Εισαγωγή στους αλγορίθµους, Τόµος II

Thomas H. Cormen Charles E. Leiserson Ronald L. Rivest CliffordStein Εισαγωγή στους αλγορίθµους, Τόµος II Απόδοση στα ελληνικά - Επιστηµονική επιµέλεια: Ιωάννης Παπαδόγγονας ÓÂappleÈÛÙËÌÈ ÎÂÛ Î ÔÛÂÈÛ ÚËÙËÛ Ιδρυτική ωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αµερικής ΗΡΑΚΛΕΙΟ

π ªπ π ƒ Ι ΡΥΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑΣ Ηράκλειο Κρήτης, Τ.Θ. 38, 7. Τηλ. 8 37, Fax: 8 38 Αθήνα: Μάνης, 8. Τηλ. 384-3, Fax: 3383 e-mail: info@cup.gr www.cup.gr ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ È ı ÓÙÂÛ ÂÈÚ Û: ˆÚÁÈÔÛ ºÚ. ˆÚÁ ÎÔappleÔ ÏÔÛ, πˆ ÓÓËÛ apple ÔÁÁÔÓ Û Τίτλος πρωτοτύπου: c, : c για την ελληνική γλώσσα: Απόδοση στα ελληνικά, επιστηµονική επιµέλεια, επιµέλεια έκδοσης: Τελική ανάγνωση: Μακέτα εξωϕύλλου: Introduction to Algorithms, nd edition The Massachusetts Institute of Technology - MIT Press 3, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης ΙωάννηςΠαπαδόγγονας(ΠΕΚ) Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Βάσω Αβραµοπούλου ISBN set 78--4-4-4 ΤΟΜΟΣ ΙΙ78--4--8

Συνοπτικά περιεχόµενα Τόµου I I Θεµελιώδεις έννοιες Ορόλοςτωναλγορίθµων στις υπολογιστικές διαδικασίες Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις 3 Ρυθµός αύξησης συναρτήσεων 4 4 Αναδροµικές σχέσεις Πιθανοτικήανά λυση και τυχαιοκρατικοί αλγόριθµοι II Ταξινόµηση και διατακτικές στατιστικές Ταξινόµηση σωρού 7 Ταχυταξινόµηση 43 8 Ταξινόµησησεγραµµικό χρόνο ιά µεσοι καιδιατακτικές στατιστικές 8 III οµές δεδοµένων Στοιχειώδεις δοµές δεδοµένων Πίνακες διασποράς υαδικάδένδρα αναζήτησης 3 3 Μελανέρυθρα δένδρα 73 4 Επαύξηση δοµών δεδοµένων 3 IV Ανώτερες τεχνικές σχεδίασης καιανάλυσης υναµικός προγραµµατισµός 33 Άπληστοι αλγόριθµοι 37 7 Αντισταθµιστική ανάλυση 48

vi Συνοπτικά περιεχόµενα Τόµου I V οµές δεδοµένων προηγµένης σχεδίασης 8 ένδρα Β 438 ιωνυµικοί σωροί 4 Σωροί Fibonacci 47 οµές δεδοµένων για παράσταση ξένων συνόλων VI Αλγόριθµοι γραϕηµάτων Στοιχειώδεις αλγόριθµοι γραϕηµάτων 3 Ελαϕρύτατα συνδετικά δένδρα 3 4 Οµοαϕετηριακές ελαϕρύτατες διαδροµές 8 Πανζευκτικές ελαϕρύτατες διαδροµές 3 Μέγιστη ροή 4 VII Παράρτηµα: Μαθηµατικό υπόβαθρο Αʹ Αθροίσµατα Π Βʹ Σύνολα, σχέσεις, γραϕήµατα και άλλα Π 4 Γʹ Απαρίθµηση καιπιθανότητες Π 37

Περιεχόµενα Τόµου II VIII Επιλεγµένα θέµατα Εισαγωγή 73 7 Ταξινοµητικάδίκτυα 7 7. Συγκριτικά δίκτυα 7 7. Η αρχή µηδέν-ένα 7 7.3 Ένα διτονικό ταξινοµητικό δίκτυο 74 7.4 Ένα συγχωνευτικό δίκτυο 78 7. Ένα ταξινοµητικό δίκτυο 7 8 Πράξεις σε πίνακες 7 8. Ιδιότητες πινάκων 7 8. Ο αλγόριθµος του Strassen για πολλαπλασιασµό πινάκων 73 8.3 Επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων 74 8.4 Αντιστροϕή πινάκων 74 8. Συµµετρικοί θετικά ορισµένοι πίνακες και προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων 7 Γραµµικός προγραµµατισµός 7. Τυπική και αποκλιτική µορϕή 77. ιατύπωση προβληµάτων µε τη µορϕή γραµµικών προγραµµάτων 784.3 Ο πολυτοπικός αλγόριθµος 78.4 υϊκότητα 83. Η αρχική βασική εϕικτή λύση 8 3 Πολυώνυµα και FFT 8 3. Αναπαράσταση πολυωνύµων 8 3. Οι µετασχηµατισµοί DFT και FFT 88 3.3 ραστικές υλοποιήσεις FFT 83

viii Περιεχόµενα Τόµου II 3 Αριθµοθεωρητικοί αλγόριθµοι 84 3. Στοιχειώδεις έννοιες της θεωρίας αριθµών 847 3. Μέγιστος κοινός διαιρέτης 83 3.3 Υπολοιπική αριθµητική 88 3.4 Επίλυση υπολοιπικών γραµµικών εξισώσεων 8 3. Το κινεζικό θεώρηµα του υπολοίπου 8 3. υνάµεις ενός στοιχείου 87 3.7 Το κρυπτοσύστηµα δηµόσιου κλειδιού RSA 87 3.8 Έλεγχος πρώτευσης 883 3. Ακέραιη παραγοντοποίηση 8 3 Ταύτιση συµβολοσειρών 3. Ο απλοϊκός αλγόριθµος ταύτισης συµβολοσειρών 4 3. Ο αλγόριθµος Rabin-Karp 7 3.3 Ταύτιση συµβολοσειρών µε πεπερασµένα αυτόµατα 3.4 Οαλγόριθµος Knuth-Morris-Pratt 8 33 Υπολογιστική γεωµετρία 8 33. Ιδιότητες ευθύγραµµων τµηµάτων 33. Πώς προσδιορίζεται εάν υπάρχει ζεύγος τεµνόµενων τµηµάτων 3 33.3 Εύρεση του κυρτού καλύµµατος 4 33.4 Εύρεση του ζεύγους εγγύτατων σηµείων 34 NP-πληρότητα 34. Πολυωνυµικός χρόνος 34. Επαλήθευση πολυωνυµικού χρόνου 74 34.3 NP-πληρότητα και αναγωγιµότητα 7 34.4 Αποδείξεις NP-πληρότητας 34. NP-πλήρη προβλήµατα 8 3 Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι 8 3. Το πρόβληµα του κοµβικού καλύµµατος 3. Το πρόβληµα του περιοδεύοντος πωλητή 3 3.3 Το πρόβληµα της κάλυψης συνόλου 3.4 Τυχαιότητα και γραµµικός προγραµµατισµός 34 3. Το πρόβληµα του αθροίσµατος υποσυνόλου 3 Γλωσσάριο (Ελληνοαγγλικό - Αγγλοελληνικό) Γ Βιβλιογραϕία Β Ευρετήριο Ε

VIII Επιλεγµένα θέµατα

Εισαγωγή Το µέρος αυτό περιλαµβάνει κάποια επιλεγµένα αλγοριθµικά ζητήµατα τα οποία επεκτείνουν και συµπληρώνουν την ύλη τωνπροηγούµενωνκεϕαλαίων.ορισµένα κεϕάλαια εισάγουν νέα µοντέλα υπολογισµού, όπως π.χ. τα συνδυαστικά κυκλώ- µατα ή οι παράλληλοι υπολογιστές. Άλλα καλύπτουν ειδικότερες περιοχές µελέτης όπως η υπολογιστικήγεωµετρίακαιη θεωρίααριθµών. Τα τελευταίαδύο κεϕάλαια πραγµατεύονταικάποιους από τους γνωστούς περιορισµούς στη σχεδίαση δραστικών αλγορίθµων και εισάγουν κάποιες τεχνικές για την αντιµετώπιση αυτών των περιορισµών. Στο Κεϕάλαιο 7 παρουσιάζεταιένα παράλληλοµοντέλο υπολογισµού: τασυγκριτικά δίκτυα. Σε γενικές γραµµές, ένα συγκριτικό δίκτυο είναι ένας αλγόριθµος ο οποίος επιτρέπει την ταυτόχρονη εκτέλεση πολλών συγκρίσεων. Στο κεϕάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορεί να κατασκευαστεί ένα συγκριτικό δίκτυο που είναι σε θέση να ταξινοµεί n αριθµούς σε χρόνο O(lg n). Στο Κεϕάλαιο 8 εξετάζονται κάποιοι δραστικοί αλγόριθµοι για εκτέλεση πράξεων σε πίνακες. Αϕού παρουσιαστούν ορισµένες βασικές ιδιότητες των πινάκων, αναλύεται ο αλγόριθµος του Strassen, ο οποίος επιτρέπει τον πολλαπλασιασµό δύο n n πινάκων σε χρόνο O(n,8 ).Στησυνέχεια παρουσιάζονται δύο γενικές µέθοδοι η ανάλυση LU και η ανάλυση LUP για την επίλυση γραµµικών εξισώσεων µέσω απαλοιϕής Gauss σε χρόνο O(n 3 ).Αποδεικνύεται επίσης ότι η αντιστροϕή πίνακα και ο πολλαπλασιασµός πινάκων µπορούν να εκτελεστούν εξίσου δραστικά. Τέλος, παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισµού µιας προσεγγιστικής λύσης τύπου ελαχίστωντετραγώνων στην περίπτωση που ένα σύνολο γραµµικών εξισώσεων δεν έχει ακριβή λύση. Το Κεϕάλαιο συνίσταται στη µελέτη του γραµµικού προγραµµατισµού, όπου το ζητούµενο είναι να µεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί κάποια ποσότητα, υπό δεδοµένους περιορισµένους πόρους και αντικρουόµενους περιορισµούς. Τα προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού ανακύπτουν σε διάϕορες περιοχές πρακτικών εϕαρµογών. Το συγκεκριµένο κεϕάλαιο καλύπτει τη διατύπωση και επίλυση γραµµικών προγραµµάτων µέσω του πολυτοπικού αλγορίθµου, που είναι ο παλαιότεροςαλγόριθµος για γραµµικό προγραµµατισµό. Αντίθετα από πολλούς αλγορίθ- µους αυτού του βιβλίου, ο πολυτοπικός αλγόριθµος δεν έχει πολυωνυµικό χρόνο

74 Μέρος VIII Επιλεγµένα θέµατα εκτέλεσης στη χειρότερη περίπτωση, αλλά είναι αρκετά δραστικός και χρησιµοποιείται ευρύτατα σε πρακτικές εϕαρµογές. Στο Κεϕάλαιο 3 εξετάζονταιπράξεις σε πολυώνυµα, και αποδεικνύεται ότι µέσω µιας γνωστής τεχνικής επεξεργασίας σηµάτων του «ταχέος µετασχηµατισµού Fourier», ή FFT είναι δυνατός ο πολλαπλασιασµός δύο πολυωνύµων βαθµού n σε χρόνο O(n lg n). ιερευνώνται επίσης κάποιες δραστικές υλοποιήσεις της τεχνικής FFT, στις οποίες συµπεριλαµβάνεται και ένα παράλληλο κύκλωµα. Το Κεϕάλαιο 3 πραγµατεύεταιαριθµοθεωρητικούςαλγορίθµους. Μετάαπό µια αρχική επισκόπηση των στοιχειωδών εννοιών της θεωρίας αριθµών, παρουσιάζεται ο αλγόριθµος του Ευκλείδη για τον υπολογισµό µέγιστων κοινών διαιρετών. Εν συνεχεία, παρουσιάζονται αλγόριθµοι για επίλυση υπολοιπικών γραµµικών εξισώσεων και για τηνύψωσηενόςαριθµούσεκάποιαδύναµη modulo έναν άλλο αριθµό. Κατόπιν, εξετάζεται µια σηµαντική εϕαρµογή των αριθµοθεωρητικών αλγορίθµων: το κρυπτοσύστηµα δηµόσιου κλειδιού RSA. Το συγκεκριµένο κρυπτοσύστηµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί όχι µόνο για κρυπτογράϕηση µηνυµάτων έτσι ώστε να είναι αδύνατον να τα διαβάσει ένας επίδοξος λαθρακουστής, αλλά και για τη δηµιουργία ψηϕιακών υπογραϕών. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ο τυχαιοκρατικός έλεγχος πρώτευσης Miller-Rabin, ο οποίος επιτρέπει την ταχεία εύρεση µεγάλων πρώτων αριθµών που απαιτεί ουσιώδη προϋπόθεση για το σύστηµα RSA. Τέλος το κεϕάλαιο καλύπτει το ευρετικό τέχνασµα «ρο» του Pollard για παραγοντοποίηση ακεραίων και εξετάζει τις τελευταίες εξελίξεις στο ζήτηµα της ακέραιας παραγοντοποίησης. Στο Κεϕάλαιο 3 εξετάζεται το πρόβληµα της εύρεσης όλων των εµϕανίσεων µιας δεδοµένης «µορϕοτυπικής» συµβολοσειράς σε ένα δεδοµένο κείµενο, πρόβληµα το οποίο ανακύπτει συχνά στα προγράµµατα επεξεργασίας κειµένου. Αϕού εξεταστεί η απλοϊκή µέθοδος αντιµετώπισης του προβλήµατος, παρουσιάζεται η κοµψή τεχνική των Rabin και Karp. Εν συνεχεία, παρατίθεται µια δραστική λύση που βασίζεταισε πεπερασµένα αυτόµατα,καικατόπινοαλγόριθµος Knuth-Morris- Pratt, ο οποίος επιτυγχάνει αυξηµένη δραστικότηταµεέξυπνη προεπεξεργασίατου µορϕοτύπου. Το Κεϕάλαιο 33 έχει ως αντικείµενο την υπολογιστική γεωµετρία. Αϕού εξεταστούν κάποια βασικά στοιχεία της υπολογιστικής γεωµετρίας, παρουσιάζεται µια µέθοδος «σάρωσης» µε την οποία µπορεί να προσδιοριστεί δραστικά εάν σε ένα σύνολο ευθύγραµµων τµηµάτων υπάρχει έστω ένα ζεύγος τεµνόµενων τµηµάτων. Οι δυνατότητες των µεθόδων σάρωσης αναδεικνύονται περαιτέρω µέσω δύο έξυπνων αλγορίθµων για την εύρεση του κυρτού καλύµµατος ενός συνόλου στοιχείων της σάρωσης Graham και της προέλασης Jarvis. Το κεϕάλαιο ολοκληρώνεται µε έναν δραστικό αλγόριθµο για την εύρεση του ζεύγους εγγύτατων σηµείων σε ένα δεδοµένο σύνολο σηµείων στο επίπεδο. Το Κεϕάλαιο 34 αϕορά τα NP-πλήρη προβλήµατα. Πολλά ενδιαϕέροντα υπολογιστικά προβλήµατα είναι NP-πλήρη, χωρίς να έχει βρεθεί για κανένα από αυτά αλγόριθµος πολυωνυµικού χρόνου. Στο κεϕάλαιο αυτό παρουσιάζονται τεχνικές µε τις οποίες µπορεί να προσδιοριστεί πότε ένα πρόβληµα είναι NP-πλήρες. ιά- ϕορα κλασικά προβλήµατα είναι αποδεδειγµένα NP-πλήρη: ο προσδιορισµός του εάν ένα γράϕηµα περιέχει χαµιλτονιανό κύκλο, ο προσδιορισµός του εάν ένας λογικός τύπος είναι αληθεύσιµος, και ο προσδιορισµός του εάν ένα δεδοµένο σύνολο αριθµών έχει υποσύνολο του οποίου τα στοιχεία να έχουν άθροισµα µια δεδοµένη

Μέρος VIII Επιλεγµέναθέµατα 7 τιµή-στόχο. Στο κεϕάλαιο αυτό αποδεικνύεται επίσης ότι το περιβόητο πρόβληµα του περιοδεύοντος πωλητή είναι NP-πλήρες. Στο Κεϕάλαιο 3 εξετάζεται η χρήση προσεγγιστικών αλγορίθµων για τη δραστική εύρεση προσεγγιστικών λύσεων για NP-πλήρη προβλήµατα. Για ορισµένα NP-πλήρη προβλήµατα είναι σχετικά εύκολο να βρεθούν προσεγγιστικές λύσεις που να είναι σχεδόν βέλτιστες, ενώ για άλλα ακόµη και οι καλύτεροι γνωστοί προσεγγιστικοί αλγόριθµοι παρουσιάζουν σταδιακά χειρότερη επίδοση καθώς αυξάνεται το µέγεθος του προβλήµατος. Υπάρχουν τέλος ορισµένα προβλήµατα όπου όσο περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αϕιερώσει κανείς τόσο καλύτερη θα είναι και η προσεγγιστική λύση που θα πάρει. Τα παραπάνω ενδεχόµενα παρουσιάζονται στο κεϕάλαιο αυτό µέσω του προβλήµατος του κοµβικού καλύµµατος (στην αβαρή και την εµβαρή εκδοχή του), µιας βελτιστοποιητικής εκδοχής της αληθευσι- µότητας3-σκμ, του προβλήµατος του περιοδεύοντος πωλητή, του προβλήµατος της κάλυψης συνόλου, και του προβλήµατος του αθροίσµατος υποσυνόλου.

7 Ταξινοµητικάδίκτυα Στο Μέρος II, µελετήσαµε αλγορίθµους ταξινόµησης για σειριακούς υπολογιστές (µηχανές άµεσης προσπέλασης, ή αλλιώς RAM), οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να εκτελούν µόνο µία πράξη κάθε ϕορά. Στο κεϕάλαιο αυτό, θα µελετήσουµε αλγορίθµους που βασίζονται σε ένα διαϕορετικό µοντέλο υπολογισµού, το µοντέλο του λεγόµενου «συγκριτικού δικτύου», το οποίο επιτρέπει την ταυτόχρονη εκτέλεση πολλών πράξεων σύγκρισης. Τα συγκριτικάδίκτυα διαϕέρουναπότιςµηχανέςάµεσηςπροσπέλασηςκατάδύο σηµαντικές απόψεις. Πρώτον, δεν έχουν καµία άλλη δυνατότητα πέραν της εκτέλεσης συγκρίσεων. Εποµένως, ένας αλγόριθµος όπως η απαριθµητική ταξινόµηση (βλ. Ενότητα 8.) δεν είναι δυνατόν να υλοποιηθεί σε ένα τέτοιο δίκτυο. εύτερον, αντίθετα απ ό,τι στο µοντέλο RAM, όπου οι πράξεις λαµβάνουν χώρα σειριακά δηλαδή, η µία κατόπιν της άλλης, σε ένα συγκριτικό δίκτυο οι πράξεις µπορούν να πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα,ή «παράλληλα». Όπως θα δούµε, αυτή η ιδιότητα επιτρέπει τηνκατασκευή συγκριτικών δικτύων τα οποία ταξινοµούν n τιµές σε υπογραµµικό χρόνο. Ως πρώτο βήµα, στην Ενότητα 7. διατυπώνεται ο ορισµός των συγκριτικών δικτύων και των ταξινοµητικών δικτύων. Παρατίθεται επίσης ένας ϕυσικός ορισµός του «χρόνου εκτέλεσης» ενός συγκριτικού δικτύου συναρτήσει του βάθους του. Στην Ενότητα 7. αποδεικνύεται η «αρχή µηδέν-ένα», η οποία διευκολύνει εξαιρετικά το έργο της ανάλυσης ορθότητας των ταξινοµητικών δικτύων. Το δραστικόταξινοµητικόδίκτυο τοοποίο θασχεδιάσουµεείναικατ ουσίανµια παράλληλη εκδοχή του αλγορίθµου της συγχωνευτικής ταξινόµησης που παρουσιάστηκε στην Ενότητα.3.. Η διαδικασία της κατασκευής αποτελείται από τρία βήµατα. Στην Ενότητα 7.3 παρουσιάζεται η σχεδίαση ενός «διτονικού» ταξινοµητή, ο οποίος θα αποτελέσει και το βασικό δοµικό µας στοιχείο. Στην Ενότητα 7.4, οδιτονικόςταξινοµητής τροποποιείται ελαϕρά προκειµένου να παραχθεί ένα συγχωνευτικό δίκτυο που είναι σε θέση να συγχωνεύει δύο ταξινοµηµένες ακολουθίες σε µία ταξινοµηµένη ακολουθία. Τέλος, στην Ενότητα 7., τα συγχωνευτικά αυτά δίκτυα «συναρµολογούνται» σε ένα ταξινοµητικό δίκτυο που µπορεί να ταξινοµεί n τιµές σε χρόνο O(lg n). 7. Συγκριτικάδίκτυα Τα ταξινοµητικά δίκτυα είναι συγκριτικά δίκτυα που ταξινοµούν πάντοτε την είσοδό τους, και εποµένως είναι εύλογο να ξεκινήσουµε την παρουσίασή µας µε τα

7. Συγκριτικά δίκτυα 77 x y συγκριτής xʹ = min(x, y) yʹ = max(x, y) x y 7 3 3 7 xʹ = min(x, y) yʹ = max(x, y) (α) (β) Σχήµα 7. (α) Ένας συγκριτής µεεισόδουςx,και y και εξόδους x και y. (β) Οίδιοςσυγκριτής, σχεδιασµένος ως µια απλή κατακόρυϕη γραµµή. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, οι είσοδοι είναι x =7,y=3και οι έξοδοι x =3,y =7. συγκριτικά δίκτυα και τις ιδιότητές τους. Ένα συγκριτικό δίκτυο αποτελείται αποκλειστικά από αγωγούς και συγκριτές. Ένας συγκριτής (Σχήµα 7.(α)) είναι µια συσκευή µε δύο εισόδους, x και y, καιδύοεξόδους,x και y,ηοποία υπολογίζει την ακόλουθη συνάρτηση: x = min(x, y), y = max(x, y). Επειδή η γραϕική αναπαράσταση ενός συγκριτή κατά το πρότυπο του Σχήµατος 7.(α) είναι υπερβολικά «ανοικονόµητη» για τους σκοπούς µας, κατά σύµβαση θα απεικονίζουµε τους συγκριτές ως απλές κατακόρυϕες γραµµές, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 7.(β). Οι είσοδοι αναγράϕονται στα αριστερά και οι έξοδοι στα δεξιά, ενώ η µικρότερη από τις δύο τιµές εισόδου αναγράϕεται στο επάνω µέρος της εξόδου και η µεγαλύτερη στο κάτω. Εποµένως, µπορεί κανείς να θεωρεί ότι ένας συγκριτής ταξινοµεί τις δύο εισόδους του. Θα υποθέσουµε ότι ο κάθε συγκριτής έχει χρόνο εκτέλεσης O(). Με άλλα λόγια, θα υποθέσουµε ότι ανάµεσα στην εµϕάνιση των τιµών εισόδου x και y και στην παραγωγή των τιµών εξόδου x και y µεσολαβεί κάποιο σταθερό χρονικό διάστη- µα. Ένας αγωγός µεταβιβάζει µια τιµή από κάποιο σηµείο σε κάποιο άλλο. Οι αγωγοί µπορούν να συνδέουν την έξοδο ενός συγκριτή µε την είσοδο ενός άλλου, ή να είναι αγωγοί εισόδου ή εξόδου του δικτύου. Στο κεϕάλαιο αυτό, υποθέτουµε εν γένει ότι ένα συγκριτικό δίκτυο περιλαµβάνει n αγωγούς εισόδου a,a,...,a n, µέσω των οποίων εισέρχονται στο δίκτυο οι ταξινοµητέες τιµές, και n αγωγούςεξόδου b,b,...,b n,οιοποίοι αποδίδουν τα αποτελέσµατα που υπολογίζει το δίκτυο. Επίσης, ορίζουµε ως ακολουθία εισόδου a,a,..., a n και ακολουθία εξόδου b,b,..., b n τις τιµές των αγωγών εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα. ηλαδή, χρησιµοποιούµε την ίδια ονοµασία τόσο για τον ίδιο τον αγωγό όσο και για την τιµή που ϕέρει. Το πού αναϕερόµαστε κάθε ϕορά θα είναι σαϕές από τα συµϕραζόµενα. Στο Σχήµα 7. βλέπουµε ένα συγκριτικό δίκτυο, τοοποίο αποτελείται από ένα σύνολο συγκριτών συνδεδεµένων µέσω αγωγών. Ένα συγκριτικό δίκτυο n εισόδων σχεδιάζεταιωςένασύνολοn οριζόντιων γραµµών µεσυγκριτέςοι οποίοι εκτείνονται στην κατακόρυϕη διεύθυνση. Σηµειωτέον ότι µια γραµµή δεν αντιπροσωπεύει έναν µόνο αγωγό, αλλά µια αλληλουχία διακεκριµένων αγωγών οι οποίοι συνδέουν διάϕορους συγκριτές. Στο Σχήµα 7., παραδείγµατος χάριν, η πρώτη γραµµή από πάνω αντιπροσωπεύει τρεις αγωγούς: τον αγωγό εισόδου a,οοποίος συνδέεται µε µια είσοδο του συγκριτή A.έναν αγωγόο οποίος συνδέει την επάνω έξοδο του συγκριτή A µε µια είσοδο του συγκριτή C.καιτοναγωγόεξόδουb,οοποίος εξέρχεται

78 Κεϕάλαιο 7 Ταξινοµητικά δίκτυα a a a 3 a 4 A B C D E b b b 3 b 4 a a a 3 a 4 A B C D E b b b 3 b 4 (α) βάθος (β) a a a 3 a 4 A B C D E b b b 3 b 4 a a a 3 a 4 A B C D E b b b 3 b 4 βάθος βάθος (γ) (δ) 3 Σχήµα 7. (α) Ένα συγκριτικόδίκτυο µε4εισόδους και 4 εξόδους, το οποίο στην πραγµατικότητα είναι ένα ταξινοµητικό δίκτυο. Τηχρονική στιγµή, εµϕανίζονται στους τέσσερεις αγωγούςεισόδου οι αναγραϕόµενες τιµές εισόδου. (β) Τη χρονική στιγµή, εµϕανίζονται στιςεξόδους των συγκριτών A και B, οιοποίεςβρίσκονταισεβάθος, οιαναγραϕόµενες τιµές. (γ) Τη χρονική στιγµή, εµϕανίζονται στις εξόδους των συγκριτών C και D, οιοποίεςβρίσκονταισεβάθος, οιαναγραϕόµενες τιµές. Στο σηµείο αυτό, οι αγωγοί εξόδου b και b 4 έχουν λάβει τις τελικές τους τιµές, ενώ οι αγωγοί εξόδου b και b 3 όχι. (δ) Τη χρονική στιγµή 3, εµϕανίζονταιστιςεξόδους του συγκριτή E, που βρίσκονται σε βάθος 3, οιαναγραϕόµενες τιµές. Οι αγωγοί εξόδου b και b 3 έχουν πλέον λάβει τις τελικές τους τιµές. από την επάνω έξοδο του συγκριτή C. Η κάθε είσοδος ενός συγκριτή συνδέεται µε έναν αγωγό ο οποίος είτε είναι κάποιος από τους n αγωγούς εισόδου του δικτύου, a,a,...,a n,είτεσυνδέεταιµετηνέξοδοκάποιου άλλου συγκριτή. Αντίστοιχα, ηκάθεέξοδοςενόςσυγκριτήσυνδέεταιµεέναν αγωγό ο οποίος είτε είναι κάποιος από τους n αγωγούς εξόδουτουδικτύου,b,b,...,b n,είτεσυνδέεταιµετηνείσοδο κάποιου άλλου συγκριτή. Η βασική συνθήκη που πρέπει να πληροί η διασύνδεση συγκριτών είναι ότι το γράϕηµα των διασυνδέσεων θα πρέπει να είναι άκυκλο: εάν διατρέξουµε µια διαδροµή από την έξοδο ενός δεδοµένου συγκριτή µέχρι την είσοδο κάποιου άλλου, και από εκεί σε κάποια έξοδο, και εν συνεχεία σε κάποια είσοδο, κ.λπ., η διαδροµή αυτή δεν θα πρέπει να επανέρχεται ποτέ στον εαυτό της και να διέρχεται από την ίδιο συγκριτή ξανά. Εποµένως µπορούµε, όπως στο Σχήµα 7., να σχεδιάσουµε ένα συγκριτικό δίκτυο τοποθετώντας τις εισόδους του αριστερά και τις εξόδους του δεξιά. τα δεδοµένα µετακινούνται δια µέσου του δικτύου από τα αριστερά προς τα δεξιά. Οκάθεσυγκριτήςπαράγει τις τιµές εξόδου του µόνο όταν έχει στη διάθεσή του αµϕότερες τις τιµές εισόδου του. Στο Σχήµα 7.(α), παραδείγµατος χάριν, έστω ότι η ακολουθία,,, εµϕανίζεται στους αγωγούς εισόδου τη χρονική στιγµή. Τη στιγµή, εποµένως,µόνο οι συγκριτές A και B έχουν στη διάθεσή τους όλες τις τιµές εισόδου τους. Εάν δεχθούµε ότι κάθε συγκριτής χρειάζεται µία µονάδα χρόνου για να υπολογίσει τις τιµές εξόδου του, έπεται ότι οι συγκριτές A και B πα-

7. Συγκριτικά δίκτυα 7 ράγουντιςεξόδουςτουςτηχρονικήστιγµή.οιπροκύπτουσες τιµές αναγράϕονται στο Σχήµα 7.(β). Σηµειωτέον ότι οι συγκριτές A και B παράγουν τις τιµές τους ταυτόχρονα, ή «παράλληλα». Εν συνεχεία, τη χρονική στιγµή, οι συγκριτές C και D, έχουν στη διάθεσή τους όλες τις τιµές εισόδου τους, κάτι που δεν ισχύει όµως για τον E. Μίαµονάδα χρόνου αργότερα, τη χρονική στιγµή, οισυγκεκρι- µένοι συγκριτέςπαράγουντις εξόδους τους, όπως βλέπουµε στο Σχήµα 7.(γ). Οι συγκριτές C και D λειτουργούν επίσης παράλληλα. Η επάνω έξοδος του συγκριτή C και η κάτω έξοδος του συγκριτή D συνδέονται µε τους αγωγούς εξόδου b και b 4,αντίστοιχα,του συγκριτικού δικτύου, και εποµένως αυτοί οι αγωγοί εξόδου του δικτύου ϕέρουν τις τελικές τους τιµές τη χρονική στιγµή. Εν τω µεταξύ, τη χρονική στιγµή,οσυγκριτής E έχει στη διάθεσή του τις εισόδους του, και εποµένως, όπως βλέπουµε στο Σχήµα 7.(δ), παράγει µε τη σειρά του τις τιµές εξόδου του τη χρονική στιγµή 3. Οι τιµές αυτές µεταβιβάζονται στους αγωγούς εξόδου του δικτύου b και b 3,καιεποµένως η ακολουθία εξόδου,,, έχει πλέον ολοκληρωθεί. Υπό την παραδοχή ότι κάθε συγκριτής χρειάζεται µοναδιαίο χρόνο, µπορούµε να ορίσουµε τον «χρόνο εκτέλεσης» ενός συγκριτικού δικτύου, δηλαδή τον χρόνο που απαιτείται προκειµένου όλοι οι αγωγοί εξόδου να λάβουν τις τιµές τους από τη στιγµή που οι αγωγοί εισόδου λαµβάνουν τις δικές τους. Άτυπα, ο χρόνος αυτός ισούται µε το µέγιστο πλήθος συγκριτών από τους οποίους µπορεί να διέλθει οποιοδήποτε στοιχείο εισόδου κατά τη µεταϕορά του από έναν αγωγό εισόδου µέχρι έναν αγωγό εξόδου. Σε τυπικό επίπεδο, ορίζουµε το βάθος ενός αγωγού ως εξής. Οποιοσδήποτε αγωγός εισόδου ενός συγκριτικού δικτύου έχει βάθος. Περαιτέρω, εάν ένας συγκριτής έχει δύο αγωγούς εισόδου µε βάθη d x και d y,τότεοι αγωγοί εξόδου του έχουν βάθος max(d x,d y )+. εδοµένου ότι σε ένα συγκριτικό δίκτυο δεν υπάρχουν κύκλοι συγκριτών, τοβάθοςενός αγωγού είναι καλά ορισµένο, και ορίζουµε ως βάθος ενός συγκριτή το βάθος των αγωγών εξόδου του. Στο Σχήµα 7. παρατίθενται τα βάθη των διαϕόρων συγκριτών. Το βάθος ενός συγκριτικού δικτύου ισούται µε το µέγιστο από τα βάθη όλων των αγωγών εξόδου ή, ισοδύναµα, µε το µέγιστο από τα βάθη όλων των συγκριτών. Το συγκριτικό δίκτυο του Σχήµατος 7., παραδείγµατος χάριν, έχει βάθος 3, διότι ο συγκριτής E έχει βάθος 3. Εάνκάθεσυγκριτής χρειάζεται µία µονάδα χρόνου για να παραγάγει την τιµή εξόδου του, και εάν οι τιµές εισόδου του δικτύου δίνονται τη χρονική στιγ- µή, τότεέναςσυγκριτήςβάθουςd παράγει την έξοδό του τη χρονική στιγµή d. εποµένως, το βάθος του δικτύου ισούται µε τον χρόνο που απαιτείται προκειµένου το δίκτυο να παραγάγει τιµές σε όλους τους αγωγούς εξόδου του. Ένα ταξινοµητικό δίκτυο είναιένα συγκριτικόδίκτυοστοοποίοηακολουθία εξόδου είναι µονότονα αύξουσα (δηλαδή, b b b n )γιακάθε ακολουθία εισόδου. Αν και τα συγκριτικά δίκτυα δεν είναι, ϕυσικά, όλα ταξινοµητικά, ωστόσο το δίκτυο του Σχήµατος 7. είναι. Αυτό µπορεί να διαπιστωθεί ως εξής. Παρατηρούµε ότι µετά από τη χρονική, ηελάχιστηαπότις τέσσερεις τιµές εισόδου έχει εµϕανιστεί είτε στην επάνω έξοδο του συγκριτή A είτε στην επάνω έξοδο του συγκριτή B. Εποµένως,µετά από τη χρονική στιγµή, θα πρέπει να βρίσκεται στην επάνω έξοδο του συγκριτή C. Μεαντίστοιχοσκεπτικό, συµπεραίνουµε ότι µετά τη χρονική στιγµή, ηµέγιστηαπότις τέσσερεις τιµές εισόδου έχει εµϕανιστεί στην κάτω έξοδο του συγκριτή D. Τοµόνοπουαποµένει είναι να εξασϕαλιστεί µέσω του συγκριτή E ότι οι δύο ενδιάµεσες τιµές καταλαµβάνουν τις σωστές θέσεις εξόδου, το οποίο συµβαίνει τη χρονική στιγµή 3.

7 Κεϕάλαιο 7 Ταξινοµητικά δίκτυα Ένα συγκριτικό δίκτυο µοιάζει µε µια διαδικασία από την άποψη ότι καθορίζει πώς πρόκειται να εκτελεστούν οι συγκρίσεις, αλλά διαϕέρει από την άποψη ότι το µέγεθός του το πλήθος των συγκριτών που περιέχει εξαρτάται από το πλήθος των εισόδων και των εξόδων. Ως εκ τούτου, η περιγραϕή µας αϕορά στην πραγ- µατικότητα «οικογένειες» συγκριτικών δικτύων. Παραδείγµατος χάριν, ο στόχος του κεϕαλαίου αυτού είναι η ανάπτυξη µιας οικογένειας δραστικώνταξινοµητικών δικτύων, την οποία αποκαλούµε ÍÈÓÔÌËÙËÛ. Γιανααναϕερθούµε σε ένα δεδο- µένο δίκτυο-µέλος κάποιας οικογένειας, δηλώνουµε την ονοµασία της οικογένειας και το πλήθος των εισόδων (το οποίο ισούται µε το πλήθος των εξόδων). Παραδείγµατος χάριν, το ταξινοµητικό δίκτυο n εισόδων και n εξόδων της οικογένειας ÍÈÓÔÌËÙËÛ ονοµάζεται ÍÈÓÔÌËÙËÛ[n]. Ασκήσεις 7.- Προσδιορίστε τις τιµέςπου εµϕανίζονται σε όλους τους αγωγούς του δικτύου του Σχήµατος 7. όταν δίνεται ως είσοδος η ακολουθία,,,. 7.- Έστω ότι το n είναι κάποιαδύναµη του. είξτεπώςµπορεί να κατασκευαστεί ένα συγκριτικό δίκτυο n εισόδων και n εξόδων µε βάθος lg n στο οποίο ο πρώτος από πάνω αγωγός εξόδου ϕέρει πάντοτε την ελάχιστη τιµή εισόδου και ο πρώτος από κάτω τη µέγιστη. 7.-3 Προσθέτοντας έναν συγκριτή σε ένα ταξινοµητικό δίκτυο, µπορούµε να πάρουµε ένα συγκριτικό δίκτυο που δεν είναι ταξινοµητικό. είξτε πώς µπορεί να προστεθεί ένας συγκριτής στο δίκτυο του Σχήµατος 7. µε τέτοιον τρόπο ώστε το προκύπτον δίκτυο να µην ταξινοµεί όλες τις µεταθέσεις της εισόδου. 7.-4 Αποδείξτε ότι οποιοδήποτε ταξινοµητικό δίκτυο µε n εισόδους έχει βάθος µεγαλύτερο ή ίσο του lg n. 7.- Αποδείξτε ότι το πλήθος των συγκριτών σε οποιοδήποτε ταξινοµητικό δίκτυο είναι Ω(n lg n). 7.- Έστω το συγκριτικό δίκτυο του Σχήµατος 7.3. Αποδείξτε ότι το συγκεκριµένο δίκτυο είναι στην πραγµατικότητα ταξινοµητικό,και περιγράψτε πώς σχετίζεται η δοµή του µε εκείνη της ενθετικήςταξινόµησης (Ενότητα.). 7.-7 Ένα συγκριτικό δίκτυο n εισόδων µε c συγκριτές µπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας κατάλογος από c ζεύγη ακεραίων στο διάστηµα από έως n. Εάνδύοζεύγη περιλαµβάνουν κάποιον ακέραιο από κοινού, η σειρά των αντίστοιχων συγκριτών στο δίκτυο καθορίζεται από τη σειρά των ζευγών στον κατάλογο. Με δεδοµένη αυτήν την αναπαράσταση, περιγράψτε έναν (σειριακό) αλγόριθµο χρόνου O(n + c) για τον προσδιορισµό του βάθους ενός συγκριτικού δικτύου.

7. Η αρχή µηδέν-ένα 7 a a a 3 a 4 a a a 7 a 8 b b b 3 b 4 b b b 7 b 8 Σχήµα 7.3 Το συγκριτικό δίκτυο που χρησιµοποιείται στην Άσκηση 7.-, καιτο οποίο βασίζεται στην ενθετική ταξινόµηση. 7.-8 Ας υποθέσουµε ότι εκτός από τον «συµβατικό» τύπο συγκριτή εισάγουµε επίσης ένα είδος «ανεστραµµένου» συγκριτή ο οποίος εξάγει το µικρότερο από τα στοιχεία εξόδου του στον κάτω αγωγό και το µεγαλύτερο στον πάνω. είξτε πώς µπορεί να µετατραπεί οποιοδήποτε ταξινοµητικό δίκτυο που αποτελείται από c συνολικά συµβατικούς και ανεστραµµένους συγκριτές σε ένα δίκτυο που αποτελείται από c συµβατικούς. Αποδείξτε ότι η µέθοδος µετατροπής που καταστρώσατε είναι ορθή. 7. Η αρχή µηδέν-ένα Η αρχή µηδέν-ένα ορίζει ότι εάν ένα ταξινοµητικό δίκτυο λειτουργεί σωστά όταν όλα τα στοιχεία εισόδου προέρχονται από το σύνολο {, }, τότε λειτουργεί σωστά και για οποιουσδήποτε αριθµούς εισόδου. (Οι αριθµοί αυτοί µπορεί να είναι ακέραιοι, πραγµατικοί, ή εν γένει οποιοδήποτε σύνολο τιµών οι οποίες προέρχονται από κάποιο γραµµικά διατεταγµένο σύνολο.) Στο πλαίσιο της κατασκευής ταξινοµητικών και άλλων συγκριτικών δικτύων, η αρχή µηδέν-ένα µας επιτρέπει να εστιάσουµε την προσοχή µας στη λειτουργία αυτών των δικτύων επί ακολουθιών εισόδου που αποτελούνται αποκλειστικά από και. Άπαξ και κατασκευάσουµε ένα ταξινοµητικό δίκτυοκαιαποδείξουµε ότι µπορεί να ταξινοµήσει οποιαδήποτε ακολουθία τύπου µηδέν-ένα, επικαλούµαστε την αρχή µηδέν-ένα για να αποδείξουµε ότι ταξινοµεί σωστά και ακολουθίες αυθαίρετωντιµών. Η απόδειξη της αρχής µηδέν-ένα βασίζεται στην έννοια της µονότονα αύξουσας συνάρτησης (Ενότητα 3.). Λήµµα 7. Εάν ένα συγκριτικό δίκτυο µετασχηµατίζει την ακολουθία εισόδου a = a,a,...,a n στην ακολουθία εξόδου b = b,b,...,b n,τότεγιαοποιαδήποτε µονότονα αύξουσα συνάρτηση f,το δίκτυο µετασχηµατίζει την ακολουθία εισόδου f(a) = f(a ),f(a ),...,f(a n ) στην ακολουθία εξόδου f(b) = f(b ),f(b ),...,f(b n ). Απόδειξη Κατ αρχάς, θα αποδείξουµε ότι εάν η f είναι µια µονότονα αύξουσα συνάρτηση, τότε ένας µεµονωµένος συγκριτής πουδέχεταιωςείσοδοτις τιµές f(x)

7 Κεϕάλαιο 7 Ταξινοµητικά δίκτυα f (x) f (y) min(f (x)), f (y)) = f (min(x, y)) max(f (x)), f (y)) = f (max(x, y)) Σχήµα 7.4 Ηλειτουργίατουσυγκριτήπου περιγράϕεται στην απόδειξη του Λήµµατος 7.. Η συνάρτηση f είναι µονότονα αύξουσα. και f(y) αποδίδει ως έξοδο τις τιµές f(min(x, y)) και f(max(x, y)). Κατόπιν,θα αποδείξουµε το λήµµα µέσω επαγωγής. Για να αποδείξουµε τον παραπάνω ισχυρισµό, θεωρούµε έναν συγκριτή ο οποίος δέχεται ως είσοδο τις τιµές x και y. Οσυγκριτής αυτός αποδίδει στην πάνω έξοδο την τιµή min(x, y) και στηνκάτωτην τιµή max(x, y). Αςυποθέσουµεστησυνέχεια ότι εισάγουµε στις εισόδους του συγκριτή τις τιµές f(x) και f(y), όπωςϕαίνεται στο Σχήµα 7.4, οπότε ο συγκριτής αποδίδει την τιµή min(f(x),f(y)) στην πάνω έξοδο και την τιµή max(f(x),f(y)) στην κάτω. εδοµένου ότι η f είναι µονότονα αύξουσα, η σχέση x y συνεπάγεται ότι f(x) f(y). Εποµένως, παίρνουµε τις ταυτότητες min(f(x),f(y)) = f(min(x, y)), max(f(x),f(y)) = f(max(x, y)). Συνεπώς, όταν ο συγκριτής δέχεται ως είσοδο τις τιµές f(x) και f(y) αποδίδει τις τιµέςf(min(x, y)) και f(max(x, y)), οπότεοισχυρισµός έχει αποδειχθεί. Χρησιµοποιώντας επαγωγή ως προς το βάθος του κάθε αγωγού σε ένα τυχόν συγκριτικό δίκτυο, µπορούµε να αποδείξουµεένααποτέλεσµαισχυρότερο από το ζητούµενο λήµµα: εάν ένας αγωγός λαµβάνει την τιµή a i όταν εισάγεται στο δίκτυο ηακολουθία a,τότε,όταν εισαχθεί στο δίκτυο η ακολουθία f(a) θα λάβει την τιµή f(a i ). εδοµένου ότι η παραπάνω πρόταση περιλαµβάνει τους αγωγούς εξόδου, αποδεικνύοντάς την αποδεικνύουµε και το λήµµα. Όσον αϕορά την εναρκτήρια περίπτωση, έστω ένας αγωγός σε βάθος, δηλαδή ένας αγωγός εισόδου a i.στηνπερίπτωση αυτή, το αποτέλεσµα έπεται κατά τετριµ- µένο τρόπο: εάν εϕαρµοστεί στο δίκτυο η συνάρτηση f,οαγωγόςεισόδου ϕέρει την τιµή f(a i ).Όσοναϕοράτοεπαγωγικό βήµα, έστω ένας αγωγός σε βάθος d, όπου d. Οαγωγόςαυτός είναι η έξοδος ενός συγκριτή σε βάθος d,καιοιαγωγοί εισόδου αυτού τουσυγκριτή βρίσκονται σε βάθος µικρότερο του d. Από την επαγωγική υπόθεση, εποµένως, έχουµε ότι εάν οι αγωγοί εισόδου του συγκριτή ϕέρουν τις τιµές a i και a j όταν δοθεί ως είσοδος η ακολουθία a, τότεόταν δοθεί η ακολουθία f(a) θα ϕέρουν τις τιµές f(a i ) και f(a j ).Άρα,απότονισχυρισµό που αποδείξαµε παραπάνω, έπεται ότι οι αγωγοί εξόδου αυτού του συγκριτή ϕέρουν τις τιµές f(min(a i,a j )) και f(max(a i,a j )). εδοµένου ότι όταν δοθεί ως είσοδος η ακολουθία a ϕέρουν τις τιµές min(a i,a j ) και max(a i,a j ),ηαπόδειξη του λήµµατος έχει ολοκληρωθεί. Στο Σχήµα 7.(β) βλέπουµε ένα παράδειγµα εϕαρµογής του Λήµµατος 7.. Το σχήµα αυτό αναπαριστά το ταξινοµητικό δίκτυο του Σχήµατος 7. (το οποίο επαναλαµβάνεται στο Σχήµα 7.(α)), µετά την εϕαρµογή της µονότονα αύξουσας συνάρτησης f(x) = x/ στις εισόδους του. Ητιµήσεκάθεαγωγόισούταιµετο αποτέλεσµα της εϕαρµογής της συνάρτησης f στην τιµή του ίδιου αγωγού στο Σχή- µα 7..

7. Η αρχή µηδέν-ένα 73 a b a 3 b a b a 3 3 3 b a 3 b 3 a 3 3 3 b 3 a 4 b 4 a 4 3 3 b 4 (α) (β) Σχήµα 7. (α) Το ταξινοµητικό δίκτυο του Σχήµατος 7. µε ακολουθία εισόδου,,,. (β) Το ίδιο ταξινοµητικό δίκτυο, µετά την εϕαρµογή της µονότονα αύξουσας συνάρτησης f(x) = x/ στις εισόδους του. Ητιµήσεκάθεαγωγόαυτούτου δικτύουισούται µε το αποτέλεσµα της εϕαρµογής της συνάρτησης f στην τιµή του ίδιου αγωγού στο σχήµα (α). Όταν ένα συγκριτικό δίκτυο είναι ταξινοµητικό, το Λήµµα 7. µας επιτρέπει να αποδείξουµε το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα. Θεώρηµα 7. (Αρχή µηδέν-ένα) Εάν ένα συγκριτικό δίκτυο µε n εισόδους ταξινοµεί ορθά το σύνολο των n δυνατών ακολουθιών από και,τότεταξινοµεί ορθά και όλες τις ακολουθίες αυθαίρετων αριθµών. Απόδειξη Ας υποθέσουµε, αντίθετα προς το αποδεικτέο, ότι το δίκτυο ταξινοµεί όλες τις ακολουθίες µηδέν-ένα, αλλά ότι υπάρχει κάποια ακολουθία αυθαίρετων αριθµών την οποία δεν ταξινοµεί ορθά. Με άλλα λόγια, υπάρχει µια ακολουθία εισόδου a,a,...,a n που περιέχει δύο στοιχεία a i και a j για ταοποία ισχύει ότι a i <a j,καιότιτοδίκτυοτοποθετεί το a j πριν από το a i στην ακολουθία εξόδου. Ορίζουµε µια µονότονα αύξουσα συνάρτηση f ως εξής: { εάν x ai, f(x) = εάν x>a i. εδοµένου ότι το δίκτυο τοποθετεί το a j πριν από το a i στην ακολουθία εξόδου όταν δέχεται ως είσοδο την ακολουθία a,a,...,a n,απότολήµµα 7. έπεται ότι όταν δέχεται ως είσοδο την ακολουθία f(a ),f(a ),..., f(a n ) τοποθετεί το στοιχείο f(a j ) πριν από το f(a i ) στην ακολουθία εξόδου. εδοµένου όµωςότι f(a j )=και f(a i )=,έπεταιότιτο δίκτυο αποτυγχάνει να ταξινοµήσει ορθά την ακολουθία µηδέν-ένα f(a ),f(a ),...,f(a n ), όπεράτοπον. Ασκήσεις 7.- Αποδείξτε ότι η εϕαρµογή µιας µονότονα αύξουσας συνάρτησης σε µια ταξινοµη- µένη ακολουθία δίνει µια ταξινοµηµένη ακολουθία. 7.- Αποδείξτε ότι ένα συγκριτικόδίκτυοµεn εισόδους ταξινοµεί ορθά την ακολουθία εισόδου n, n,..., εάν και µόνο εάν ταξινοµεί ορθά τις n ακολουθίες µηδέν-ένα,,,...,,,,,,...,,,...,,,,...,,.

74 Κεϕάλαιο 7 Ταξινοµητικά δίκτυα a a a 3 a 4 b b b 3 b 4 Σχήµα 7. Ένα ταξινοµητικό δίκτυο που ταξινοµεί 4 αριθµούς. 7.-3 Χρησιµοποιώντας την αρχή µηδέν-ένα, αποδείξτε ότι το συγκριτικό δίκτυο του Σχήµατος 7. είναι ταξινοµητικό. 7.-4 ιατυπώστε και αποδείξτε µια αρχή ανάλογη προς την αρχή µηδέν-ένα για ένα µοντέλο δένδρου αποϕάσεων. (Υπόδειξη: Βεβαιωθείτε ότι η αρχή σας χειρίζεται σωστά την ισότητα.) 7.- Αποδείξτε ότι ένα ταξινοµητικό δίκτυο µε n εισόδους θα πρέπει να περιλαµβάνει τουλάχιστον έναν συγκριτή µεταξύ της i-οστής και της (i +)-οστής γραµµής για κάθε i =,,...,n. 7.3 Ένα διτονικό ταξινοµητικό δίκτυο Το πρώτο βήµα για την κατασκευή ενός δραστικού ταξινοµητικού δικτύου είναι ηκατασκευή ενός συγκριτικού δικτύου που να µπορεί να ταξινοµεί οποιαδήποτε ακολουθία. Ο όρος αυτός δηλώνει οποιαδήποτε ακολουθία που αυξάνεται µονότονα και στη συνέχεια µειώνεται επίσης µονότονα, ή που µπορεί να µεταχθεί σε αυτήν τη µορϕή µε κυκλική µετακίνηση των στοιχείων της. Παραδείγµατος χάριν, οι ακολουθίες, 4,, 8, 3,,,, 4,, 3,, και, 8, 3,, 4, είναι όλες διτονικές. Ως συνοριακή συνθήκη, ορίζουµε ότι οποιαδήποτε ακολουθία που περιέχει µόνο ή αριθµούς είναι. Οι ακολουθίες µηδέν-ένα οι οποίες είναι διτονικές είναι δοµικά απλούστατες. Έχουν τη µορϕή i j k ή i j k,όπου i, j, k. Σηµειωτέον ότι µια µονότονα αύξουσα ή µονότονα ϕθίνουσα ακολουθία είναι επίσης. Οδιτονικόςταξινοµητής που θα κατασκευάσουµε είναι ένα συγκριτικό δίκτυο που ταξινοµεί διτονικές ακολουθίες από και. ΣτηνΆσκηση7.3- σας ζητείται να δείξετε ότι ο διτονικός ταξινοµητής µπορεί να ταξινοµεί διτονικές ακολουθίες αποτελούµενες από οποιουσδήποτε αριθµούς. Οηµιαποµείκτης Ένας ς ταξινοµητής αποτελείται από πολλές συνιστώσες, καθεµία από τις οποίες ονοµάζεται ηµιαποµείκτης. Οκάθεηµιαποµείκτης είναι ένα συγκριτικό δίκτυο βάθους στοοποίο ηγραµµή εισόδου i συγκρίνεται µε τη γραµµή i+n/ για i =,,...,n/. (Υποθέτουµεότιοn είναι άρτιος.) Στο Σχήµα 7.7 απεικονίζεται ο ÌÈ appleôìâèîùëû[8], δηλαδή ο ηµιαποµείκτης µε 8 εισόδους και 8 εξόδους.

7.3 Έναδιτονικό ταξινοµητικό δίκτυο 7, αμιγής, αμιγής Σχήµα 7.7 Το συγκριτικό δίκτυο ÌÈ appleôìâèîùëû[8]. Στοσχήµααπεικονίζονται δύο διαϕορετικές ενδεικτικές ακολουθίες εισόδου και εξόδου µηδέν-ένα. Η ακολουθία εισόδου είναι εξ υποθέσεως. Ο ηµιαποµείκτης εξασϕαλίζει ότι κάθε στοιχείο εξόδου στο άνω ήµισυ είναι µικρότερο ή ίσο οποιουδήποτε στοιχείου εξόδου στο κάτω ήµισυ. Επιπλέον, αµϕότερα τα ηµίσεα είναι διτονικά, και τουλάχιστον ένα είναι αµιγές. Ότανεϕαρµόζεταιως είσοδος σεέναν ηµιαποµείκτη µια ακολουθία από και, ο ηµιαποµείκτης παράγει µια ακολουθία εξόδου της οποίας το άνω ήµισυ περιλαµβάνει τις µικρότερες τιµές, το κάτω ήµισυ περιλαµβάνει τις µεγαλύτερες, και αµϕότερα τα ηµίσεα είναι διτονικά. Μάλιστα, τουλάχιστον ένα από τα ηµίσεα είναι αµιγές, ήαλλιώς«αποµεµειγµένο» δηλαδή αποτελείται είτε αποκλειστικά από είτε αποκλειστικά από, εξ ου και η ονοµασία «ηµιαποµείκτης». (Σηµειωτέον ότι όλες οι αµιγείς ακολουθίες είναι διτονικές.) Οι παραπάνω ιδιότητες των ηµιαποµεικτών αποδεικνύονται στο ακόλουθο λήµµα. Λήµµα 7.3 Εάν ένας ηµιαποµείκτης δεχθεί ως είσοδο µια ακολουθία από και,τότε ηακολουθία εξόδου έχει τις εξής ιδιότητες: τόσο το άνω όσο και το κάτω ήµισυ είναι διτονικά, το κάθε στοιχείο στο άνω ήµισυ είναι µικρότερο ή ίσο όλων των στοιχείων του κάτω ηµίσεος, καιτουλάχιστον το ένα ήµισυ είναιαµιγές. Απόδειξη Το συγκριτικόδίκτυο ÌÈ appleôìâèîùëû[n] συγκρίνειτιςεισόδους i και i + n/ για i =,,...,n/. Χωρίςαπώλεια γενικότητας, υποθέτουµε ότι η είσοδος είναι της µορϕής......... (Ηκατάσταση όπου η είσοδος είναι της µορϕής......... είναι συµµετρική.) Υπάρχουν τρεις δυνατές περιπτώσεις, ανάλογα µε το σύµπλεγµα των διαδοχικών ή στο οποίο εµπίπτει το διάµεσο σηµείο n/, καιηµίααπόαυτές τις περιπτώσεις (εκείνη όπου το διάµεσο σηµείο εµπίπτει στο σύµπλεγµα των ) χωρίζεται περαιτέρω σε δύο επιµέρους περιπτώσεις. Τα τέσσερα ενδεχόµενα απεικονίζονται στο Σχήµα 7.8. Σε καθένα από αυτά, το λήµµα ισχύει. Οδιτονικόςταξινοµητής Με αναδροµικό συνδυασµό ηµιαποµεικτών, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 7., µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν διτονικό ταξινοµητή,δηλαδήέναδίκτυο το οποίο ταξινοµεί διτονικές ακολουθίες. Η πρώτη συνιστώσα του ÈÙÔÓÈÎÔ ÍÈÓÔÌË- ÙË[n] είναι ο ÌÈ appleôìâèîùëû[n], ο οποίος, σύµϕωνα µε το Λήµµα 7.3, παράγει δύο διτονικές ακολουθίες µε το µισό µήκος τέτοιες ώστε κάθε στοιχείο στο άνω ήµι-

7 Κεϕάλαιο 7 Ταξινοµητικά δίκτυα διαχωρισμός σύγκριση συνδυασμός άνω άνω κάτω κάτω (α), αμιγής άνω κάτω (β) άνω κάτω, αμιγής Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων άνω άνω κάτω κάτω δεν είναι διαθέσιμη (γ), αμιγής άνω κάτω (δ) άνω κάτω, αμιγής Σχήµα 7.8 Οι δυνατές συγκρίσεις στον ÌÈ appleôìâèîùë[n]. Ηείσοδοςείναιεξ υποθέσεως µια ακολουθία από και, καιχωρίςαπώλειαγενικότηταςυποθέτουµε ότι είναι της µορϕής......... Οιυπακολουθίες που αποτελούνται από απεικονίζονται µε λευκό χρώµα, και εκείνες που αποτελούνται από µε γκρίζο. Τα n στοιχεία εισόδου θεωρούνταιχωρισµένασεδύο ηµίσεα, τέτοια ώστε για i =,,...,n/ να συγκρίνονται µεταξύ τους τα στοιχεία υπ αριθµ. i και i + n/. (α) (β) Οι περιπτώσεις όπου ο διαχωρισµός γίνεται στην ενδιάµεση υπακολουθία των. (γ) (δ) Οι περιπτώσεις όπου ο διαχωρισµός γίνεται σε κάποια από τις υπακολουθίες των. Σεόλες τις περιπτώσεις, κάθε στοιχείο στο άνω ήµισυ της ακολουθίας εξόδου είναι µικρότερο ή ίσο όλων των στοιχείων του κάτω ηµίσεος, αµϕότερα τα ηµίσεα είναι διτονικά, και το ένα τουλάχιστον ήµισυ είναι αµιγές.