3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1"

Βάαλ Ζάρκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Nizovi 5 a = a = a = +)+) ) a = a = a = 43/ / +5+ a = + + a = + ) 3 a = a = ) 5 a = a = a = +)!++)! +3)! a = ) +3 ) Koriste i jedakost lim + = e izračuati graiče vredosti slede ih izova: ) 3 a = ) ) 4 a = + 5 a = ) a = a = 30 Odrediti lim ) 3 8 a = l + ) l ) 9 a = si } si {{ si } + 4+) + Dodatak Osovi limesi: lim q =, lim k a = 0 za a > 0, k N, lim a! = 0, lim! lim a =, lim q = 0 za q < = 0,lim l = 0, lim =, Odrediti graiču vredost iza a = cos a = si + ) 3 a = + arctg) 4 a = Pokazati da je iz a = 5! kovergeta i aći jegov limes ) Graiče vredosti fukcija Tabliče graiče vredosti: si lim 0 =, lim a l + ) + ) α = l a, lim =, lim = α, lim ) = e, lim +) = e 0 lim lim +

2 9 3 lim lim lim lim lim lim cos 9 lim 0 si 0 lim 4 + lim lim lim 0 si k, k = cost, k 0 4 lim 0 si k si l si 3 5 lim 0 si 6 lim + cos 7 lim 0 si 8 lim π 4 + cos 4 cos m cos 9 lim 0 + a 0 lim a lim cos 0 cos ) X lim si ) tg π 3 lim 0 l cos a l cos b cos a 4 lim 0 e 5 lim 0 cos e 3 6 lim l + tg si ) 7 lim ) a a 8 lim a a 9 lim 0 lcos 3) + )

3 30 lim l Izvodi fukcija jede promeljive i Lopital Defiicija Izvod fukcije f) je f f + h) f) ) = lim Koristi se i ozaka df h 0 h d za izvod fukcije f po Izvod fukcije f) u tački = a je f fa + h) fa) a) = lim Ako taj limes postoji i koača h 0 h je, kažemo da je fukcija f diferecijabila u tački = a Geometrijsko začeje prvog izvoda je: f 0 ) = tgα = k, gde je k koeficijet pravca tagete a krivu y = f) u tački 0, y 0 ), gde je y 0 = f 0 ) Levi izvod u tački = a je f ) fa + h) fa) = lim, a desi izvod u tački = a je h 0 h f +) fa + h) fa) = lim Da bi postojao izvod u tački = a, f a), treba da važi sledeći uslov: h 0 + h f a) = f +a) R Osova pravila Neka je c kostata, a f) i g) fukcije po Tada važe sledeća pravila: c) = 0, ) =, 3 f + g) = f + g, 4 f g) = f g, 5 f g) = f g + f g, 6 ) f g = f g f g g Tablica izvoda ) =, ) =, 3 e ) = e, 4 a ) = a l a, 5 l ) =, 6 log a ) = log a e = l a, 7 si ) = cos, 8 cos ) = si, 9 tg) = cos, 0 ctg) = si, arcsi ) =, arccos ) =, 3 arctg) = +, 4 arcctg) = + Izvod složee fukcije Ako je y = fu) i u = ϕ), tj y = fϕ)), tada je y = f uu) u ovde f uu) ozačava izvod po u) Izvod iverze fukcije Ako je y = f) fukcija koja ima iverzu fukciju f = g, tj = f y) = gy), oda važi: f = g Kako je ovde g y y fukcija od y, a mi hoćemo da izrazimo izvod po, potrebo je još da a desoj strai jedakosti svako y zameimo sa f)! Izvod parametarski zadate fukcije Parametarski zadata fukcija je = ft), y = gt) i je izvod y po ) je dat sa y = ẏ ẋ = f t g t Ovaj izvod je takod e parametarski zadata fukcija od istog parametra t! = dy dt d dt Izvod implicito zadate fukcije Implicito zadata fukcija je F, y) = 0 i za tražeje jeog izvoda y po ) koristimo dva ačia: I Difereciramo jedačiu F, y) = 0 po smatrajući da je y fukcija od po pravilima za izvod složee fukcije) i iz tako dobijee jedačie izvučemo y F II Odredimo parcijale izvode fukcije F, y) po,, tu y tretiramo kao kostatu i pravimo izvod po ) i po y, F, tu tretiramo kao kostatu i pravimo izvod po y) Tada je tražei izvod y = F F y y 3

4 Logaritamski izvod Koristi se za izračuavaje izvoda fukcije y) = f) g) primetimo da ovde e možemo da iskoristimo i i 4 iz tablice izvoda!) i ovo možemo uraditi a dva ačia: I l y = g l f Kad ovo difereciramo dobijamo y y = g f +g l f, odakle je y = y g f +g l f) = f g g f + g l f) II y = f g = e l f ) g = e l f) g i diferecirajem ovog izraza dobijamo isti rezultat za y Diferecijal fukcije Diferecijal fukcije f) je jedak df = f d Koristi se za aproksimiraje priraštaja fukcije f = f + ) f): f df tu je = d) Izvodi višeg reda Drugi izvod fukcije je izvod prvog izvoda, tj f ) = f )) i uopšteo ti izvod je f ) ) = f ) ) ) Odrediti izvode sledećih fukcija: f) = tg + 3 f) = e cos f) = 5 l 4 f) = arctg 5 f) = si 6 f) = si 7 f) = l + 3) 8 f) = arcsi e 9 f) = ctgl + 5 ) 0 f) = arctgl cos ) f) = si f) = a l l 3 f) = 4 f) = si + 5 si 5 5 f) = l 6 f) = 3 si 7 f) = cosl 5 )) 8 f) = arctg5 + l si ) 9 f) = l cos ) 0 f) = ctg)5 7 f) = si l f) = sil ) 3 f) = arccosl ) 4 f) = cos log ) 5 f) = tg e 6 f) = si ) 3 + l cos 7 f) = log si + e ) 8 f) = 5tgl ) + e ) + arcctg ) 9 f) = 8 logsi ) 30 f) = l5 + ) cos 3 f) = lsi e ) 3 f) = cos 5 7 l ) + si + e 33 f) = 34 f) = si 35 f) = si ) Dodatak Po defiiciji odrediti prvi izvod fukcija, e, si u tački 0 3 Koristeći diferecijal približo izračuati vredosti:, 0, si 9 3 Odrediti jedačie tagete i ormale postavljee a krivu y = e u tački =0 4 Primeom Lopitalovog pravila aći sledeće graiče vredosti: e e lim 0 le ) +, lim +arctg + 4

5 lim π π)tg 3 lim π ctg π ), lim cos 0 l + + ) l + ) ), lim 0 e ) 4 lim π arctg), lim 0 +ctg) l, lim 0 ) 4 Tejlorova formula 4 Aproksimirati fukciju f) = l Tejlorovim poliomom trećeg stepea u okolii tačke a = i za < 0 dokazati da je R 3) < Data je fukcija f) = ++ e Ispitati datu fukciju, razviti je u Makloreov razvoj i provreiti da li je R 3 ) 86e 0 0 za 6 0 f D = R ema 0 f > 0 lim = lim f = 0 f = 3 ) e f = 3 7 e f) = R 3 ) R 3 ) = c 5c+ e c 4! 0 4 f = + 0 e e c f iv = 5+ e e e drugi kolokvijum 00)Data je fukcija f) = 7 + 4)e Razviti je u Makloreov poliom treceg stepea i proveriti da li je R 3 ) < 0 za [, 0] f = 5 + 7)e f = 3 + )e f = )e f iv = + )e f) = R 3 ) R 3 ) = f iv ) 4 4! = 4 c + c )e c 4 4 c + c e c e0 = 9 8 < 0 Iskoristiti za proceu grafik kvadrate fukcije i formulu za teme parabole )f) = arcsi + Razviti je u Makloreov red drugog stepea i ispitati da li je greshka maja od za f = f = ) 3 T = + R = 3 6 c 3c+ c ) 5 R Kako je c R f = 3+ ) c 3c+ 0 = 5 = ) ) Ispitivajem kvadrae fukcije acrtatati grafik) a datom itervalu vidimo da je c 3c = 3 00 R 00 Ostaje da se pokaze da je to maje od zadate graice = 4 3 = f) = 3 Ispitati fukciju, i razviti je u Makloreov poliom petog stepea i ispitati da li je za 0 0 greshka maja od g = g = g = g = 3 4 ) 3 8 ) 5 g = 4 ) 3 + R R = c) 5 f) = 3 g) = R R 5 = 3 R = c)

6 ) f) = Aproksimirati je Makloreovim poliomom drugog stepea i dokazati da je za 5 ispujeo R 0 3 f 5 = f 9 = f = f) = R ) 5+4) 5 47 f) = l + l aproksimirati oko a= i za 0 dokazati da je R Koristeći Tejlorovu formulu razložiti poliom P ) = po stepeima polioma 5 Ispitivaje fukcija 5 f) = f) = 3 ) 53 f) = )e 54 f) = f) = arctg + 56 f) = + arcsi + + l 57 f) = 58 f) = l l ) f) = l cos l cos 6

Σχετικά έγγραφα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe