ΟΙ Ι ΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ ΩΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΟΧΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (COHERENT STATES) ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι στην αναπαράσταση θέσης, οι καταστάσεις εάχιστης αβεβαιότητας θέσης ορµής έχουν τη µορφή i ( ˆ 4 x x x ) ħ a x e e () όπου, p ˆ είναι, αντίστοιχα, η µέση τιµή της θέσης και της ορµής στην κατάσταση ( x). Είδαµε επίσης ότι µπορούµε να ερµηνεύσουµε τη σταθερά a ως κίµακα µήκους ενός αρµονικού τααντωτή µε µάζα m και κυκική συχνότητα ω, δηαδή a ħ. Θα δείξουµε τώρα ότι οι καταστάσεις ( x) είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής του αρµονικού τααντωτή που έχει κίµακα µήκους a. Ο τεεστής καταστροφής γράφεται i + + i ħ a p ħ όπου a και p mħ ω, η κίµακα µήκους και ορµής του αρµονικού τααντωτή Στην αναπαράσταση θέσης, ο τεεστής καταστροφής γράφεται ħ ap x ħ d x d + + a a p dx a dx x, θα πάρουµε Αν δράσουµε στην i i 4 ˆ 4 ( ˆ x d x x + x x x x ) + x ˆ a a a ( x) a ħ e ħ + e + a dx a ( x) i a i 4 ( ˆ x x ) + x ( ˆ a ħ + x x ) + x e a ħ π ( x) x a i x a + ( x ) + ( x) ( x ) + i ( x) a a ħ a a ħ ħ ap ˆ ˆ ˆ ˆ x p a x p + i x + i x a ħ a p ηαδή ( x) + i ( x) () a p x είναι ιδιοκατάσταση του τεεστή καταστροφής µε ιδιοτιµή Η () µάς έει ότι η
+ i (3) a p Επειδή η µέση τιµή της θέσης και η µέση τιµή της ορµής είναι πραγµατικοί αριθµοί µε τις αντίστοιχες διαστάσεις, βεβαίως από την (3) συµπεραίνουµε ότι Re (4) a Im (5) p Οι µέσες τιµές της θέσης και της ορµής, ˆx και ˆp, είναι εεύθερες να καύουν όο τον πραγµατικό άξονα, εποµένως από τις (4) και (5) συµπεραίνουµε ότι τα Re, Im επίσης καύπτουν τον πραγµατικό άξονα. Εποµένως, η ιδιοτιµή είναι ένας τυχαίος µιγαδικός αριθµός. Με άα όγια, µεταβάοντας τις τιµές των και ˆp, η () µάς δίνει όες τις ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής του αρµονικού τααντωτή που έχει κίµακα µήκους a. Υπενθυµίζουµε ότι ο τεεστής καταστροφής δεν είναι ερµιτιανός ο συζυγής τεεστής του είναι ο τεεστής δηµιουργίας ( â ) εποµένως οι ιδιοτιµές του µπορούν να είναι µιγαδικοί αριθµοί. Οι ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής, όγω των ιδιοτήτων τους, τις οποίες θα συζητήσουµε παρακάτω, ονοµάζονται συνοχικές (ή σύµφωνες) καταστάσεις (cohere saes). Προτιµάµε τον όρο συνοχικές επειδή πιστεύουµε ότι αποδίδει καύτερα το αγγικό cohere. Σηµείωση Αν αάξουµε τη σταθερά a και την κάνουµε a, η () µάς δίνει τις ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής ενός άου αρµονικού τααντωτή, που έχει κίµακα µήκους a, οι οποίες δεν είναι πέον ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής του πρώτου αρµονικού τααντωτή. Η παρατήρηση αυτή αποτεεί την αφετηρία για την εισαγωγή των πιο γενικών καταστάσεων εάχιστης αβεβαιότητας θέσης ορµής, που ονοµάζονται συµπιεσµένες καταστάσεις (squeezed saes). Παρατήρηση p, η () µάς δίνει ( x) 4 Για x ˆ και ˆ e, δηαδή µάς δίνει τη βασική κατάσταση του τααντωτή, ενώ από τις (4) και (5) παίρνουµε ότι. Η βασική κατάσταση του τααντωτή είναι, εποµένως, ιδιοκατάσταση του τεεστή καταστροφής µε ιδιοτιµή µηδέν. Θα υποογίσουµε τώρα τη χρονική εξέιξη των καταστάσεων (), δηαδή τη χρονική εξέιξη των ιδιοκαταστάσεων του τεεστή καταστροφής. Αναπτύσσουµε την κατάσταση () στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας (6) ( x) c ( x) είναι οι ιδιοκαταστάσεις (ιδιοσυναρτήσεις) της ενέργειας του τααντωτή όπου ( x) στην αναπαράσταση θέσης, δηαδή ( x) x Η ( x) είναι, όπως δείξαµε, ιδιοκατάσταση του τεεστή καταστροφής, µε ιδιοτιµή που δίνεται από τη σχέση (3). Εποµένως â x x (7) x a Αν δράσουµε µε τον τεεστή καταστροφής στο ανάπτυγµα (6), θα πάρουµε ˆx
( x) c ˆ x ca ( x) c ( x) c + + ( x) c + x ηαδή + ˆ + a ( x) + c ( x) (8) Εξάου, αν αντικαταστήσουµε το ανάπτυγµα (6) στην (7), θα πάρουµε a x x c x ˆ Συγκρίνοντας την τεευταία ισότητα µε την (8), παίρνουµε c x + c x + c c x + + Επειδή οι ιδιοκαταστάσεις ( x) είναι γραµµικά ανεξάρτητες, από την τεευταία ισότητα παίρνουµε + c+ c c+ c,,,... + Η τεευταία ισότητα είναι µια απή αναδροµική σχέση, την οποία εύκοα µπορούµε να ύσουµε. c+ c c...... c ( )... c + + + + + + + c c...! ( + ) ( + ) ηαδή c c (9)! Αν αντικαταστήσουµε την (9) στο ανάπτυγµα (6), θα πάρουµε ( x) c ( x) ()! Η σταθερά c υποογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης, δηαδή dx x x () Όµως m m m ( ) ( x) c m( x) c m( x) c m ( x) m m! m m! m m! m c m ( x) m m! ηαδή m ( x) c m ( x) m m! + παράγοντες
Οπότε m dx ( x) ( x) dx c m ( x) c ( x) m m!! m c dx m ( x) ( x) () m, m!! Όµως dx x x δ m m αφού οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας είναι ορθοκανονικό σύνοο Εποµένως, από την τεευταία ισότητα της (), θα πάρουµε m ( ) m dx x x c δ c c m, m!!!!! ( ) c c e! ηαδή e dx ( x) ( x) c e (3) Με τη βοήθεια της (3), η συνθήκη κανονικοποίησης () γράφεται c e c e c e Επιέγουµε, αµβάνοντας υπόη τη συµµετρία φάσης των κυµατοσυναρτήσεων, c e (4) Με τη βοήθεια της (4), η (9) γράφεται c e (5)! οπότε το ανάπτυγµα (6) παίρνει τη µορφή (6)! ( x) e ( x) Η (5) µάς δίνει το πάτος πιθανότητας ο τααντωτής να βρεθεί στην ιδιοκατάσταση x x είναι. Η πιθανότητα µετάβασης του τααντωτή στην ιδιοκατάσταση ( ) P c e e e e e!!!!! ηαδή ( ) P e,,,... (7)! Η (7) είναι µια κατανοµή Poisso µε παράµετρο. ηαδή, η πιθανότητα µετάβασης του τααντωτή από µια ιδιοκατάσταση του τεεστή καταστροφής, µε
ιδιοτιµή, σε µια ιδιοκατάσταση ενέργειας E, δίνεται από µια κατανοµή Poisso µε παράµετρο το τετράγωνο του µέτρου της ιδιοτιµής. x. Από το ανάπτυγµα (6), µπορούµε να γράουµε τη χρονική εξέιξη της Πράγµατι, η χρονική εξέιξη των ιδιοκαταστάσεων ( x) είναι, όπως ξέρουµε, ( x, ) ie ħ x e (8) Έτσι, οιπόν, η χρονική εξέιξη της ( x) θα είναι, από τη (6), ie ħ!! ηαδή ( x, ) e ( x, ) e e ( x) ie ħ ( x, ) e e ( x) (9)! Η (9) µάς δίνει τη χρονική εξέιξη µιας τυχαίας ιδιοκατάστασης του τεεστή καταστροφής, µε ιδιοτιµή που δίνεται από την (3). Θα δείξουµε τώρα ότι η χρονική εξέιξη µιας ιδιοκατάστασης του τεεστή καταστροφής παραµένει ιδιοκατάσταση του τεεστή καταστροφής, είναι όµως µια συνεχώς µεταβαόµενη ιδιοκατάσταση. Αν δράσουµε στη (9) µε τον τεεστή καταστροφής, θα πάρουµε ie ie ie ˆ a ( x, ) ħ e e ˆ x ħ ħ e e a ( x) e e ( x)!!! ie + ie e e ( x) + ħ ħ e e ( x) ()!! Όµως E + + + ω + ω+ ω E + ω ħ ħ ħ ħ Οπότε ( ħω) ie + i E + ie ie iω ħ ħ ħ iω ħ e e e e e Έτσι, η τεευταία ισότητα της () γράφεται + ie ie x, e e e x e e e x iω ħ iω ħ!! iω ħ iω e e e ( x) e x,! ie ( x, ) ηαδή x, iω e x, () Από την (), βέπουµε ότι η ( x, ) είναι ιδιοκατάσταση του τεεστή καταστροφής, i είναι όµως µια συνεχώς µεταβαόµενη ιδιοκατάσταση, αφού η ιδιοτιµή e ω iω iω εξαρτάται από τον χρόνο. Ειδικότερα, επειδή e e, το µέτρο της
ιδιοτιµής της ( x, ) είναι σταθερό, αά η φάση της κάνει ταάντωση µε κυκική συχνότητα ω. Όες οι ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής είναι καταστάσεις εάχιστης αβεβαιότητας θέσης ορµής, και µάιστα, όπως δείξαµε στην προηγούµενη ανάρτηση, οι επιµέρους αβεβαιότητες θέσης και ορµής είναι, σε κάθε ιδιοκατάσταση, ίσες µε τις αντίστοιχες αβεβαιότητες της θέσης και της ορµής στη βασική κατάσταση του τααντωτή (η οποία, όπως είδαµε, είναι ιδιοκατάσταση του τεεστή καταστροφής µε ιδιοτιµή µηδέν). x, µιας τυχαίας ιδιοκατάστασης Συµπεραίνουµε, οιπόν, ότι η χρονική εξέιξη του τεεστή καταστροφής παραµένει κατάσταση εάχιστης αβεβαιότητας θέσης ορµής. Όπως όµως δείξαµε στην προηγούµενη ανάρτηση, οι καταστάσεις εάχιστης x, θα έχει τη αβεβαιότητας θέσης ορµής έχουν τη µορφή (). Εποµένως, η µορφή i 4 ( ˆ x x x ) ħ a ( x, ) e e () όπου, p ˆ είναι, αντίστοιχα, η χρονική εξέιξη της µέσης τιµής της θέσης και της ορµής. Ποια είναι, όµως, η χρονική εξέιξη των προηγούµενων µέσων τιµών; Στην ανάρτηση «Αρµονικός τααντωτής Άσκηση 3», στο ερώτηµα i, υποογίσαµε τη χρονική εξέιξη των µέσων τιµών της θέσης και της ορµής σε µια τυχαία κατάσταση του αρµονικού τααντωτή, και είδαµε ότι είναι ίδια µε τη χρονική εξέιξη της θέσης και της ορµής του κασικού αρµονικού τααντωτή. Μπορούµε να πάρουµε τις γενικές σχέσεις και να τις χρησιµοποιήσουµε στην περίπτωση µας. Ωστόσο, για την περίπτωσή µας µπορούµε εναακτικά να χρησιµοποιήσουµε, αντί του θεωρήµατος Ehrefes (που χρησιµοποιήσαµε στην Άσκηση 3), τη σχέση (), και να εξάγουµε τη χρονική εξέιξη των µέσων τιµών της θέσης και της ορµής. Ας το δούµε. Η µέση τιµή του τεεστή καταστροφής τη χρονική στιγµή > είναι (στην αναπαράσταση θέσης) dx x a x (, ) ˆ (, ) Με τη βοήθεια της () παίρνουµε ˆ,,,, iω iω a dx x e x e dx x x Εποµένως i e ω (3) Όµως, θυµηθείτε ότι η κανονικοποίηση, δηαδή το µέτρο µιας δέσµιας κβαντικής κατάστασης, διατηρείται (είναι ανεξάρτητη του χρόνου) i i + + ħ ħ
ħ Αν εισάγουµε την κίµακα µήκους a και την κίµακα ορµής p αρµονικού τααντωτή, η τεευταία ισότητα γράφεται + i (4) a p Αν συγκρίνουµε τις (3) και (4), παίρνουµε iω + i e ( Re+ i Im)( cosω isiω) a p Re cosω+ Im siω+ i Im cosω Re siω ηαδή + i a p Re cosω+ Im siω+ i Im cosω Re siω mħ ω του Επειδή, p ˆ πραγµατικοί αριθµοί (µε τις αντίστοιχες διαστάσεις, βεβαίως), θα είναι Re cosω+ Im siω a( Re cosω+ Im siω) (5) a Im cosω Re siω p( Im cosω Re siω) (6) p Παρατηρήστε ότι αν Im, δηαδή αν Re, τότε οι (5) και (6) γράφονται, αντίστοιχα, a cosω (7) p siω (8) Οι (7) και (8) στην κασική εικόνα µάς δίνουν, αντίστοιχα, τη χρονική στιγµή, την αποµάκρυνση και την ορµή κασικού τααντωτή που αφήνεται, χωρίς αρχική ταχύτητα, από την αρχική θέση a. Συµπερασµατικά, οιπόν, οι ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής είναι ( ˆ 4 x x x ) γκαουσιανές συναρτήσεις της µορφής ħ a x e e, οι οποίες µε το πέρασµα του χρόνου παραµένουν γκαουσιανές συναρτήσεις, της µορφής (, ) 4 i x ħ a i ( x ), όπου η χρονική εξέιξη των µέσων τιµών της x e e θέσης x ˆ και της ορµής p ˆ ακοουθεί τους κασικούς τύπους (5) και (6). x, είναι, οιπόν, µια γκαουσιανή καµπάνα σταθερού πάτους θυµηθείτε ότι Η το πάτος της κατανοµής Γκάους είναι η διασπορά της κατανοµής, που στην προκειµένη περίπτωση είναι η αβεβαιότητα θέσης, η οποία, όπως δείξαµε, είναι ίδια για όες τις ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής που τααντώνεται σύµφωνα µε τους κασικούς τύπους της αρµονικής ταάντωσης. Μπορούµε να αντιστοιχίσουµε x, τον κασικό αρµονικό τααντωτή, δηαδή ένα στην γκαουσιανή καµπάνα σωµατίδιο που κάνει αρµονική ταάντωση. Εφόσον η ( x, ) περιγράφει τη χρονική εξέιξη της τυχαίας ιδιοκατάστασης του τεεστή καταστροφής, τα προηγούµενα
ισχύουν για όες τις ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής. Για τις ιδιότητές τους αυτές, οι ιδιοκαταστάσεις του τεεστή καταστροφής ονοµάζονται συνοχικές (ή σύµφωνες) καταστάσεις (cohere saes). Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosa@homail.com