3 ( 1 + 0,06 ) 10 Κx 0,7049605 = 100.000 x 0,7920937+250.000 x 0,6274124+320.000 x 0,5583948 ή K x 0,7049605 = 79.209,37+ 156.853,1 + 178.683,33 K x 0,7049605 = 414.745,8 και K = 588.324,87. Aσκήσεις στον Ανατοκισμό 1. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 180.000 Ευρώ, που ανατοκίζεται κάθε 6 μήνες για 10 έτη με ετήσιο επιτόκιο 8%. Αν στο τέλος των 5 πρώτων ετών προεξοφλήσει το κεφάλαιο που βρέθηκε, ποιά θα είναι η παρούσα αξία του και ποιό το προεξόφλημα; Λύση : Αν θεωρήσουμε το 8% ετήσιο ανάλογο του εξαμηνιαίου, τότε το εξαμηνιαίο θα είναι : i /2 = 0,08/2=0,04 n = 10 έτη = 20 εξάμηνα Kn = Ko ( 1 + i/2) 20 = 180.000 x ( 1 + 0,04) 20 = =180.000 x 2,1912 = 394.416 Ευρώ. Αν το κεφάλαιο Κ n προεξοφληθεί 5 έτη πριν τη λήξη του θα γίνει : Κ = Κn ( 1 + 0,04 ) -10 διότι τα 5 έτη = 10 εξάμηνα Κ = 394.416 x 0,6756 = 266.467,44 Ευρώ. Αρα το προεξόφλημα, δηλαδή οι τόκοι των 5 τελευταίων ετών, θα είναι Ε = 394.416-266.467,44 = 127.948,56 Ευρώ. 2. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 120.000 Ευρώ, που ανατοκίζονται για 8 έτη και 4 μήνες με 10%. Λύση : Κο = 120.000, i = 10%= 0,10, n = 8 έτη + 4 μήνες Kn = Ko ( 1+ i ) n+μ/12 = 120.000 ( 1 + 0,10 ) 8+4/12 = =120.000 x 1,10 8 x 1,10 4/12 = = 120.000 x 2,1435887 x 1,0322801 = 265534,07 Ευρώ. 3. Nα βρεθεί η τελική αξία 150.000 Ευρώ, μετά απο 10 έτη αν ανατοκίζονται κάθε εξάμηνο με 3μηνιαίο επιτόκιο 2 % αν α) το τριμηνιαίο επιτόκιο 2% είναι το ανάλογο του εξαμηνιαίου. β) αν είναι το ισοδύναμο του εξαμηνιαίου. Λύση : α) αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι ανάλογο του εξαμηνιαίου, τότε το εξαμηνιαίο θα είναι 4% και η τελική αξία, μετά απο 10 έτη ή 20 εξάμηνα: Κn = Ko ( 1 + 0,04 ) 20 = 150.000 x 2,1911231 = 328668,46 Ευρώ. β) αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι το ισοδύναμο του εξαμηνιαίου τότε η τελική αξία μετά απο 10 έτη ή 4x10 = 40 τρίμηνα θα είναι : Κn = Ko ( 1 + 0,02 ) 40 = 150.000 x 2,20804 = 331206 Ευρώ. 4. Να βρείτε το ποσό που αν ανατοκισθεί ανά τρίμηνο θα γίνει μετά απο 5 έτη και 2 μήνες 333.417,09 Ευρώ, αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 6%. Λύση: i = 0,06, Kn = 333.417,09 δρχ, Κο = ; n = 5 έτη + 2 μήνες = 20 τρίμηνα + 2/3 του τριμήνου. Kn = Ko ( 1 + i ) n άρα Ko = Kn/ (1 + i ) n = Kn ( 1 + i ) -n Αρα Κο = 333.417,09 (1 + 0,06 ) - (20 + 2/3 ) = 333.417,09 x 1,06-20 x 1,06-2/3 =

20 333.417,09 x 1,06-20 x 1,06-1+1/3 = 333.417,09 x 1,06-21 x 1,06 1/3 333.417,09 x 1,06-21 x 1,06 4/12 = 333.417,09 x 0,2941554 x 1,0196128= 100.000 Ευρώ. 5. Ποιό κεφάλαιο πρέπει να καταθέσουμε με ανατοκισμό, ώστε μετά απο 10 έτη να γίνει 3.000 Ευρώ, αν τα 5 πρώτα έτη ο ανατοκισμός είναι 6 μηνιαίος με εξαμηνιαίο επιτόκιο 8% και μετά γίνει ετήσιος με ετήσιο επιτόκιο 10% ; Λύση : Τα πρώτα 5 έτη θα πάρουμε ένα κεφάλαιο Κ1 = Κο ( 1 + 0,08 ) 10 διότι n = 10 εξάμηνα.αυτό το κεφάλαιο θα ανατοκισθεί με ετήσιο ανατοκισμό τα 5 επόμενα έτη και θα γίνει Κ2 = Κ1 ( 1 + 0,10 ) 5 θα πρέπει Κ2 = 3.000 Ευρώ. Αρα : Κο ( 1 + 0,08 ) 10 ( 1 + 0,10 ) 5 = 3.000 Ευρώ. ή Κο = 3.000/ 2,158925 x 1,61051 = 862.820, 13 Ευρώ. 6. Κάποιος κατέθεσε σε μια τράπεζα 1.000 Ευρώ. για 8 έτη και 3 μήνες. Τα πρώτα 3 έτη το ποσό τοκίσθηκε με ανατοκισμό ετήσιο με επιτόκιο 12 %. Το υπόλοιπο χρονικό διάστημα έγινε ανατοκισμός κάθε εξάμηνο με ονομαστικό επιτόκιο 20%. Να βρεθεί η τελική αξία του κεφαλαίου. Λύση : Κ1 = 1.000 x ( 1 + 0,12 ) 3 = 1.000 x 1,404928 = 1.404,928 To υπόλοιπο διάστημα το Κ1 τοκίσθηκε με ονομαστικό 20% άρα i = 0,2/2 = 0,10 το κάθε εξάμηνο για χρονικό διάστημα 5 έτη και 3 μήνες δηλ. 10 + 1/2 εξάμηνα. Αρα η τελική αξία θα είναι : Κn = K1 ( 1 + 0,10 ) 10+1/2 = K1 x 1,1 10 x 1,1 1/2 = 1.404,928 x 2,5937423 x 1,0488088 = 3.821,8813 Ευρώ. 7. Oφείλει κάποιος να πληρώσει μετά απο 5 χρόνια 30.000 Ευρώ.. Συμφωνεί όμως να πληρώσει σε 2 χρόνια απο σήμερα 5000. δρχ και 6 μήνες αργότερα 8.000 Ευρώ. και να εξοφλήσει το χρέος του ένα χρόνο νωρίτερα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει για την εξόφληση του χρέους ; Ανατοκισμός ετήσιος και ετήσιο επιτόκιο 20 %. 8. Να βρεθεί το κεφάλαιο, το οποίο όταν ανατοκίζεται κάθε χρόνο με ετήσιο επιτόκιο 20 % δίνει στο τέλος του τέταρτου έτους τόκο 611.952 Ευρώ. ( απ. 570.000 Ευρώ ) 9. Να βρεθεί το κεφάλαιο το οποίο όταν ανατοκίζεται κάθε τετράμηνο με τετραμηνιαίο επιτόκιο 5%, γίνεται σε 5 χρόνια 727.625 Ευρώ. (απ. 350.000 Ευρώ ) 10. Μια βιοτεχνία δανείσθηκε ένα ποσό Α με ετήσιο επιτόκιο 16% και μετά 2 χρόνια δανείσθηκε με τους ίδιους όρους ποσό Β διπλάσιο απο το πρώτο. Αν η βιοτεχνία εξόφλησε τα δάνεια 5 χρόνια μετά τη σύναψη του δεύτερου δανείου πληρώνοντας 3.653.990 Ευρώ. Να βρεθούν τα ποσά Α και Β. ( απ. Α = 520.000 Ευρώ & Β = 1.040.000 Ευρώ) 11. Μια επιχείρηση δανείσθηκε κεφάλαιο Κ για 7 χρόνια με συμφωνία ο ανατοκισμός να είναι ετήσιος τα 3 πρώτα χρόνια με ετήσιο επιτόκιο 16% και τα υπόλοιπα να είναι πάλι ετήσιος αλλά με ετήσιο επιτόκιο 18%. Να βρεθεί το Κ αν η επιχείρηση πλήρωσε μετά απο τα 7 χρόνια 4.236.723 Ευρώ. ( απ. 1.400.000 Ευρώ)

21 ΧΡΗΜΑΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (Ρ Α Ν Τ Ε Σ ) Ράντα ( ή Reddita ή Rente ή Rent), λέγεται μια σειρά ίσων κεφαλαίων που τα καταθέτουμε σε ίσα χρονικά διαστήματα για να αποκτήσουμε ένα κεφάλαιο ή για να εξοφλήσουμε ένα χρέος. Τελική αξία ληξιπρόθεσμης ράντας Η τελική αξία μιας ληξιπρόθεσμης ράντας με όρο R θα είναι : R [( 1 + i ) n - 1] Vτελ = R Sn ή Vτελ = ---------------------------- i όπου ( 1 i) n 1 Sn = i είναι ο συντελεστής τελικής αξίας ράντας. Τελική αξία προκαταβλητέας ράντας Η τελική αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με όρο R θα είναι : R ( 1 + i ) [ ( 1 + i ) n -1 ] V' τελ = R ( 1 + i ) S n = ---------------------------------- ( 2 ) i Αρχική ( ή παρούσα) αξία ληξιπρόθεσμης ράντας Η αρχική ή παρούσα αξία μιας ληξιπρόθεσμης ράντας με όρο R θα είναι : Vαρχ = R α n = R 1 (1 i) i n όπου α n = 1 (1 i) i n είναι ο συντελεστής παρούσας αξίας ράντας. Αρχική ( ή παρούσα) αξία προκαταβλητέας ράντας. Η αρχική ή παρούσα αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με όρο R θα είναι : V αρχ = R ( 1 + i ) α n = R ( 1 + i ) 1 (1 i) i n

22 Τακτοποίηση ράντας Πολλές φορές, όταν ζητάμε το πλήθος n των όρων της ράντας και δεν βγαίνει ακέραιος αριθμός με τη μέθοδο που περιγράψαμε προηγουμένως, μπορούμε να τροποποιήσουμε τον όρο R,ώστε να αποκτήσει η ράντα ακέραιο αριθμό όρων, την πλησιέστερη ακέραια τιμή του n, μικρότερη ή μεγαλύτερη, απο τον αριθμό που βρήκαμε. Η τροποποίηση αυτή, λέγεται τακτοποιήση ράντας και γίνεται όπως φαίνεται παρακάτω: Εφαρμογή : Για να εξοφλήσουμε ένα δάνειο 20.000 με επιτόκιο 18%, συμφωνήσαμε να πληρώνουμε κάθε χρόνο 4250 Ευρώ και η πρώτη δόση να πληρωθεί ένα ( 1 ) έτος μετά τη σύναψη του δανείου. Σε πόσα χρόνια θα εξοφλήσουμε το δάνειο; Λύση : Οι δόσεις του δανείου είναι άμεση ληξιπρόθεσμη ράντα με R = 4250, i = 18% και V αρχ = 20.000. Απο τον τύπο Vαρχ = R α n i έχουμε : 20.000 α n i = V αρχ /R = -------------------- = 4,7058823 4250 O αριθμός αυτός δεν υπάρχει στον οικονομικό πίνακα στη στήλη του 18%, αλλά βρίσκεται ανάμεσα στους 4,656005 και 4,793224 που αντιστοιχούν στις γραμμές n = 11 και n= 12. Αρα θα γίνει τακτοποίηση της ράντας, με έναν απο τους παρακάτω τρόπους : α) θα αυξήσουμε τον όρο R και θα πάρουμε ράντα με n = 11 όρους. Ο νέος όρος θα είναι: V αρχ 20.000 R = ----------- = ----------------------- = 429.552,8 α 11 18% 4,656005 β) θα ελαττώσουμε τον όρο R και θα πάρουμε ράντα με n = 12 όρους. Ο νέος όρος θα είναι R = V αρχ /α 12 18 = 20.000 / 4,793224 = 417.255,9. γ) θα πάρουμε ράντα με n = 11όρους ίσους με R και έναν επιπλέον όρο, που θα πληρωθεί μια περίοδο μετά απο τον 11ο όρο και θα είναι ίσος με τη διαφορά της δοθείσας V αρχ μείον την αρχική αξία ράντας με 11 όρους, αν θεωρήσουμε ότι η διαφορά αυτή ανατοκίζεται επί 12 έτη. Ο επιπλέον όρος θα είναι δηλαδή: R ' = [ 20.000-4250 α 11 18 ] ( 1 + 0,18 ) 12 = 1544,8165.

23 Μέλλουσες ράντες Στις μέλλουσες ράντες, η αρχή βρίσκεται λ περιόδους μετά απο την εποχή υπολογισμού. Για να βρούμε την αρχική αξία ( παρούσα αξία ) της μέλλουσας ράντας, βρίσκουμε την αρχική αξία της άμεσης ράντας ( με τα ίδια στοιχεία ) και την προεξοφλούμε για λ περιόδους πριν την αρχή της. Οπότε θα έχουμε τους τύπους: Για ληξιπρόθεσμη μέλλουσα: Vλ = R α n i ( 1 + i ) -λ ( 10 ) V λ = R a n i ( 1 + i ) -λ = R α n i ( 1 + i ) ( 1 + i ) -λ Για προκαταβλητέα μέλλουσα V ' λ = R α n i ( 1 + i ) -λ+1 ( 11 ) Εφαρμογή 1 : Ενας πατέρας κατέθεσε όταν γεννήθηκε το παιδί του ένα ποσό στην τράπεζα, ώστε όταν το παιδί του γίνει 15 ετών να αρχίσει να παίρνει 12.000 το χρόνο για μια δεκαετία για τα έξοδα των σπουδών του. Τι ποσό κατέθεσε αν το επιτόκιο ήταν 17% ; Λύση : Ο πατέρας κατέθεσε ένα ποσό ίσο με την αρχική αξία μιας μέλλουσας ράντας, που ο πρώτος όρος της θα καταβληθεί στο τέλος του 15ου έτους. Δηλαδή : V λ = R α 10 17 ( 1 + 0,17 ) -14 = 12.000 x 4,658604 x 0,1110191 = = 620632,82 Ευρώ. Εφαρμογή 2 : Ενας υπάλληλος κατέθεσε ένα ποσό σε μια τράπεζα, ώστε όταν πάρει τη σύνταξή του, να εισπράττει 9.600 Ευρώ το χρόνο για 10 χρόνια. Τι ποσό κατέθεσε αν τα χρήματά του ανατοκίζονται με 17% το χρόνο και ο υπάλληλος θα πάρει σύνταξη 6 χρόνια μετά την κατάθεση των χρημάτων; Λύση : Το ποσό που κατέθεσε είναι η αρχική αξία μέλλουσας προκαταβλητέας ράντας. Vλ = R α n i ( 1 + i ) -λ+1 = 9.600 x 4,658604 x 1,17-5 = 2.039.846,8. Αρξάμενες ράντες Στις αρξάμενες ράντες, η αρχή βρίσκεται λ περιόδους πριν απο την εποχή υπολογισμού. Για να βρούμε την αρχική αξία ( παρούσα αξία ) της αρξάμενης ράντας θα ανατοκίσουμε την αρχική αξία της άμεσης ράντας με τα ίδια στοιχεία, για λ περιόδους. Δηλαδή: Για ληξιπρόθεσμη αρξάμενη V λ = R α n i ( 1 + i ) λ ( 12 )

24 Και για προκαταβλητέα αρξάμενη V ' λ = R an i ( 1 + i ) λ = R α n i ( 1 + i ) ( 1 + i ) λ ή V ' λ = R α n i ( 1 + i ) λ+1 ( 13 ) Εφαρμογή 1 : Να βρείτε την αρχική αξία ράντας ληξιπρόθεσμης που αποτελείται απο 20 όρους όταν ο κάθε όρος είναι 2.000 Ευρώ, n περίοδος ένα έτος, το επιτόκιο 12% και ο πρώτος όρος πληρώθηκε πριν απο πέντε χρόνια. Λύση : V λ = R α 15 0,12 ( 1 + 0,12 ) 5 = 2.000 x 6,81087 x 1,76234 = 24.006,137 Εφαρμογή 2: Να βρείτε την αρχική αξία ράντας προκαταβλητέας, που αποτελείται απο 20 όρους των 2.000 Ευρώ, επιτόκιο 12% και που άρχισε πριν απο 5 χρόνια. Λύση : V ' λ = R α 20 0,12 ( 1 + i ) 6 = 2.000 x 7,46944 x 1,97382 = 29.486,66 Διηνεκείς ράντες Διηνεκείς λέγονται οι ράντες με άπειρο πλήθος όρων. Για να βρούμε την αρχική αξία μιας διηνεκούς ράντας θα αθροίσουμε τις αρχικές αξίες των όρων της. Για τη μοναδιαία ληξιπρόθεσμη ράντα με ετήσιο επιτόκιο i, θα έχουμε: α = ( 1+ i ) -1 + ( 1 + i ) -2 +.+( 1 + i ) -n +... To δεύτερο μέλος είναι το άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο ( 1 + i ) -1 και λόγο ( 1 + i ) -1. 1 Xρησιμοποιούμε τον τύπο S = 1 1 (1 i) 1 Αρα α n i = = 1 1 (1 i) i Kαι αν έχουμε όρο R, τότε ισχύει ο παρακάτω τύπος : Παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης διηνεκούς: V = R i ( 14 ) ( 15) Παρούσα αξία προκαταβλητέας διηνεκούς όρου R: V ' = R ( 1 i) i ( 16 )

25 Δ Α Ν Ε Ι Α. Ε Ν Ι Α Ι Α Δ Α Ν Ε Ι Α Δάνειο λέγεται ένα κεφάλαιο που δίνεται για ένα χρονικό διάστημα σε φυσικά ή σε νομικά πρόσωπα με ορισμένους όρους, οι οποίοι καθορίζονται απο πριν, με κοινή συμφωνία των δύο συμβαλλομένων μερών. Διάρκεια του δανείου λέγεται το χρονικό διάστημα απο την ημέρα που δόθηκε το δάνειο μέχρι την ημέρα που θα επιστραφεί. Απόσβεση του δανείου λέγεται η διαδικασία που ακολουθείται κατά τη διάρκεια του δανείου με σκοπό την εξόφληση του. Οι διάφοροι τρόποι απόσβεσης λέγονται και συστήματα απόσβεσης δανείων. Tα δάνεια χωρίζονται : 1. Σε βραχυπρόθεσμα διαρκείας μέχρι ένα έτος, που ανήκουν στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές συναλλαγές και τα σχετικά προβλήματα λύνονται με τις μεθόδους που αναπτύξαμε στα πρώτα κεφάλαια ( μέθοδοι απλού τόκου ). 2. Σε μακροπρόθεσμα, που διαρκούν πάνω απο ένα έτος και τα σχετικά προβλήματα λύνονται με τις μεθόδους του ανατοκισμού ( σύνθετος τόκος ). Στην τραπεζική πρακτική συναντάμε και ενδιάμεση κατηγορία, τα μεσοπρόθεσμα δάνεια διάρκειας απο ένα έως πέντε έτη. Αυτά όμως δεν αποτελούν ιδιαίτερη κατηγορία γιατί πάλι τα σχετικά προβλήματα λύνονται με ανατοκισμό. ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΑ ΔΑΝΕΙΑ Σ' αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τα μακροπρόθεσμα δάνεια. Κατ'αρχήν θα τα ξεχωρίσουμε σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τα ΕΝΙΑΙΑ και τα ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΑ. ΕΝΙΑΙΟ λέγεται ένα δάνειο, όταν ο δανειστής είναι ένας. ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟ λέγεται ένα δάνειο, όταν οι δανειστές είναι πολλοί. Τόσο τα ενιαία, όσο και τα Ομολογιακά, χωρίζονται σε εξοφλητέα όταν μετά απο ένα συμφωνημένο χρονικό διάστημα εξοφλούνται και πάγια όταν δεν υπάρχει προκαθορισμένος χρόνος εξόφλησης, οπότε ο οφειλέτης μπορεί να εξοφλήσει το δάνειο οποιαδήποτε στιγμή ή να μην το εξοφλήσει και να πληρώνει συνεχώς τους τόκους. Πάγια δάνεια συνάπτονται μεταξύ κράτους και διαφόρων οικονομικών οργανισμών, δήμων, κοινοτήτων ή και μεταξύ κρατών. Εμείς θα ασχοληθούμε με εξοφλητέα δάνεια. ΑΠΟΣΒEΣΗ ΕΝΙΑΙΩΝ ΔΑΝΕΙΩΝ ΙΙ. ΔΑΝΕΙΑ ΕΝΙΑΙΑ ΕΞΟΦΛΗΤΕΑ ΤΟΚΟΧΡΕΩΛΥΤΙΚΩΣ Για να εξοφληθεί ένα ενιαίο δάνειο τοκοχρεωλυτικώς, ο οφειλέτης πληρώνει στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου ένα ποσό που λέγεται δόση του δανείου ή τοκοχρεωλύσιο του δανείου. Αυτό το ποσό αποτελείται απο δύο μέρη. Το ένα είναι για την πληρωμή των τόκων τηςπεριόδου ( τόκος ) και το άλλο είναι για την εξόφληση του κεφαλαίου του δανείου ( χρεωλύσιο ). Υπάρχουν πολλοί τρόποι ( συστήματα ) απόσβεσης ενιαίων δανείων τοκοχρεωλυτικώς. Εδώ θα εξετάσουμε τους σπουδαιότερους:

26 1. Σύστημα απόσβεσης ίσων μερών κεφαλαίου. Είναι ένα απλό σύστημα, που εφαρμόζεται για δάνεια μικρής διάρκειας. Το χρεωλύσιο είναι το 1 /n του κεφαλάιου Κο τους δανείου ( Ρ = K/n ) και οι τόκοι υπολογίζονται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου επί του κεφαλαίου που έχει απομείνει κάθε φορά. Παράδειγμα : Κάποιος δανείσθηκε 6.000 και συμφώνησε να κάνει απόσβεση του δανείου με τη μέθοδο ίσων μερών κεφαλαίου. Το επιτόκιο δανεισμού είναι 14 % ( ετήσιο ), η διάρκεια του δανείου 6 έτη και οι δόσεις θα πληρώνονται στο τέλος κάθε έτους. Να συντάξετε τον πίνακα απόσβεσης του δανείου. Λύση : Το χρεωλύσιο θα είναι Ρ = K/n = 6.000/6 = 1.000 Aρα θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα απόσβεσης: Ετος Τόκος Χρεωλύσιο Τοκοχρεωλύσιo Εξοφλημένο ποσό Υπόλοιπο 1ο 840 1.000 1.840 1.000 5.000 2ο 700 1.000 1.700 2.000 4.000 3ο 560 1.000 1.560 3.000 3.000 4ο 420 1.000 1.420 4.000 2.000 5ο 280 1.000 1.280 5.000 1.000 6ο 140 1.000 1.140 6.000 0 2. Σύστημα απόσβεσης σταθερού χρεωλύσιου. Σύμφωνα με το σύστημα αυτό ο οφειλέτης πληρώνει στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου στον τόκο Κο i ο οποίος παραμένει σταθερός μέχρι την εξόφληση. Επίσης πληρώνει ένα ποσό που λέγεται χρεωλύσιο και είναι τόσο ώστε ανατοκιζόμενο για όλες τις χρονικές περιόδους με το ίδιο επιτόκιο i να μας δώσει τελική αξία ίση με το κεφάλαιο Κο του δανείου. Οπότε το τοκοχρεωλύσιο δηλαδή η κάθε δόση του δανείου θα είναι τόσο ώστε η τελική του αξία ( τελική αξία ληξιπρόθεσμης ράντας n όρων με επιτόκιο i να είναι : R S n i = Ko i S n i + Ko δηλαδή να είναι ίση με το άθροισμα της τελικής αξίας των τόκων συν το κεφάλαιο Κο του δανείου. Και αν λύσουμε ως προς R :

27 1 R = Ko i + Ko ------------- ( 5 ) S n i και αν ονομάσουμε Ρ n i το χρεωλύσιο της μιας ( 1 ) νομισματικής μονάδας θα έχουμε : R = Ko i + K o Ρ n i ( 5' ) Παράδειγμα: Ενας δήμος πήρε δάνειο 100.000 για 5 έτη με ίσες ετήσιες τοκοχρεωλυτικές δόσεις και ετήσιο επιτόκιο 12 %. Να βρείτε το ετήσιο τοκοχρεωλύσιο και να συντάξετε τον πίνακα απόσβεσης του δανείου. Λύση : Το ετήσιο τοκοχρεωλύσιο θα είναι : R = Ko i + Ko P n i = = 100.000 x 0,12 + 100.000 x 0,15740970 = = 12.000 + 15.740,970 = 27.740,970 (τόκος ) ( χρεωλύσιο) Πίνακας απόσβεσης δανείου Ετός Τοκοχρ/σιο Τόκος Χρεωλύσιο Εξοφλημένο Υπόλοιπο ποσό 1ο 27.740,970 12.000 15.740,970 15.740.970 84.259,030 2ο 27.740,970 12.000 15.740,970 33.370,859 66.629,141 3ο 27.740,970 12.000 15.740,970 53.116,332 46.883,668 4ο 27.740,970 12.000 15.740,970 75.231,261 24.768,739 5ο 27.740,940 12.000 15.740,940 99.999,982 0 Διευκρινίσεις : Ο τόκος, το χρεωλύσιο, άρα και το τοκοχρεωλύσιο παραμένουν σταθερά σ'αυτή τη μέθοδο. Για να βρούμε το εξοφλημένο ποσό εργαζόμαστε ως εξής:στο τέλος του πρώτου έτους το εξοφλημένο ποσό είναι το χρεωλύσιο. Γιαν κάθε επόμενο έτος πολλαπλασιάζουμε το εξοφλημένο ποσό του προηγούμενου έτους επί ( 1 + i ) ( συντελεστής ανατοκισμού ) επειδή ανατοκίζεται για μια ακόμη χρονική περίοδο και προσθέτουμε το χρεωλύσιο. Συνεχίζουμε έτσι μέχρις ότου γίνει πλήρης απόσβεση του δανείου. 2. Σύστημα απόσβεσης με τη μέθοδο του προοδευτικού χρεoλυσίου ( Γαλλική μέθοδος ) Σύμφωνα με το σύστημα αυτό ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου υπολογίζεται πάνω στο ανεξόφλητο ποσό του δανείου. Και επειδή το ανεξόφλητο ποσό συνεχώς

28 μειώνεται κατά το χρεωλύσιο της προηγούμενης περιόδου, ο τόκος μειώνεται κατά τον τόκο του χρεωλύσιου της προηγούμενης περιόδου. Το χρεωλύσιο κάθε περιόδου είναι η διαφορά : Τοκοχρεωλύσιο μείον τον τόκο. Αν ο τόκος μειώνεται, το χρεωλύσιο θα αυξάνεται σε κάθε περίοδο γι'αυτό και η μέθοδος αυτή λέγεται μέθοδος του προοδευτικού χρεωλυσίου. Συγκεκριμένα τα χρεωλύσια αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο της οποίας οι όροι είναι: P1 = P n i P2 = P1 ( 1 + i ) P3 = P1 ( 1 + i )²... Pμ = P1 ( 1+ i ) μ-1 Το εξοφλημένο ποσό Εμ στο τέλος της μ - περιόδου θα είναι ίσο με το άθροισμα των χρεωλυσίων των προηγουμένων περιόδων : Εμ = Ρ1 + Ρ2 +... + Ρμ = Ρ1 + Ρ1 ( 1 + i ) + P1 ( 1 + i ) ²+...+ P1 ( 1 + i ) μ-1 P1 [ 1 + ( 1+ i ) + ( 1 + i ) ² +...+ ( 1 + i ) μ-1 ] = = P1 S μ i = K P n i S μ i δηλαδή: Εμ = Κ P n i S μ i ( 6 ) To ανεξόφλητο υπόλοιπο στο τέλος της μιοστής περιόδου είναι : Νμ = Κ - Κ Ρ n i S μ i ( 7 ) και ο τόκος της μιοστής περιόδου είναι : Ιμ = [ Κ - Κ Ρ n i S μ i ] i ( 8 ) Παράδειγμα : Να λυθεί το πρόβλημα του προηγούμενου παραδείγματος με τη μέθοδο του προοδευτικού χρεωλυσίου : Λύση : Κ= 100.000.000, i = 0,12, n = 5 To ετήσιο τοκοχρεωλύσιο είναι : R = Ko i + Ko P n i = 12.000.000 + 15.740.970 = 27.740.970 δρχ Πίνακας απόσβεσης δανείου με τη μέθοδο προοδευτικού χρεωλυσίου Τέλος έτους Τοκοχρ/σιο Τόκος Χρεωλύσιο Εξοφλημένο ποσό Ανεξόφλητο ποσό 1 27.740.970 12.000.000 15.740.970 15.740.970 84.259.030 2 27.740.970 10.111.083 17.629.887 33.370.857 66.629.143 3 27.740.970 7.995.497,1 19.745.473 53.116.330 46.883.670 4 27.740.970 5.626.040,4 22.114.930 75.231.260 24.768.740 5 27.740.970 2.972.248,8 24.768.722 99.999.982 Διευκρινίσεις: - Ο τόκος κάθε έτους θα βρεθεί αν πολλαπλασιάσουμε το ανεξόφλητο ποσό επί το επιτόκιο ( K i ) - Το εξοφλημένο ποσό είναι κάθε φορά το άθροισμα των χρωλυσίων. - Το ανεξόφλητο ποσό είναι το υπόλοιπο του Κο μείον το εξοφλημένο.