ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διάσκων: Δ. Ριζιώτης Βασίλης Εξισώσεις οιακού στώματος και μη συνεκτικής οής Το ιακιτό πόβλημα
Άεια Χήσης Το παόν εκπαιευτικό υλικό υπόκειται σε άειες χήσης Crati Commons. Για εκπαιευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άεια χήσης άλλου τύπου, αυτή πέπει να αναφέεται ητώς.
Mέθοος Συνεκτικής Μη Συνεκτικής Αλληλεπίασης Συνεκτική οή Επιλύονται οι εξισώσεις οιακού στώματος σε ολοκληωματική μοφή, κατά μήκος της αεοτομής και του ομόου της, λαμβάνοντας ως πείο ταχύτητας της αιατάακτη οή το πείο που ποέχεται από την επίλυση της μη συνεκτική οής Μη συνεκτική οή Επιλύεται χησιμοποιώντας τη μέθοο συνοιακών στοιχείων με κατάλληλη τοποποίηση της συνθήκης μη εισχώησης στο σύνοο για να ληφθεί υπόψη η επίαση της συνεκτικότητας.
Εξισώσεις οιακού στώματος Εξίσωση Συνέχειας t s ( n ( Ισούναμη μη συνεκτική οή (Eqialnt Iniscid Flo t s ( n ( Παγματική συνεκτική οή n Y G (Σ R O Y Ω O P R OP X s Αφαιούμε τις πααπάνω εξισώσεις κατά μέλη και ολοκληώνουμε στο πάχος του οιακού στώματος O G X G
Εξίσωση Συνέχειας Ολοκληωματική έκφαση t ( ( ( all d dn Εξισώσεις οιακού στώματος dn πάχος μετατόπισης n, n ( ( all d all n, P τ all s
Εξισώσεις οιακού στώματος t ( Εξίσωση Ομής s ( n ( p s Ω Ω R Ισούναμη μη συνεκτική οή (Eqialnt Iniscid Flo OPs Ω (R t OPn n R t Os t Y G ( (Σ Y s ( n P R OP n X p s s ( µ n Ω Ω R OPs Ω (R t OPn n Παγματική συνεκτική οή R t Os O G R O Ω O X G Αφαιούμε τις πααπάνω εξισώσεις κατά μέλη και ολοκληώνουμε στο πάχος του οιακού στώματος
Εξισώσεις οιακού στώματος Εξίσωση Ομής Ολοκληωματική έκφαση d dθ θ θ f ( ( H dt d d C θ dn πάχος ομής H / θ συντελεστής σχήματος οιακού στώματος C f τ all /( συντελεστής τιβής
Εξίσωση Κινητικής Ενέγειας O G Y G X G O X Y P s n Ω OP R O R (Σ Ισούναμη μη συνεκτική οή (Eqialnt Iniscid Flo Παγματική συνεκτική οή Αφαιούμε τις πααπάνω εξισώσεις κατά μέλη και ολοκληώνουμε στο πάχος του οιακού στώματος Os OPn OPs t R n (R t Ω R Ω s p Ω ( n ( s ( t Os OPn OPs t R n (R t Ω R Ω n µ s p Ω ( n ( s ( t Εξισώσεις οιακού στώματος
Εξισώσεις οιακού στώματος Εξίσωση Κινητικής Ενέγειας Ολοκληωματική έκφαση 3 d dt d ( θ ( dt d dt dθ 3 θ θ d θ d 4Ω Θ n C D a θ Θ dn πάχος ενέγειας C n D 3 τ dn n συντελεστής ιάχυσης ( dn i dn πάχος πυκνότητας dn πάχος μετατόπισης ασυμπίεστης οής i
Εξισώσεις οιακού στώματος Εξίσωση Κινητικής Ενέγειας Ολοκληωματική έκφαση 3 d dt dh θ d d H d ( θ ( H θ ( dt ( H H ( H θ d dt 4Ω Θ n C D dt a H C f H θ / θ συντελεστής σχήματος κινητικής ενέγειας H συντελεστής σχήματος πυκνότητας / θ
Τελικές Ολοκληωματικές εξισώσεις Εξισώσεις οιακού στώματος d ( ( all συνέχεια d dθ θ θ f ( ( H dt d d C ομή 3 d dt dh θ d d H d ( θ ( H θ ( dt ( H H ( H θ d dt 4Ω Θ n C D dt a H Cf ενέγεια Η πώτη αποτελεί συνοιακή συνθήκη για την μη συνεκτική οή Οι άλλες ύο ποσιοίζουν ύο ανεξάτητες μεταβλητές το και το θ Με εομένη τη μοφή της κατανομής της ταχύτητας τα υπόλοιπα υπολογίζονται συνατήσει των ανεξατήτων μεταβλητών
Εξισώσεις οιακού στώματος Μοντέλο τύβης C D C f U s C τ ( U s Στάθμιση μέσω μιας εμπειικής ταχύτητας ολίσθησης Διάτμηση λόγω συνεκτικότητας Διάτμηση λόγω τυβωών τάσεων C τ dc τ 5.6 ( / / C C τq τ 4 3 Cf H k 6.7H k d
Εφαμογή του ποτύπου στον ομόου Εξισώσεις οιακού στώματος n trailing dg C f all ~ ak l l s ( l ( ( l l shar d d
Εξισώσεις μη συνεκτικής οής Πείο ταχύτητας ισούναμης μη συνεκτικής οής " " (x; t U (t φ(x; t (ψ(x; t k (x; t " (x; t (x; t, x D Θεώημα ιαχωισμού Hlmholtz φ(x; t (x; t, x D εξίσωση συνέχειας r (x;t k r r r r r r (x; t (x;t k, x D ψ ω εξίσωση στοβιλότητας ( x; t U (x; t ν(x; t (x; t ν(x; t (, x S ( b all συνθήκη μη εισχώησης
Εξισώσεις μη συνεκτικής οής r Dx ( ξ Dt ;t r r r (x ;t x S D Γ Dt θεώημα Klin κινηματική συνθήκη ομόου [ p] ξ t Συνθήκη Ktta
Εξισώσεις μη συνεκτικής οής Αναπαάσταση υναμικού και οϊκής συνάτησης r r r r ϕ (x ;t σ (x;t G(x xds(x S r r r r ψ (x ;t γ (x;t G(x xds(x S r r r γ (x;t G(x xds (x S G(x x ln x π x
Εξισώσεις μη συνεκτικής οής Αναπαάσταση πείου ταχύτητας μη συνεκτικής οής φ(x ;t S σ(x; t π ln x x ds(x S σ(x; t x π x x x ds(x r r r r r r r r r ψ (x ; t γ(x;t ln x x ds(x γ (x;t ln x x ds (x S π π S r r r r r r r (x x k r r (x x k γ(x;t ds(x γ (x;t ds π x x π x x S r r r r S
Εξισώσεις μη συνεκτικής οής Ολοκληωματική αναπαάσταση πείου ταχύτητας συνεκτικής ιόθωσης [ ] S S S (x ds x x π x x t ν(x; t (x; ds(x x x π x x t ν(x; t (x; ds(x x x π k x (x t τ(x; t (x; t ; (x
Εξισώσεις μη συνεκτικής οής Η συνθήκη Ktta στην ακμή εκφυγής r r r r Φ p U Φ p U t t b b Γ ( t dl γ dt dl dt γ P T ξ t
S Εξισώσεις μη συνεκτικής οής Ολοκληωματική ιατύπωση εξισώσεων μη συνεκτικής οής r r r r r r r x x r r r (x x k r σ(x;t ν r r ds(x (x;t γ ν r r ds(x π x x S π x x συνθήκη μη r r r εισχώησης για τη μη r r (x x k r r r r r γ(x;t ν r r ds (x ( U b(x ; t U (t ν συνεκτική οή π x x S τ (x ;t S τ ν (x (x;t π x S d x x l ( m m dm τ (x x ds(x (x;t π x S x τ (x x (x;t ds (x π x x ds(x συνθήκη κάθετης ταχύτητας στον τοίχο για την ταχύτητα συνεκτικής ιόθωσης ν (x; t d ( ( all dm m l d d l l [ (x; t ] [ ] ( ( ( dm ν,s all dm l
Εξισώσεις μη συνεκτικής οής Κατανομή κάθετης ταχύτητας στην αεοτομή και τον ομόου dm dm S S dm dm l
Επίλυση εξισώσεων οιακού στώματος Το ιακιτό πόβλημα
Το ιακιτό πόβλημα Εξίσωση συνέχειας ΔS ΔS dm m m I V I- m i- I i- i I i- I i i i i i i, I V i V i m m i I i V I m i I I V I i I ΔS i- ΔS i
Το ιακιτό πόβλημα Εξίσωση συνέχειας m i D m m l i $#" D (m m $ # " D m m D $#" D $ D I [ ] # " I D D m m D m
Το ιακιτό πόβλημα Εξίσωση ομής m s m m θ m (ln s ib ln s ib d ( dt m (ln θ ib ln θ ib ( H m (ln ib ln ib (ln ib ln ib C f θ s m (ln s ib ln s ib, i, b, b,l Όπου: (x; t ( (x; t U b (x; t τ(x; t Ομοίως η εξίσωση κινητικής ενέγειας και η εξίσωση του C τ
Το ιακιτό πόβλημα Εξίσωσεις μη συνεκτικής οής i σ Γ Γ, Z Z, σ γ Δ γ σ P T σ ΔS Δ θ Δ
Το ιακιτό πόβλημα Εξισώσεις μη συνεκτικής οής ( (,, Z x k Z (x π Γ U t ; (x U (x ds r k r π γ ds(x r k r π γ ds(x r r π σ K k k k k b ΔS Δ i ΔS ΔS i i Δ i i συνθήκη μη εισχώησης για τη μη συνεκτική οή Δ τ ;t (x τ ;t (x γ συνθήκη Ktta Δ Δ n n ΔS γ Γ Γ Klin
Το ιακιτό πόβλημα Εξίσωσεις μη συνεκτικής οής r r r r r r r r r (x ; t (x ; t τ ( (x ; t U b(x ; t τ r r i τ r σ ds(x i i π r ΔS r r r r r r τ ( k r τ ( k Δ r γ ds(x γ ds (x i π r π r i ΔS ΔS r r r k k r K Γ (x Z k U r r r r r π r τ τ(x ;t U b(x τ r Ë k k xc p Z Δ τ σχετική εφαπτομενική ταχύτητα οής που χησιμοποιείται στη συνθήκη Ktta ΔS Δ Δt τ P T Δ γ
Το ιακιτό πόβλημα Εξίσωσεις μη συνεκτικής οής τ i τ i i ΔS π i i ΔS ν r r ds(x [ ] τ r ΔS (S ds (x,, i π r i i ΔS ΔS i (S π τ r r ds(x ταχύτητα συνεκτικής ιόθωσης I I i τ τ I [ ] I [ ] P T τ τ
Το ιακιτό πόβλημα Σύστημα εξισώσεων μη συνεκτικής οής i s σ m i Συνθήκη μη εισχώησης Συνθήκη Ktta στο P T A in i σ σ γ x in Ο Ο C in i m B in Συνθήκη Klin Συνθήκη για την ταχύτητα συνεκτικής ιόθωσης Ο A in Δ γ τ τ C in m m Ο B in τ Ν m q A in q x in q C in m q B in
Χηματοότηση Το παόν εκπαιευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιευτικού έγου του ιάσκοντα. Το έγο «Ανοικτά Ακαημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χηματοοτήσει μόνο την αναιαμόφωση του υλικού. Το έγο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειησιακού Πογάμματος «Εκπαίευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχηματοοτείται από την Ευωπαϊκή Ένωση (Ευωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόους.