υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς υ θ ε ι ε ς ) Οι παραλληλες ευθειες ε, ε τεμνονται απ'την ευθεια ε υπο γωνια 4. π'το σημειο τομης των ε, ε φερνουμε ημιευθεια K που τεμνει την ε στο. ν ε = 75, να υπολογιστει η γωνια ε. = (), ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ε, ε που τε - μνονται απ'την. Eιναι + 75 + 4 = 8 (αθροισμα ευθεια γωνια) = 8-5 = 65 Οποτε λογω της () = 65. ε ν ειναι τυχαιο σημειο της πλευρας ισοσκελους ( = ) τριγωνου και στην προεκταση της παρουµε τμημα =, να δειξετε οτι:. στω η διαμεσος (και υψος και διχοτομος) του ισοσκελους τριγωνου. Το τριγωνο ισοσκελες, αρα = (). Η εξωτερικη στο τριγωνο, αρα () = + = = = που σημαινει οτι ( = και εντος εναλλαξ) και αφου (υψος) και. ινεται ισοσκελες τριγωνο, με =, σημειο στη αση και σημειο στην πλευρα τετοιο, ωστε ˆ = ˆ. Να δειχθει οτι: = ιναι = και =. Η ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο οποτε : = + + = + = + () Η ειναι εξωτερικη γωνια στο τριγωνο οποτε : = + () πο (),() : = που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες και ισχυει =. ε 75 4 ε 4 Ζ
υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς υ θ ε ι ε ς ) στω γωνια O y και σημειο της Ο. π'το φερνουμε την καθετη στην Οy και την διχοτομο της γωνιας Ο που τεμνει την Οy στο. π'το φερνου - με την καθετη στην Οy. Να δειξετε οτι =. σαν καθετες στην ιδια ευθεια Οy. = ( διχοτομος) = (εντος εναλλαξ παραλληλων = (), που τεμνει η ) Η () σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες και =. Ο y πο το εγκεντρο Ι τριγωνου φερουµε παραλληλη στη που τεµνει τις, στα σημεια και αντιστοιχως. Να δειξετε οτι: = +. = (Ι διχοτομος) Ι = που σημαινει οτι = Ι (εντος εναλλαξ παραλληλων το τριγωνο Ι ισοσκε -, που τεμνει η Ι) λες και Ι = () = (Ι διχοτομος) Ι = που σημαινει οτι = Ι (εντος εναλλαξ παραλληλων το τριγωνο Ι ισοσκε -, που τεμνει η Ι) λες και Ι = () πο () + () προκυπτει το ζητουμενο. Σε τριγωνο με =, να δειξετε οτι α <. Φερνουμε το υψος και πανω στη παιρνουμε σημειο, τετοιο ωστε =. Το τριγωνο ειναι ισοσκελες ( υψος και διαμεσος) αρα = () και = = () Ομως η ειναι εξωτερικη στο τριγωνο, οποτε ειναι : = + (3) πο (), (3) : + = = που σημαινει οτι τριγωνο ισοσκελες και = = = (4) πο τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο και την (4) προκυ - πτει οτι : α < + α < () Ι α
υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς υ θ ε ι ε ς ) 3 Σε ισοσκελες τριγωνο ( = ) φερουμε ημιευθεια, που ρι - σκεται στο ημιεπιπεδο (,). ν η B τεμνει την προεκταση της στο και στη παρουμε σημεια, τετοια, ωστε : = = 9, να δειξετε οτι : = και οτι το ειναι ισοσκελες. = συμπληρωματικη της = () δηλαδη τρι - = συμπληρωματικη της γωνο ισοσκελες και = ( ισοσκελες) = () Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια = = () αρα = που σημαινει τριγ. ισοσκελες. = () πo τα aκρα ευθ. τμηματος φερουμε στο ιδιο ημιεπιπεδο δυο παραλληλες ημιευθειες και y. Παιρνουμε τυχαιο σημειο του και στις, y τα ση- µεια, αντιστοιχα, ωστε = και =. Να αποδειξετε οτι ˆ= 9. Τριγ. ισοσκελες, αρα = και + = 8 = () Τριγ. ισοσκελες, αρα = και + = 8 = () + 8 πο () + () : + = + + = + = (*) + = 9, οποτε και = 9. (*) : Οι γωνιες, ειναι εντος - εκτος επι τα αυτα μερη των πα - ραλληλων, By που τεμνονται απο και + = 8. y Σε τριγωνο με - = 3 φερουμε τη διχοτομο. Να δειξετε οτι = 75. ιναι + + = 8 + + = 9 + + + = 9 + - + = 9 + - - 3 = 9 - = 9 - = 9-5 = 75
υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς υ θ ε ι ε ς ) 4 Σε τριγωνο φερουμε απ'τη κορυφη ευθεια '. Στην ' και εκα - τερωθεν του παιρνουμε τμηματα = Ν =. Να δειξετε οτι : Ν. Τα τριγωνα, Ν ειναι ισοσκελη ( = = Ν) οποτε : = () και Ν = Ν () = y, εντος εναλλαξ (Ν που τεμνονται απο ) και λογω () = y,δηλ. διχοτομος της εξ. Ν = Ν, εντος εναλλαξ (Ν που τεμνονται απο Ν) και λογω () Ν = Ν,δηλ. Ν διχοτομος της. ρα Ν = 9 (, εξ εφεξης παραπληρωματικες γωνιες). Στην υποτεινουσα ορθογωνιου τριγωνου ( = 9 ) παιρνουμε σημειο, τετοιο ωστε =. ν υψος, να δειξετε οτι η ειναι διχοτομος της. Το τριγωνο ειναι ισοσκελες ( = ),αρα : = () Στο τριγ. : = 9 - = 9 - (). = 9, οποτε = 9 - (3). πο (), (3) : =, που σημαινει διχοτομος της. () Στην προεκταση της υποτεινουσας ορθογωνιου τριγωνου ( = 9 ) παιρ - νουμε τμημα = γ. Φερνουμε ημιευθεια προς το μερος του και παιρ - νουμε =. Να δειξετε οτι η ειναι διχοτομος της. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια = = γ αρα : = () και = () = = π'την () προκυπτει οτι (, ειναι εντος - εκτος και επι τα αυτα μερη), οποτε = (3), εντος εναλλαξ ( που τεμνονται απο ). π'την () προκυπτει = (4) (τριγ. ισοσκελες). πο (3), (4) : = που σημαινει οτι διχοτομος της. B y γ Ν γ
υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς υ θ ε ι ε ς ) 5 Σε τριγωνο με = 6 φερουμε τις διχοτομους, των γωνιων, αντιστοιχα. Να δειξετε οτι : =. ειναι εξωτερικη του τριγωνου, οποτε : = + = 6 + () ειναι εξωτερικη του τριγωνου, οποτε : E 6 = + = + + = + 9 - = + 9 - = = + 9-6 = 6 + () πο (), () προκυπτει : =. ν η διχοτομος της εξωτερικης γωνιας τριγωνου τεμνει την προεκταση της στο σημειο, να δειξετε οτι : = -. ειναι εξωτερικη του τριγωνου, οποτε : εξ = + = - = - - = - - = = - 6 πo τα aκρα ευθ. τμηματος φερουμε στο ιδιο ημιεπιπεδο δυο παραλληλες ημιευθειες και y. Παιρνουμε τυχαιο σημειο του και στις, y τα ση- µεια, αντιστοιχα, ωστε = και =. Να αποδειξετε οτι ˆ= 9. Τριγ. ισοσκελες, αρα = ομως = (εντος εναλλαξ z που τεμνει η ), οποτε = () Τριγ. ισοσκελες, αρα = 4 ομως = 3 (εντος εναλλαξ y z που τεμνει η ), οποτε 3 = 4 ( ) (,) ιναι : + + 3 + 4 = 8 ( + 3) = 8 + 3 = 9, οποτε και = 9. z y 3 4