Dvostrukom integracijom jedna~ine c) dobiva se: M (6.38)

Stata ostrca I Prora~ pomeraa 63 Deformacoa la {tapa Deformacoa la {tapa predstavla dmeze obl {tapa ao deformace Uolo aalzramo delovae popre~og optere}ea a prav {tap rav, {tap mea samo obl La oom se praze promea obla azva se gba la ee ordate predstavla pomeraa poedh ta~aa osove {tapa pravc oomtom a osov {tapa U lteratr se moè a} poam agba la, ~e ordate predstavla rotac popre~h presea poedm ta~ama osove {tapa Kod prora~a sloèh modela, prva otrola prora~a se vr{ tao {to se posmatra deformacoa la osa~a tvr e se da l dobvea deformacoa la odgovara zadatm rbm vetma datom optere}e Nelog~a deformacoa la aze a to da postoe gre{e model l prora~ Napome se da e speca deformacoe le za sloèe ssteme ~esto mogo edostava ego otrola prese~h sla, er se za tave ssteme moè la{e predvdet o~evaa deformacoa la, ego o~evae raspodela prese~h sla Pr zvo e dferecale eda~e oom se povez vas tca pomeraa, re}emo od dferecalh eda~a zvedeh za prav {tap: d a) d ϕ dϕ κ κ d z b) dt p 0 d z T 0 p d z z c) κ EJ EJ Dvostrom tegracom eda~e c) dobva se: d 4 4 d (636) EJ Ubacvaem eda~e (636) b) mamo: l z eda~e c): 4 d 4 d p (637) EJ EJ (638) Izvo ee gorh eda~a e obavleo pod pretpostavom da poztvo optere}ee oomto a osov {tapa dele sprotom smer od ose loalog oordatog sstema, do e poztvo pomerae smer ose Uolo predza optere}ea pomeraa deframo a st a~, gore eda~e se mea: d p (639) 48

Stata ostrca I Prora~ pomeraa 4 d 4 p (640) EJ Jeda~a (640) predstavla dferecal eda~ gbe le pravog {tapa Uolo e pozata fca promee momeata, tada se moè orstt eda~a (638) Pr aalz lsh modela, ao e apred re~eo, prese~e sle e mog}e dobt ezavso od deformaca edo za stat~ odre ee osa~e, {to za~ da se eda~a (638) moè orstt edo za tave osa~e Prora~ gbh la re{avaem dferecalh eda~a se pras e orst, er se od sloèh osa~a avla po 4 ostate tegrace za sva {tap Kostate tegrace se re{ava z eda~a oe se dobva z rbh veta, {to od sstema sa velm broem {tapova rezltra velm broem eda~a, {to zato oteàva postpa Ovde }e se poazat prmer proste grede optere}ee ~stm savaem prmer obostrao le{tee grede Prmer 6 Greda e ostatog popre~og presea, raspoa L Pozato e da e dagram momeata po d` grede ostata, t ( x) cost x T( x ) 0 EI Sla 66 Greda optere}ea ~stm savaem Prema eda~ (638) dferecala eda~a za pomerae glas: d, te: EI κ cost ρ EI Dale, zarvleost polpre~ rve deformsae ofgrace grede s ostat, {to za~ da e deformacoa la r`ca Itegrra} gor dferecal eda~ dobva se: d x C; x CxC EI EI Kostate tegrace se odre z geometrsh rbh veta (stat~ s sor{te za odre vae momete le): ( ) x 0, 0 0 C 0 L x L, ( L) 0 C EI Koa~e eda~e gbe agbe le s: 49

Stata ostrca I Prora~ pomeraa d x x x L x x L EI EI ( ) ( ); ϕ ( ) ( ) asmal gb ma ta~a oa se alaz a sred grede: L L 8EI Uglov agba a raevma grede s: ϕ L EI ( 0) ϕ( L) Kao e vdlvo, re{avaem dferecale eda~e (638) dobva se gba la obl parabole Obzrom da e rads zarvleost ostata, aso e da gba la mora bt do r`ce Dobvea parabola stvar predstavla abol aprosmac r`ce polomom drgog reda Ovaav rezltat e stvar posledca pretpostave o malm deformacama, oma smo learzoval geometrse eda~e, tao da dae zadovolava}e rezltate sl~aevma ada se rad o malm deformacama Prmer 6 L EI Sla 67 Obostrao le{tea greda Po{to e sstem stat~ eodre e, polaz se od dferecale eda~e : d 4 4 ( x) p EI EI Ovom dferecalom eda~om zaemare e tca sm~}h apoa a gb l Kao }e se posle poazat, ta tca se ve} sl~aeva mo`e zaemart Itegrra} gor eda~ ~etr pta dobva se: 3 x x 4EI 6 4 ( x) x C C C3x C4 Gor sstem ma svh {est rbh veta po pomerama Zaemar} asal deformac preosta ~etr rba veta: ϕ ϕ ( 0) ( 0) ( L) ( L) 0 C 0 C 3 4 0 0 3 4 L L 0 L C C 0 4EI 6 C 3 L 0 L C CL 0 6EI L ; EI C L EI 50

Stata ostrca I Prora~ pomeraa Korste} ove rezltate mog}e e apsat eda~e za gb, agb, momeat savaa trasverzal sl blo oem prese grede: ϕ T ( x) ( x) ( x) ( x) 4 L 3 L x x x 4EI EI 4EI 3 L L x x x 6EI 4EI EI d L L EJ x x d L x Na slc 68 s prazae graf~ gore fce Kao e rae re~eo ovaav prstp re{ava ostrtvh sstema e racoala edo od edostavh osa~a L { L 8 L 4 L ϕ 4 L 384 Sla 68 Dagram momeata, agba gba la obostrao le{tee grede U svm avedem prmerma svoeo e da e momet erce ostata da e fca optere}ea epreda fca Uolo mamo otra prome popre~og presea, gde e momet erce mog}e prazat epredom fcom, problem se sloàva tolo {to momet erce ostae pod tegralom, tao da e podtegrala fca sloèa tme e re{avae tegrala e{to omplovae Naravo, popre~ prese d` grede moè bt zadat tao da posto agla promea mometa erce U tom sl~a se za sva do grede gde e momet erce ostata l se moè zrazt epredom fcom re{ava poseba dferecala eda~a, a rb vet se postavla a ram ta~ama tao formrah pola Sl~o se postpa sl~a da fca optere}ea ma prede Na prmer sl~a 5

Stata ostrca I Prora~ pomeraa delovaa ocetrsae vertale sle tezteta F eo ta~ A a daleost a od levog raa, potrebo e za t ta~ postavt ~etr rba veta za stat~ eodre e osa~, odoso dva za stat~ odre e : L A L A D L D ( a ε ) ( a ) A ; ϕ A ϕ( a ε ) ϕ( a ε ) ϕ A D L D ( a ε ) ( a ) ; T T ( a ε ) T ( a ε ) F T F ε ε A A A Jaso, drga dva veta za stat~ odre ee osa~e se prme odvoeo faz prora~a prese~h sla tada se polaz od eda~e (638), oa se postavla za sva do {tapa gde fca momeata ema preda prve drge vrste ( svao ta~c e edoza~o defraa fca ea prva dervaca) UGIBNA LINIJA USLIJED SICANJA Kao e vdlvo z gorh razmatraa, dosada e gba la traèa ao posledca savaa, a tca sm~}h apoa e zaemare rad Berolleve hpoteze o ravm oomtm popre~m presecma Ovaav model grede azva se Berolleva greda Uolo pretpostavmo da popre~ prese ostae rava, al e oomt a deformsa os {tapa, tada sm~}a deformaca t~e a vel~ pomeraa Ovaav model grede se azva Tmo{eo-va greda Sada }e se zvest zraz za gb l sled ~stog smcaa Aalza po~e od zvedeh eda~a za {tap: dt d z T d p 0; T 0; γ ; γ GA Komb} gore eda~e, z or{tee eda~e (34), moèmo dobt dferecal eda~ za gb l sled delovaa ~stog smcaa: d p GA 0; (64) Re{avaem gore dferecale eda~e, z or{tee eda~a ravoteè, dobva se zraz za gb l sled ~stog smcaa: ( x) ( x) Cx C (64) GA Kostate tegrace se ra~a z rbh veta dath za odre e problem Ovde treba prmett da e fator om se mo` mometa la daleo ma od fatora o mamo zraz za gb l od savaa (638), tao da e opravdao ova tca zaemart pr prora~ gbh la 64 Prora~ gbe le metodom ohr-ove aaloge Jeda od metoda re{avaa gore avedeh dferecalh eda~a este metoda ohr-ove aaloge Ova metoda se zasva a sl~ost dferecale eda~e oom se gb zraàva preo fce momeata sa dferecalom eda~om ravoteè, oom se momeat zraàva preo optere}ea: d z EI d z p (643) 5

Stata ostrca I Prora~ pomeraa Obzrom da s gore eda~e potpo stog obla, odos momeata optere}ea e eda odos gba momeata Prema gb l e mog}e a} ao momet l od ftvog optere}ea oe e stvar edao dagram momeata Problem ovog prstpa e {to rb vet, ao sastav do dferecalh eda~a, ve} sl~aeva s eda za momete gbe Rad toga se ftvo optere}ee (dagram momeata osovog sstema podele sa EI) postavla a ogova osa~ Rad svoee ovece o predza momeata, oa e sprotost sa ovecom za gbe, potrebo e obrt dagram momeata osovog sstema, da b se doblo ftvo optere}ee Kogova osa~ predstavla taav osa~ ~ rb vet za momete trasverzale sle odgovara rbm vetma za pomeraa glove zaoreta (gbe agbe) Jaso e da ao vred evvaleca zme momeata a ogovaom osa~ gba a osovom osa~, vred evvaleca trasverzalh sla a ogovaom osa~ agba a osovom osa~ Ovao postavlea aaloga, gde se zaemar asale deformace, ma ao vela ogra~ea prme Name, olo `elmo dobt ogova stat~ odre e osa~, rb vet za pomeraa svaog {tapa a osovom (stat~ odre eom) osa~ mora bt zadata sl~vo preo pomeraa tra`eom pravc glova zaoreta Stoga e ao edostavo a} ogova osa~ za prmere prazae a slc 69 olo tra`mo l vertalog pomeraa e tm, posto vel bro prmera gde e mog}e prmet ovao defsa ohr-ov aalog, ve} e potrebo spostavt omplet aalog zme pomeraa odgovara}h momeata globalom l loalom oordatom sstem osov sstem 0 0 0 ogova sstem 0 0; ϕ0 0; T 0 Sla 69 Osov ogova sstem za prora~ vertalh pomeraa 53

Stata ostrca I Prora~ pomeraa Prmer: Za dat osa~ a} gb l prmeom ohr-ove aaloge A EJ B EJ P C 3a a Dagram momeata: Pa Kogova sstem se formra tao da rb slov za sle a ogovaom sstem odgovara rbm slovma za pomeraa a osovom sstem: Ta~a A: 0 0; ϕ 0 T 0 Ta~a B: L D L D 0 L D 0; ϕ ϕ TL T D Ta~a C: 0 0; ϕ 0 T 0 To za~ da ogova sstem treba apravt tao da se trasverzala sla sa leve strae osloca B preese a des stra Kogova sstem ftvo optere}ee: B x A x B Pa EJ Pa EJ A 3a a; B a 3 3 x x 3 3a 3 9a ( x) ( x) A x x x ax ; za x [ 0, a] max ( a 3) ( x ) ( x ) ( a) C B x 7a 3 3a 3 x 3 x ( a x ) a x x x ax 3 3 x ; 6a x [ 0, a] 54

Stata ostrca I Prora~ pomeraa 65 Osov zao teoreme teore elast~ost U ovom poglavl }e se prazat zao teoreme o vrede za sva elast~a tela, a posebo }e se obradt hova prmea za {tape ssteme Ve}a ovh zaoa teorema s zasova a zaoma o rad eerg potecalom pol, o s z~ava predmet ehaa II DEFORABILNO TIJELO Sstem materalh ta~aa e sp materalh ta~aa vezah tao da pomerae ede materale ta~e zavs od pomeraa drgh materalh ta~aa tog sstema Uolo e ta veza defraa tao da e odstoae zme blo oe dve ta~e sstema ostato, tada se rad o rtom tel Posmatramo pomerae rtog {tapa rav, prazaog a slc 60 Y A X Sla 60 [tap rav Po{to se rad o rtom {tap, pomerae svh ta~aa {tapa, oh ma besoa~o, moè se odredt z pomeraa ee dve ta~e {tapa (A B) Dale, pomerae blo oe ta~e se dobva z veta da e eo rastoae od ta~aa A B ostato Dale, pomerae {tapa AB se moè edoza~o odredt olo s pozat vetor pomeraa ta~aa A B Po{to se sva vetor rav def{e sa dve proece a os pravoglog oordatog sstema, potrebo e odredt 4 vel~e da b A A B B se odredlo pomerae {tapa: X, Y, X, Y Kostata daleost zme ta~aa A B ostata ma za posledc ed vez zme oordata pomereog {tapa, tao da se ov poloà {tapa moè defrat preo tr ezavsa parametra Kao e poazao predmet ehaa II, pomerae {tapa rav se edoza~o moè defrat preo traslace ede ta~e {tapa (dva parametra - proece a os X Y) rotace ϕ To za~ da {tap rav ma tr stepea slobode retaa Naravo, ov poloà {tapa se A A B moè defrat preo drga tr paramatra, pr X, Y, X To za~ da pomerae rtog {tapa rav moèmo defrat preo blo oa tr ezavsa pomeraa Po{to ta pomeraa mog bt traslace rotace azva}emo h geeralsam pomerama praza}emo h obl vetora: 3 Dale, vetor geeralsah pomeraa rtog {tapa rav ma tr ompoete O~gledo e da bro ompeeata vetora geeralsah pomeraa este eda stepe slobode retaa eog sstema Naravo, vetor sa ompoeata se defra -dmezoalom prostor, {to e te{o predstavt za >3 e tm, bto B 55

Stata ostrca I Prora~ pomeraa e da vetors ra~, o va` za vetore trodmezoalom pravoglom oordatom sstem, va` za vetora sa parametara Deformablo telo se razle od rtog tela po tome {to daleost zme dve ta~e tela e mora bt ostata To za~ da se daleost zme dve ta~e mea prema eo svoeo zaotost Kod deformablh sstema, e moè se spostavt dreta zavsost zme vrtelh pomeraa poedh ta~aa, er oa ovs od optere}ea Dale, posmatra} samo vrtela pomeraa eog deformablog sstema, moè se zal~t da taav sstem ma besoa~o stepe slobode retaa Ovsost pomeraa poedh ta~aa se tada zvod aalzom besoa~o malh elemeata, orste} eda~e mehae Ovaav prstp dovod do sstema dferecalh eda~a, ~a omplovaost ovs od svoeh pretpostav Naprmer, za aalz elast~og {tapa po teor prvog reda, ta zaotost e prazaa preo devet eda~a zvedeh prethodom poglavl, oom e obezbe ea leara veza zme sla odgovara}h pomeraa Tao er e poazao da se z th dferecalh eda~a moè spostavt edoza~a veza zme prese~h sla pomeraa ssedh ta~aa {tapa Pr aalz elast~h {taph sstema po teor prvog reda, ob~o se e ra~a mer~e vredost prese~h sla pomeraa svm ta~ama, ve} se bra oa~a bro ta~aa (araterst~e ta~e) oma se ra~a prese~e sle pomeraa Nama bro araterst~h ta~aa a edom sstem odgovara bro ~vorova sstema Poov}emo da se pod ~vorom podrazmeva ta~a gde se avla dsottet deformsae os sstema Ova dsottet moè bt posledca zlomlee geometre edeformsaog osa~a (sv spoev dva {tapa pod em glom l v{e {tapova) l prsstvo ltog pola za e od tra{h sla Uolo a pravom {tap posto pr zglob (lto pole za momeat), egova edeformsaa ofgraca este glata, al deformsaa e asmala bro ta~aa gde }emo ra~at prese~e sle pomeraa e ~m defra Podela eog modela a oa~a bro elemeata ~vorova, gde }e se ra~at pomeraa l prese~e sle azva se dsretzaca Dsretzaca e emova do aalze omplesh problema mehae, o se e mog re{t aalt~ gde se orste mer~e metode Tada a ta~ost rezltata, zme ostalog, t~e bro ~vorova Name, ve}m broem ~vorova elemeata dobva se ta~ rezltat Prmer tave dsretzace od {taph modela moè se avt sl~aevma ada e fca optere}ea ao ereglara Tavo optere}ee se moè zamet zom ocetrsah sla l reglarm optere}eem prblò sra~at vredost pomeraa odabram ta~ama Bto e aglast da ob~aea dsretzaca {taph modela (prora~ prese~h sla pomeraa araterst~m ta~ama) e t~e a ta~ost rezltata, er ta~ost zvedeh zraza za prese~e sle pomeraa e zavse od dè {tapa Kao e rae avedeo, teorom prvog reda se spostavla leara odos zme optere}ea pomeraa Na slc 6 s dat razl~t prmer, odale e vdlvo da se pomeraa learo pove}ava sa optere}eem Pomeraa oa omog} me sobe veze zme ta~aa veze sa oolom 56

Stata ostrca I φ L L L P f P PL Δ L EA L ϕ 3EI 3 PL f 3EI Sla 6 Leara odos vash sla pomeraa P P Prora~ pomeraa L φ f Nagla{ava se da e to posledca toga {to e teor prvog reda odos zme svh vel~a leara: zme vasog optere}ea tra{h sla, tra{h sla deformaca, te deformaca pomeraa Dale, ao eo pomerae l gao zaoreta (geeralsao pomerae) oza~mo sa, a odgovara} geeralsa sl sa, tada mo`emo re} da za teor prvog reda ve va`: U oordatom sstem poazao a slc 6 ova zavsost e predstavlea pravcem ao e Sla 6 Dagram geeralsah sla pomeraa po teor prvog reda Koefcet se azva rtost predstavla sl potreb da se postge odgovara}e ed~o pomerae Vel~a predstavla oefcet deformablost l flesblost predstavla pomerae sled delovaa odgovara}e ed~e sle Jaso e da s rtost flesblost obrto proporcoal Pretpostavmo da a eo deformablo telo dele v{e geeralsah sla (ocetrsae sle l momet),, Odgovara}a geeralsaa pomeraa (pomeraa a mest pravc aplcrah geeralsah sla) oza~mo sa, ao a slc 63 Upo geeralsao pomerae, e edao zbr pomeraa od 57

Stata ostrca I Prora~ pomeraa svh sla ao da oe del zasebo Drgm re~ma, za pomeraa ao za prese~e sle vred zao sperpozce Sla 63 Delovae za geeralsah sla a deformablo telo Za sstem sa geeralsah sla geeralsah pomeraa mo`emo apsat slede} set eda~a: (644) U gorm eda~ama predstavla pomerae ta~e a mest pravc delovaa sle sled delovaa ed~e sle a mest pravc sle Jeda~a (34) se mo`e apsat matr~om obl: l : (645) Vdlvo e da se matr~m a~om psaa agla{ava aaloga zme sstema sa geeralsah sla sstema sa edom geeralsaom slom Vdlvo e da des ompoeata matrce, osm oba{eog fzalog za~ea ma matematso za~ee, er e pomo} h defrao hovo mesto matrc 58

Stata ostrca I Prora~ pomeraa Posmatramo st sstem zamslmo da smo pravc a mest geeralsah sla postavl odgovara}e oprge, te da smo potom svao ta~ dal odgovara}e pomerae,, Usled ed~og pomeraa sla oprz e, a oprz : Korste} prcp sperpozce mo`e se sra~at sla svao od oprga, odoso zrazt geeralsae sle preo geeralsah pomeraa: Il : (646) (647) atrca eda~ (647) se azva matrca rtost meog sstema predstavla vez zme pomeraa odgovara}h sla Iz eda~a (645) (647) vdlvo e da se matrca rtost mo`e dobt vertraem matrce flesblost obrto 65 Rad vash sla Kao e pozato z predmeta ehaa II elemetar meha~ rad sle oa dele a materal ta~, oa se pomerla za vetor dr, eda e salarom prozvod tog vetora vetora oom e defsaa sla Posmatramo oprg rtost optere}e slom oa postepeo raste od le do svoe rae vredost ao e prazao a slc 64 Prrast sle }emo defrat pomo} parametra λ, ~a se vredost re}e od 0 do, tao da e vel~a sle svaom tret λ Sa prrastom sle raste pomerae, oe ma vredost λ Elemetar rad a prrast pomeraa e eda prozvod sle prrasta pomeraa: ( ) da λ d λ λdλ, obzrom da e pr ovao defsaom prrast sle edo promeva parametar λ Up rad o aprav sla toom svog prrasta e : A λdλ λdλ 0 0 (648) 59

Stata ostrca I Prora~ pomeraa λ dλ Sla 64 Rad sle a elast~om sstem Dale, meha~ rad pol elast~h sla e eda polov prozvoda rae sle raeg pomeraa Na slc 64 to odgovara povr{ trogla spod pravca Elemetar omplemetar meha~ rad se dobva ao prozvod pomeraa * da λd λ λdλ Up omplemetar meha~ rad e prrasta sle : ( ) eda : * A λdλ λdλ 0 0 (649) Dale za learo elast~ sstem omplemetar rad e eda dretom rad Na slc 64 omplemetar rad predstavla povr{ zme pravca vertale ose Uolo veza zme sle pomeraa e leara, tada omplemetar dret rad s eda Uolo aalzramo sstem optere}e sa v{e geeralsah sla, ao a slc 65, tada e p meha~ rad eda zbr radova svae geeralsae sle a odgovara}em pomera : * λ λ λ λ (650) 0 0 A d d A Sla 65 Rad sstema sla a elast~om sstem Salara prozvod dva vetora se matr~o otac p{e ao : A T T, odoso Jeda~e (65) se mog apsat obl : * T T A (65) 60

Stata ostrca I Prora~ pomeraa A (65) A * (653) Treba aglast da e vet za postoae edoza~og re{ea to da rad vash sla (ao omplemetar) mora ve bt poztva, mada e ~laov sme eda~ama (65) (653) mog bt egatv 65 Rad tra{h sla Uolo aalzramo {tap rav, pod tra{m slama se podrazmeva ormala trasverzala sla, te momeat savaa eha~ rad ovh sla se vr{ a odgovara}em prrast pomeraa osove {tapa Ova pomeraa se mog zrazt preo deformacoh vel~a, ao e poazao a slc 66 N N εds κds T T γds Sla 66 Pomeraa oa odgovara prese~m slama Normalo sl odgovara podà pomeraa: εds Trasverzalo sl odgovara popre~o pomerae sled smcaa: omet savaa odgovara gao zaoreta: dϕ κ ds Up rad svh sla a deformac elemeta dè ds e sada dat zrazom: ( ) A ds Nεds κds Tγds (654) d γ ds Na slc 66, ao e ob~aeo, a elemet {tapa s prazae sle oe del ao vaso optere}ee a elemet e tm, tra{e sle elemet s stog tezteta pravca, al sprotog smera Drgm re~ma, tra{e sle ve prà otpor deformac astoe vratt elast~ sstem edeformsa poloà (vd prmer praza a slc 64) To za~ da s tra{e sle ve smeree sproto od deformace, pa e rad tra{h sla ve egatva: ( ) A ds Nεds κds Tγds (655) Veza zme tra{h sla odgovara}h pomeraa e leara dobva se dreto z ostttvh eda~a za {tap, z moèe sa ds: Nds ds Tds εds ; κds ; γds (656) EA EI GA 6

Stata ostrca I Prora~ pomeraa Prrast prese~h sla odgovara}h pomeraa }emo defrrat a st a~ ao od vash sla, pomo} parametra λ :0 λ, pa se elemetar meha~ rad a prrast deformaca moè apsat obl: ( ) λ ( λε ) λ ( λκ ) λ ( λγ ) da ds Nd ds d ds Td ds Uzma} obzr da e ( ) ; ( ) ; ( ) d λεds εdλds d λκds κdλds d λγds γdλds, er posmatramo prrast deformaca a {tap ~a e edeformsaa dà ds ostata Itegrra} elemetar rad o tra{e sle aprave do dostzaa hove pe vredost a ftezmalo d` {tapa e: ( ) ( ) Nεds κds Tγds A ds Nε κ Tγ λdλ (657) 0 Up meha~ rad po celo d` {tapa, z or{tee eda~a (656) (657) e eda : L L L N T A ds ds ds EA EI GA (658) 0 0 0 Uolo mamo sstem {tapova, p deformaco rad se dobva sabraem radova tra{h sla po {tapovma Izraàva} sle preo odgovara}h deformaca, tada dobvamo deformaco rad fc deformaca : L L L ε κ γ A EA ds EI ds GA ds (659) 0 0 0 653 Lagrage-ov prcp vrtelh radova Iz predmeta ehaa II pozato e da Lagrage-ov prcp glas: Sstem rth {tapova e ravote` ao samo ao e sma elemetarh meha~h radova zadah stvarh sla a vrtelm pomerama sstema eda l Prese~e sle a stat~ odre em osa~ma mog se zra~at tao da se poede veze, zamee vasm slama potom orst ova prcp a sstem sa edm stepeom slobode retaa Kada aalzramo deformabla sstem, svaa ta~a ma ezavso vrtelo pomerae (osm osloa~h), tao da deformabla sstem ma besoa~a bro vrtelh pomeraa Za razl od rth sstema, od deformablh sstema posto rad tra{h sla a vrtelm pomerama, tao da op{t Lagrage-ov prcp glas: Sstem {tapova e ravote` ao samo ao e sma elemetarh meha~h radova zadah stvarh sla a vrtelm pomerama sstema stvarh tra{h sla a deformacom pomeram eda l A A A 0 (660) v gde e: m A v T A Nεds κ ds Tγ ds 6

Stata ostrca I Prora~ pomeraa U gorm eda~ama m e bro geeralsah sla oe del a sstem, a e bro {tapova Sl~o ao pr razmatra realh radova ovde se moè defsat poam omplemetarog vrtelog rada o predstavla rad vrtelh vash tra{h sla a realm pomerama: * A T (66) v A Nεds κds Tγds * (66) Iz gorh eda~ia e vdlvo da zrazma za vrtel rad omplemetar vrtel rad ema fatora, er vrtela pomeraa s posledca delovaa sla oe vr{e rad Korste} eda~ (660) lao se moè doazat da e rad tra{h sla eda egatvo vredost rada vash sla oe del a e sstem Obzrom a pozat ~ec da e svao stvaro pomerae edo vrtelo, eda~ (660) moèmo mesto vrtelh vrstt stvara pomeraa tada mamo: EA EI GA N ds ds T ds oè} gor eda~ sa dobvamo a levo stra zraz za rad vash sla, a a deso egatv vredost rada tra{h sla 654 Bett-eva teorema - teorema o zaamost radova Pretpostavmo da a e sstem, o se sasto od S {tapova, del dva ezavsa sstema sla, od o e eda real, a eda vrtel Pretpostavmo da se real sstem sla sasto od geeralsah sla oza~mo ga sa:,,,,, te da posto l vrtelh geeralsah sla:, m,,, l Oba sstema sla zazva a m elast~om sstem reace, tra{e sle, deformace pomeraa Pretpostavmo da pored delovaa sla postoe pomeraa osloaca, oh ma Ozae svh relevath vel~a s date Tabel 6 vel~e vase sle reace osloaca prese~e sle real sstem R vrtel sstem m R NT,, NT,, deformace ε, κγ, ε, κ, γ pomeraa pomeraa osloaca Tabela 6 Reale vrtele vel~e c m c 63

Stata ostrca I Prora~ pomeraa Po defc e vrtel rad eda rad realh sla a vrtelm pomerama Dale, vrtel rad vash sla, l~} reace e eda: A Rc v Utra{ vrtel rad e: ( ) S S NN TT A Nεds κds Tγ ds ds ds ds s s EA EI GA S drge strae, omplemetar vrtel rad vash tra{h sla e: l * v m m m A Rc ( ) S S * NN TT A Nεds κds Tγds ds ds ds s s EA EI GA Korste} prcp vrtelh radova, za sstem ravote` va`: A A 0 A A v v A A 0 A A * * * v v * Iz gorh eda~a vdlvo e da e A * A z ~ega sled: l * A A R c R c (663) v v m m Jeda~a (663) predstavla matemats formlac Bett-eve teoreme, oa glas: Ao a elast~ sstem del dva sstema geeralsah sla, oda }e vrtel rad prvog sstema sla a pomerama zazvam drgm sstemom sla bt eda vrtelom rad drgog sstema sla a pomerama zazvam prvm sstemom sla m 655 axwell-ova teorema - teorema o zaamost pomeraa axwell-ova teorema glas: Pomerae apade ta~e ed~e sle eom pravc zazvao delovaem drge ed~e sle e edao pomera apade ta~e drge ed~e sle eom pravc sled delovaa prve ed~e sle Ova teorema se lao mo`e zvest z Bett-eve teoreme Nap{mo eda~ (663) z pretpostav da ema pomeraa osloaca: l m m m (664) Pretpostavmo da posto samo eda reala eda vrtela sla da obe ma teztet 0, te da reala sla dele ta~, a vrtela ta~, ao e poazao a slc 67 Sada eda~a (664) postae: (665) 64

Stata ostrca I Prora~ pomeraa gde e pomerae ta~e sled vrtelog sstema sla, t sled sle 0 0 0 Sla 67 Pomeraa sled realog vrtelog sstema sla Po{to pomeraa moèmo apsat ao prozvod oefceata flesblost sla mamo: ; ; Uzma} obzr defc oefceata ed(665) se re} da e axwell-ova teorema doazaa (666) (vd eda~ (644)) moè Neposreda sasvm o~gleda posledca axwell-ove teoreme e da e matrca flesblost smetr~a Nadale, verza matrca smetr~e matrce mora bt smetr~a, {to za~ da e matrca rtost smetr~a: T, T 656 axwell-ohr-ov obrasc za pomeraa Posmatramo sstem {tapova rav pod tcaem prozvolog optere}ea, edole eedole promee temperatre, te pomera osloaca za ostate vel~e Posledca gorh tcaa s pomeraa ta~aa sstema Uo~mo blo o ta~ N a edformsao ofgrac, a e poloà a deformsaom osa~ oza~mo sa N' Zadata e a} vetor NN ' e epozat po teztet, pravc smer Po{to se rad o sstem rav, ova zadata se moè re{t odre vaem pomeraa ta~e N dva pravca Dale, problem se svod a odre vae pomeraa prozvole ta~e eom pravc, oeg }emo oza~t sa - Da b re{l ova zadata, poovo }emo sorstt prcp vrtelh radova U t svrh }emo posmatra sstem {tapova opterett vrtelm sstemom sla o se sasto od ede ed~e sle 0, oa dele pravc -, ao e poazao a slc 68 65

Stata ostrca I Prora~ pomeraa N N N ' N 0 Sla 68 Odre vae pomeraa ta~e Po{to se tra` realo pomerae ta~e N pravc -, prmet }e se Lagrageov prcp omplemetarog vrtelog rada: A A 0 * * v * v N A Rc S Ls Ls Ls * A Nεds κds T ds γ s 0 0 0 Uvr{tava} zraz za tra{ omplemetar vrtel rad eda~e oma s defsae deformace od tcaa optere}ea promee temperatre, dobva se: T R c N t ds ds T ds EA EI h GAs S Ls Ls Ls N Δt N αt 0 αt s 0 s 0 s s 0 Ao promemo oza geeralsaog pomeraa: da e 0, dobvamo: N Δ zmemo obzr S Ls S Ls S Ls S S Ls NN TT Δt Δ ds ds T ds α ds Nα t ds R c N t t 0 s EA 0 s s EI 0 s s GA 0 s s hs s 0 N (667) Napome se da ova zraz vred za ssteme rav sastavlee od pravh {tapova zloèe delova optere}ea rav, prome temperatre slega osloaca Jeda~a (667) se moè prmet za prora~ blo oeg geeralsaog pomeraa blo oem pravc, {to se odre e zborom geeralsae ed~e sle Postpa se sasto tome da se odrede dagram prese~h sla od datog optere}ea, postav ed~a sla ta~ ~e se pomerae tra` to pravc traèog pomeraa, a zatm se acrta dagram prese~h sla od ed~og pomeraa Nao toga se zra~ava traèo pomerae prema eda~ (667) U zavsost od toga av geeralsa sl postavlamo, mog se ra~at slede}a pomeraa: 66

Stata ostrca I Prora~ pomeraa lso pomerae eom pravc - ocetrsaa sla gao zaoreta - ocetrsa momeat 3 promea rastoaa zme dve ta~e (A B) - dve ocetrsae sle sproth smerova pravc odre eom ta~ama A B 4 relatva rotaca dva presea, t promea gla zme taget a dva presea - dva ocetrsaa mometa sproth smerova 5 gao zaoreta {tapa - dve ocetrsae sle oe ~e ed~ spreg Uolo se ao zra~avaa pomeraa prema eda~ (667) dobe egatva rezltat, tada e traèo pomerae sprotom smer od aplcrae ed~e sle U eda~ (667) s obhva}e sv vas tca dopros svh tra{h sla U pras se a~e{}e orst samo tegral gde s podtegrale fce momet Razlog tome e to {to e vredost ovog tegrala ob~o mogo ve}a od vredost tegrala sa trasverzalm ormalm slama Name, momet, trasverazale ormale sle ma st red vel~e ada se momet zraàva Nm, al s momet erce mogostro pta ma od povr{e popre~h presea ada se ove vel~e zraàva m 4, odoso m Itegral eda~e (667) se mog ra~at a razl~te a~e U statc ostrca se av{e orst tzv postpa Vere{~aga Ova postpa e zvede za prora~ tegrala gde e podtegrala fca edaa prozvod dve fce, od oh e eda leara U op{tem sl~a, dale, mamo: b b b b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x a bx f x a f x b xf x (668) a a a a ( ) ( ) aa bx A A a bx Af x T T T gde e A povr{a spod fce f ( x ), a ( ) f x ordata leare fce ta~ te`{ta povr{e A Prema tome, postpom Vere{~aga se ra~a tegral prozvoda dve fce, od oh bar eda mora bt leara, a ta a~ {to se sra~a povr{a spod eleare fce, a e eo te`{te pomo` sa ordatom leare fce ta~ tog te`{ta Iz prazaog zvo ea, sasvm e aso da se e moè st tegral ra~at tao {to }e se povr{a spod leare fce mo`t sa ordatom eleare fce zad te`{ta U sl~a da {tap ma promev popre~ prese, tegraca se e moè zvest postpom Vere{~aga Tada se tegralee moè zvr{t edom od metoda mer~e tegrace, oma se dobva prblò re{ee tegrala T 67