Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της διέχεται από το κέντρο Ο της Γης. Αποδεικνύεται ότι η κατά την κίνηση του σώµατος η επιβατική ακτίνα r του κέντρου µάζας του ως προς το Ο, ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: d r dt - L m r = - GM 3 r (α) όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L το σταθερό διάνυσµα της στροφορµής του κέντρου µάζας του σώµατος περί το Ο, στο οποίο θεωρούµε συνγκεντρωµένη την µάζα του m. Χρησιµοποιώντας την παραπάνω εξίσωση να δείξετε ότι, αν ένας δορυφόρος της Γής επί κυκλικής τροχιάς εκτραπεί ακτινικά πολύ λίγο σε σχέση µε την ακτί να r της τροχιάς του, θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση γύρω από την ευσταθή αυτή κυκλική τροχιά. ΛΥΣΗ: Kατά την κίνηση του δορυφόρου επί της ευσταθούς κυκλικής τροχιάς ακτίνας r, το βάρος του (Νευτώνεια έλξη από την Γη) αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για την µεταφορική κυκλική κίνηση του κέντρου µάζας του, δηλαδή ισχύει η σχέση: W r = mv r GMm = mv r r v = GM r () όπου το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας. Έξάλλου το µέτρο της στροφορµής L του κέντρου µάζας του δορυφόρου δίνεται από την σχέση: L = m r L = m r () L = m GMr () Ας δεχθούµε ότι ο δορυφόρος µε εξωτερική επέµβαση εκτρέπεται ακτινικά ώστε η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας του να γίνει r=r +x µε x<<r, Tότε
η κυκλική του τροχιά θα διαταραχθεί αλλά η νέα του επίπεδη κίνηση θα περιγ ράφεται από την διαφορική εξίσωση (α), η οποία γράφεται: d (r + x) dt - d x dt + GM - (r + x) # " m GMr m (r + x) 3 = - Σχήµα GM (r + x) r $ & = r + x% d x dt + GMx r 3 d x dt + x " (3) µε ω =GM/r 3. H (3) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: x = Aµ ("t + #) (4) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες, που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες εκτροπής του δορυφόρου. Η (4) εξασφαλίζει ότι ο δορυφόρος µετά την εκτροπή του θα εκτελεί επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας η επιβατική του ακ τίνα r θα µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: r = r + Aµ ("t + #) r - r = Aµ ("t + #) (5) Η (5) εκφράζει ότι η κίνηση του κέντρου µάζας του δορυφόρου είναι αρµονική ταλάντωση περί την ευσταθή κυκλική τροχιά του ακτίνας r, της οποίας η περίοδος Τ δίνεται από την σχέση: T = " = GM/ r 3 T = r 3 GM (6) Eίναι χρήσιµο αλλά και εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η περίοδος Τ είναι ίδια µε την περίοδο της ευσταθούς κυκλικής κίνησης του δορυφόρου πρίν την εκτ ροπή του. P.M. fysikos
Δύο µικρά σφαιρίδια Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m συνδέον ται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, το οποίο διέρχεται από µια µικρή οπή Ο, λείου οριζόντιου επιπέδου. Το σφαιρίδιο Σ κρατείται επί του οριζοντίου επιπέδου σε απόσταση α από την οπή, ενώ το Σ κρέµεται µε το νήµα κατακόρυφο. Την χρονική στιγµή t= δίνουµε στο σφαιρίδιο Σ οριζόντια ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ευθεία ΟΣ. i) Nα δείξετε ότι η επιβατική ακτίνα r του σφαιριδίου Σ ως προς την οπή Ο, ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: (m ) d r dt - m = -m r 3 όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Να δείξετε ότι όταν το σφαιρίδιο Σ ηρεµεί, τότε το Σ εκτελεί πά νω στο οριζόντιο επίπεδο οµαλή κυκλική κίνηση. iii) Να δείξετε ότι, αν το σφαιρίδιο Σ εκτραπεί ακτινικά από την ευταθή κυκλική τροχιά που αντιστοιχεί σε ισορροπία του σφαιριδίου Σ και η εκτροπή αυτή είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την ακτίνα της τροχιάς, τότε το σφαιρίδιο θα εκτελεί µε καλή προσέγγιση αρµονική ταλάντωση γύρω από την τροχιά αυτή και να υπολογίσετε την περίο δό της. ΛΥΣΗ: i) To σφαιρίδιο Σ δέχεται το βάρος του m, την κατακόρυφη αντίδρα ση N του λείου ορίζόντιου επιπέδου που εξουδετερώνει το βάρος του, και την τάση T του νήµατος, η οποία κατευθύνεται συνεχώς προς την οπή Ο, δηλαδή αποτελεί κεντρική ελκτική δύναµη. Τα παραπάνω εγγυώνται ότι η κίνηση του σφαιριδίου είναι επίπεδη και µάλιστα η τροχιά του βρίσκεται επί του οριζόντι ου επιπέδου, αφού το διάνυσµα της αρχικής του ταχύτητας v ανήκει στο επί πεδο αυτό. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα κατά την διεύθυνση της επιβατικής του ακτίνας παίρνουµε την σχέση: m ( d r dt - r " d % * $ ' # dt& ) * + -, - = -T () όπου dθ/dt ο ρυθµός µεταβολής της πολικής γωνίας του σφαιριδίου, που αποτε λεί και την αλγεβρική τιµή της γωνιακής του ταχύτητας περί το Ο και dr/dt η αλγεβρική τιµή της ακτινικής συνιστώσας v r της ταχύτητας v του σφαιριδίου. Εξάλλου η στροφορµή L του σφαιριδίου περί το Ο διατηρείται σταθερή και το µέτρο της δίνεται από την σχέση:
L = m m rv = m " r d dt = " r d dt = " r () όπου v η εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητας v και r η απόστασή του σφαιρι δίου από την οπή Ο την στιγµή που το εξετάζουµε. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: m d r dt - " % $ # r 3 ' = -T () & Σχήµα Εξάλλου το σφαιρίδιο Σ δέχεται το βάρος του m και την τάση T ' του νήµα τος, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε Τ και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα θα έχουµε για το σφαιρίδιο αυτό την σχέση: d z m dt = -T'+m m d z dt = -T + m (3) όπου z η απόσταση του Σ από την οπή Ο. Όµως αν L είναι το σταθερό µήκος του νήµατος κάθε στιγµή θα ισχύει: z + r = L dz dt + dr dt = dz dt = - dr dt οπότε η (3) γράφεται: d z dt = - d r dt d r -m dt = -T + m T = m d r dt + m (4) Απαλοίφοντας το Τ µεταξύ των () και (4) έχουµε: d r m dt - m r 3 = -m d r dt - m
(m ) d r dt - m = -m r 3 (5) ii) Aν απαιτήσουµε το σφαιρίδιο Σ να ηρεµεί, τότε κάθε στιγµή η επιτάχυνσή του θα είναι µηδενική, δηλαδή θα ισχύει: d z dt = - d r dt = και η σχέση (5) γράφεται: - m = - m r 3 r 3 = m m (6) δηλαδή κατά την κίνησή του σφαιριδίου Σ η απόστασή του από την οπή Ο είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι η τροχιά του είναι περιφέρεια κύκλου µε κέντρο την οπή. Για να συµβεί όµως αυτό πρέπει το µέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης v του Σ να επιλεγεί ώστε να αντιστοιχεί σε κεντροµόλο δύναµη σταθερού µέτρου m, δηλαδή πρέπει να ισχύει: m r = m = m r m οπότε η (6) γράφεται: r 3 = m m m r m r = (7) iii) Ας δεχθούµε ότι το σφαιρίδιο Σ µε εξωτερική επέµβαση εκτρέπεται ακτινι κά ώστε η επιβατική ακτίνα του να γίνει r=α+x µε x<<α, Tότε η κυκλική του τροχιά θα διαταραχθεί, αλλά η νέα του επίπεδη κίνηση θα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση (5), η οποία γράφεται: (m ) d ( + x) - m dt ( + x) = -m 3 m ) d x dt - m ( + x) = -m (8) 3 Όµως έχουµε: ( + x) 3 = ( + x)-3 = -3 ( + x/) -3 ( + x) 3 " -3 ( - 3x/)
διότι x<<α, οπότε η (8) παίρνει την µορφή: (m ) d x dt - m v " - 3x % $ ' = -m # & (m ) d x dt - m " - 3x % $ ' = -m # & (m ) d x dt + 3m x = d x dt + 3m (m ) x = d x dt + x = µε = 3m "(m ) (9) H (9) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: x = Aµ ("t + #) (4) Σχήµα 3 όπου Α, φ σταθερές ποσότητες, που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες εκτροπής του σφαιριδίου Σ. Η (9) εξασφαλίζει ότι το σφαιρίδιο Σ µετά την εκτροπή του θα εκτελεί επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας η επιβατική του ακτίνα r θα µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: r = + A"µ (#t + $) r - = A"µ (#t + $) () Η () εκφράζει ότι η κίνηση του σφαιριδίου Σ είναι αρµονική ταλάντωση περί την ευσταθή κυκλική τροχιά ακτίνας α, της οποίας η περίοδος Τ δίνεται από την σχέση: T = " = #(m ) 3m Στο σχήµα (3) φαίνεται η τροχιά που διαγράφει το σφαιρίδιο Σ µετά την ακτινική εκτροπή του από την κυκλική τροχιά ακτίνας α, που αντιστοιχεί σε ισορροπία του σφαιριδίου Σ. P.M. fysikos