ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Ταλαντώσεις» Μαρία Κατσικίνη aii@auh.gr uer.auh.gr/~aii Οι έντε αισθήσεις Αντίληψη του εριβάλλοντος Όραση Ακοή Γεύση Αφή Όσφρηση φς ήχος κύματα ηλεκτρομαγνητικά μηχανικά
Ταλαντώσεις - κυμάνσεις Ταλάντση είναι μια εριοδική κίνηση, δηλαδή εαναλαμβάνεται σε κανονικά χρονικά διαστήματα, γύρ αό μια θέση. Οι ταλαντώσεις είναι ηγές κυμάτν Οι κυμάνσεις (τα κύματα) είναι εριοδικά φαινόμενα. Κύμα Διαταραχή ου μεταφέρει ενέργεια αό το ένα σημείο του μέσου σε ένα άλλο χρίς να μεταφέρει μάζα Ταλαντώσεις Αλή αρμονική ταλάντση Ταλάντση εριοδική κίνηση άν στην ίδια τροχιά, γύρ αό κάοιο σημείο Αρμονική ταλάντση ταλάντση κατά την οοία η αομάκρυνση του ταλαντούμενου σώματος αό συγκεκριμένη θέση εριγράφεται αό ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου y Ain( b)
Ταλαντώσεις Αλή αρμονική ταλάντση in co Κίνηση σημείου σε εριφέρεια κύκλου με σταθερή γνιακή ταχύτητα Η ροβολή του σημείου στον άξονα τν ημιτόνν εκτελεί αλή αρμονική ταλάντση Ταλαντώσεις Αλή αρμονική ταλάντση Ομαλή κυκλική κίνηση Γνιακή ταχύτητα ϑ ϑ υ d rad Γραμμική ταχύτητα r υ r r Μέτρο της ταχύτητας: * r r θ υ r r υ
Ταλαντώσεις Θ.Ι. F r Το σώμα ισορροεί και το ελατήριο δεν δέχεται καμία δύναμη F ελ Το σώμα αομακρύνεται κατά και το ελατήριο ειμηκύνεται Το σώμα κινείται ρος την αντίθετη κατεύθυνση υό την είδραση της δύναμης εαναφοράς του ελατηρίου F- F ελ Το σώμα σταματά στιγμιαία αφού έχει μετακινηθεί κατά ρος την αντίθετη κατεύθυνσηκαικινείταιροςτηθέση ισορροίας. 4 Ταλαντώσεις Το σώμα εκτελεί αλή αρμονική κίνηση F Κίνηση ου γίνεται υό την είδραση δύναμης (εαναφοράς) ου είναι ανάλογη της μετατόισης F a Β νόμος Newon Κίνηση στον άξονα a d d
Ταλαντώσεις d Δοκιμάζ λύσεις της μορφής: Aco( ϕ) d d d ( ϕ) A in ( ϕ) A co A co ( ϕ) A co( ϕ) Ταλαντώσεις Aco φ : φάση ( ϕ) Α : λάτος ταλάντσης (μέγιστη τιμή του co(φ) μέγιστη τιμή A) φ : αρχική φάση (φάση για ) θφ φ Α
Ταλαντώσεις Aco ( ) 4 Aco 4 Ταλαντώσεις : ερίοδος της ταλάντσης (χρονικό διάστημα εανάληψης της μορφής της συνάρτησης) ( ) Aco ( ϕ) ϕ ϕ Η μορφή της συνάρτησης εαναλαμβάνεται κάθε φορά ου στη φάση ροστίθεται. f Συχνότητα (Hz): αριθμός ταλαντώσεν στη μονάδα του χρόνου
Ταλαντώσεις Θ.Ι. Θ.Ι. Θ.Ι. Aco ( ϕ) A υ d υ A in ( ϕ) A α a d A co ( ϕ) A Ταλαντώσεις Κυκλική συχνότητα: Περίοδος: Συχνότητα: Εξίσση κίνησης Για σύστημα ελατήριο - μάζα f κίνησης: Aco( ϕ) Μέγιστη ταχύτητα: υa A Μέγιστη ειτάχυνση: a a A a έχει ααλειφθεί ο χρόνος
Ταλαντώσεις Ενέργεια Κινητική ενέργεια: ενέργεια λόγ κίνησης υ Δυναμική ενέργεια: ενέργεια λόγ αραμόρφσης του ελατηρίου Ολική ενέργεια E V E A A in A in V αραμόρφση του ελατηρίου ( ϕ) A co ( ϕ) ( ϕ) A co ( ϕ) Ταλαντώσεις Μέγιστη κινητική ενέργεια a υa A A a A Σε θέσεις μέγιστης ταχύτητας Θ.Ι. () Θ.Ι. E V Μέγιστη δυναμική ενέργεια V a a Va A Σε θέσεις μέγιστης αραμόρφσης a - a V a
Ταλαντώσεις E V A υ A υ υ ± υ ± ( A ) ( A ) Ταλαντώσεις Ενέργεια E V A ( ) υ A in υ A in in a A V ίσες Aco A co V V a co ( ) Τ/ Τ
Άσκηση Ένα οριζόντιο ελατήριο τεντώνεται κατά c όταν ασκηθεί δύναμη.6ν. Στην άκρη του ελατηρίου δένεται σώμα βάρους 8Ν, συμιέζεται κατά 4c αό τη θέση ισορροίας και αφήνεται να εκτελέσει αρμονική ταλάντση χρίς τριβές. α) Ποια είναι η σταθερά του ελατηρίου; β) Ποιά δύναμη ασκεί το ελατήριο στο σώμα αμέσς ριν αφεθεί; γ) Ποια είναι η ερίοδος και το λάτος της ταλάντσης; δ) Ποιά είναι η μέγιστη ταχύτητα και η μέγιστη ειτάχυνση; ε) Να βρεθεί η ολική ενέργεια του συστήματος και η εξίσση της κίνησης. (g/ ) F.6 N F Δ Δ. α) β) F Δ.4. 8N γ) δ) υ 5 rad.8 ec A.45. a ε) E A.4.6J 6J 6.8 5.6ec a A.45 a Εξίσση κίνησης ( ).4co 5 Άσκηση Μία μάζα ταλαντώνεται σύμφνα με την εξίσση: Να βρεθούν, για ec: α) η φάση, η συχνότητα και η ερίοδος της ταλάντσης β) η αομάκρυνση, η ταχύτητα και η ειτάχυνση 6 6 rad ec Φάση: ec [ c] 6co f Hz
Άσκηση Μία μάζα ταλαντώνεται σύμφνα με την εξίσση: Να βρεθούν, για ec: α) η φάση, η συχνότητα και η ερίοδος της ταλάντσης β) η αομάκρυνση, η ταχύτητα και η ειτάχυνση co 6 ] [ c c.5 6 co 6 6 co 6 co 6 c A υ 9 8 in 8 6 in 6 in ( ) 7 54 co 54 6 co 6 co c A a Άσκηση Ένα ελατήριο με σταθερά Ν/ είναι στερεμένο σε σώμα μάζας.5g. Δίνουμε στο σώμα αρχική μετατόιση.5 και αρχική ταχύτητα./. α) Να βρείτε το λάτος, την αρχική φάση και την ολική ενέργεια της κίνησης β) Να γράψετε τις εξισώσεις ου δίνουν τη θέση, την ταχύτητα και την ειτάχυνση ς συναρτήσεις του χρόνου. ( ) A A ± ± υ Για αρχική μετατόιση το σώμα έχει ταχύτητα υυ ( ) A A A A.58.5 ± υ υ υ υ ec.5 rad λάτος
Άσκηση Ολική ενέργεια της κίνησης: ( ϕ) in( ϕ) E A.58. 5J ενέργεια Aco Acoϕ υ υ A υ A inϕ Ainϕ υ anϕ anϕ ϕ 7. 6.5 ϕ 7.6 7.6. 4 8 Εξισώσεις κίνησης.58co 5 υ.58in.6in 5 5 a.58 co 6. co 5 5 rad αρχική φάση Άσκηση Το σώμα Ρ εκτελεί αλή αρμονική ταλάντση συχνότητας f.5hz καθώς ολισθαίνει άν σε λεία ειφάνεια. Το σώμα Β κινείται μαζί με το P. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ τν δύο ειφανειών (τν Ρ και Β) είναι μ.6. Ποιό είναι το μέγιστο δυνατό λάτος της ταλάντσης ώστε το σώμα Β να μην ολισθαίνει άν στο Ρ; (g9.8/ ) Θ.Ι. Β Ρ Το σώμα Ρ δέχεται τη δύναμη εαναφοράς του ελατηρίου Σώμα Β: F f ος ν. Newon: ( f ) (.4.5) F Ba Ff Ba μn H ειτάχυνση του σώματος Ρ (ομοίς και του σώματος Β) γίνεται μέγιστη σε σημεία μέγιστης αομάκρυνσης: a a a a a 5.89 a A A.66 6. 6c N W B Μέγιστη ειτάχυνση για να μην ολισθαίνει το σώμα Β: a μ N μbg a μg.69.8 5.89 B B B a
Ταλαντώσεις Κατακόρυφο ελατήριο Το σώμα ροσδένεται στο ελατήριο και αφήνεται να ηρεμήσει W F g Δl ελ Θ.Ι. Δl W F ελ Το σώμα αομακρύνεται κατά αό τη θέση ισορροίας και το ελατήριο ειμηκύνεται Η δύναμη εαναφοράς του ελατηρίου ισούται με: ( Δ ) F l ελ Το σώμα δέχεται συνολική δύναμη ( ) F Δl g Δl g F δύναμη ανάλογη της αομάκρυνσης Άσκηση Τα αμορτισέρ ενός αλιού αυτοκινήτου μάζας g είναι εντελώς φθαρμένα. Όταν άτομο με βάρος 98Ν μαίνει αργά στο αυτοκίνητο (στοκέντροβάρους του) το αυτοκίνητο χαμηλώνει κατά.8c. Όταν το αυτοκίνητο ερνά αό ένα «σαμαράκι» αρχίζει να ταλαντώνεται άν κάτ εκτελώντας αλή αρμονική ταλάντση. Θερήστε ότι το αυτοκίνητο και ο άνθρος αοτελούν ενιαίο σώμα στερεμένο σε ένα μόνο ελατήριο και βρείτε τη συχνότητα και την ερίοδο της ταλάντσης. (* ελατήρια αράλληλα, g9.8/ ) w Δl 98.8 Μάζα ου ταλαντώνεται:.5 w M g 4 N 98 g 9.8.5 4 rad 5.64 ec 6.8 5.64.ec f. Hz. 9
Το αλό εκκρεμές Σώμα ου μορεί να θερηθεί σημειακό ροσδεδεμένο σε αβαρές νήμα. θ W inθ W W coθ y Το αλό εκκρεμές δύναμη εαναφοράς θ W inθ W W coθ y W inθ Για μικρές τιμές της γνίας θ inθ F W... άρα δύναμη εαναφοράς F g : μήκος τόξου το οοίο για μικρές γνίες θ μορεί να θερηθεί ς αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας (κατακόρυφος) g F F g g g
θ in θ an θ.6.5.4 θ ο an(θ) θ[rad] in(θ)... θ[ ο ]θ[rad]*8/.4......4.5.6 θ (rad) Άσκηση Ένα αλό εκκρεμές έχει ερίοδο.ec στη Γη (g9.8/ ). Πόση είναι η ερίοδος του στην ειφάνεια της Σελήνης όου g.6/. Γ g Γ Σ g Σ Γ Σ gγ gσ.6.46 Σ gγ 9.8 g Σ..46.95ec
Άσκηση Να βρεθεί το μήκος ενός αλού εκκρεμούς ου ολοκληρώνει λήρεις ταλαντώσεις σε 75 ec σε μία εριοχή όου g9.8 /. Υολογισμός συχνότητας (ταλαντώσεις / ec).hz 75 Υολογισμός εριόδου f 75.75ec.75 g 9.8. 4 g 6.8 Άσκηση Ένα αιδάκι κάνει κούνια με μέγιστη αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας. Αν η μέγιστη ειτάχυνση είναι.5/ να βρείτε την ερίοδο της ταλάντσης a a A.5 a a A.5ec.5 4 ec
Το φυσικό εκκρεμές Σώμα εερασμένου μεγέθους ου εριστρέφεται χρίς τριβές γύρ αό άξονα κάθετο σε ένα σημείο του ου δεν ερνά αό το κέντρο μάζας του. Ο Ο Ροή του βάρους: M O W in θ Κ.M. θ W τείνει να εαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροίας ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ I g Ροή αδράνειας του στερεού σώματος Το φυσικό εκκρεμές (αόδειξη) Ο Ροή του βάρους: M O W in θ θ W θ Το σώμα εριστρέφεται γύρ αό το σημείο Ο υό την είδραση της ροής του βάρους του. d d θ Αοκτά γνιακή ειτάχυνση : α Η σχέση ου συνδέει τη ροή με τη γνιακή ειτάχυνση είναι: M Iα όου Ι είναι η ροή αδράνειας d θ Άρα: Win θ I d θ d θ Wθ και για μικρές γνίες: Wθ I I το μείον υοδηλώνει ότι το βάρος τείνει να εαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροίας. Για λύσεις της μορφής: θ θ co( ϕ) dθ θ in( ϕ) d θ και θ co( ϕ) οότε με αντικατάσταση στην () ροκύτει: Συνεώς: I g, όου θ είναι η μέγιστη γνία, ροκύτει: g I ()
Ροή αδράνειας Εκφράζει: Αντιστοιχεί:... την αντίσταση ενός σώματος ου τείνει να εριστραφεί... στη μάζα ενός σώματος ου εκφράζει την αντίσταση ενός σώματος ου τείνει να κινηθεί Μαθηματικός ορισμός για ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΣΩΜΑ: Ροή αδράνειας σημειακής μάζας ου εριστρέφεται γύρ αό ορισμένο άξονα αό τον οοίο αέχει αόσταση r I r Μαθηματικός ορισμός για ΜΗ - ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΣΩΜΑ: I i Δ i r i Δ r Μονάδα μέτρησης g Ροή αδράνειας Η ροή αδράνειας εξαρτάται αό το σχήμα του σώματος και αό τον άξονα ς ρος τον οοίο γίνεται η εριστροφή R I MR MR I 4 M I M I M R R I M ( R R ) I MR 5 R
Ο φυσικός βηματισμός Μελέτη με ισοδύναμο μαθηματικού εκκρεμούς Ρυθμός βηματισμού βήματα /in βημ / ec Διασκελισμός 9 c Περίοδος λήρης κίνηση μρος ίσ του οδιού βήματα Σε μία ερίοδο γίνονται δύο βήματα Α Τec Ο φυσικός βηματισμός Μελέτη με ισοδύναμο μαθηματικού εκκρεμούς Μέση ταχύτητα διασκελισμού υ Μήκος διασκελισμού.9.8.5 Χρόνος ου αντιστοιχεί σε ένα βήμα Μέγιστη ειτάχυνση Μέγιστη ταχύτητα υ A.9.9. 8 a.9 aa A 7.7 ~. 8g
Ο φυσικός βηματισμός Μήκος οδιού: ~.9 I gl Μελέτη ς φυσικό εκκρεμές Το όδι μορεί να θερηθεί ς μία ράβδος η οοία κινείται γύρ αό άξονα ου βρίσκεται στο ισχίο Ροή αδράνειας I Αόσταση του κέντρου μάζας αό τον άξονα εριστροφής Θέση κ.μ. οδιού: / Περίοδος: g g.55ec Ο ρυθμός βηματισμού εξαρτάται αό το μήκος του οδιού και είναι διαφορετικός για κάθε άνθρο Ο φυσικός βηματισμός Μελέτη ς φυσικό εκκρεμές Ταχύτητα βαδίσματος μήκος διασκελισμού συχνότητα υ d d υ Η ταχύτητα του βαδίσματος εξαρτάται αό το μήκος του οδιού και είναι διαφορετική για κάθε άνθρο