Cursul 7 Conducția electrică în izolațiile solide; mecanisme de conducție in volum 1 Conducţia limitată de sarcina spaţială (cursul 6) Conducţia prin salt ( hopping ) Acest mecanism de conducţie în volumul izolatorilor solizi constă în transferuri activate termic ale electronilor între două stări de energie vecine localizate în banda de mobilitate În general lărgimea benzii de mobilitate a izolatorilor este mare şi din acest motiv diferenţele dintre energiile caracteristice ale capcanelor pot fi importante Pe de altă parte energiile electronilor fixaţi pe defectele izolatorului sunt de ordinul kt Prin urmare în condiţii obişnuite tranziţiile electronilor nu se pot realiza decât între stări vecine de energie foarte apropiată Analiza conducţiei prin hopping constă de fapt în examinarea mecanismului prin care un electron trece dintr-o stare într-alta Din punct de vedere energetic trecerea unui electron dintr-o stare de energie localizată într-altă stare înseamnă depăşirea unei bariere de potenţial care se poate face fie printr-un salt termic (escaladarea barierei) fie prin efect tunel sau printr-o combinaţie a celor două mecanisme Saltul termic peste bariera de potenţial corespunzătoare tranziţiei este puţin probabil datorită faptului că înălţimea corespunzătoare barierei este destul de mare De asemenea în condiţii uzuale şi probabilitatea ca un electron să se deplaseze dintr-un punct într-altul prin efect tunel pur este foarte mică În consecinţă transferul unui electron între două stări energetice situate în banda de mobilitate se face printr-o combinaţie a celor două mecanisme descrise mai sus: electronul este promovat termic pe un nivel de energie egală sau foarte apropiată de cea a punctului unde urmează să se deplaseze şi apoi prin efect tunel ajunge în punctul de destinaţie Probabilitatea ca un electron să efectueze o tranziţie între două stări energetice localizate depinde în consecinţă de probabilităţile de producere ale celor două fenomene: probabilitatea de activarea termică şi probabilitatea de tunelarea între două puncte de energii egale sau foarte apropiate Astfel expresia probabilităţii P ter ca un electron să se găsească într-o stare excitată de aceeaşi energie cu o stare vecină aflată la distanţa R este: ( ) w R Pter = Cter exp kt 1
în care w( R) reprezintă energia de promovare termică (diferenţa dintre nivelurile energetice ale celor două stări implicate în proces) şi C ter este o constantă Probabilitatea ca electronul să se găsească în zona vecină de aceeaşi energie adică probabilitatea de tunelare este: P tun ( αr) = C exp tun în care C tun este o constantă şi α o funcţie care variază foarte puţin cu temperatura Energia de promovare termică w( R) poate fi determinată în funcţie de distanţa R cu ajutorul expresiei densităţii stărilor de energie g(w ) numărul de stări de energie din unitatea de volum şi din unitatea de energie - situate în imediata vecinătate a nivelului ermi w Astfel numărul de stări energetice dintr-o sferă de rază R din intervalul de energie cuprins între w şi w + dw este g(w ) (πr /)dw Rezultă deci că distanţa pe care un electron trebuie s-o tuneleze pentru a găsi o zonă neocupată de aceeaşi energie cu acea a stării excitate termic în care se găseşte (w + w( R) ) se poate obţine egalând numărul de stări energetice din w( R) cu 1: πr ( w ) w( R) = 1 g Relaţia de mai sus stabileşte legătura dintre energia de activare termică şi distanţa pe care electronul trebuie s-o parcurgă pentru a efectua tranziţia între cele două stări Mai mult rezultă că energia necesară unui electron pentru a efectua tranziţia între două stări w( R) scade atunci când R creşte Rezultă că o creştere a distanţei R conduce la o creştere a probabilităţii P ter şi la o scădere a probabilităţii de tunelare P tun Prin urmare la o temperatură dată există o distanţă optimă R între punctul în care se află electronul şi punctul în care acesta urmează a se deplasa pentru care probabilitatea totală P t = P tun P ter este maximă Dacă se notează C t = C ter C tun rezultă expresia probabilităţii totale: [ u( R) ] P = C exp în care argumentul exponenţialei u(r) este: u t ( R) t 1 = α R + πg ( w ) kt R Minimul funcţiei u(r) pentru care P t este maximă se obţine anulând prima derivată în raport cu R: R 8πg = ( w ) 9 αkt 1/ Introducând u(r ) în expresia se obţine expresia generală a probabilităţii ca un
electron să efectueze o tranziţie între două stări vecine P = C exp 9πg 1/ α ( ) w kt t t care reprezintă de fapt expresia probabilităţii de producere a conducţiei electrice prin 1/ α 9πkg( w ) salt Notând cu A = C t şi B = expresia conductivităţii electrice corespunzătoare mecanismului de conducţie prin salt este: ( B / T 1/ ) σ salt = Aexp Aşa cum era de aşteptat σ salt depinde de temperatură De fapt influenţa temperaturii se face simţită numai într-o parte a acestui mecanism complex de conducţie şi anume în procesul de excitare termică a electronilor Mecanismul de conducţie Poole renkel Acest mecanism de conducţie care se produce în volumul izolatorilor solizi are la bază reducerea înălţimii barierelor de energie corespunzătoare defectelor pe care sunt fixaţi electronii ca urmare a acţiunii câmpului electric Aşa cum s-a descris anterior în cazul izolatorilor reali banda interzisă ermi (definită la izolatorii cristalini sau la semiconductori) este înlocuită de o bandă de mobilitate care conţine foarte multe stări de energie localizate Aceste stări pot fi introduse printre altele de impurităţi donoare sau de impurităţi acceptoare Pentru a explica mecanismul de conducţie Poole renkel considerăm cazul unei impurităţi donoare (o particulă neutră în stare neionizată) Când un electron de valenţă părăseşte particula aceasta devine ion pozitiv şi între electron şi particula ionizată apare forţa coulombiană: q = ( r) în care r reprezintă distanţa electron ion Energia potenţială U(r) ce caracterizează interacţiunea electron-ion este egală cu produsul dintre (r) şi r: U ( r) q = şi are reprezentarea grafică din fig 1 a În absenţa câmpului electric înălţimea barierei pe care electronul trebuie să o escaladeze pentru a ieşi din groapa de potenţial este aceiaşi
indiferent de sensul de deplasare Dacă se stabileşte un câmp electric E asupra electronului se exercită şi forţa r r electrostatică = q E şi energia sa potenţială se modifică: e q = ( r) q Er U Prin anularea primei derivate a energiei U(r) în raport cu r se poate obţine distanţa r m electron ion pentru care energia potenţială prezintă un maxim: din care rezultă: du dr ( r) q = qe = a b ig 1 Variaţia energiei potenţiale a unui electron datorată atracţiei coulombiene şi a câmpului electric E în vecinătatea unei impurităţi donoare ionizate; a în absenţa câmpului electric; b - în prezenţa unui câmp electric intens 1/ q r m = πεe Rezultă că datorită acţiunii câmpului electric bariera de potenţial se înclină şi scade în sensul axei Or cu U m : 1/ q E U m = πε Probabilitatea ca un electron fixat într-o astfel de groapă de potenţial de adâncime Φ să escaladeze bariera corespunzătoare este de forma:
Φ U m P = C exp kt în care C este o constantă care depinde de densitatea de volum a stărilor localizate Densitatea curentului electric corespunzător acestui mecanism de conducţie este proporţională cu numărul de electroni ce escaladează bariera de potenţial în unitatea de timp Prin urmare expresia densităţii curentului electric se poate scrie: J P = J 1/ Φ β P E exp kt q în care J este o constantă şi β P = πε Pentru recunoaşterea efectului Poole-renkel experimental se trasează dreptele ln J = f ( E 1/ ) cu panta β P / kt şi ln f (1/ T ) Φ + β P E 1/ / baza rezultatelor experimentale este totuşi dificil să se facă o distincţie clară între mecanismul Poole-renkel şi mecanismul de injecţie Schottky 1/ J = care are panta ( ) k Pe 5