RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

Transcript

1 RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X δ = X graca relatve greške A Δ A δ R X vredost 100 RX azvamo PROCENTUALNA GREŠKA 1000 R azvamo PROMILNA GREŠKA X Pravlo koje važ: X A X X + A X X 1

2 PRIMER 1: Kolka je vredost zaokružvaja broja a 3 decmale? π = π = apomea: 1.15~1.2 // Ak je cfra spred ~1.2 // Ak je eparo => zaokružujemo a Ak+1 // Ak je paro => ostaje Ak π Kako am je pozat ceo broj e možemo tačo da odredmo apsolutu grešku, zato ćemo tražt prblžu apsolutu grešku: Δ = = A π π A π = 5 10 Relatva greška: R π = graca apsolute greške δ = < = graca relatve greške. R π 2

3 PRIMER 2: Kolka je vredost zaokružvaja broja e a 3 decmale? e = e = Poovo tražmo prblžu apsolutu grešku: Δ = = Ae A e = δ = < = R e R e = 10 PRIMER 3: Kolka je vredost zaokružvaja broja a 2 decmale? (domać) 3

4 ZNAČAJNE I SIGURNE CIFRE Svak broj može da se zapše kao: X = α 10 + α α α 10 1 k+ 1 m+ 1 k m ZNAČAJNE CIFRE ekog broja su sve jegove cfre počevš od prve e ula cfre (gledao s leva). PRIMER: X = = začaje cfre 3 Nula je začaja cfra ako se alaz zmeđu dve elula cfre Nula je začaja cfra ako čuva decmalo mesto: Začaja cfra je SIGURNA CIFRA ako za gracu apsolute greške važ: A w w k+ 1 X 10,0 < 1 Ako se za w može uzet 0.5 oda se za cfru kaže da je sgura užem smslu Ako se za w može uzet 1 oda se za cfru kaže da je sgura u šrem smslu. α k α k 4

5 PRIMER 4: Korstmo podatke z prvog prmera. π = π = A π = 5 10 Da l je 2 (treća cfra prlkom zaokružvaja) sgura u užem l šrem smslu? 3 A π 2 je sgura cfra u užem smslu, pa su cfre spred je = 5 10 < 5 10 sgure u užem smslu. PRIMER 5: Tača vredost ekog broja je X= Prblža vredost ovog broja je X= (za decmalog zareza mamo dve ule, proverćemo koja je od jh sgura u užem a koja u šrem smslu) Δ= = 0.02 apsoluta greška AX = A druga ula je sgura u užem smslu < A < 1 10 druga ula je sgura u šrem smslu A < prva ula je sgura u užem smslu. Ako je cfra sgura u užem smslu, oda je sgura u šrem smslu. 5

6 Važ ejedakost: w w R ( α + 1) 10 α 10 k X k K broj sgurh cfara GREŠKA PRIBLIŽNE VREDNOSTI FUNKCIJE: Δ f = f(,,..., ) f(,,..., ) = 1 f = = 1 f Δf A = A X R f f R f PRIMER: Neka je S fukcja koja zavs od Npr: S = S = , 2,..., Neka je S= Uočmo oaj broj koj ma ajmaje decmala (postoje 2 takva broja) jh e mejamo, dok ostale brojeve zaokružujemo a 1 decmalu vše. Dobjamo: S= = = Posledja trojka se odbacuje obzrom da am je to esgura cfra (dobl smo je sabrajem zaokružeh brojeva) 6

7 Tačost sabrka (tačost sabraka + greška pr zaokružvaju sabraka + greška pr zaokružvaju zbra) A S = = < 0.15 Tača vredost fukcje je: GREŠKA ZBIRA: S = ± 0.15 Neka su,,..., > 0 tada je relatva greška jhovog zbra Rs A = = R = = VAŽI NEJEDNAKOST: m R Rs ma R 7

8 GREŠKA RAZLIKE: Neka su dva broja Njhova razlka je 1, 2 > 0 D = 1 2 D = Relatva greška za razlku je Graca relatve greške: Važ: R > R, D R D R = R + R D Ako su brojev koje oduzmamo jako blsk, oda se javlja velka greška u račuu. PRIMER: = 3.01, = 3 1) Ako problem rešavamo sa 3 sgure cfre dobćemo da je: = 0!!!! 2) Sa 4 sgure cfre problem ma sledeć oblk: = Ovo je tačj rezultat ALI brojev su zadat sa 4 sgure cfre a rešeje ma samo 1 sguru cfru! Želmo da dobjemo rešeje koje ma st broj sgurh cfara kao brojev sa kojma radmo. TRIK: Racoalsaje! = = =

9 GREŠKA PROIZVODA: Neka su dat brojev 1, 2,..., Njhov prozvod je P = Prblža vredost prozvoda Ovde posmatramo samo relatvu grešku: P =... R P = R = 1 PRIMER: Nać prozvod P= Prvo prmetmo da emaju sv brojev st broj decmala. Uočmo oaj broj koj ma ajmaje decmala ostale zaokružmo a 1 decmalu vše. P= = ~ 0.33 Koačo rešeje zaokružujemo a oolko začajh cfara kolko ma ajgrublj člac, tj. a 2 začaje cfre: P=0.33 9

10 GREŠKA KOLIČNIKA: Neka su dat brojev Njhov kolčk je: Q Q, 1 = 2 > 2, 0 = > 1, R Q = R = 1 PRIMER: Nać površu valjka gracu relatve greške ako je r poluprečk osove r = 3.7 ± 0.05 h vsa valjka h = 8.2 ± 0.03 π = Površa valjka: P = r πh + 2rπh = 2 rπ( r + h) P = ( ) = Relatva greška: RP = Rr + Rπ + R( r+ h) = + + = Ar + Ah R( r+ h) = = r + h

11 INVERZNI PROBLEM GREŠKE: Ako mamo dat ek broj m, a želmo da odredmo sa kojom tačošću je potrebo da zadamo ulaze velče, tako da je graca apsolute greške bude maja od m korstmo sledeću formulu: f Af = A m X PRINCIP JEDNAKIH UTICAJA: (svh sabraka su jedak) broj promeljvh = 1 f f A =... = 1 m A f X1 X PRIMER: Sa kojom tačošću je potrebo zadat brojeve 1, 2, 3 tako da apsoluta greška fukcje bude maja od ? f( 1, 2, 3) = 3 1 = = = A 11

12 Korstmo prcp jedakh utcaja. Grace apslolutue vredost za svak broj su sledeće: A1 = = A2 = = A = =