Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa

Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70 de puncte la un test de limba engleză... Certitudinea bunicii doar bucuria fetiței... Nedumeririle bunicii ce înseamnă scorul 70? este mai bun sau mai slab decât ceilalți colegi? dacă da, cât de bun sau cât de slab? Întrebările bunicii care este scorul mediu la examen? care este abaterea standard a scorurilor? Scoruri standard. Curba normală. 2

Scorul standard z (scor normat z, notă standard z) - distanța dintre o anumită valoare şi media distribuției din care face parte, măsurată în abateri standard Distribuţia I Distribuţia II z = x s m s=5 s=20 m =60 70 45 m =60 70 70 60 20 70 60 z= = 2 z= =+ 0. 5 5 45 60 z= = 0.75 20 Scoruri standard. Curba normală. 3

Transformarea z a unei distribuții X Z 14 +0.50 11-0.75 10-1.17 16 +1.34 13 +0.08 z= x m s 14 12.8 = 2.38 N=5 ΣX=64 m=12.8 s=2.38 N=5 Σz=0 m=0 s=1 Scoruri standard. Curba normală. 4

Calcularea valorii (x) din parametrii scorului z z x m s = x=z*s+m x=+0.50*2.38+12.8=14 x=-0,75*2.38+12.8=11 X z 14 +0.50 11-0.75 10-1.17 16 +1.34 13 +0.08 N=5 ΣX=64 m=12.8 s=2.38 N=5 Σz=0 m=0 s=1 Scoruri standard. Curba normală. 5

Proprietățile scorurilor z Media unei distribuții z este întotdeauna egală cu 0 rezultă din proprietățile mediei Abaterea standard a unei distribuții z este întotdeauna 1 rezultă din proprietățile abaterii standard Ca urmare: transformarea în z înseamnă transformarea într-o distribuție cu m=0 şi s=1 Scoruri standard. Curba normală. 6

Interpretarea scorurilor z x z 14 +0.50 11-0.75 10-1.17 16 +1.34 13 +0.08 N=5 ΣX=64 m=12. 8 s=2.38 N=5 Σz=0 m=0 s=1 14 este la o jumătate de abatere standard peste medie 11 este la 0.75 abateri standard sub medie 10 este la 1.17 abateri standard sub medie 16 este la 1.34 abateri standard peste medie 13 este la 0.08 abateri standard peste medie Scoruri standard. Curba normală. 7

Alte tipuri de scoruri standardizate z= X m s z m=0; s=1 X m T (Thurstone) T=50+10*z T = 50+ 10* m=50; s=10 s H (Hull) X m H=50+14*z H = 50+ 14* m=50; s=14 s X m QI (Binet) QI = 100+ 16* QI=100+16*z s m=100; s=16 QI (Wechsler) QI=100+15*z QI X = 100+ 15* m s m=100; s=15 X m SAT = 500+ 100* SAT SAT=500+100*z s m=500; s=100 Scoruri standard. Curba normală. 8

Observații Toate variantele sunt obținute prin transformarea operată pe distribuția de note z La nici una dintre variante nu mai avem valori negative (cu condiția ca distribuția să nu aibă o variabilitatea aberantă). Zecimalele nu mai sunt semnificative (ele rezultă din calcule, dar pot fi ignorate) Distribuțiile variantelor oscilează în jurul unei valori medii specifice, sub care se află 50% din valori şi peste care se află restul de 50% dintre valori. Scoruri standard. Curba normală. 9

Inversarea scorului standard scor mare = valoare mare Uneori, un scor mare are o semnificație inversă timpul de reacție număr de erori Într-un astfel de caz se calculează un scor standard invers (cu minus în formulă) Scoruri standard. Curba normală. 10

Inversarea scorului standard Exemplu: un test de timp de reacție x=0.15 m=0.11 sec s=0.05 T(direct)=50+10*(0,15-0,11)/0,05=58 T(invers)=50-10*(0,15-0,11)/0,05=42 atât 58 cât şi 42 exprimă acelaşi lucru 8 unități standard față de medie (+ respectiv -) Scoruri T MMPI Scoruri standard. Curba normală. 11

Scoruri standard. Curba normală. 12

Distribuția normală (Gauss) distribuție teoretică, caracteristică populațiilor mari formă de clopot perfect simetrică linia curbei se apropie la infinit de axa X, fără a o atinge vreodată de fiecare parte a mediei se află exact jumătate dintre valorile distribuției Karl Friedrich Gauss 1777-1855 media modul mediana Scoruri standard. Curba normală. 13

Distribuția normală=familie de distribuții Scoruri standard. Curba normală. 14

Curba normală standardizată (curba normală z) valorile sunt exprimate în scoruri z utilă pentru a descrie orice distribuție normală, indiferent de expresia valorilor o singură tabelă a distribuției normale Scoruri standard. Curba normală. 15

Z Aria - frc(1) -.000-3.00.001-2.33.01-2.00.02-1.65.05-1.28.10-1.00.16 -.84.20 -.52.30 -.25.40.00 0.50.25.60.52.70.84.80 1.00.84 1.28.90 1.65.95 2.00.98 2.33.99 3.00.999 + 1.00 Scoruri standard. Curba normală. 16

Tabelul distribuției z 0 z z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.0.0000.0040.0080.0120.0160.0199.0239.0279.0319.0359 0.1.0398.0438.0478.0517.0557.0596.0636.0675.0714.0753 0.2.0793.0832.0871.0910.0948.0987.1026.1064.1103.1141 0.3.1179.1217.1255.1293.1331.1368.1406.1443.1480.1517 0.4.1554.1591.1628.1664.1700.1736.1772.1808.1844.1879 0.5.1915.1950.1985.2019.2054.2088.2123.2157.2190.2224 0.6.2257.2291.2324.2357.2389.2422.2454.2486.2517.2549 0.7.2580.2611.2642.2673.2704.2734.2764.2794.2823.2852 0.8.2881.2910.2939.2967.2995.3023.3051.3078.3106.3133 0.9.3159.3186.3212.3238.3264.3289.3315.3340.3365.3389 1.0.3413.3438.3461.3485.3508.3531.3554.3577.3599.3621 1.1.3643.3665.3686.3708.3729.3749.3770.3790.3810.3830 1.2.3849.3869.3888.3907.3925.3944.3962.3980.3997.4015 1.3.4032.4049.4066.4082.4099.4115.4131.4147.4162.4177 1.4.4192.4207.4222.4236.4251.4265.4279.4292.4306.4319 1.5.4332.4345.4357.4370.4382.4394.4406.4418.4429.4441 1.6.4452.4463.4474.4484.4495.4505.4515.4525.4535.4545 1.7.4554.4564.4573.4582.4591.4599.4608.4616.4625.4633 1.8.4641.4649.4656.4664.4671.4678.4686.4693.4699.4706 1.9.4713.4719.4726.4732.4738.4744.4750.4756.4761.4767 2.0.4772.4778.4783.4788.4793.4798.4803.4808.4812.4817 Scoruri standard. Curba normală. 17

pentru z=1.65 z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.0.0000.0040.0080.0120.0160.0199.0239.0279.0319.0359 0.1.0398.0438.0478.0517.0557.0596.0636.0675.0714.0753 0.2.0793.0832.0871.0910.0948.0987.1026.1064.1103.1141 0.3.1179.1217.1255.1293.1331.1368.1406.1443.1480.1517 0.4.1554.1591.1628.1664.1700.1736.1772.1808.1844.1879 0.5.1915.1950.1985.2019.2054.2088.2123.2157.2190.2224 0.6.2257.2291.2324.2357.2389.2422.2454.2486.2517.2549 0.7.2580.2611.2642.2673.2704.2734.2764.2794.2823.2852 0.8.2881.2910.2939.2967.2995.3023.3051.3078.3106.3133 0.9.3159.3186.3212.3238.3264.3289.3315.3340.3365.3389 1.0.3413.3438.3461.3485.3508.3531.3554.3577.3599.3621 1.1.3643.3665.3686.3708.3729.3749.3770.3790.3810.3830 1.2.3849.3869.3888.3907.3925.3944.3962.3980.3997.4015 1.3.4032.4049.4066.4082.4099.4115.4131.4147.4162.4177 1.4.4192.4207.4222.4236.4251.4265.4279.4292.4306.4319 1.5.4332.4345.4357.4370.4382.4394.4406.4418.4429.4441 1.6.4452.4463.4474.4484.4495.4505.4515.4525.4535.4545 1.7.4554.4564.4573.4582.4591.4599.4608.4616.4625.4633 1.8.4641.4649.4656.4664.4671.4678.4686.4693.4699.4706 1.9.4713.4719.4726.4732.4738.4744.4750.4756.4761.4767 2.0.4772.4778.4783.4788.4793.4798.4803.4808.4812.4817 Scoruri standard. Curba normală. 18

pentru z=1.96 z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.0.0000.0040.0080.0120.0160.0199.0239.0279.0319.0359 0.1.0398.0438.0478.0517.0557.0596.0636.0675.0714.0753 0.2.0793.0832.0871.0910.0948.0987.1026.1064.1103.1141 0.3.1179.1217.1255.1293.1331.1368.1406.1443.1480.1517 0.4.1554.1591.1628.1664.1700.1736.1772.1808.1844.1879 0.5.1915.1950.1985.2019.2054.2088.2123.2157.2190.2224 0.6.2257.2291.2324.2357.2389.2422.2454.2486.2517.2549 0.7.2580.2611.2642.2673.2704.2734.2764.2794.2823.2852 0.8.2881.2910.2939.2967.2995.3023.3051.3078.3106.3133 0.9.3159.3186.3212.3238.3264.3289.3315.3340.3365.3389 1.0.3413.3438.3461.3485.3508.3531.3554.3577.3599.3621 1.1.3643.3665.3686.3708.3729.3749.3770.3790.3810.3830 1.2.3849.3869.3888.3907.3925.3944.3962.3980.3997.4015 1.3.4032.4049.4066.4082.4099.4115.4131.4147.4162.4177 1.4.4192.4207.4222.4236.4251.4265.4279.4292.4306.4319 1.5.4332.4345.4357.4370.4382.4394.4406.4418.4429.4441 1.6.4452.4463.4474.4484.4495.4505.4515.4525.4535.4545 1.7.4554.4564.4573.4582.4591.4599.4608.4616.4625.4633 1.8.4641.4649.4656.4664.4671.4678.4686.4693.4699.4706 1.9.4713.4719.4726.4732.4738.4744.4750.4756.4761.4767 2.0.4772.4778.4783.4788.4793.4798.4803.4808.4812.4817 Scoruri standard. Curba normală. 19

Proprietățile distribuției normale permit aflarea răspunsului la unele întrebări practice... Scoruri standard. Curba normală. 20

Procentul oamenilor al căror scor QI este între 100 şi 110? z = x s m = 110 100 16 =+ 0.63? 0? Scoruri standard. Curba normală. 21

z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.0.0000.0040.0080.0120.0160.0199.0239.0279.0319.0359 0.1.0398.0438.0478.0517.0557.0596.0636.0675.0714.0753 0.2.0793.0832.0871.0910.0948.0987.1026.1064.1103.1141 0.3.1179.1217.1255.1293.1331.1368.1406.1443.1480.1517 0.4.1554.1591.1628.1664.1700.1736.1772.1808.1844.1879 0.5.1915.1950.1985.2019.2054.2088.2123.2157.2190.2224 0.6.2257.2291.2324.2357.2389.2422.2454.2486.2517.2549 0.7.2580.2611.2642.2673.2704.2734.2764.2794.2823.2852 0.8.2881.2910.2939.2967.2995.3023.3051.3078.3106.3133 0.9.3159.3186.3212.3238.3264.3289.3315.3340.3365.3389 1.0.3413.3438.3461.3485.3508.3531.3554.3577.3599.3621 1.1.3643.3665.3686.3708.3729.3749.3770.3790.3810.3830 1.2.3849.3869.3888.3907.3925.3944.3962.3980.3997.4015 1.3.4032.4049.4066.4082.4099.4115.4131.4147.4162.4177 1.4.4192.4207.4222.4236.4251.4265.4279.4292.4306.4319 1.5.4332.4345.4357.4370.4382.4394.4406.4418.4429.4441 1.6.4452.4463.4474.4484.4495.4505.4515.4525.4535.4545 1.7.4554.4564.4573.4582.4591.4599.4608.4616.4625.4633 1.8.4641.4649.4656.4664.4671.4678.4686.4693.4699.4706 1.9.4713.4719.4726.4732.4738.4744.4750.4756.4761.4767 2.0.4772.4778.4783.4788.4793.4798.4803.4808.4812.4817 Scoruri standard. Curba normală. 22

Procentul oamenilor al căror scor QI este între 100 şi 110? z = x s m = 110 100 16 =+ 0.63 23.57% 0 0.63 Scoruri standard. Curba normală. 23

Procentul oamenilor al căror scor QI este mai mare de 125? z = x m s = 125 100 16 =+ 1.56? 0? Scoruri standard. Curba normală. 24

Procentul oamenilor al căror scor QI este mai mare de 125? z = x m s = 125 100 16 =+ 1.56? 0 1.56 Scoruri standard. Curba normală. 25

Procentul oamenilor al căror scor QI este mai mare de 125? 44.06% 50 44.06=5.94% 0 1.56 Scoruri standard. Curba normală. 27

Care este scorul minim pe care trebuie să-l obțină o persoană pentru a fi între primii 5% din populație? 45% 5% 100? Scoruri standard. Curba normală. 28

Convertim scorul z=1.64 în valoare brută X=m+z*s=100+ (+1.64)*16=126.24 Pentru a fi în primii 5% QI=126.24 45% 5% 100 126.24 Scoruri standard. Curba normală. 30

Care este scorul care indică cei mai slabi 33%? 33% 17% Scoruri standard. Curba normală. 31? 100

33% Convertim nota z în valoare brută: X=m+z*s=100+(-0.44)*16= 92.96 17% 93 100 Scoruri standard. Curba normală. 33

Aria de sub curba normală văzută ca probabilitate definiţii ale probabilităţii 1. şansa teoretică a unui eveniment într-o serie posibilă (1/2=0.5) 2. şansa reală în cazul repetării extragerii (tinde spre 0.5 când n ) 3. şansa de apariţie a unui eveniment complementară şansei de neapariţie valorile de pe curba normală nu rezultă dintr-un proces de măsurare ele sunt valori teoretice pot rezulta ca unui proces aleatoriu extrăgând la infinit numere aleatoare distribuţie normală frecvenţa relativă a fiecărui număr este similară cu probabilitatea sa de apariţie - fr(1)=p Scoruri standard. Curba normală. 35

Exemplificări ale probabilităților de sub curba normală z Pentru z=1.65 aria=0.95 p=0.05 p=0.95 p=0.05 1.65 Scoruri standard. Curba normală. 36

Pentru z=1.95 aria=0.975 p=0.025 p=0.975 p=0.025 1.95 Scoruri standard. Curba normală. 37

z=-1 z=+1 p=0.68 p=0.68 Scoruri standard. Curba normală. 38-1 0 1

z=1 aria=0.84 p=0.16 p=0.16 p=0.84 Scoruri standard. Curba normală. 39 0 1

z=-2 z=+2 p=0.95 p=0.95 Scoruri standard. Curba normală. 40-2 0 2

z=-3 z=+3 p=0.99 p=0.99-3 Scoruri standard. Curba normală. 41 0 3

Distribuții reale şi distribuții normale z distribuția standardizată z reprezintă transformarea în z a distribuției normale teoretice distribuția z a unei distribuții reale PĂSTREAZĂ FORMA DISTRIBUȚIEI REALE x z 2 -,92963 5,14302 6,50057 7,85812 3 -,57208 8 1,21566 9 1,57321 2 -,92963 3 -,57208 1-1,28717 curba x curba z Scoruri standard. Curba normală. 42

Concluzii importante O distribuţie de scoruri z are întotdeauna media egală cu 0 are întotdeauna abaterea standard egală cu 1 convertirea unei distribuţii reale în scoruri z nu schimbă formă distribuţiei (scorurile z nu normalizează distribuţia) Indiferent dacă distribuţia este normală sau nu, scorul z exprimă cu precizie poziţia faţă de medie în abateri standard Dacă o distribuţie este normală, se pot găsi răspunsuri la mai multe întrebări interesante Scoruri standard. Curba normală. 44