ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΒΑΛΑ 2014

Περιεχόμενα Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1.... 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 2 Κεφάλαιο 2.... 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ... 3 1.1 Μοντελοποίηση της κίνησης του ιμάντα του εκτυπωτή... 3 1.2 Περιγραφή λειτουργίας και μοντελοποίηση... 4 1.3 Συνάρτηση Μεταφοράς... 9 Κεφάλαιο 3.... 15 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ SIMULINK... 15 3.1 Εξομοίωση του συστήματος στο Simulink... 15 Κεφάλαιο 4.... 19 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ MATLAB... 19 4.1 Μελέτη του ΣΑΕ στο Matlab... 19 Κεφάλαιο 5.... 25 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΤΟΥ ΣΑΕ... 25 5.1 Διόρθωση του ΣΑΕ... 25 5.2 Διόρθωση του ΣΑΕ στο Simulink... 30 Κεφάλαιο 6.... 31 ΕΠΙΛΟΓΟΣ... 31 Βιβλιογραφία... 32

Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα σύστημα αυτόματου ελέγχου είναι σύστημα που τα διάφορα μέρη του είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους ώστε να συμπεριφέρονται αυτόματα κατά ένα προκαθορισμένο επιθυμητό τρόπο. Από τα αρχαία χρόνια συναντάμε συστήματα αυτόματου ελέγχου, όπως το μηχανισμό που επινόησε ο Ήρωνας για το αυτόματο άνοιγμα των θυρών ενός αρχαίου ναού. Στις μέρες μας συναντάμε τα συστήματα αυτόματου ελέγχου στην καθημερινότητά μας και σε πολλούς τομείς των τεχνολογικών και εφαρμοσμένων επιστημών. Η μελέτη τους και η χρήση τους βοηθάει στην επίλυση διάφορων προβλημάτων. Παρακάτω παρουσιάζετε ένα σύστημα αυτόματου ελέγχου ενός εκτυπωτή με ιμάντα κίνησης. Διατυπώνονται οι μαθηματικές εξισώσεις του συστήματος και μέσω αυτών των εξισώσεων γίνεται η μελέτη του ώστε να βρεθούν βέλτιστες λύσεις για την καλύτερη λειτουργία του συστήματος.

Θεωρητική παρουσίαση Κεφάλαιο 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 1.1 Μοντελοποίηση της κίνησης του ιμάντα του εκτυπωτή Ένας εκτυπωτής χαμηλού κόστους που χρησιμοποιείται συχνά για υπολογιστές, χρησιμοποιεί έναν ιμάντα μετάδοσης κίνησης για να κινεί την εκτυπωτική συσκευή πλάγια, κατά μήκος της σελίδας που εκτυπώνεται. Η συσκευή αυτή μπορεί να είναι ένας εκτυπωτής λέιζερ, μια εκτυπωτική σφαίρα ή μια θερμική κεφαλή εκτύπωσης. Ένα παράδειγμα εκτυπωτή που χρησιμοποιεί ιμάντα μετάδοσης κίνησης με κινητήρα συνεχούς ρεύματος παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.1. Σ αυτό το μοντέλο ένας αισθητήρας φωτός χρησιμοποιείται για να μετρήσει την θέση της εκτυπωτικής συσκευής, και η τάση του ιμάντα ρυθμίζει την ελαστικότητα του ελατηρίου του ιμάντα. Ο σκοπός αυτού του σχεδιασμού είναι να προσδιοριστεί η επίδραση της σταθεράς του ελατηρίου του ιμάντα και η επιλογή των κατάλληλων παραμέτρων για τον κινητήρα, την τροχαλία του ιμάντα και τον ελεγκτή του συστήματος. Για να γίνουν όλα αυτά, θα ορίσουμε ένα μοντέλο συστήματος με ιμάντα μετάδοσης κίνησης και θα επιλέξουμε τις παραμέτρους του. Χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο, θα δώσουμε το διάγραμμα ροής του συστήματος και θα επιλέξουμε τις μεταβλητές κατάστασης. Με παρόμοιο τρόπο θα οδηγηθούμε στην ανάπτυξη της Συνάρτησης Μεταφοράς του συστήματος και θα επιλέξουμε άλλες παραμέτρους εκτός από την σταθερά του ελατηρίου. Τέλος θα εξετάσουμε την επίδραση που έχει η αλλαγή της σταθεράς του ελατηρίου εντός ενός ρεαλιστικού εύρους (που ορίζεται από τα κατασκευαστικά δεδομένα του ελατηρίου). Προτείνουμε το μοντέλο του συστήματος με ιμάντα μετάδοσης κίνησης που φαίνεται στο Σχήμα 2.2. Αυτό το μοντέλο θεωρεί ότι η σταθερά ελατηρίου του ιμάντα είναι, η ακτίνα της τροχαλίας είναι, η γωνιακή περιστροφή (γωνιακή θέση) του άξονα του μοτέρ είναι, και η γωνιακή περιστροφή της δεξιάς τροχαλίας είναι. Η μάζα της εκτυπωτικής 3

Θεωρητική παρουσίαση συσκευής είναι και η γραμμική της θέση είναι. Ένας αισθητήρας φωτός χρησιμοποιείται για να μετράει το μήκος, και η έξοδος του αισθητήρα είναι η τάση οποία είναι ανάλογη της θέσης. Όπου: η Σχήμα 2.1 Σύστημα εκτυπωτή με ιμάντα Σχήμα 2.2 Μοντέλο εκτυπωτή με ιμάντα 1.2 Περιγραφή λειτουργίας και μοντελοποίηση Ο ελεγκτής παράγει την τάση ελέγχου, η οποία είναι συνάρτηση της τάσης. Η τάση συνδέεται με το πεδίο του κινητήρα. Ας υποθέσουμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την γραμμική σχέση: 4

Θεωρητική παρουσίαση Όπου και (ανάδραση ταχύτητας). Η αδράνεια του κινητήρα και της τροχαλίας είναι: Θα χρησιμοποιήσουμε έναν κινητήρα συνεχούς ρεύματος μέτριας ταχύτητας. Επιλέγουμε ένα τυπικό μοτέρ συνεχούς ρεύματος 1/8 hp, ο οποίος έχει,αμελητέα επαγωγή πεδίου, αντίσταση πεδίο, η σταθερά κίνησης του μοτέρ είναι και η τριβή κίνησης του μοτέρ και της τροχαλίας είναι. Η ακτίνα της τροχαλίας είναι. Οι παράμετροι του συστήματος συνοψίζονται στον Πίνακα 2.1. Πίνακας 2.1 Παράμετροι της συσκευής εκτύπωσης Μάζα Αισθητήρας φωτός Ακτίνα Μοτέρ κίνησης Επαγωγή Τριβή Αντίσταση Σταθερά Αδράνεια Οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος θα έχουν ως ακολούθως: Το μήκος Η τάση θα είναι: στην θέση ισορροπίας του ιμάντα θα είναι: ( ) 5

Θεωρητική παρουσίαση Η τάση στην θέση ισορροπίας του ιμάντα θα είναι: Η καθαρή τάση που ασκείται στην μάζα της συσκευής είναι: ί Και αντικαθιστώντας τα και : ί Ορίζουμε την πρώτη μεταβλητή κατάστασης: και την δεύτερη μεταβλητή κατάστασης: Από τις εξισώσεις 2.1 και 2.2 παίρνουμε: ί Η παράγωγος του είναι ί Η τρίτη μεταβλητή κατάστασης θα είναι: Μετά από τον ορισμό των μεταβλητών κατάστασης μπορούμε να ορίσουμε την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την περιστροφή του μοτέρ κίνησης. Όταν πεδίου ισούται με και η ροπή του κινητήρα είναι:, το ρεύμα του έτσι έχουμε: 6

Θεωρητική παρουσίαση Η ροπή του μοτέρ δημιουργεί την ροπή κίνησης στους ιμάντες και την διατάραξη ή την ανεπιθύμητη ροπή φορτίου, έτσι ώστε: Η ροπή κινεί τον άξονα της τροχαλίας, ούτως ώστε: ως εκ τούτου: έτσι έχουμε: όπου: και έτσι παίρνουμε: ί Οι εξισώσεις 2.3,2.4,2.5 είναι οι τρεις διαφορικές εξισώσεις 1 ου βαθμού που χρειαζόμαστε για να περιγράψουμε το σύστημα, υπό μορφή μοντέλου κατάστασης. Η Εξίσωση Κατάστασης με τις διαφορικές εξισώσεις που αναπτύχθηκαν θα είναι: 7

Θεωρητική παρουσίαση [ ] [ ] Η Εξίσωση Παρατήρησης (δηλαδή η έξοδος του συστήματος, που είναι η κατάσταση είναι: θα Δηλαδή της γενικής μορφής του μοντέλου κατάστασης: Όπου: [ ]και [ ] Το διάγραμμα ροής του συστήματος που περιγράφει το μοντέλο της κατάστασης παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.3, όπου συμπεριλαμβάνεται και κόμβος εισόδου με την ροπή διατάραξης. Σχήμα 2.3 Διάγραμμα Ροής 8

Θεωρητική παρουσίαση 1.3 Συνάρτηση Μεταφοράς Χρησιμοποιούμε το διάγραμμα ροής για να προσδιορίσουμε την Συνάρτηση Μεταφοράς που περιγράφει την σχέση μεταξύ της διατάραξης και της κατάστασης : Σκοπός είναι να μειωθεί η επίδραση της διατάραξης θα μας δείξει πως θα επιτευχθεί αυτός ο σκοπός. και η Συνάρτηση Μεταφοράς Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Mason στο διάγραμμα ροής, παίρνουμε την Συνάρτηση Μεταφοράς: Όπου είναι η ενίσχυση των βρόχων του διαγράμματος ροής. είναι το γινόμενο των βρόχων -ανά δύο- που δεν είναι γειτονικοί μεταξύ τους και είναι το γινόμενο των βρόχων ανά τρείς- που δεν είναι γειτονικοί μεταξύ τους. Ο παρανομαστής της Συνάρτησης Μεταφοράς είναι η Διακρίνουσα του συστήματος και ο αριθμητής είναι το άθροισμα των γινομένων των διαδρομών επί τις αντίστοιχες συνδιακρίνουσες (από τον κόμβο πηγή στον κόμβο κορυφή). Η συνδιακρίνουσα προκύπτει στην διάρκεια της διαδρομής από την Διακρίνουσα, εάν θέσουμε όλα τα που συναντάμε, ίσα με το μηδέν. Στο διάγραμμα ροής, η διαδρομή από τον κόμβο αφετηρία μέχρι τον κόμβο άφιξη, είναι μόνο μία και είναι: 9

Θεωρητική παρουσίαση ( ) ( ) ( ) Στην διάρκεια της διαδρομής συναντούμε όλους τους βρόχους, άρα θέτουμε, οπότε η συνδιακρίνουσα θα είναι:. Έτσι η Συνάρτηση Μεταφοράς θα είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) Στην Συνάρτηση Μεταφοράς μπορούμε να οδηγηθούμε με απλοποιήσεις και από το μπλόκδιάγραμμα, όπως αυτό φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Είναι προφανής η σχέση που υπάρχει μεταξύ του διαγράμματος ροής και του μπλόκ διαγράμματος. Σχήμα 2.4 Μπλοκ Διάγραμμα Θα οδηγηθούμε στην Συνάρτηση Μεταφοράς κλειστού βρόχου κάνοντας τις απλοποιήσεις στο μπλοκ διάγραμμα. Στα σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζονται τα βήματα της απλοποίησης, μέχρι την τελική Συνάρτηση Μεταφοράς. 10

Θεωρητική παρουσίαση Σχήμα 2.5 Πρώτη απλοποίηση μπλοκ διαγράμματος Σχήμα 2.6 Δεύτερη απλοποίηση μπλοκ διαγράμματος 11

Θεωρητική παρουσίαση Σχήμα 2.7 Τρίτη απλοποίηση μπλοκ διαγράμματος Σχήμα 2.8 Τέταρτη απλοποίηση μπλοκ διαγράμματος Αντικαθιστώντας τις παραμέτρους με τις τιμές που ορίσαμε στον πίνακα 2.1 παίρνουμε: Θα πρέπει να επιλέξουμε την σταθερά του ελατηρίου και την ενίσχυση έτσι ώστε η τιμή της μεταβλητής να τείνει σε μια χαμηλή τιμή (σχεδόν μηδενική) όταν υπάρχει διατάραξη. Δηλαδή σκοπός του συστήματος είναι να απορρίπτει τις διαταράξεις, ή να έχει την μικρότερη δυνατή διακύμανση. Για την μελέτη της συμπεριφοράς του ΣΑΕ ως προς την διατάραξη θεωρούμε μία τυπική βηματική διατάραξη της γενικής μορφής: Η μορφή της βηματικής διατάραξης στην πιο απλή μορφή της (για a=1) φαίνεται στο Σχήμα 2.9 παρακάτω. 12

Θεωρητική παρουσίαση Σχήμα 2.9 Βηματική διατάραξη στην πιο απλή μορφή της Δεδομένου ότι: και θεωρήσουμε ότι το τείνει στο μηδέν τότε το y είναι ίσο με το επιθυμητό. Εάν έχουμε έναν απόλυτα άκαμπτο ιμάντα με, τότε ακριβώς. Με την παρουσία της βηματικής διατάραξης θα έχουμε: Σύμφωνα με το θεώρημα της τελικής τιμής του μετασχηματισμού Laplace θα έχουμε: Έτσι η τελική τιμή για το τείνει στο μηδέν. Η λειτουργία του συστήματος θα γίνει για μια ρεαλιστική τιμή του. Για μια μέση τιμή του και θα έχουμε:, στην περιοχή Τότε η Συνάρτηση Μεταφοράς θα έχει μία πραγματική ρίζα και δύο μιγαδικές. Η ανάλυση της Σ.Μ. σε άθροισμα όρων θα είναι: 13

Θεωρητική παρουσίαση Όπου: - - Με τις τιμές αυτές η επίδραση της διαταραχής είναι σχετικά μικρή. Επειδή το A και το B είναι μικρότερα συγκριτικά με το C, μπορούμε να απλοποιήσουμε περεταίρω την Σ.Μ. για το ως εξής: Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 2.1 παίρνουμε: 14

Το σύστημα στο Simulink Κεφάλαιο 3. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ SIMULINK 3.1 Εξομοίωση του συστήματος στο Simulink Στο Σχήμα 3.1 φαίνεται η εξομοίωση του όλου ΣΑΕ στο Simulink με βηματική διατάραξη και στο Σχήμα 3.2 η απόκριση για την μεταβλητή για τρείς διαφορετικές τιμές της σταθεράς του ελατηρίου ( =10, 20, 40) και για σταθερή ενίσχυση =0,1. Από την μορφή της απόκρισης φαίνεται πως το σύστημα μηδενίζει πολύ γρήγορα την επίδραση της βηματικής διατάραξης, με καλύτερη επίδοση για =40. Σχήμα 3.1 Το σύστημα στο Simulink Σχήμα 3.2 Απόκριση του συστήματος σε βηματική διατάραξη 15

Το σύστημα στο Simulink Στο Σχήμα 3.3 έχουμε την απόκριση του συστήματος για σταθερή τιμή της σταθεράς του ελατηρίου ( )και για διαφορετικές τιμές της ενίσχυσης. Σχήμα 3.3 Απόκριση του συστήματος σε βηματική διατάραξη Από την μορφή της απόκρισης φαίνεται πως η καλύτερη περίπτωση προκύπτει για, ενώ και η περίπτωση για, δεν διαφέρει ουσιαστικά. Στην συνέχειαθα εφαρμόσουμε διατάραξη σε μορφή ράμπας (Σχήμα 3.4). Σχήμα 3.4 Διατάραξη ράμπας Η απόκριση του συστήματος θα είναι της μορφής που φαίνεται στα σχήματα 3.5 και 3.6, για σταθερή ενίσχυση και σταθερά του ελατηρίου ( ) και για σταθερή τιμή της σταθεράς του ελατηρίου ( ( ), αντίστοιχα. ) και διαφορετικές τιμές της ενίσχυσης 16

Το σύστημα στο Simulink Σχήμα 3.5 Απόκριση του συστήματος σε διατάραξη ράμπας Σχήμα 3.6 Απόκριση του συστήματος σε διατάραξη ράμπας Από τις μορφές της απόκρισης φαίνεται πως και στην περίπτωση της διατάραξης σε μορφή ράμπας, το σύστημα ανταποκρίνεται καλύτερα για σταθερά ελατηρίου και ενίσχυση. Για πολύ μικρότερες τιμές έχουμε ταλαντώσεις που αποσβένονται αργά. Στο Σχήμα 3.7 φαίνεται η απόκριση του συστήματος στην περίπτωση στιγμιαίου παλμού διατάραξης, για. 17

Το σύστημα στο Simulink Σχήμα 3.7 Απόκριση του συστήματος σε στιγμιαία διατάραξη Στο Σχήμα 3.8 φαίνεται η απόκριση του συστήματος σε στιγμιαία διατάραξη, για σταθερή τιμή της σταθεράς του ελατηρίου ( ( ). ) και διαφορετικές τιμές της ενίσχυσης Σχήμα 3.8 Απόκριση του συστήματος σε στιγμιαία διατάραξη Σε όλες τις ανωτέρω περιπτώσεις έγινε ρύθμιση των συντελεστών και αλλαγή της μορφής της διατάραξης στο αρχικό σχήμα εξομοίωσης του Simulink. 18

Το σύστημα στο Matlab Κεφάλαιο 4. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ MATLAB 4.1 Μελέτη του ΣΑΕ στο Matlab Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά του συστήματος στο Matlab μπορούμε να το κάνουμε εισάγοντάς το είτε σε μορφή Συνάρτησης Μεταφοράς, είτε σε μορφή Μοντέλου Κατάστασης. Σύμφωνα με το μοντέλο της κατάστασης που αναπτύχθηκε προηγουμένως οι εξισώσεις κατάστασης και παρατήρησης θα είναι: [ ] [ ] Εάν δε θέσουμε τις τιμές των στοιχείων σύμφωνα με τον πίνακα 2.1 και για σταθερά ελατηρίου και ενίσχυση θα έχουμε: [ ] [ ] Η εισαγωγή του συστήματος στο Matlab με την μορφή μοντέλου κατάστασης έχει ως εξής: >> A = [0-1 0.15; 200 0 0; -600-20/.15-25];B = [0; 0; -100];C = [1 0 0];D = [0];sys_belt = ss(a,b,c,d) sys_belt = a = x1 x2 x3 x1 0-1 0.15 19

Το σύστημα στο Matlab x2 200 0 0 x3-600 -133.3-25 b = u1 x1 0 x2 0 x3-100 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1 0 (Continuous-time state-space model) Αντίστοιχα, η εισαγωγή του συστήματος υπό μορφή Συνάρτησης Μεταφοράς στο Matlab γίνεται ως εξής: >> g1=tf([-15 0],[1 25 290 5300]) g1 = -15 s --------------------------- s^3 + 25 s^2 + 290 s + 5300 (Continuous-time transfer function) Μετά την εισαγωγή της Σ.Μ. μπορούμε να δούμε την συμπεριφορά του συστήματος ως έχει κατ αρχήν, δηλαδή με τις τιμές που επιλέξαμε (για, ) και χωρίς διόρθωση, με την εντολή: 20

Το σύστημα στο Matlab ltiview(g1) Με την εντολή αυτή μας δίδεται η δυνατότητα να δούμε τις αποκρίσεις του συστήματος και την συμπεριφορά του στα διαγράμματα σύμφωνα με τα σχήματα που ακολουθούν για κάθε περίπτωση. Σχήμα 4.1 Απόκριση του συστήματος σε βηματική διατάραξη. Σχήμα 4.2 Απόκριση του συστήματος σε στιγμιαία διατάραξη. Σχήμα 4.3 Απόκριση του συστήματος στο διάγραμμα BODE 21

Το σύστημα στο Matlab Σχήμα 4.4 Απόκριση του συστήματος στο διάγραμμα NYQUIST Σχήμα 4.5 Απόκριση του συστήματος στο διάγραμμα NICHOLS Σχήμα 4.6 Οι πόλοι και τα μηδενικά του συστήματος Από όλα τα διαγράμματα φαίνεται πως το σύστημα, για τις τιμές των μεταβλητών που επιλέξαμε, είναι σταθερό, αν και έχει ταλαντώσεις. Για την μελέτη του ΣΑΕ, υπό μορφή Συνάρτησης Μεταφοράς, δηλαδή για την μελέτη, τον καθορισμό της συμπεριφοράς του και την διόρθωση, θα εισάγουμε την εντολή: 22

Το σύστημα στο Matlab >> sisotool(g1) Η οθόνη εργασίας του Matlab που εμφανίζεται (Σχήμα 4.7) μας δίνει την δυνατότητα να επιλέξουμε την αρχιτεκτονική της διόρθωσης, αλλά και πολλά άλλα στοιχεία και συντελεστές του όλου συστήματος. Προφανώς δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν όλες οι δυνατότητες που προσφέρει το εν λόγω πρόγραμμα, σε κάθε σύστημα. Σχήμα 4.7 Οθόνη Ελέγχου Από την οθόνη ελέγχου μπορούμε να επιλέξουμε την αρχιτεκτονική της ελέγχου. Στην δική μας περίπτωση, η αρχιτεκτονική φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Όπου F=1, H=1. Σχήμα 4.8 Αρχιτεκτονική Ελέγχου 23

Το σύστημα στο Matlab Εάν μελετήσουμε την συμπεριφορά του συστήματος με την μέθοδο του Γεωμετρικού Τόπου των Ριζών (Γ.Τ.Ρ.), τότε η διόρθωση C έχει την μορφή μιας σταθεράς ενίσχυσης Κ. Ο Γ.Τ.Ρ. του συστήματος φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 4.9 Ο Γεωμετρικός Τόπος των Ριζών του συστήματος Από την μορφή του Γ.Τ.Ρ. φαίνεται πως περιθώρια για βελτίωση της επίδοσης του συστήματος, με την αλλαγή της τιμής της ενίσχυσης, δεν υπάρχουν, καθώς οι κυρίαρχες ρίζες του συστήματος είναι αρκετά κοντά στον φανταστικό άξονα, πράγμα που αυξάνει τις ταλαντώσεις στην απόκριση. Μία ενδεχόμενη μείωση της τιμής της ενίσχυσης θα μείωνε μεν τις ταλαντώσεις, αλλά συγχρόνως θα μείωνε και την ταχύτητα της απόκρισης. Η μέθοδος διόρθωσης που ενδείκνυται σ αυτές τις περιπτώσεις είναι η χρήση ενός κλασσικού διορθωτή PID. 24

Βελτίωση επίδοσης του ΣΑΕ Κεφάλαιο 5. ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΤΟΥ ΣΑΕ 5.1 Διόρθωση του ΣΑΕ Αν και η επίδοση του συστήματος είναι σχετικά ικανοποιητική, καθώς απορρίπτει ικανοποιητικά την βηματική διατάραξη, πράγμα που είναι το ζητούμενο, θα εξετάσουμε στην συνέχεια την περεταίρω δυνατότητα βελτίωσης της επίδοσης του ΣΑΕ με την χρήση διόρθωσης. Η πιο απλή διάταξη διόρθωσης στα ΣΑΕ, είναι να βάλουμε έναν διορθωτή C πριν το σύστημα (sys), σύμφωνα με το σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 5.1 Κλασσική διάταξη διόρθωσης Η διόρθωση είναι μια διαδικασία που -στην ουσία- αλλάζει την Συνάρτηση Μεταφοράς ενός ΣΑΕ του οποίου οι επιδόσεις δεν μας ικανοποιούν- με σκοπό να αποκτήσει αυτό μια συμπεριφορά που θα είναι πιο κοντά στις απαιτήσεις μας, αν όχι πλήρως εναρμονισμένο μ αυτές. Οι παράγοντες που παρεμβαίνουν στην Συνάρτηση Μεταφοράς, καθώς και οι Συναρτήσεις Μεταφοράς του κάθε τύπου διορθωτή, περιγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί. 25

Βελτίωση επίδοσης του ΣΑΕ Πίνακας 5.1 Συναρτήσεις Μεταφοράς Τύπος εισαγωγής Όνομα Μορφή Διορθωτή στην εντολή pidtool στο μενού p P Αναλογική μόνο Συνάρτηση Μεταφοράς Διορθωτή (παράλληλα) i I Ολοκληρωτική μόνο pi PI Αναλογική & Ολοκληρωτική pd PD Αναλογική & Διαφορική Αναλογική & Διαφορική pdf pid pidf PDF PID PIDF με φίλτρο 1 ου βαθμού στον διαφορικό όρο Αναλογική, Ολοκληρωτική & Διαφορική Αναλογική, Ολοκληρωτική & Διαφορική με φίλτρο 1 ου βαθμού στον διαφορικό όρο Θα χρησιμοποιήσουμε έναν κλασσικό διορθωτή PID (Proportional Integral Derivative) σε σειρά με το σύστημα που μελετήσαμε. Καθώς όμως μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά του συστήματος ως προς την διατάραξη, η όλη αρχιτεκτονική θα διαμορφωθεί σύμφωνα με την δομή του σχήματος που ακολουθεί: Σχήμα 5.2 Κλασσική διάταξη διόρθωσης με PIDκαι διαταράξεις 26

Βελτίωση επίδοσης του ΣΑΕ Σύμφωνα με την ανωτέρω αρχιτεκτονική θα έχουμε τις περιπτώσεις του πίνακα που ακολουθεί: Πίνακας 5.2 Διόρθωση με PID Απόκριση Κύρια είσοδος Συνεισφορά Διορθωτή Απόρριψη της διατάραξης εισόδου Απόρριψη της διατάραξης εξόδου Ανοιχτός βρόχος Συνάρτηση Μεταφοράς από το r μέχρι το y από το r μέχρι το u από το d 1 μέχρι το y από το d 2 μέχρι το y Περιγραφή Δείχνει την απόκριση του ΣΑΕ κλειστού βρόχου σε βηματική είσοδο. Χρησιμοποιείται όταν μας ενδιαφέρει ο σχεδιασμός του ΣΑΕ ως προς την κύρια είσοδο. Δείχνει την απόκριση κλειστού βρόχου του διορθωτή σε βηματική είσοδο. Χρησιμοποιείται στον σχεδιασμό όταν υπάρχουν πρακτικοί περιορισμοί (π.χ. κορεσμός του διορθωτή). Δείχνει την απόκριση κλειστού βρόχου σε βηματική διατάραξη φορτίου (στην είσοδο του συστήματος). Χρησιμοποιείται όταν μας ενδιαφέρει στον σχεδιασμό η απόρριψη της διατάραξης. Δείχνει την απόκριση κλειστού βρόχου σε βηματική διατάραξη φορτίου (στην έξοδο του συστήματος). Χρησιμοποιείται όταν μας ενδιαφέρει η ευαισθησία στον θόρυβο της μέτρησης. Δείχνει την απόκριση ανοιχτού βρόχου του διορθωτή + σύστημα. Χρησιμοποιείται για την μελέτη στην αρμονική ανάλυση (πεδίο συχνοτήτων), όταν μας ενδιαφέρει το κριτήριο του περιθωρίου πλάτους και 27

Βελτίωση επίδοσης του ΣΑΕ φάσης. Δείχνει την απόκριση του συστήματος. Σύστημα Χρησιμοποιείται για την μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος. Εάν θεωρήσουμε πως στο σύστημα υπάρχει μόνον η διατάραξη και τα σήματα (της κύριας εισόδου) και (της διατάραξης στην έξοδο) είναι μηδενικά (δηλαδή το σύστημα διεγείρεται μόνο από την διατάραξη εισόδου), τότε το ανωτέρω σχήμα, υπ αυτές τις προϋποθέσεις, θα απλοποιηθεί όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 5.3 Διάταξη διόρθωσης με PIDκαι διατάραξη εισόδου μόνον Η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήματος διαμορφώνεται ως κάτωθι: Για να μελετήσουμε την συμπεριφορά του συστήματος καθώς και την διόρθωσή του στο MATLAB, θα εισάγουμε την εντολή: >> pidtool(g1,pid) Η οποία εντολή οδηγεί στην κάτωθι οθόνη, από όπου μπορούμε να επιλέξουμετις διάφορες περιπτώσεις στην απόκριση του διορθωμένου συστήματος και να ρυθμίσουμε τους συντελεστές του διορθωτή, συναρτήσει των επιλογών διόρθωσης: 28

Βελτίωση επίδοσης του ΣΑΕ Σχήμα 5.4 Οθόνη για επιλογή εισόδου ή διατάραξης Καθώς μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά του συστήματος στην διατάραξη, θα επιλέξουμε από την Response την περίπτωση Input disturbance rejection που αντιστοιχεί στην βηματική διατάραξη εισόδου. Η μορφή της απόκρισης του διορθωμένου συστήματος φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Στο σχήμα φαίνεται η δυνατότητα ρύθμισης που έχουμε, για την ταχύτητα απόκρισης του συστήματος, μέσω ενός slider. Για την συγκεκριμένη θέση του, κάθε φορά, έχουμε τις τιμές των παραμέτρων PIDτου διορθωτή, οι οποίες υπολογίζονται αυτόματα (autotuned). Το Matlab έχει την δυνατότητα αυτόματου προσδιορισμού του τύπου του διορθωτή που χρειάζεται το σύστημα (P, PI, PD, PID, κ.λπ.) και υπολογίζει παράλληλα και τις τιμές των συντελεστών του. Οι παράμετροι του διορθωτή είναι στην περίπτωσή μας:,, Σχήμα 5.5 Απόκριση του συστήματος για βηματική διατάραξη εισόδου 29

Βελτίωση επίδοσης του ΣΑΕ 5.2 Διόρθωση του ΣΑΕ στο Simulink Την διόρθωση του συστήματος μπορούμε να την δούμε και στο Simulink, πραγματοποιώντας την εξομοίωση, σύμφωνα με το Σχήμα 5.3. Η εξομοίωση φαίνεται στο Σχήμα 5.6 όπου πάνω εμφανίζεται το αρχικό σύστημα και κάτω, το σύστημα κλειστού βρόχου με διόρθωση PID και με τους συντελεστές PID σύμφωνα με τις τιμές που χρησιμοποιήθηκαν στο Σχήμα 5.5. Η απόκριση του συστήματος, με διόρθωση και χωρίς διόρθωση, φαίνεται στο Σχήμα 5.7. Σχήμα 5.6 Διόρθωση του συστήματος στο Simulink για διατάραξη εισόδου Σχήμα 5.7 Απόκριση του συστήματος με (και χωρίς) διόρθωση για διατάραξη είσοδο 30

Επίλογος Κεφάλαιο 6. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Παρουσιάσαμε και μελετήσαμε ένα Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου που χρησιμοποιείται στα καταγραφικά. Ξεκινήσαμε από την μαθηματική περιγραφή των στοιχείων του συστήματος. Στην συνέχεια μοντελοποιήσαμε το σύστημα στο μοντέλο των μεταβλητών κατάστασης και στο μοντέλο της Συνάρτησης Μεταφοράς. Η μελέτη της συμπεριφοράς του συστήματος έγινε με την Συνάρτηση Μεταφοράς με την βοήθεια του λογισμικού Matlab και τον εξομοιωτή του Simulink, αναδεικνύοντας την επίδοσή του στην δραστική απόρριψη των διαταράξεων στην είσοδο του συστήματος. Τέλος εστιάσαμε στην περεταίρω βελτίωση της επίδοσης του συστήματος με την χρήση διόρθωσης PID. 31

Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία 1. Control System Toolbox Getting Started Guide R2013b. http://www.mathworks.com/help/pdf_doc/control/get_start.pdf 2. Modern Control Systems. Richard C. Dorf, Davis Robert H. Bishop, Prentice Hall. 3. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Σημειώσεις. Γ. Τσιριγώτης. http://eclass.teikav.edu.gr/claroline/document/document.php 32