ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΛΑΣΣΙΚΟΥ ΠΤΕΡΥΓΙΣΜΟΥ ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΕΡΟΕΛΑΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Α. Μπαξεβάνου και Ν. Βλάχος Εργαστήριο Ρευστομηχανικής & Στροβιλομηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Λεωφ. Αθηνών, Πεδίο Άρεως, 8 4 Βόλος E-ml: vlchos@me.th.g, web: htt://www.me.th.g/lbs/flds ΠΕΡΙΛΗΨΗ H παρούσα εργασία αφορά στη μελέτη με υπολογιστική αεροελαστοδυναμική κλασσικού πτερυγισμού ενός πτερυγίου ανεμογεννήτριας. Περιγράφεται το αριθμητικό μοντέλο το οποίο περιλαμβάνει ένα επιλυτή Nve-Stokes για την πρόβλεψη της ροής γύρω από την αεροτομή, σε συνδυασμό με τις ελαστικές εξισώσεις για την δομή του πτερυγίου, καθώς και η μέθοδος σύζευξής τους. Το αεροδυναμικό μοντέλο, υπό μορφή κώδικα υπολογιστικής ρευστοδυναμικής πεπερασμένων όγκων, επιλύει Δ ελλειπτικά πεδία ροής χρησιμοποιώντας δομημένο πλέγμα, ομόθετη (collocted) αποθήκευση και καμπυλόγραμμο μη-ορθογωνικό σύστημα συντεταγμένων. Η ελαστική συμπεριφορά της αεροτομής προσομοιώνεται με απλουστευμένο μοντέλο ελατηρίων με τρεις βαθμούς ελευθερίας στη γενική περίπτωση. Το αεροδυναμικό και το δομικό μοντέλο συζευγνύονται με πεπλεγμένη μέθοδο. Παρουσιάζονται αποτελέσματα μίας παραμετρικής μελέτης κλασσικού πτερυγισμού για αεροτομή πτερυγίου ανεμογεννήτριας. Μελετάται η αεροελαστική συμπεριφορά αεροτομής NACA5, σταθερής χορδής, τοποθετημένη σε τέσσερις διαφορετικές ακτινικές θέσεις περιστρεφόμενου πτερυγίου, υποκείμενη σε κλασσικό πτερυγισμό. Εξετάζονται περιπτώσεις ευσταθούς και ασταθούς αεροελαστικής συμπεριφοράς και εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα. Λέξεις κλειδιά: Υπολογιστική αεροελαστικότητα, CFD, κλασσικός πτερυγισμός, ανεμογεννήτριες, ευστάθεια. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η τάση για χρήση όλο και μεγαλύτερων ανεμογεννητριών (Α/Γ), συνδυασμένη με την μείωση του βάρους των πτερυγίων και την ανάγκη για Α/Γ ικανές να λειτουργήσουν και να επιβιώσουν σε ακραίες συνθήκες, καθώς και η ανάγκη ελέγχου της παραγόμενης ισχύος με παθητικά μέσα ανανέωσαν το ενδιαφέρον για τη μελέτη της αεροελαστικής συμπεριφοράς των πτερυγίων Α/Γ. Αν και δεν έχει παρατηρηθεί αστοχία πτερυγίων που να οφείλεται σε κλασσικό πτερυγισμό μελετάται συνήθως προκειμένου να αξιολογηθεί η ικανότητα των διαφόρων μοντέλων να προσομοιώσουν με ακρίβεια την αεροελαστική συμπεριφορά ενός πτερυγίου. Στα πλαίσια αυτά, στην παρούσα εργασία περιγράφεται ένα αριθμητικό μοντέλο υπολογισμού αεροελαστικής συμπεριφοράς πτερυγίου που υπόκειται σε κλασσικό πτερυγισμό και παρουσιάζεται μια παραμετρική μελέτη για αεροτομή σε τέσσερις διαφορετικές ακτινικές θέσεις. Στο Σχήμα δίνεται η γενική γεωμετρία του προβλήματος, το οποίο αντιμετωπίζεται ως δισδιάστατο. Πρόκειται για αεροτομή η οποία στη γενική περίπτωση έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας (εγκάρσια κίνηση-fl, διαμήκη κίνηση-edge και συστροφή-tch) αν και στην περίπτωση του κλασσικού πτερυγισμού θα ληφθούν υπόψη μόνο οι δύο (εγκάρσια κίνηση και συστροφή).
Σχήμα. Γενική γεωμετρία του προβλήματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Το αεροελαστικό μοντέλο αποτελείται από το αεροδυναμικό μέρος που προσδιορίζει τα αεροδυναμικά φορτία και το ελαστικό το οποίο προσδιορίζει την απόκριση της δομής στα φορτία αυτά. Για τον υπολογισμό των αεροδυναμικών φορτίων επιλύονται, στη συντηρητική τους μορφή, οι Reynolds Aveged Nve Stokes (RANS) εξισώσεις, Fezge (996). Εφόσον το πρόβλημα του κλασσικού πτερυγισμού εμφανίζεται σε χαμηλές γωνίες πρόσπτωσης, ως μοντέλο τύρβης χρησιμοποιείται το μοντέλο k-ω hgh Reynolds του Wlcox (994) με συναρτήσεις τοίχου, το οποίο δίνει συγκρίσιμα αποτελέσματα με αυτά των μοντέλων που ολοκληρώνουν μέχρι το στερεό όριο αλλά με πολύ μικρότερο υπολογιστικό κόστος, κυρίως λόγω των μικρότερων απαιτήσεων σε υπολογιστικό πλέγμα, Bxevno & Vlchos (4).. Αεροελαστικές εξισώσεις Για τη γενική περίπτωση και λαμβάνοντας υπόψη τρεις βαθμούς ελευθερίας, οι εξισώσεις κίνησης προκύπτουν από τις εξισώσεις Lgnge, Bxevno (4). Η αδιάστατη μορφή τους, Chvoolos (999), με σύστημα συντεταγμένων στην πλήμνη της Α/Γ, για αεροτομή σε ακτίνα R, περιστρεφόμνη με σταθερή γωνιακή ταχύτητα (=Ω) είναι: fl: *' ' ' ' * D*' * R f C () edge : w*'' - '' z * + xdwwwkw*' - w* k + z * k + ww w* k = Rf Cw + x * k () tch : '' * + * '' x *- w* '' z * + xd wk' * + wk z * + w k * = RfCM () όπου, * : αδιαστατοποίηση ως προς τη χορδή (/c) : παραγώγιση ως προς τον αδιάστατο χρόνο τ : αδιάστατη στατική ροπή αδράνειας (S /m) : αδιάστατη αξονική ροπή αδράνειας (I /m) D D D, : αδιάστατος συντελεστής δομικής απόσβεσης m (= c U ): αδιάστατη συχνότητα περιστροφής R f (= c m ): κλάσμα μάζας C : αεροδυναμικοί συντελεστές ( ) : ιδιοσυχνότητα της αεροτομής ως προς την κίνηση Ut c: αδιάστατος χρόνος και, U ταχύτητα ανέμου, c χορδή της αεροτομής, D, D w και D α, συντελεστές δομικής απόσβεσης, και w, εγκάρσια και διαμήκης μετατόπιση, αντίστοιχα,, γωνία συστροφής, m, μάζα αεροτομής ανά μονάδα μήκους, S, στατική ροπή αδράνειας ως προς ελαστικό άξονα, k, συντελεστές δυσκαμψίας, I, αξονική ροπή αδράνειας, F, αεροδυναμικά φορτία, η, άξονας παράλληλος τον ελαστικό άξονα του
πτερυγίου, ξ, άξονας παράλληλος στην κύρια κατεύθυνση του ανέμου και, παράλληλος στο επίπεδο περιστροφής. Λαμβάνοντας υπόψη μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας (εγκάρσια κίνηση και συστροφή) και θεωρώντας μηδενική δομική απόσβεση, οι εξισώσεις κίνησης παίρνουν την μορφή: fl : *' ' ' ' * * R f C (4) tch : ' ' * *' ' * * R C f M (5). ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Τα αεροδυναμικά φορτία υπολογίζονται λύνοντας τις RANS εξισώσεις με μέθοδο πεπερασμένων όγκων. Το αεροδυναμικό τμήμα του μοντέλου βασίζεται στον κώδικα CAFFA του Pec (Fezge & Pec (996)), ο οποίος τροποποιήθηκε κατάλληλα και εξελίχθηκε ούτως ώστε να συμπεριλάβει περισσότερα σχήμα διακριτοποίησης και μοντέλα τύρβης, Bxevno (4). Ο κώδικας αυτός επιλύει τις Nve-Stokes εξισώσεις για δισδιάστατη, ασυμπίεστη ροή χρησιμοποιώντας μέθοδο πεπερασμένων όγκων και δομημένο, ομόθετο καμπυλόγραμμο πλέγμα. Χρησιμοποιεί τον αλγόριθμο SIMPLE και επιλύει τα προκύπτοντα αλγεβρικά συστήματα εξισώσεων με τη μέθοδο SIP. Το ελαστικό τμήμα του μοντέλου προσομοιώνει τις ελαστικές ιδιότητες της αεροτομής με απλοποιημένα ελατήρια, λαμβάνοντας υπόψη στη γενική περίπτωση τρεις βαθμούς ελευθερίας αν και στην περίπτωση του κλασσικού πτερυγισμού η διαμήκης κίνηση αγνοείται. Οι ελαστικές εξισώσεις επιλύονται με τη μέθοδο Newmk. Στη συνέχεια περιγράφονται τα χαρακτηριστικά των σχημάτων διακριτοποίησης και ζεύξης καθώς και το πλέγμα που χρησιμοποιήθηκαν για την παρούσα παραμετρική μελέτη.. Σχήμα διακριτοποίησης Οι Bxevno & Vlchos (4) απέδειξαν ότι τα πλέον κατάλληλα σχήματα διακριτοποίησης για υπολογισμό ροής γύρω από αεροτομή είναι τα σχήματα TVD. Στην παρούσα εργασία έχει επιλεχθεί το Hten-Yee ανάντη TVD σχήμα (Peyet (996), Hsch (99), Hoffmn (998)) για τους όρους συναγωγής στις εξισώσεις ορμής, το ανάντη σχήμα για τους όρους συναγωγής στις εξισώσεις μεταφοράς της τύρβης και το σχήμα κεντρικών διαφορών για τους όρους διάχυσης. Τέλος, η διακριτοποίηση στο χρόνο γίνεται με πεπλεγμένο σχήμα τριών βημάτων με αδιαστατοποιημένο χρονικό βήμα dτ=.. Σύμφωνα με το TVD σχήμα η τιμή μιας μεταβλητής στην επιφάνεια του υπολογιστικού κελιού υπολογίζεται από την σχέση:, e e fe P fe E xe (6) Fe όπου, χ e = συντελεστής με τιμή χ e = f e για Fe> και χ e = -f e F e < = flx vecto lmte στην επιφάνεια μεταξύ των όγκων και + ανηγμένος στη μάζα,e G G (7) με, = ιδιοτιμή της Ιακωβιανής του συστήματος RANS X ` Fst ow όπου, φ = το σχετικό βαθμωτό μέγεθος (φ =, v, φ) X = δεξιό ιδιοδιάνυσμα της Ιακωβιανής του συστήματος RANS Ψ( ) = διόρθωση που επιβάλλει η συνθήκη εντροπίας G G (8) (9)
4 *, mn, *, mn, * mx bs bs bs G αν αλλιώς G = () και, *, mn, *, mn, * mx bs bs bs G αν αλλιώς G+= (b). Οριακές συνθήκες Το αεροδυναμικό μοντέλο επικοινωνεί με το ελαστικό μέσω των αεροδυναμικών συντελεστών και το ελαστικό με το αεροδυναμικό μέσω της ενεργού γωνίας πρόσπτωσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνση της αεροτομής. Εφόσον το πρόβλημα αντιμετωπίζεται ως δισδιάστατο, η αεροτομή θεωρείται ακίνητη σε ένα ρεύμα αέρος το οποίο προσπίπτει με μεταβαλλόμενη γωνία. Η ενεργός γωνία πρόπτωσης υπολογίζεται κάθε φορά λαμβάνοντας υπόψη τη γωνία συστροφής της αεροτομής και τις ταχύτητες της αεροτομής στην εγκάρσια και τη διαμήκη κατεύθυνση ως ακολούθως: V x V y eff ng tn () όπου, w R ng U EI BE AB OA V x sn () w R ng U ZK O V y sn sn () : αρχική γωνία συστροφής Η δεύτερη πληροφορία που περνάει από το ελαστικό στο αεροδυναμικό μοντέλο είναι η ταχύτητα συστροφής της αεροτομής η οποία τροποποιεί τις συνθήκες μη-ολίσθησης και μηεισχώρησης εφόσον η σχετική ταχύτητα της αεροτομής ως προς το ρευστό δε θεωρείται πλέον μηδέν αλλά έχει τιμή η οποία στη θέση ως προς τον ελαστικό άξονα δίνεται από τη σχέση: x y I (4) Τέλος, όταν η αεροτομή επιταχύνεται ασκεί μια δύναμη στο ρευστό που την περιβάλλει. Η συνολική γραμμική επιτάχυνση ενός σημείου Ι της επιφάνειας της αεροτομής στη θέση ως προς τον ελαστικό άξονα δίνεται από τη σχέση: w v y x x y I (5) Σχήμα. Τροποποίηση της ενεργού γωνίας πρόσπτωσης λόγω αρχικής γωνίας συστροφής, ταχυτήτων στην εγκάρσια και διαμήκη κατεύθυνση, γωνίας συστροφής και ταχύτητας περιστροφής πτερυγίου
. Σχήμα σύζευξης Το σύστημα των αεροελαστικών εξισώσεων επιλύεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Newmk, Zenkewcz (998), και συγκεκριμένα την tncted Tylo sees collocton αλγόριθμο (GN). Οι μετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις υπολογίζονται στο χρονικό βήμα n+ χρησιμοποιώντας τις τιμές τους στο χρονικό βήμα n και τις τιμές των εξωτερικών φορτίων στα χρονικά βήματα n και n+. Όμως οι τιμές των εξωτερικών φορτίων στο χρονικό βήμα n+ είναι άγνωστες εφόσον οι τελευταίες εξαρτώνται από τις οριακές συνθήκες, οι οποίες με τη σειρά τους εξαρτώνται από τις μετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις της αεροτομής. Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα χρησιμοποιείται η ακόλουθη επαναληπτική τακτική αναφερόμενη ως nd-n σχήμα ζεύξης, Bxevno(4). Σε κάθε επανάληψη του χρονικού βήματος n+ του ελαστικού τμήματος του μοντέλου τα αεροδυναμικά φορτία υπολογίζονται ως ακολούθως, Chvoolos (996): n n n n n F n n F F F (6) n n n όπου, F F F (7) n n Οι τιμές αυτές επιστρέφουν στην + επανάληψη του n+ χρονικού βήματος του αεροδυναμικού τμήματος του μοντέλου, τα αεροδυναμικά φορτία υπολογίζονται με τις νέες οριακές συνθήκες και με τη σειρά τους χρησιμοποιούνται για νέους υπολογισμούς των μετατοπίσεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων της + επανάληψης του n+ χρονικού βήματος του ελαστικού μοντέλου. Αν η διαφορά ανάμεσα στις τιμές της και της + επανάληψης είναι μικρότερη από έναν προκαθορισμένο αριθμό, το σχήμα θεωρείται ότι έχει συγκλίνει και η λύση συνεχίζεται στο επόμενο χρονικό βήμα, διαφορετικά η διαδικασία επαναλαμβάνεται..4 Υπολογιστικό πλέγμα Χρησιμοποιήθηκε υπολογιστικό πλέγμα τύπου C στο κέντρο του οποίου βρίσκεται η αεροτομή ενώ τα όρια του εκτείνονται σε απόσταση χορδών. Το μέγεθος του πλέγματος είναι 4x6 (=464) κελιά, με 6 κελιά πάνω στην αεροτομή εφόσον χρησιμοποιήθηκε το k-ω hgh Re μοντέλο με συναρτήσεις τοίχου. Για να ικανοποιηθεί η απαίτηση ο πρώτος υπολογιστικός όγκος να βρίσκεται στην περιοχή <y + <4, Snk(997), το πλέγμα κατασκευάστηκε έτσι ώστε να εξασφαλίζεται y + =9 για τον πρώτο υπολογιστικό όγκο της ακμής προσβολής και y + =8 για την ακμή φυγής..5 Οριακές και αρχικές συνθήκες Σε όλο το καμπύλο εξωτερικό όριο του πλέγματος εφαρμόζονται οριακές συνθήκες εισόδου προδιαγράφοντας τις τιμές των μεταβλητών, ενώ στο οπίσθιο κάθετο μέρος του εξωτερικού ορίου του εφαρμόζεται οριακή συνθήκη εξόδου με σταθερή κλίση πίεσης. Πάνω στην αεροτομή εφαρμόζονται οριακές συνθήκες τοίχου τροποποιημένες σύμφωνα με την παράγραφο.. Για να δημιουργηθεί ένα αρχικό πεδίο ως αρχική συνθήκη των υπολογισμών, πραγματοποιήθηκε προσομοίωση ροής γύρω από την αεροτομή εκτεθειμένη σε ρεύμα αέρα με Re=x 6, διατηρώντας σταθερή γωνία πρόσπτωσης 6 ο για χρονικό διάστημα αρκετό ώστε να αποκατασταθεί το οριακό στρώμα γύρω από την αεροτομή. Στα Σχήματα και 4 δίνονται οι μεταβολές των αεροδυναμικών συντελεστών άνωσης και οπισθέλκουσας ως προς τον αδιάστατο χρόνο τ. Παρατηρείται ότι ένα χρονικό διάστημα τ=5 είναι αρκετό για να δημιουργηθεί ένα αρχικό πεδίο για τους αεροελαστικούς υπολογισμούς. Σχήμα. Εξέλιξη του συντελεστή C L (NACA5, Re=x 6, α=6 ο ) Σχήμα 4. Εξέλιξη του συντελεστή C D (NACA5, Re=x 6, α=6 ο ) 5
4. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ 4. Αναλυτική μελέτη Για την αναλυτική παραμετρική μελέτη η ίδια αεροτομή NACA5 θεωρείται σε τέσσερις διαφορετικές ακτινικές θέσεις ενός πτερυγίου Α/Γ που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ω. Η προσομοίωση έγινε με μεταβολή της αδιάστατης συχνότητας κ για τον υπολογισμό της οποίας χρησιμοποιείται η σχετική ταχύτητα πρόσπτωσης του αέρα: V R U (8) όπου, R η ακτίνα στην οποία βρίσκεται η αεροτομή και U η επ άπειρο ταχύτητα. Για σταθερή χορδή, η αδιάστατη συχνότητα κ μειώνεται καθώς η ακτίνα R αυξάνει. Επιπλέον, αν η χορδή θεωρηθεί σταθερή, οι υπόλοιπες αδιάστατες χαρακτηριστικές ποσότητες μπορεί να θεωρηθούν σταθερές. Επιλέγοντας R f =.4, 4, 7 και αναλύοντας την αεροελαστική ευστάθεια σύμφωνα με τον Dowell (995), το πολυώνυμο B - 4AC θα πρέπει να παίρνει θετικές τιμές προκειμένου να έχουμε ευσταθή κίνηση, όπου: A (9) mi S CL CL B m K qse Kh I SqS () CL C K h K qse για q>q D () C Παίρνοντας L (για χαμηλές γωνίες πρόσπτωσης), e = -.5, c =, ρ =, V =, S = και q V. 5, το παραπάνω πολυώνυμο δίνεται στο Σχήμα 5. Σχήμα 5. Πρόσημο χαρακτηριστικού πολυωνύμου B -4AC Με βάση το Σχήμα 5 κατασκευάζεται ο ακόλουθος πίνακας παραμετρικής μελέτης που αφορά την αεροτομή NACA5, κείμενη σε ρεύμα αέρα υπό γωνία πρόσπτωσης 6 ο, με Re=x 6. Ως αρχικές συνθήκες λαμβάνονται o = o = o = α o = α o =, και α ο = 6 ο. Πίνακας. Παραμετρική μελέτη κ R f Αναμενόμενη συμπεριφορά Περίπτωση..4 4 7 ασταθής Περίπτωση.5.4 4 7 ασταθής Περίπτωση..4 4 7 ευσταθής Περίπτωση 4..4 4 7 ευσταθής 6
4. Αριθμητική μελέτη Στα Σχήματα 6 και 7 δίνονται οι μετατοπίσεις στην εγκάρσια και στρεπτική κατεύθυνση, αντίστοιχα, για την Περίπτωση. Από τη χρονική εξέλιξη των μετατοπίσεων προκύπτει ότι η συμπεριφορά είναι ασταθής όπως αναμενόταν από την αναλυτική μελέτη. Σχήμα 6. Εγκάρσια μετατόπιση Περίπτωση Σχήμα 7. Στρεπτική μετατόπιση Περίπτωση Στα Σχήματα 8 και 9 δίνονται οι ίδιες μετατοπίσεις για την Περίπτωση. Και πάλι από τη χρονική εξέλιξη η περίπτωση αυτή προκύπτει ασταθής σε συμφωνία με την γραμμικοποιημένη αναλυτική πρόβλεψη. Σχήμα 8. Εγκάρσια μετατόπιση Περίπτωση Σχήμα 9. Στρεπτική μετατόπιση Περίπτωση Στα Σχήματα και δίνονται οι εγκάρσιες και στρεπτικές μετατοπίσεις για την Περίπτωση. Με την πάροδο του χρόνου παρατηρείται ότι το εύρος της ταλάντωσης μειώνεται κάτι που συνεπάγεται ευσταθή συμπεριφορά όπως προβλέπει η αναλυτική μελέτη. Σχήμα. Εγκάρσια μετατόπιση Περίπτωση Σχήμα. Στρεπτική μετατόπιση Περίπτωση 7
Τέλος, στα Σχήματα και δίνονται οι ίδιες μετατοπίσεις για την Περίπτωσης 4. Με βάση την ίδια συλλογιστική η κίνησηςκρίνεται ευσταθής και πάλι σε συμφωνία με την αναλυτική μελέτη. Σχήμα. Εγκάρσια μετατόπιση περίπτωση 4 Σχήμα. Στρεπτική μετατόπιση περίπτωση 4 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ H αναλυτική και αριθμητική παραμετρική μελέτη επιβεβαιώνει τις προβλέψεις της θεωρίας ότι η μείωση της αδιάστατης συχνότητας περιστροφής, οδηγεί την αεροτομή σε ασταθή κίνηση. Η μείωση αυτή μπορεί να προέρχεται είτε από αύξηση της ταχύτητας του προσπίπτοντος ανέμου είτε από αύξηση του μεγέθους της ανεμογεννήτριας. Και οι δύο λόγοι είναι σύγχρονες κατασκευαστικές τάσεις των ανεμογεννητριών. Το αεροελαστικό μοντέλο αποδεικνύεται ικανό να προσομοιώσει με ακρίβεια την φύση της αεροελαστικής κίνησης σε ότι αφορά την ευστάθεια, κάτι που επιβεβαιώνει την επιλογή του μοντέλου τύρβης, των σχημάτων διακριτοποίησης και του σχήματος ζεύξης. Επίσης επιβεβαιώνεται η επιλογή του υπολογιστικού πλέγματος καθώς και του χρονικού βήματος dτ=. ως ικανοποιητική για υπολογισμούς κλασσικού πτερυγισμού. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Fezge, J.H. nd M. Pec, Comttonl Methods fo Fld Dynmcs, Snge, 996. Wlcox, D.C., Tblence modelng fo CFD, DCW Indstes, Inc, 994. Bxevno, A.C. nd S.N., Vlchos, A comtve stdy of nmecl schemes nd tblence models fo wnd tbne eodynmc modellng, Wnd Engneeng, Vol. 8(),. 75-9, 4 4. Bxevno, A.C., Develoment of Nve-Stokes model fo the eoelstc nlyss of wnd tbne bldes, PhD thess, Unv. of Thessly, 4 5. Chvoolos, P.K., Fl/led-lg eoelstc stblty of wnd tbne blde sectons, Wnd Enegy, Vol.,. 99-, 999 6. Peyet, R., Hndbook of Comttonl Fld Mechncs, Acdemc Pess, London, 996 7. Hsch, C., Nmecl comtton of ntenl nd extenl flows Vol. : Comttonl methods fo nvscd nd vs flows, Wley, Englnd, 99 8. Hoffmn, A.K. nd S.T. Chng, Comttonl Fld Dynmcs Volme II, Engneeng Edcton System, Wcht Knss, 998 9. Zenkewcz, O.C. nd R.L. Tylo, The Fnte Element Method. Volme. Sold nd Fld Mechncs nd Non-lnety, McGw-Hll, London, 998. Chvoolos, P.K., Develoment of stte-of-the-t eoelstc smlto fo hozontl xs wnd tbnes. Pt :Stctl sects, Wnd Engneeng, Vol.,. 45-4, 996. Snk, T., Sye, P.G. nd S.M. Fse, Flow smlton st xsymmetc bodes sng fo dffeent tblence models, Aled Mthemtcl Modellng, Vol.,.78-79, 997. Dowell, E.H., Cwley, E.F., Cts J., H.C., Petes, D.A., Scnln, R.H. nd F. Ssto, A moden e n eoelstcty, Klwe, London, 995 8